薄型风险分担市场中的有效风险规避

由于θi的极限情况也很明确，我们允许交易者提交声明极端dzero弹性的需求函数；对于这些情况，我们有vi（0；θ-i） =用户界面工程安装- 海，Si-θ-ihai，CaIi= ui+2δihai，Caii-θ-ihai、CaIi、Vi(∞; θ-i） =用户界面（Ei+ha）-i、 Si）=ui-2δiha-i、 C（aI+aI）i。求和，给定θ-我∈ （0，∞), 交易员i∈ 我的最佳响应问题是通过战略性地选择提交的需求弹性，即（2.2）θri（θ-i） =argmaxθi∈[0,∞]Vi（θi；θ-i） 。备注2.1。当aI=0时，Vi（θi；θ-i） =所有θi的ui+hai，Caii/2δi∈ [0, ∞]. 在这种情况下，响应函数为fl，任何响应都会导致相同的均衡价格bp（θi；θ-i） =0和分配bqi（θi；θ-i） =-aifor交易员i∈ 一、 不考虑θ的值-i、 这些正是e在竞争均衡时获得的价格和分配。以下结果表明，根据第1节中的假设（尤其是AI6=0），最佳响应问题（2.2）具有唯一的解决方案（回想一下β-idenotes差异1- βi，等于toPj∈I \\{I}βj）。瘦风险分担市场中的有效风险规避13提案2.2。给定θ-我∈ （0，∞), 交易员i的最佳反应∈ I存在，是唯一的，givenas如下：θri（θ-（一）=0，如果βi≤ -1.δiθ-i（1+βi）/（θ-i+δiβ-i） ，如果- 1<βi<1+θ-i/δi；∞, 如果βi≥ 1 + θ-i/δi.（2.3）证明。固定θ-我∈ （0，∞). 使变量[0，∞]  θi7→ ki：=θiθi+θ-我∈ [0，1]，并且使用稍微滥用的符号，最大化值函数Vi相当于最大化Vi（ki；θ-i） =ui+haI，CaIi（1）- ki）kiθ-我-ki2δi- haI，Caii1- kiθ-i（2.4）=ui+haI，CaIi（1）- ki）kiθ-我-ki2δi- βi1- kiθ-我.由于aI6=0，上述为ki的严格凹二次函数∈ [0, 1]; 特别是，它有一个唯一的最大值。

当βi≤ -1（当βi≥ 1 + θ-i/δi），很容易看出[0，1] ki7→ Vi（ki；θ）-i） 正在减少（相应增加）。因此θri（θ-i） 当βi时=0≤ -1，而θri（θ-i） =∞ 当βi≥ 1 + θ-i/δi.何时-1<βi<1+θ-（2.4）中的i/δi，一阶条件给出了唯一的最大化子[0，1] ki7→ Vi（ki；θ）-i） is（2.5）kri（θ-（一）=2 +θ-iδi-1（1+βi）。然后很容易从（2.5）中得出，[0，∞]  θi7→ Vi（θi，θ-i） 是θri（θ-i） =δiθ-i（1+βi）/（θ-i+δi（1- βi））∈ （0，∞). 根据命题2.2，交易员i的极端最佳反应θ∈ 给定θ，I是可能的-我∈ （0，∞). 事实上，当且仅当βi时，最佳响应为零≤ -1，不考虑θ的值-i、 当且仅当βi≥ 1 + θ-i/δi.鉴于这种潜力，理解交易者在θ-iitself取了一个极值。我们从θ开始-i=∞. 在这种情况下，取极限θ-我→ ∞ 在（2.4）中给出（2.6）θri(∞) = δi（1+βi）+。情况θ-i=0可作类似处理，但值得观察。注意θ-i=0表示除i之外的所有其他交易者∈ 我提出了极不灵活的要求。根据最佳响应问题的解决方案，并预测第3节中BayesianNash平衡的定义，只有当βj≤ -1对j保持∈ I \\{I}。因为βi=1-Pj公司∈至少有两个交易者，应该是βI>1。在这种情况下，14名MICHAIL ANTHROPELOS、CONSTANTINOS KARDARAS和D GEORGIOS Vichost将极限值设为θ-我→ 0 in（2.4）给出θri（0）=∞. 概括一下：当θ-i=∞ 最佳响应由（2.6）给出。

情况θ-i=0仅在βi>1的情况下才有意义，其中我们设置θri（0）=∞, 每当βi>1时。从命题2.2中可以清楚地看出，非p类大米交易商有动机提交弹性不同于其风险承受能力的需求函数。偏离代理人真实需求的主要决定因素是他们的交易前贝塔系数，如（1.5）所述。为了分析战略行为对均衡价格和配置的影响，我们可以考虑以下情况：∈ 我是唯一一个在战略上反对价格接受者的人；所有其他代理提交的弹性与其交易的真实需求函数相对应。在符号中，wesetθ-i=δ-i、 这可以被看作是一种单方面的非竞争均衡，因为只有交易者∈ 我利用其他交易者的弹性和禀赋知识，并及时做出回应。当βi时，交易后β（2.5）变为kri=0≤ -1，当βi时，kri=1≥ 1/λi，当βi时，kri=λi（1+βi）/（1+λi）∈ (-1，1/λi）。用明显的术语来说，我们将latterregime称为非极端，而前两个将被称为极端。从kri的闭式表达式可以看出，λi<βiif且仅当λi<kri<βi。考虑到命题1.2之后的讨论，上述事实意味着，只有当且仅当通过交易降低市场风险时，交易方才有动机提交更具弹性的需求函数。在非极端状态下，当enβi∈ （λi，1/λi），其中贸易商的初始头寸被认为相对更容易受到市场风险的影响。当通过提交更具弹性的需求采取更积极的行动时，一个直接的结果是交易后贝塔会带来更大的风险：实际上，在竞争均衡时，不是λihaI，Si，而是在提交弹性需求θriequals krihaI，Si后的投资组合（随机部分）。

特别是交易员i的交易后贝塔系数∈ I是kri，而不是λI。虽然与竞争均衡相比，风险敞口的减少程度较低，但它的价格更好。为了证明这一点，我们很容易计算出在整个非极端状态下βi∈ (-1，1/λi）它认为hqri，pri<hqri，bpi，这意味着战略行为的收益来自支付的较低溢价。当β∈ (-1，1/λi），最佳应对策略的确切现金收益等于HQRI，bp- pri=haI，CaIiλi（βi- λi）δi（1+λi）（1- λi）。竞争均衡交易者i∈ I支付hbqi，bpi=（βI- λi）haI，CaIi/δIto减少λi的β暴露，同时从战略上讲，t rader支付hqri，pri=（βi- λi）haI，CaIi（1）- λiβi）/[（δi- δi）（1+λi）]，以减少对kri的β暴露。注意，hqri，pri<hbqi，bpi，当βi∈ （λi，1/λi）。瘦风险分担市场中的有效风险规避15备注2.3。在非常特殊的情况下，βi=λi，得到θri（θ-i） =δi，即kri=λi。从（1.4）来看，后一个条件意味着bqi=0，h ence trader i∈ 本人不参与风险分担；在竞争均衡中也是如此。3、非竞争性风险分担均衡3.1。纳什均衡。考虑到最佳响应问题（2.2），并假设所有交易者都采取战略性行动，我们现在讨论非竞争性贝叶斯纳什均衡。更准确地说，在类似于[Kyl89]的需求提交游戏的方式中，交易者提交形式为（2.1）的线性需求计划，这里是（θi）i∈我∈ [0, ∞]IandθI=π∈IθI>0是相应的个人和总提交需求弹性。市场在提交的需求总和为零的价格和分配对上达到平衡。

根据命题1.2以及关系式（1.3）和（1.4），对于每个提交的需求，弹性（θi）i∈我∈ [0, ∞]一、 清除市场的价格和分配由bp（（θI）I）给出∈一） =-（1/θI）CaI，以及bqj（（θI）I）∈一） =（θj/θI）aI- aj，对于每个j∈ 一、 换言之，交易者的策略由其提交的线性需求族弹性（2.1）参数化，根据最佳响应（2.2），非竞争均衡是这些响应的固定点。定义3.1。A向量（θ*i） 我∈我∈ [0, ∞]一、 带θ*一： =Pi∈Iθ*i> 0称为纳什均衡或非竞争均衡∈ 一、 Vi（θ*i；θ*-（一）≥ Vi（θi；θ*-i） ，则，θi∈ [0, ∞].通过稍微滥用术语，我们也将纳什价格分配均衡称为对应的一对（p*, （q）*i） 我∈（一）∈ RK×RK×Igiven乘以（3.1）p*= -θ*ICaIand q公司*i=θ*iθ*IaI公司- 哎，我∈ 一、 我们设置θ的位置*i/θ*I=1θ时*i=∞, 按惯例。根据第2节的讨论，特别是（2.3）和（2.6），一些交易者表现为风险中性（即θ*i=∞ f或某些∈ 一） 出现。我们将这种纳什均衡称为θ*I=∞ 极端情况，以及总弹性θ*Ibelongs到（0，∞) 将被称为非极端。备注3.2。当aI=0时，从备注2.1可以看出，任何向量（θi）i∈我∈ RI+是一个纳什均衡，总是在相同的纳什价格分配中产生s，p*= 0和q*i=-艾弗艾丽∈ 一、 因此，竞争均衡和纳什均衡下的价格和分配是一致的。在这个问题中，我们通过排除这个无关紧要的情况aI=0来继续分析。备注3.3。在定义了非竞争均衡的概念后，我们强调了其与[RW15，MR17]中研究的瘦市场模型的差异。

正如导言部分所指出的，16米切尔·安瑟罗·佩洛斯（MICHAIL ANTHROPELOS）、康斯坦丁诺斯·卡尔达拉斯（CONSTANTINOS KARDARAS）和乔治·维乔斯（GEORGIOS Vichost）这些论文中的价格影响等于其他交易者提交的总需求的斜率。交易者分别或同等地针对其交易对手的价格影响进行交易，形成斜坡博弈；参见[RW15，引理1]和[MR17，命题1]。我们的模型保持了与竞争均衡相似的均衡形式，因为需求族是线性的，并且是形式（2.1）；此外，尽管我们将交易者的策略参数化为单一的控制变量，即弹性，但关键因素是反应，因此均衡条件，考虑了其他交易者的整个需求函数。我们在续集中的主要目标是研究上述线性贝叶斯纳什均衡的存在性和唯一性，并将其与竞争均衡进行比较。偏离竞争性市场结构会降低总交易效用收益。事实上，可以很容易地检查分配（bqi）i∈Iof（1.4）在所有可能的市场清算分配中，使交易方的货币效用之和最大化。由于（1.1）中给出的效用是货币性的，我们可以衡量任何非竞争均衡的风险分担效率，即纳什总效用与竞争均衡之间的差异。在续集中，我们都证实了非竞争均衡中的风险分担，除了特殊情况外，在社会上是无效的。然而，并非每个交易员的能力都会降低；事实上，我们有理由问，在这样一个单薄的市场中，哪个（如果有的话）交易者更喜欢纳什风险分担，而不是以竞争方式平衡的相应市场。

为此，我们比较了两个平衡点的个人效用收益，即差异（3.2）DUi≡ 用户界面（Ei+总部*i、 S- p*i） 纳什均衡下的{z}效用- Ui（Ei+hbqi，S- bpi）{z}，每个i的竞争均衡效用∈ 一、 并询问这是积极的。根据这种表示法，如上所述，非竞争性风险共享的效率定义为sumPi∈IDUi。3.2. 均衡，最多一个交易者的贝塔值大于一。在至多有一个tr ad er的初始beta值大于1的条件下，即（3.3）{i∈ I |βI>1}∈ {0，1}，下一个结果表明存在唯一的线性非竞争平衡。定理3.4。在（3.3）项下，存在定义3.1中所述的唯一纳什均衡。根据（2.3），当交易员的初始市场风险敞口远远高于1时，他们表现为风险中性。正如我们将在下面的命题3.6中所示，这种行为与平衡m有关，使其成为极端行为，当且仅当以下条件成立时：（3.4）Xi∈IδI（1+βI）+≤ 2最大值∈I（δIβI）。我们推测定理3.4在所有情况下都是正确的，尽管我们没有对这一说法的严格证明。瘦风险分担市场中的有效风险规避17当（3.4）失败时，（非唯一的）纳什均衡是非极端的；在这种情况下，鉴于（2.3），以下耦合方程组（3.5）2 +θ*我- θ*iδiθ*iθ*I=1+βI，我∈ I与βI>-1，应该保持，在θ处*我把方程耦合起来。根据（2.3），任何交易员∈ i带βi≤ -1以零弹性最优提交需求函数，得出一个市场中性交易头寸，其中，当一个头寸具有零诱导贝塔时，该头寸称为m市场中性。定理3.4特别指出，当（3.4）失败时，系统（3.5）为任意数量的交易者提供了唯一解。

附录A证明了这一事实，重要的是要注意，当交易者的数量超过两个时，PROOF是建设性的，因此可以用来数值计算平衡量；两个TraderAdmins的情况实际上是一个封闭形式的解决方案，并在后面的§4.1中进行了广泛研究。3.3. 风险中性行为交易员。在定理3.4中建立了纳什均衡的存在性和唯一性之后，我们现在证明了条件（3.4）必然导致极端非竞争均衡。我们从（3.4）的另一个特征开始。引理3.5。条件（3.4）相当于（3.6）βk≥ 1+δkXi∈I \\{k}δI（1+βI）+，对于某些k∈ 一、 此外，（3.6）最多可持有一个交易者k∈ 一、 证明。首先假设（3.6）成立，并将其重写为δkβk≥ δk+π∈I \\{k}δI（1+βI）+。由于βk>1，即1+βk=（1+βk）+，将δkβkon添加到先前不等式的两侧并进行简化，我们得到2δkβk≥圆周率∈IδI（1+βI）+，f从（3.4）开始。相反，（3.4）成立当且仅当2δkβk≥圆周率∈IδI（1+βI）+对一些k保持不变∈ 一、 在这种情况下，βk≥ 0 > -减去δk（1+βk）=δk（1+βk）+我们得到δk（βk- （1）≥圆周率∈I \\{k}δI（1+βI）+，即（3.6）。假设（3.6）为两个交易者持有，比如交易者k∈ I和l∈ I，k 6=l。然后，δk（βk- （1）≥xi∈I \\{k}δI（1+βI）+≥ δl(1 + βl) 和δl（βl- （1）≥xi∈I \\{l}δI（1+βI）+≥ δk（1+βk）。把这些不等式相加-2（δk+δl）≥ 0，这与δk>0和δl>0的事实相矛盾。我们的结论是（3.6）最多可以支持一个交易者。下一个结果给出了极端非竞争平衡的完整特征；特别是，它表明，最多有一个交易者，事实上，正是交易者k∈ （3.6）持有的I在非竞争均衡中可能表现为风险中性。

请注意，我们没有为提案3.6假设（3.3），因为《艾玛3.518》中也不需要（3.3）米夏尔·安索佩洛斯（MICHAIL ANTHROPELOS）、康斯坦丁诺斯·卡达拉斯（CONSTANTINOS KARDARAS）和《乔治·维乔斯》（D GEORGIOS Vichos）提案3.6。极端非竞争平衡（即θ*I=∞) 当且仅当（3.4）或等效（3.6）为真时存在。在这种情况下，我们有θ*k=∞ 对于唯一交易者k∈ Isuch表示（3.6）成立，θ*i=δi（1+βi）+对于i∈ I \\{k}。特别是，前一个是（3.4）有效性下的唯一极端非竞争均衡。证据首先，假设θ为纳什均衡*I=∞ 存在。自#I<∞, 存在k∈ i带θ*k=∞. 根据（2.6），对于任何交易员∈ I \\{k}，它认为θ*i=δi（1+βi）+。因此，对于θ*k=∞ 是交易者k的最佳回应∈ 一、 （2.3）给出βk≥ 1+（1/δk）Pi∈I \\{k}δI（1+βI）+。因此，（3.6）是极端非竞争平衡存在的必要条件。相反，如果（3.6）成立，则定义θ*k=∞ 和θ*i=δi（1+βi）+对于i∈ 从（2.3）和（2.6）可以看出，前面的等式确实是纳什均衡。我们继续讨论，假设（3.6）成立。根据命题3.6和（3.1）中的关系，在极端均衡条件下，交易者k∈ 我承担所有市场风险，自*k=aI- ak和其他交易员交换所有市场风险（即q*i=-ai，为每个人∈ I \\{k}）零成本，因为定价是以风险中性的方式进行的（p*= 0). 特别是交易者k的postNash交易贝塔∈ 我减为1，所有其他交易者成为市场中立者。虽然这种交易不是社会最优的，但参与交易的交易者增加了他们的效用；否则，就不会形成平衡。

S traightforward计算给出了极端平衡时的独立效用收益：Uk（Ek+hq*k、 S- p*i） =英国+（哈克、卡基- haI，CaIi）/2δkandUi（Ei+总部*i、 S- p*i） =ui+hai，Caii/2δi，对于每个i∈ I \\{k}。特别是，（3.2）中极端纳什均衡和竞争均衡之间的效用收益差异等于（3.7）DUk=haI，Cai2δk[λk（2βk- λk）- 1] ，且DUi=haI，Cai2δiλi（2βi- λi），我∈ I \\{k}。接下来是简单的代数，即风险分担效率：=Xi∈IDUi=-haI，Cai2δI1- λkλk。正如预期的那样，当交易者就其提交的需求函数的弹性进行战略性行为时，总效用收益会减少。然而，在非竞争均衡中，个体交易方的效用收益可能更高。Fr om（3.7），我们得出结论，在极端非竞争均衡中，受益于市场减薄的交易方是具有足够高初始市场风险敞口的交易方：对于交易方k∈ 一、 当βk>（1+λk）/2λk和fortraders I时∈ I \\{k}当βI>2λI时，正如简单的例子所示，条件（3.6）不一定意味着βk>（1+λk）/2λk。在特殊的两个小写I={0，1}中，k=0，条件（3.6）等价于β>2- λ、 当λ>1/3时，总是意味着β>1+λ/2λ。在k=0的同一双交易者情况下，条件（3.6）表明β<2λ：在双边均衡中，只有充当风险中性的交易者才能从市场的疲软中受益。瘦风险分担市场中的有效风险规避19上述定量讨论具有以下定性属性。在条件（3.6）下，在非竞争极端均衡交易者k∈ 我减少了一家的市场风险敞口，但向其他交易员支付了零溢价。