非马尔可夫最优停止的离散型逼近

，0.14 S'ERGIO C.BEZERRA，ALBERTO OHASHI，FRANCESCO RUSSO和FRANCYS DE SOUZARemark 4.1。从（4.4）中，我们观察到（4.5）Zkτkj+1（Ak（j+1），Ake（k，T））=Zkτkj+1（Akτkj+1）a.s。如果我们设置Uke（k，T）（Ake（k，T））：=Zke（k，T）（Ake（k，T）），那么（4.5）产生（4.6）Ukj（Akj）=EZkj+1（Akj+1）∨Ukj+1（Akj+1）| Akj, j=e（k，T）- 1.通过观察（4.7）FkTkn=σ（Akn）=FkTkn-1.∨ σ(Tkn，ηkn）=σ（Akn-1.Tkn，ηkn）；n、 k级≥ 1，可以很容易地检查（4.8）Ukj（bkj）=ZSkZkj+1（bkj，skj+1，~ikj+1）∨ bkj的Ukj+1（bkj、skj+1、~ikj+1）νkj+1（dskj+1d ~ikj+1 | bkj）∈ Sjkand j=e（k，T）-1.0，其中νkj+1是（2.9）和定理2.1给出的正则条件概率。在稍微滥用符号的情况下，我们将Zkj+1（bkj，skj+1，~ikj+1）和Ukj+1（bkj，skj+1，~ikj+1）作为实现EZKJ+1（Akj，Tkj+1，ηkj+1）=Zkj+1（Akj+1），Ukj+1（Akj，Tkj+1，ηkj+1）=Ukj+1（Akj+1），对于每个j=e（k，T）- 1.从理论上看，VK和UK都是等价的，因为它们提供了最优停止问题的解决方案。然而，从数值的角度来看，使用连续值比使用值函数更好，因为期望的出现允许我们使用更平滑的函数。这对于获得连续值的具体近似结构至关重要。备注4.2。动态规划原理（3.8）、（3.12）和（4.3）允许我们将统计学习技术应用于一般的非马尔可夫最优停止问题。在这种情况下，X将是Sjkandρkj，e（k，T）o （b^1kj）-对于每个j=0，…，1将扮演γ的角色，e（k，T）- 对于我们的蒙特卡罗方案，获得具体误差估计的一个关键方面是集合的所谓Vapnik-Chervonenkis维数（以下简称VC维数）。

对于不熟悉此概念的读者，我们回顾一下定义。对于给定的>0且丰富的子集a RN，letm（A，）：={B 注册护士；B是有限的，并且一∈ A.b∈ B1/N ka- bk<}我们设置ka的地方-bk=PNi=1 | ai-bi |。基于此数量。我们将N（A）定义为属于m（A，A）的最小子集的基数。设G是定义在某个子集∑上的一致有界实值函数族 Rm。对于每个v=（v，…，vN）∈ ∑N，我们设置G（v）=Ng（v），g（vN）∈注册护士；g级∈ Goso考虑N（，G（v））；v∈ ∑N.现在，对于给定的列表{a，…，an}Σ; n≥ 1，我们认为G会破坏{a，…，an} ∑如果存在r=（r，…，rn）∈ Rn使得每b=（b，…，bn）∈ {0，1}n，存在g∈ G使得对于每个i=1，n g（ai）≥ riif bi=1和g（ai）<riif bi=0。我们最终能够定义nevc（G）=supncard{a，…，an}；{a，…，an}是∑shatter e d by Go的子集。VC维的一个重要性质是VC（E）≤ 实值可测函数的任何有限维向量空间的1+dime E（参见Devore和Lorentz[11]）。这是获得具体近似体系结构的关键。非马尔可夫最优停止问题的离散型近似：第二部分154.2。误差估计。在本节中，我们将介绍上一节中描述的Longstaff-Schwartz型算法的误差估计。通过本节，我们确定了近似架构shkn，m；m=0，e（k，T）-1，必须根据关于连续值平滑度的一些先验信息选择，其中HkN，0 R、 现在，让我们来确定一下。下面，我们使用s标准符号：If F:W→ R是定义在非对称空间W上的实值函数，那么我们表示kF k∞,W=supw∈W | F（W）|。

当没有冲突风险时，我们只写kF k∞.我们设置Akj：=（Akj，…，Ake（k，T）），我们假设akjn和Akjare对于每个j=0，…，是独立的，e（k，T）和N≥ 1、在续集中，我们使用相应的小写符号Akjt来注释随机元素Akjin的确定性类似物，从而akjis是e（k，T）l=jS公司lk（e（k，T）-j+1因素）。以类似的方式e（k，T）l=jS公司lkN（N个因子）将由Akjn表示，对于j=0，e（k，T）。来自Akj，i；i=1，N、 j=0，e（k，T），我们设置Ak（j，i）：=（Akj，i，Ak（j+1），i，Ake（k，T），i）。当然，Akjn可以自然地与Ak（j，1），Ak（j，N）对于j=0，e（k，T）和N≥ 此外，对于ea ch i=1，N、 ak（j，i）表示e（k，T）l=jS公司l当然，Akjn可以用ak（j，1），ak（j，N）.为了用显式误差估计证明Longstaff-Schwartz算法的收敛性，我们需要对给定的k≥ 1： （H1）在Longstaff-Schwartz算法的上下文中，让N≥ 我们假设HkN，jL（Sjk，ρkj），存在νksuch，vc香港，j≤ νk<+∞ 对于每j=1，e（k，T）-1及以上N≥ 2.（H2）存在bk，使得sup{kfk∞; f∈ 香港，j}≤ 黑色<+∞ 对于每j=0，e（k，T）- 1和N≥ 假设（H1-H2）在基于马尔可夫链的Longstaff-Schwartz算法的经典案例中是众所周知的。参见例如Eglo off【12】、Zanger【40、41】和其中的其他参考文献。备注4.3。重要的是要指出，（H1-H2）中的近似架构师ures不必既不是凸的也不是闭的。这种放松并不令人惊讶，正如Zanger所证明的那样，它在基于马尔可夫链的Classicallongstaff-Schwartz算法中起作用。备注4.4。

需要强调的是，我们假设存在一个极小值（3.20），并且存在投影映射π：HkN，j→ L（Sjk，ρkj）πHkN，j（f）=arg ming∈香港，jkg- 1的fkL（Sjk，ρkj）≤ j≤ e（k，T）- 1，N≥ 2和k≥ 1、Zanger[40]在备注5.4中讨论了存在两个最小值的一些条件，例如，HkN，j的紧性。我们观察到，我们可以假设Sjk；1.≤ j≤ e（k，T）它们是紧的，因为控制问题中的所有命中时间（Tkn）e（k，T）n=1必须限制为[0，T]，并且Ikis明显是紧的。在这种情况下，ArzelaAscoli定理为紧凑的建筑空间提供了可读的特征。让我们定义（4.9）Lk=最大值1，k Zkk∞, . . . , kZke（k，T）k∞对于k≥ 1、在续集中，我们设置了cl（k） ：=2（e（k，T）-l+1） 日志e（e（k，T）-l+1), CBkLk：=36（Bk+Lk），其中e是规则r的编号。通过使用Remark3.1，以下引理的证明来自Zanger[40]给出的第26-27页定理5.1的证明，因此我们省略了细节。16 S’ERGIO C.BEZERRA、ALBERTO OHASHI、FRANCESCO RUSSO和FRANCYS DE SOUZALemma 4.1。假设假设（H1-H2）和Lk<+∞ 对于给定的k，fold true≥ 1、我们设置HKN，0=[-Lk，Lk]，然后，对于α>0和l = 0, . . . , e（k，T）- 1，我们有(bUk公司l（·；AklN）- EZkbτkl+1（Akl+1） | Akl= ·L（ρkl)≥ α（4.10）+4 infg∈香港，邮编：，lg级- EZkbτkl+1（Akl+1） | Akl= ·L（ρkl))≤ 6e（cl（k） νk+1）B2νkkL2cl（k） νkk512CBkLk（Bk+Lk）eα2νk（1+cl（k） ）×经验-Nα443CBkLk只要N≥36CBkLkα。这里，根据（3.19）计算bUkr（·；AkrN）。引理4.2。假设假设（H1-H2）成立。然后，对于每个j=0，e（k，T）- 1、Wehavekbukj（·；AkjN）- UkjkL（ρkj）≤ （e（k，T）- j） N个-1/2C（Bk+Lk）（qνkcj（k）log1/2（N）+log1/2（Cj，k））（4.11）+4e（k，T）-1台l=日本脑炎inff公司∈香港，邮编：，lf- E[Zkbτkl+1（Akl+1） | Akl]L（ρkl).这里，Cj，k=C（Cj（k）νk+1）B2νkkL2cj（k）νkkC（黑色+黑色）3νk（1+cj（k）），对于j=0。

，e（k，T）- 1，其中cj（k）=2（e（k，T）- j+1）日志e（e（k，T）- j+1）, C是一个数值常数0<C<∞ 不依赖于（νk，k，Lk，Bk）。此外，E | bV（Ak0N）- Vk |≤ e（k，T）N-1/2C（Bk+Lk）（pνkc（k）log1/2（N）+log1/2（C0，k））（4.12）+4e（k，T）-1台l=1E级inff公司∈香港，邮编：，lf- E[Zkbτkl+1（Akl+1） | Akl]L（ρkl).证据该论点类似于桑戈（Zanger）[40]中提奥·雷姆（Theo-rem）5.1的证明。关键是误差传播估计bUkj（·；akjN）- E【Zkτkj+1（Akj+1）| Akj=·】L（ρkj）（4.13）≤ 2e（k，T）-1Xm=jbUkm（·；akmN）- E[Zkbτkj+1（ak（m+1）N）（Akm+1）| Akm=·]L（ρkj），适用于每个akjN∈e（k，T）l=jS公司lkn其中j=0，e（k，T）- 对于（4.13）的结果，我们应该使用Remark3.1，然后使用Zanger[41]中引理2.2的证明中给出的相同论点。现在，通过调用引理4.1和（4.13），可以以类似于Zanger[40]中定理5.1的证明的方式进行，因此我们宁愿省略细节。引理4.2的一个几乎直接的结果是，我们的Longstaff-Schwartzalgorithm对于稠密近似体系结构的收敛性。非马尔可夫最优停止问题的离散型近似：第二部分17定理4.1。让我们来看看≥ 1、假设假设假设（A1-A2-H1-H2）成立，我们假设建筑空间HkN，jare稠密子集L（ρkj），每个j=1，e（k，T）-1和正整数N≥ 2、然后，对于每个j=0，e（k，T）- 1，我们有（4.14）bUkj（AkjN）- Ukj公司L（ρkj）→ 0和| bVk（Ak0N）- Vk |→ 0几乎可以肯定为N→ ∞. 更重要的是，每k≥ 1个足够大（4.15）的limN→+∞|bVk（Ak0N）- S（0）|=0 a.S.证明。当HkN，jare每个j=1的L（ρkj）的稠密子集，e（k，T）- 1，然后我们将使用估计值（4.10）和基本误差传播（4.13），通过标准Borel-Cantelli变元获得几乎确定的收敛性（4.14）。

根据[30]中的命题3.1，我们知道（4.16）supτ∈Dk0，TEZk（τ∧ Tke（k，T））= supτ∈T（F）EZk（τ∧ Tke（k，T））每k≥ 此外，由于ZK是Z的嵌入离散结构，那么从orem 3.2in【30】中，我们得到了（4.17）E sup0≤t型≤T | Zk（T∧ Tke（k，T））- Z（t）|→ 0as k→ +∞. 然后，（4.15）的证明是（4.14），（4.16），（4.17），三角形线质量和vk=max{Zk（0），Uk（0）}=supτ这一事实的简单组合∈Dk0，TEZk（τ∧ Tke（k，T））= supτ∈T（F）EZk（τ∧Tke（k，T））→ 主管（F）EZ（τ）作为k→ ∞.现在，我们可以通过分离Monte Carlo程序产生的随机误差和回归方法中使用近似体系结构空间产生的近似误差来说明总体误差估计。如第5节所述，当有一些关于连续值规律性的先验信息时，这种类型的估计尤其重要。提案4.1。让我们来看看≥ 1、假设Lk<∞ 和条件（H1-H2）保持正确。Foreach j=0，e（k，T）- 1、我们有EKBUKJ（·；AkjN）- UkjkL（ρkj）≤ 6e（k，T）-jC（Bk+Lk）（pνkcj（k）log1/2（N）+log1/2（Cj，k））N1/2（4.18）+最大值l=je（k，T）-1如果∈香港，邮编：，lf- 英国lL（ρkl)!.此外，18 S’ERGIO C.BEZERRA、ALBERTO OHASHI、FRANCESCO RUSSO和FRANCYS DE SOUZAE | bV（Ak0N）- Vk |≤ 6e（k，T）C（Bk+Lk）（pνkc（k）log1/2（N）+log1/2（C0，k））N1/2（4.19）+最大值l=1.e（k，T）-1如果∈香港，邮编：，lf- 英国lL（ρkl)!.证据记住Remark3.1，从引理4.2和误差传播（4.13）开始，（4.18）和（4.19）的极限遵循Zanger[40]中定理5.6的证明，因此我们省略了细节。备注4.5。在定理4.1和命题4.1中，如果支付Zkn；0≤ n≤ e（k，T）是非负的，我们应该放松L∞Lpmaxn1中的有界性假设（4.9），k zkpplp（ρk），kZke（k，T）kpLp（ρke（k，T））o<∞对于某些p，2<p<∞.

这个论点与Prop的证明完全相似。5.2英寸EGLOFF【12】。为了完整起见，让我们简要介绍一下论点。设Tβ为常用的截断算子，设Ukβ，j；0≤ j≤ e（k，T）是与连续支付过程Tβ（Zkj）相关的连续值；0≤ j≤ e（k，T）。根据备注4.1（见（4.8）），我们有Kukj（Akj）-英国β，j（Akj）kLp=EZkj+1（Akj+1）∨Ukj+1（Akj+1）-TβZkj+1（Akj+1）∨英国β，j+1（Akj+1）| Akjj=e（k，T）时的lp- 1.0.然后，采用与Egloff[12]第5.2条证明中相同的步骤，以及Zanger[40]第15页和第16页讨论中概述的步骤。命题4.1意味着我们应该允许有界νk（N）（作为N的函数）发散asN→ +∞ 只要我们能够控制最大数量（4.20）l=je（k，T）-1如果∈香港，邮编：，lf- 英国lL（ρkl)近似的建筑空间沿时间步长保持一致有界（0≤ j≤e（k，T）-1） 对于每个k≥ 事实上，从近似理论（例如Gyor fi、Kohler、Krzyzak和Walk[18]）中，我们知道如果连续值表现出某种程度的Sobolev型正则性，那么我们可以构建具体的有限维建筑空间来近似值函数。让我们就这一点提供一个更准确的说法。设Pm（r）为所有次多项式的线性空间，最大为r，且实系数为Rm。这是所有项xα的线性组合的空间。xαmmpmi=1αi≤ r、 αi等于任意整数，使得αi≥ 大家都知道（见引理1，费内曼和纽曼[14]第9章）dim（Pm（r））=（r+m）！rm！。然后，vcPm（r）≤ 1+dim（Pm（r））≤ 3mmrm。

稍微滥用符号，当r>0时，我们写epm（r）=Pm(r) 哪里· 表示正数r的整数部分。我们观察到，我们可以假设驱动噪声Akjis限制在一个紧致子集KjofRj（d+1），因为控制问题中的所有命中时间（Tkn）e（k，T）n=1必须限制在[0，T]，并且Ikis明显紧致。此外，根据理论2.1中给出的崩解公式，我们观察到我们始终可以确定C∞bkn7的扩展→ 来自SnktoeSnk的νkn+1（E | bkn）（每E∈ B（Sk）），其中k：=（0+∞)×Br（0）和Br（0）是半径r>1的任意开放球。此外，我们假设非马尔可夫最优停止问题的离散型近似：第二部分19，Zke（k，T）可以从Se（k，T）ktoeSe（k，T）k扩展而来。这一假设并不强，因为在实践中发现的典型示例中，噪声的信号很容易被实数替换，例如随机系数的sde。具体示例见第5节。回想一下，奖励过程的一般形式是Z=F（X），其中X是某种状态过程，它是d维布朗运动的函数。当然，我们假设Z允许有灵魂的离散结构Zk。因为Z是F-ada pted F：∧T→ R必须是非预期的（见（5.2）），其中∧是（2.1）中所述的停止路径的空间。在续集中，WL∞（千焦）通常的Sobo lev空间是否配备标准k·k∞,1，千焦。此外，我们表示kf k∞,Kj：=supx∈Kj | f（x）|。推论4.1。假设（H1-H2）保持t rue，奖励函数F：∧t→ R有界，Lk<+∞ 对于k≥ Sobolev空间W中的连续值UkjareL∞（千焦）对于j=1，e（k，T）- 让我们定义近似架构的序列shkn，j=np∈ Pj（d+1）N1/j（d+1）+2; kpk公司∞,千焦≤ 2kUkjk∞,1，Kjo，HkN，0=[-Lk，Lk]。然后，对于j=0。

，e（k，T）- 1、我们有EKBUKJ（·；AkjN）- UkjkL（ρkj）=O日志（N）N-22+e（k，T）-1..特别是E | bV（Ak0N）- Vk |=O日志（N）N-22+e（k，T）-1..证据由于备注3.1，证明的论点与Egloff【12】中的推论5.5相似。所以我们省略了细节。5、路径相关数据连续值的正则性在这一部分中，我们详细研究了连续值的分析性质；0≤ j≤ e（k，T）-1产生于最优停止问题，其中奖励过程Z=F（X）是路径相关SDE X的函数。UKJI的正则度对于获得推论4.1中描述的超等差估计和具体近似空间至关重要。对于表达式的s蕴涵性，SDE和布朗运动驱动噪声的维数将等于1。让我们介绍一些对我们起重要作用的功能空间。设D（[0，t]；R）是[0，t]上R值c\'adl\'ag路径的线性空间，ωt：=ω（t∧ ·); ω∈ D（[0，T]；R）。这种表示法自然扩展到过程。我们设置（5.1）∧T：={（T，ωT）；T∈ [0，T]；ω∈ D（[0，T]；R）}作为停止路径的spa ce。在续集中，一个函数将只是一个映射G:[0，T]×D（[0，T]；Rn）→ R（t，ω）7→ G（t，ω）。我们赋予∧Twith度量dβ（（t，ω）；（t′，ω′）：=sup0≤u≤T |ω（u∧ t）- ω′（u∧ t′）|+| t- t′|β；0 < β ≤ 因此（∧T，dβ）是一个具有Borel-sigma代数的完备度量空间。如果G是Borel映射且（5.2）G（t，ω）=G（t，ωt），则G是非预期泛函；（t，ω）∈ [0，T]×D（[0，T]；R）。在这种情况下，非预期泛函可以看作是可测映射G：∧T→ R（t，ωt）7→G（t，ω）=G（t，ωt）for（t，ωt）∈ ∧T.20 S'ERGIO C。

BEZERRA、ALBERTO OHASHI、FRANCESCO RUSSO和FRANCYS DE Souzan基本状态过程是以下n维非线性SDE（5.3）dX（t）=α（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dB（t）；0≤ t型≤ T、 给定初始条件X（0）=X∈ R、 SDE的系数将满足以下正则条件：假设I：非预期映射α：∧T→ R和σ：∧T→ R是Lipschitz连续的，即存在一个常数KLip>0，使得|α（t，ωt）- α（t′，ω′t′）|+|σ（t，ωt）- σ（t′，ω′t′）|≤ KLipd1/2（t，ω）；（t′，ω′）对于每个t，t′∈ [0，T]和ω，ω′∈ D（[0，T]；R）。我们可以通过常规的论证很容易地检验SDE（5.3）是否承认一个强大的解决方案，例如E sup0≤t型≤T | X（T）| 2p≤ C（1+| x | 2p）exp（CT），其中x（0）=x，C是一个常数，取决于T>0，p≥ 1，KLip。当F是一个非预期函数F时，最优停止问题的奖励过程由Z（t）=F（t，Xt）给出。我们将在此泛函假设假设II上假设以下假设：奖励过程由Z（t）=F（t，Xt）给出，其中X是由布朗运动驱动的路径依赖de（5.3）。非定常泛函F∧T→ R具有线性生长：存在一个常数C，使得| F（t，ωt）|≤ C（1+sup0≤t型≤对于每个ω，T |ω（T）|）∈ D（[0，T]；R）。此外，F：∧T→ R是连续的，R∧与度量dβ相匹配。可以很容易地看到，在假设II下，嵌入离散结构w.r.t.Z的自然候选值由（5.4）Zk（t）给出=∞Xn=0FTknXkTknTkn≤t<Tkn+1；0≤ t型≤ Twhere Xkis是（5.3）给出的路径相关SDE X的嵌入离散结构。根据Euler-Maruyama格式，存在着X的嵌入离散s结构的自然选择，这在工作中进行了详细研究【29，30】。为了完整性，我们在随机分划{Tkn；k，n上给出了Euler格式的构造≥ 1}.