非马尔可夫最优停止的离散型逼近

Westart Xk（0）：=x我们继续感应Xk（Tkm）：=Xk（Tkm-1) + αTkm公司-1000公里-1.Tkm+σ（Tkm-1000公里-1.Ak，1（Tkm）用于1≤ m级≥ 1、然后我们确定Xk（t）：=P∞l=0Xk（Tkl)11{Tkl≤t<Tkl+1} ；0≤ t型≤ T在假设I-II下，[29，30]表明（5.4）给出的ZK是一个嵌入的离散s结构，用于返回过程Z=F（X），其中re X是路径相关的SDE（5.3）（见[30]中的第5.1项）。非马尔可夫最优停止问题的不精确型近似：第二部分21建立连续值Ukj正则性的顺序；0≤ j≤ e（k，T）- 1与Zk相关，我们需要按路径工作。5.1。路径相关数据元素的路径描述：。为了研究连续值的规律性，我们需要Euler-Maruyama格式的路径表示。最初，我们定义hk：=x，然后我们继续归纳，hkm（bkm）：=hkm-1（黑色-1) + αtkm公司-1，’γkm-1（黑色-1)skm+σtkm公司-1，’γkm-1（黑色-1)kikm；bkm公司∈ Smk，用于m≥ 1，其中γkm-1（黑色-1） （t）：=米-1台l=0hkl（黑色l)11{tkl≤t<tkl+1} ；0≤ t型≤ T、 我们回顾（2.7）中定义的tknis。然后我们确定γk（bk∞)（t） :=∞Xn=0hkn（bkn）11{tkn≤对于bk，t<tkn+1}∞∈ S∞kandγkj（bkj）（t）：=(R)γk（bk∞)（t∧tkj）；0≤ t型≤ T、 j=0，e（k，T）。根据定义，γk∞Ak公司∞(ω)（t） =Xk（t，ω），对于a.aω和每个t∈ [0，T]，其中Ak∞:= {Akn；n≥ 0}. 因此，Zkj（Akj）=Zk（Tkj∧ T）=∞Xn=0F（Tkn，XkTkn）11{Tkn≤Tkj公司∧T<Tkn+1}对于j=0，e（k，T），wher e（5.5）Zkj（bkj）=∞Xn=0F（tkn，γkn（bkn））11{tkn≤tkj公司∧T<tkn+1}；j=e（k，T），0.5.2。

连续值的正则性：我们现在分析连续值的分析性质bkj7→ Ukj（bkj）=EhZkτkj+1（Akτkj+1）Akj=bkji；0≤ j≤ e（k，T）- 1、根据Remark4.1，Ukj（bkj）=ZSkZkj+1（bkj，skj+1，～ikj+1）∨ Ukj+1（bkj、skj+1、~ikj+1）P(Tkj+1，ηkj+1）∈ （dskj+1，dikj+1）| Akj=bkj对于每个bkj∈ Sjk。为了获得连续值的Sobolev型正则性，我们需要奖励函数F和SDE的系数（5.3）具有更多的正则性：假设III：奖励函数F和SDE的系数α和σ是未知的。此外，还存在常数“KLipand”和“F”，例如22 S’ERGIO C.BEZERRA、ALBERTO OHASHI、FRANCESCO RUSSO和FRANCYS DE SOUZA |α（t，ωt）- α（t′，ω′t′）|+|σ（t，ωt）- σ（t′，ω′t′）|≤(R)KLip|t型- t′|+ρ（ωt，ω′t′）和| F（t，ωt）- F（t′，ω′t′）|≤ |F级||t型- t′|+ρ（ωt，ω′t′）; t、 t′型∈ [0，T]，ω，ω′∈ D（[0，T]；R），其中ρ是D（[0，T]；R）上的标准度量，通过ρ（f，g）给出的Skorohod拓扑的基因评级：=infλ∈Kkλ- Ik∞∨ kf公司- g（λ）k∞; f、 g级∈ D（[0，T]；R），其中K是从[0，T]到[0，T]的所有严格递增函数的集合。我们现在可以介绍本节的主要结果。首先，对于Sk的Borelian集E×F，我们将应用强Markov性质得到νkn+1（E×F | bkn）=P{(Tkn+1，ηkn+1）∈ E×F}=ZEfk（x）dx×P{ηk∈ F}其中fk是i.i.d序列的密度（参见Burq和Jones[5]）Tkn；n≥ 1和ηkis a1/2-伯努利变量，该变量独立于Tk。我们观察每个（sk，…，skn）的THAT∈ (0, +∞)n、 我们可以自然地定义Ukn（sk，x，…，skn，xn），用于-r<xi<r；i=1，n、 这是可能的，因为跳跃的符号（▄ik，▄ikn）输入linearlyin hkl; 0≤ n≤ e（k，T）。然后我们写下：=(0, +∞) ×Br（0）× . . .

×(0, +∞) ×Br（0）（n倍笛卡尔积），并且稍微滥用了no-tation，snkw的一般元素仍将由bkn=（sk，x，…，skn，xn）表示。定理5.1。如果假设III成立，则对于每个n=e（k，T）- 1.0，bkn7→ Ukn（bkn）从ESNK到R.Proof是全局Lipschitz连续的。在序列中，C是一个常数，它可以从一行推迟到另一行。根据Remark4.1（见（4.8）），第一步m=e（k，T）- 1 isUkm（bkm）=ZSkZkm+1（bkm，skm+1，xm+1）P(bkm的Tkm+1，ηkm+1）（dskm+1，dxm+1）∈eSmkwhereZkm+1（bkm+1）=F（tkm+1，γkm+1（bkm+1））；如果skm+1≤ T-tkmF（tknT，γknT（bknT））；如果T- tkm<skm+1和Anti是实现tknT的整数（nT<m+1）≤ T<tknT+1每当T- tkm<skm+1。回想一下γm+1（bkm+1）=∞Xn=0hkn（bkn）11{tkn≤t<tkn+1}+hkm+1（bkm+1）11{t≥tkm+1}；0≤ t型≤ T、 如果tkm+1≤ T和γnT（bknT）=nT-1Xj=0hkj（bkj）11{tkj≤t<tkj+1}+hknT（bknT）11{t≥tknT}；0≤ t型≤ T、 如果tkm+1>T。我们将编写非马尔可夫最优停止问题的离散型近似：第二部分23hkm+1（bkm+1）=hkm+1（bkm，skm+1，~ikm+1）=hkm（bkm）+αitkm，(R)γkm（bkm）skm+1+σtkm，(R)γkm（bkm）kxm+1；bkm+1∈eSm+1k。由于平移最终和是平滑操作，因此有必要检查m=2。根据定义，ZSkZk（bk，sk，x）P(Tk，ηk）（dsk，dik）=Z+∞Zk（bk，sk，1）fk（sk）dsk+Z+∞Zk（bk、sk、，-1）fk（sk）dsk其中fk是Tk。为了简化符号，我们设置θk（dsk）=fk（sk）（dsk）。

让我们拿下∈eSkand注意到+∞Zk（bk，sk，1）- Zk（(R)bk，sk，1）θk（dsk）=Z（T-tk）∧（T-(R)tk）Zk（bk，sk，1）- Zk（(R)bk，sk，1）θk（dsk）+Z+∞（T-tk）∧（T-(R)tk）Zk（bk，sk，1）- Zk（(R)bk，sk，1）θk（dsk）我们将证明分为两部分：第1部分：假设III收益率Z（T-tk）∧（T-(R)tk）Zk（bk，sk，1）- Zk（(R)bk，sk，1）θk（dsk）=Z（T-tk）∧（T-(R)tk）高频sk+tk，γk（bk，sk，1）- Fsk+？tk，γk（？bk，sk，1）iθk（dsk）≤Z（T-tk）∧（T-(R)tk）Fsk+tk，γk（bk，sk，1）- Fsk+？tk，γk（？bk，sk，1）θk（dsk）（5.6）≤ |F | Z（T-tk）∧（T-？tk）h？tk-？tk |+ργk（bk，sk，1），γk（bk，sk，1）iθk（dsk），其中γk（bk，sk，1）（t）=Xj=0hkj（bkj）11{tkj≤t<tkj+1}+hk（bk，sk，1）11{sk+tk≤t} ；0≤ t型≤ Tandγk（\'bk，sk，1）（t）=Xj=0hkj（\'bkj）11{tkj≤t<tkj+1}+hk（\'bk，sk，1）11{sk+\'tk≤t} ；0≤ t型≤ T、 Skorohod地形产量（参见He、Wang和Yan【19】中的示例15.11）ργk（bk，sk，1），γk（bk，sk，1）≤ C最大值1≤l≤2 | skl- \'\'skl| ∨ 最大值1≤l≤2 |香港l（(R)黑色l) - 香港l（黑色l)| ∨ |香港（(R)bk，sk，1）- 香港（bk、sk、1）|对于只依赖于T的常数C。回想一下，hk（bk）=x+α（0，x）sk+σ（0，x）kx，hk（\'bk）=x+α（0，x）\'sk+σ（0，x）kxhk（bk）=hk（bk）+αtk，γk（bk）sk+σtk，γk（bk）kx，hk（\'bk）=hk（\'bk）+α？tk，γk（？bk）(R)sk+σ\'tk，γk（\'bk）kx24 S'ERGIO C。

BEZERRA、ALBERTO OHASHI、FRANCESCO RUSSO和FRANCYS DE SOUZAγkl（黑色l)（t）=l-1Xr=0hkr（黑色）11{tkr≤t<tkr+1}+hkl（黑色l)11{tkl≤t} ，γkl（(R)黑色l)（t）=l-1Xr=0hkr（(R)bkr）11{tkr≤t<tkr+1}+香港l（(R)黑色l)11{tkl≤t} andhk（bk，sk，1）=hk（bk）+αtk，γk（bk）sk+σtk，γk（bk）k，hk（\'bk，sk，1）=hk（\'bk）+α\'tk，γk（\'bk）sk+σ\'tk，γk（\'bk）那么，香港（bk）- 香港（\'bk）|≤ |α（0，x）| | sk- (R)sk |+|σ（0，x）| | x-x |和| hk（黑色）- 香港（\'bk）|≤ |香港（bk）- hk（(R)bk）|+sk |α（tk，γk（bk））- α（\'tk，γk（\'bk））|+|α（\'tk，γk（\'bk））| sk- \'sk |+k | x | |σ（tk，γk（bk））- σ（\'tk，γk（\'bk））|+|σ（\'tk，γk（\'bk））| x-x |。同样，香港（bk、sk、1）- 香港（(R)bk，sk，1）|≤ |香港（bk）- hk（(R)bk）|+sk |α（tk，γk（bk））- α（\'tk，γk（\'bk））|+k |σ（tk，γk（bk））- σ（\'tk，γk（\'bk））|。然后，利用假设III，我们得到（5.7）ργk（bk，sk，1），γk（bk，sk，1）≤ C最大值1≤l≤2 | skl- \'\'skl|∨ 最大值1≤l≤2 | xl-x个l|对于依赖于T，k，m，KLip，α（0，x）a和σ（0，x）的常数C。通过将（5.7）插入（5.6）并使用θkis是概率度量的事实，我们得出结论Z（T-tk）∧（T-(R)tk）Zk（bk，sk，1）- Zk（(R)bk，sk，1）θk（dsk）≤ Ckbk公司-(R)bkkR。第2部分：（5.8）Z+∞（T-tk）∧（T-(R)tk）Zk（bk，sk，1）- Zk（(R)bk，sk，1）θk（dsk）=Z（T-tk）∨（T-？tk）（T-tk）∧（T-(R)tk）Zk（bk，sk，1）- Zk（(R)bk，sk，1）θk（dsk）+Z+∞（T-tk）∨（T-(R)tk）Zk（bk，sk，1）- Zk（(R)bk，sk，1）θk（dsk）。由于F的有界性假设，（5.8）右侧的第一项由max1限定≤l≤2 | skl- \'\'skl|. 我们注意到存在一个常数C，使得z+∞（T-tk）∨（T-(R)tk）Zk（bk，sk，1）- Zk（(R)bk，sk，1）θk（dsk）≤ Ckbk公司-\'BKKR每当nT（sk，sk）=nT（\'sk，\'sk）。但只要max1，nT（sk，sk）=nT（\'sk，\'sk）就成立≤l≤2 | skl-\'\'skl|是小的。将第1部分和第2部分相加，我们推断出常数C的存在性，从而Z+∞Zk（bk，sk，1）- Zk（(R)bk，sk，1）θk（dsk）≤ Ckbk-\'BKKR对于每个bk，\'bk∈锿。

同样地，Z+∞Zk（bk、sk、，-1 ) - Zk（(R)bk，sk，-1 )θk（dsk）≤ Ckbk公司-非马尔可夫最优停止问题的\'BKKR离散型近似：第二部分25对于每个bk，\'bk∈eSk。这表明bk7→ 英国（bk）是Lipschitz。第3部分：根据Rema rk 4.1（见（4.8）），我们有UK（bk）=ZSkZk（bk，sk，x）∨ 英国（bk、sk、x）P(Tk，ηk）（dsk，dx）；黑色∈eSkBy使用初等不等式| a∨b-c∨d |≤ |一∨b-一∨d |+| a∨d-c∨d |≤ |b-d |+| a-c |；a、 b、c、d∈ Rand上一步，我们有| Uk（bk）- 英国（\'bk）|≤ZSk公司Zk（bk、sk、x）∨ 英国（bk、sk、x）- Zk（(R)bk，sk，x）∨ 英国（(R)bk、sk、x）P(Tk，ηk）（dsk，dx）≤ Ckbk公司-\'bkkR+ZSkZk（bk、sk、x）- Zk（(R)bk，sk，x）P(Tk，ηk）（dsk，dik）。现在，通过使用我们在前面步骤中所做的相同分析，我们将证明存在一个常数，如thatZSkZk（bk、sk、x）- Zk（(R)bk，sk，x）P(Tk，ηk）（dsk，dik）=Z+∞Zk（bk，sk，1）- Zk（(R)bk，sk，1）θk（dsk）+Z+∞Zk（bk、sk、，-（1）- Zk（(R)bk，sk，-1)θk（dsk）≤ Ckbk公司-\'\'黑色黑色，(R)黑色∈eSk。这使我们能够得出结论。通过将推论4.1和定理5.1相结合，我们得到以下结果。在续集中，Kj=[0，T]×Br（0）× . . . ×[0，T]×Br（0）j=1，…，的j-倍笛卡尔积，e（k，T）- 1、推论5.1。让我们定义近似架构的序列shkn，j=np∈ Pj（d+1）N1/j（d+1）+2; kpk公司∞,千焦≤ 2kUkjk∞,1，Kjo，HkN，0=[-Lk，Lk]，连续值Ukj；0≤ j≤ e（k，T）- 1与（3.14）给出的最优停止问题vkg相关，其中zk是与奖励过程f（X）相关的嵌入离散结构（5.4），其中X是路径相关的SDE（5.3）。假设假设III成立，我们假设k≥ 1、那么，对于j=0，e（k，T）- 1，我们有（5.9）EkbUkj（·；AkjN）- UkjkL（ρkj）≤ O日志（N）N-22+e（k，T）-1..特别是E | bV（Ak0N）- Vk |≤ O日志（N）N-22+e（k，T）-1..证据根据定理m5.1，我们知道Ukj∈ WL∞（千焦）对于j=1，e（k，T）- 1.

然后，建筑空间HkN，j；0≤ j≤ e（k，T）-1它们在N和j中一致有界，因此Bk<∞假设（H2）。假设III产生Lk<+∞ 每k≥ 那么，我们将使用pply推论4.1得到（5.9）。示例5.1。设X为（5.3）中给出的标准过程，其中术语最终时间T=1，严格递减函数Д的离散度k=Д（k）[0，∞) → [0, ∞) （逆ξ）这样的≥1Д（k）<∞. 让我们研究非马尔可夫SDE中可能出现的全局数值误差e=e+e。误差e可以分解为两项之和：第一项（e）（在[30]中进行了研究）是离散型过滤近似误差；第二个（e）是我们在本文中研究的，它与条件期望的数值近似26 S’ERGIO C.BEZERRA、ALBERTO OHASHI、FRANCESCO RUSSO和FRANCYS DE Souza与延拓值相关。我们将[30]中的推论5.1和命题5.1应用于（5.10）E | bV（Ak0N）- Vk |=O日志（N）N-22+e（k，1）-1.,和（5.11）| Vk- S（0）|=O2βk+√kln√k!,对于0<β<1。有了估计值（5.10）和（5.11），我们现在能够推断出在给定精度水平e下恢复最佳值所需的工作量（复杂性）。事实上，让我们fix0<e<1。方程（5.11）允许我们找到与离散化相关的必要步骤数，如下所示。如果0<β≤ 0.2，则2βk=o√kln√k. 我们观察到2βk≤ e<==> k≥ ξ（e2β），根据手头的信息，我们将取k*= ξ（e2β）。本产品（k*, 1） =l^1（k*)M与离散化过程相关的步骤数。例如，如果Д（k）=2-k、 e=0.45，β=0.2，然后e2β=0.135和k*=-自然对数e2βln2=2.88。这会产生e（k*, 1) = 22×2.88 = 55步数。当然，作为e↓ 0，步骤数（k*, （1）↑ +∞, e、 例如，如果e=0.3，则k*= -ln 0.049ln 2=4.35，e（k*, 1） =41 6，依此类推。

对于给定的描述错误0<e<1和k*, 方程式（5.10）允许我们通过E | bV（Ak*0N）- Vk公司*| = O（e）。对于一个状态由分数布朗运动驱动的SDE给出的示例，我们将读者参考文献[30]中的示例5.1。6、最后一点在这项工作中，我们为完全非马尔可夫状态驱动的最优停止时间问题，即不可还原为马尔可夫过程向量的过程，提供了蒙特卡罗算法。通过使用统计学习理论技术，我们给出了一大类基于布朗运动滤波的最优停止时间问题的误差估计。显式边界取决于合适的动态规划算法的连续值的正则性。我们详细分析了基于路径相关SDE的奖励泛函的情况，并讨论了具体的线性结构逼近空间。附录本节专门介绍定理2.1的pro。为了表示简单，我们给出了二维布朗运动的极限，即设d=2。我们从以下技术问题开始。引理7.1。对于每个非负整数n，（j，r）∈ {1, 2} × {-1，1}，a<b和bkn∈ Snk，我们有Tkn+1∈ （a、b）（ηkn+1）=（j，r），Akn=bkno=Rbafk（u+k、 jn（bkn））duR∞k、 jn（bkn）fk（u）du。非马尔可夫最优停止问题的离散型近似：第二部分27证明。让我们fix一个非负整数n，（j，r）∈ {1, 2} × {-1，1}，a<b，bkn=（ikn，sk，…，skn）。让我们表示κj，r（bkn，（a，b））=PnTkn+1∈ （a、b）（ηkn+1）=（j，r），Akn=bkno。核κj，ris是一个正则条件分布，其中Tk。

, TKNHA是一个绝对连续的分布，因此已知（有关详细信息，请参见Ackerman等人[1]中的Tjur[37]和Prop 2.14）κj，r（bkn，（a，b））=跛行→+∞Pn编号Tkn+1∈ （a、b）（ηkn+1）=（j，r），Akn∈ {ikn}×V（1/p），或半径V（1/p）的每个闭合球V（1/p），以sk为中心，skn公司∈ Rn+。Mo reover，（7.1）（ηkn+1）=（j，r），Akn∈ {ikn}×V（1/p）=（ηkn+1）=（j，r），Akn∈ {ikn}×V（1/p），Tk，jj（ikn）+1>Tkn- Tk，jj（ikn）对于每个正整数p。自（sk，…，skn）7→ tkn（sk，…，skn）是连续的，那么我们有κj，r（bkn，（a，b））=PnTkn+1∈ （a、b）（ηkn+1）=（j，r），Akn=bkn，Tk，jj（ikn）+1>k、 因此，κj，r（bkn，（a，b））=PnTk，jj+1∈ （a+k、 jn（黑色），b+k、 jn（bkn））（ηkn+1）=（j，r），Akn=bkn，Tkj（ikn）+1>k、 jn（bkn）o=PnTk，jj+1∈ （a+k、 jn（黑色），b+k、 jn（bkn））Akn=bkn，Tkj（ikn）+1>k、 jn（bkn）w最后一个等式是由于1{Tk，jj（ikn）+1∈（a）+k、 jn（bkn），b+k、 jn（bkn））}与m有条件独立{（ηkn+1）=（j，r）}给定Akn=bkn。一个繁琐但基本的计算量Tk，jj（ikn）+1∈ （a+k、 jn（黑色），b+k、 jn（bkn））Akn=bkn，Tk。jj（ikn）+1>k、 jn（bkn）o=PnTk，jj（ikn）+1∈ （a+k、 jn（黑色），b+k、 jn（bkn））Tk，jj（ikn）+1>k、 总结以上步骤并注意{Tk，jm；m级≥ 1} 与密度fk相等分布，我们得到κj，r（bkn，（a，b））=PnTk，1∈ （a+k、 jn（黑色），b+k、 jn（bkn））oPnTk，1>k、 jn（bkn）o=Zbafku+k、 jn（bkn）杜兹∞k、 jn（bkn）fk（u）duan这就是证明的结论。引理7.2。对于每个非负整数n，j∈ {-1、1}和bkn∈ Snk，我们有（ηkn+1）=（j，1）（ηkn+1）=j，Akn=bkno=Pn（ηkn+1）=（j，-1)（ηkn+1）=j，Akn=bkno=。28 S’ERGIO C.BEZERRA、ALBERTO OHASHI、FRANCESCO RUSSO和FRANCYS DE SOUZAProof。让我们来看看j∈ {-1、1}和bkn∈ Snk。

我们只需要观察（ηkn+1）=（j，1）（ηkn+1）=j，Akn=bkno=PnAk，j（Tk，jj+1）=k（ηkn+1）=j，Akn=bkno=PnAk，j（Tk，jj+1）=-k（ηkn+1）=j，Akn=bkno=Pn（ηkn+1）=（j，-1)（ηkn+1）=j，Akn=bkno=1/2。我们观察到规则条件概率得到了很好的定义，因此（参见[1]中的2.14号提案），PnTkn+1∈ （a、b），（ηkn+1）=（j，r）Akn=bkno=PnTkn+1∈ （a、b）（ηkn+1）=（j，r），Akn=bknoPn（ηkn+1）=（j，r）Akn=bknoandPn（ηkn+1）=（j，r）Akn=bkno=Pn（ηkn+1）=j，（ηkn+1）=（j，r）Akn=bkno=Pn（ηkn+1）=（j，r）（ηkn+1）=j，Akn=bknoPn（ηkn+1）=jAkn=bkno=Pn（ηkn+1）=jAkn=bkno，其中最后一个标识是由于Lemma7.2。因此，引理7.1和7.2 yieldPnTkn+1∈ （a、b），（ηkn+1）=（j，r）Akn=bkno=PnTkn+1∈ （a、b）（ηkn+1）=（j，r），Akn=bknoPn（ηkn+1）=jAkn=bkno=Zbafk公司u+k、 jn公司杜兹∞k、 jnfk（u）duPn编号（ηkn+1）=jAkn=BKNO为了得出结论，我们只需要计算Pn（ηkn+1）=jAkn=bkno。引理7.3。对于每个非负整数n，j∈ {1，2}和bkn∈ Snk，我们有（7.2）Pn（ηkn+1）=j对于d=1和PN，Akn=bkno=1（ηkn+1）=jAkn=bkno=Z-∞Z∞-sfk公司s+t+k、 jn公司fkmin（bkn，j，t）dtdsYλ=1Z+∞k、 λnfk（t）dt; 如果d=2。（7.3）非马尔可夫最优停止问题的离散型近似：第二部分29证明。让我们固定bkn∈ Snkand j公司∈ {1, 2}. 身份（7.2）是显而易见的。