非马尔可夫最优停止的离散型逼近

对于d=2，我们观察到Pn（ηkn+1）=jAkn=bkno=PnTk，jj+1<最小λ6=j{Tk，λλ+1}Akn=bkno=PnTk，jj+1+tk，jj- tk，jj- tkn<最小λ6=j{Tk，λλ+1+Tk，λλ- tk，λλ- tkn}Akn=bkno=PnTk，jj+1- （tkn- tk，jj）<最小λ6=j{Tk，λλ+1- （tkn- tk，λλ）}Akn=bkno=PnTk，jj+1- （tkn- tk，jj）- 最小λ6=j{Tk，λλ+1- （tkn- tk，λλ）}<0Akn=bkno。更准确地说，P（ηkn+1）=jAkn=bkn等于（7.4）PnTk，jj（ikn）+1- k、 jn（bkn）- 最小λ6=j{Tk，λλ（ikn）+1- k、 λn（bkn）}<0Akn=bkno。我们现在观察到∈ {ikn}×V（1/p）o=nAkn∈ {ikn}×V（1/p）o∩Tk，jj（ikn）+1≥ Tkn- Tk，jj（ikn）j=1，2}对于半径为1/p、以sk为中心的每个闭合球V（1/p），skn公司∈ Rn+。因此，[1]中的2.14号提案允许我们声明（7.4）等于（7.5）PnTk，jj（ikn）+1-k、 jn（bkn）-最小λ6=j{Tk，λλ（ikn）+1-k、 λn（bkn）}<0Akn=bkn，∩λ=1{Tk，λλ（ikn）+1≥ k、 λn（bkn）}o。我们将与引理7.1的证明类似地论证，（7.5）等于'κ（bkn）：=PnTk，jj（ikn）+1-k、 jn（bkn）-最小λ6=j{Tk，λλ（ikn）+1-k、 λn（bkn）}<0∩λ=1{Tk，λλ（ikn）+1≥ k、 λn（bkn）}o。这表明κ（Akn）是条件期望P的一个版本（ηkn+1）=jAkn公司. 特别地，如果我们表示ηkn=（ηk，…，ηkn），并注意到Tk，jj（(R)ηkn）+1- k、 jn（Akn）- 最小λ6=j{Tk，λλ（(R)ηkn）+1- k、 λn（Akn）}<0o ∩λ=1{Tk，λλ（(R)ηkn）+1≥ k、 λn（Akn）}几乎可以肯定的是，我们实际上可以选择一个版本作为‘κ（bkn）=PnTk，jj（ikn）+1- k、 jn（bkn）- 最小λ6=j{Tk，λλ（ikn）+1- k、 λn（bkn）}<0oPn∩λ=1{Tk，λλ（ikn）+1≥ k、 λn（bkn）}o；bkn公司∈ Snk。最后，还需要计算PTk，jj（ikn）+1- k、 jn（bkn）- 最小λ6=j{Tk，λλ（ikn）+1- k、 λn（bkn）}<0, 但这是雅可比方法的直接应用Tk，jj（ikn）+1与最小λ6=j无关{Tk，λλ（ikn）+1-k、 λn（bkn）}和这两个随机变量对于每个ybkn都是绝对连续的。我们得出结论。

从引理7.1、7.2和7.3中，我们得出定理2.1的证明。确认。Alberto Ohashi感谢CNPq Bolsa de Produtividadede Pesquisa拨款303443/2018-9的支持。Francesco Russo和Alberto Ohashi承认Math Amsud grant 88887.197425/201 8-00的基金支持。Francys de Souza感谢圣保罗研究基金会（FAPESP）2017/23003-6.30 S'ERGIO C.BEZERRA、ALBERTO OHASHI、FRANCESCO RUSSO和Francys de SOUZAReferences的支持[1]Ackerman、N.L.Cameron、E.F和Daniel M。R、 （2015年）。关于可计算性和分解。arXix:1509.02992。[2] 拜耳，C.、弗里兹，P和Gatheral，J.（2016）。粗略波动下的定价。数量。《金融》，16、6887–904。[3] Belomestny，D.（2013）。通过对偶经验对偶优化求解最优停止问题。安。应用程序。Probab，23，5，1988-2019年。[4] Belomestny，D.、Schoenmakers，J.和Dickmann，F.（2013）。美国类型衍生工具、金融和随机的多级双重方法，17，4717-742。[5] Burq，Z.A.和Jones，O.D.（2008）。第一次通过时布朗运动的模拟。数学计算机。模拟。77, 1, 64–71.[6] Bouchard，B.和Warin，X.《美式期权的蒙特卡罗估值：事实和改进现有方法的新算法》。在金融的数值方法中。波尔多，2010年6月系列：斯普林格数学学报，2012年第12卷，第七期。[7] Carriere，J.（1996年）。使用模拟和非参数回归对期权的早期行权价格进行估值。保险数学。经济学杂志，19，19–30。[8] Chronopoulou，A.和Viens，F.（2012年）。离散和连续时间中具有长记忆的随机波动率模型。《定量金融》，12，4635-649。[9] Cl'ement，E.、Lamberton，D.和Protter，P.（2002年）。美国期权定价方法的最小二乘回归分析。金融斯托赫，6449–471。[10] Dellacherie，C。

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