非马尔可夫最优停止的离散型逼近

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英文标题：
《Discrete-type approximations for non-Markovian optimal stopping
  problems: Part II》
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作者：
S\\\'ergio C. Bezerra, Alberto Ohashi, Francesco Russo and Francys de
  Souza
---
最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this paper, we present a Longstaff-Schwartz-type algorithm for optimal stopping time problems based on the Brownian motion filtration. The algorithm is based on Le\\~ao, Ohashi and Russo and, in contrast to previous works, our methodology applies to optimal stopping problems for fully non-Markovian and non-semimartingale state processes such as functionals of path-dependent stochastic differential equations and fractional Brownian motions. Based on statistical learning theory techniques, we provide overall error estimates in terms of concrete approximation architecture spaces with finite Vapnik-Chervonenkis dimension. Analytical properties of continuation values for path-dependent SDEs and concrete linear architecture approximating spaces are also discussed.
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中文摘要：
本文提出了一种基于布朗运动滤波的Longstaff-Schwartz型最优停止时间算法。该算法基于Le \\~ao、Ohashi和Russo，与之前的工作相比，我们的方法适用于完全非马尔可夫和非半鞅状态过程的最优停止问题，如路径相关随机微分方程和分数布朗运动的泛函。基于统计学习理论技术，我们给出了有限Vapnik-Chervonenkis维数的具体近似体系结构空间的总体误差估计。还讨论了路径相关SDE和具体线性结构近似空间的连续值的分析性质。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Discrete-type_approximations_for_non-Markovian_optimal_stopping_problems:_Part_II.pdf (452.61 KB)

2022-6-1 03:47:38 上传

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关键词：马尔可夫 离散型 Architecture Differential Applications

非马尔可夫最优停止问题的离散型近似：第二部分：ERGIO C.BEZERRA、ALBERTO OHASHI、FRANCESCO RUSSO和FRANC YS DE SOUZAAbstract。在本文中，我们提出了一种基于布朗运动过滤的Longstaff-Schwartz型最优停止时间算法。该算法基于Le▄ao、Ohashiand Russo【30】，与之前的工作相比，我们的方法适用于完全非马尔可夫和非半鞅状态过程的最优停止问题，如路径相关随机微分方程的泛函和分数布朗运动。基于统计学习理论技术，我们提供了具有有限Vapnik-Chervonenkis维数的具体近似体系结构空间的总体误差或估计。还讨论了路径相关SDE和具体线性结构近似空间连续值的分析性质。1、简介最优停止是一种非常流行的随机控制问题，有许多非应用科学的应用。一般的最优停车问题可以表述如下。让(Ohm, F、 P）bea完全概率spac e和let F=（Ft）t≥0be是由ad维标准布朗运动B评级的自然扩增过滤基因，并让Z B e为F适应过程。对于给定的T>0，1 ha s to find（1.1）supτ∈T（F）E[Z（τ）]，其中T（F）表示比较集[0，T]上取值的所有F停止时间集。在Z上的弱可积条件下，众所周知，Z的Snell包络过程（用S表示）是支配Z的类（D）的最小上鞅。此外，S充分刻画了这种特殊情况下的最优停止问题。

更多详细信息，请参见Karatzas和Shreve【23】和La mberton【25】。一个成功的过程S的构造导致了最优停止问题的解决。例如，如果函数g和马尔可夫过程s X的Z=g（X），则s的特征是以g（·）为主的最小过量（超谐）函数V（·）（参见例如Peskir和Shiryaev【33】）。在这种马尔可夫背景下，PDE方法开始发挥作用，以获得与最优停止问题相关的值函数，尤其是在低维情况下。在更高的维度上，一种流行的方法是为马尔可夫状态X上的最优停止问题设计蒙特卡罗方案。关于这一研究主题的文献很多。关于文献概述，我们参考了Bouchardand Warin【6】、K holer【24】和其中的其他参考文献。许多作者在不同的上下文中对最优停车的数值方法进行了广泛的研究。例如，Fina nc文献对美式期权定价的最小二乘回归方法进行了广泛研究。该方法的起源可在Carriere【7】、Tsitsiklis和Van Roy【38】、Long Staff和Schwartz【22】以及Cl'Element、Lamberton和P rotter【9】的著作中找到。基本上，该方法寻求一种计算估值过程中所需的条件期望（所谓的连续值）的方法，如【22，9】所示，直接计算，或通过【38】所示的价值函数间接计算。Egloff【12】通过引入日期：2019年12月5日，1991年数学学科分类，取得了重大进步。初级：93E20；次要：60H30。关键词和短语。最优停车；随机最优控制；蒙特卡罗方法。2 S'ERGIO C。

BEZERRA、ALBERTO OHASHI、FRANCESCO RUSSO和FRANCYS DE SOUZAdynamic前瞻算法，其中包括Tsitik lis Van Roy和Long Staff-Schwartz算法作为特殊情况。EGLOFF【12】中的关键假设要求ar体系结构近似集（设计用于逼近连续值）是闭合的、凸的，且一致有界于有限的Vapnik-Chervonenkis维数（VC维数）。后来，Zanger[40，41，42]通过采用非线性近似建筑空间，而不一定是凸的和闭合的，给出了更一般的结果。Gramacy和Ludkovski【17】引入了顺序设计方案，以确定潜在的最佳停止边界。参见Hu和Ludkovski【20】，了解一般响应曲面的排名。我们还提请注意基于所谓的最优stopping问题的对偶方法（见Rogers[35]）的数值方法。在这个方向上，参见Belomestny[3]和Belomestny、Schoenmakers和Dickmann[4]以及其中的其他参考文献。所有这些工作中的共同假设是底层状态奖励过程的马尔可夫性，它允许我们在动态规划算法中处理连续值。在这项工作中，我们提出了一个蒙特卡罗方案，该方案专门用于解决形式（1.1）的最优停止问题，其中奖励过程（1.2）Z=F（X）是一般连续过程X的路径依赖函数，该过程适用于布朗过滤F。本文的主要贡献是为完全非马尔可夫状态X开发了一个可行的Longsta ff-Schwartztype算法。

我们特别感兴趣的是当X不能简化为马尔可夫过程的向量，而F可能依赖于X的整个路径时的情形。在如上所述的过去两次设计中，对马尔可夫状态驱动的最优停止问题的蒙特卡罗方案进行了深入研究，但据我们所知，尚未对路径依赖的情况进行具体和彻底的分析。尤其是r，对于真正的非马尔可夫系统而言，缺乏结果，其中状态X无法转化为阿马尔科夫过程，要么是因为它将以有限维动力学结束，要么是因为缺乏可观测性。本文试图缩小这一差距，至少在基本过滤由布朗运动产生的特殊情况下，即我们被限制在连续状态过程中，而不存在跳跃。写在形式（1.2）的非马尔可夫奖励过程上的最优停止问题（1.1）出现在许多上下文和应用中。金融领域出现了一个重要案例。例如，对于美国风格的期权，在风险中性措施下，在贴现预期收益的一大范围内，价格是最高的。为了计算（1.1），必须遵循动态规划原理，条件期望的可行数值方案在美式期权定价中起着关键作用。在经典的马尔可夫案例中，有很多方法可用（参见Bouchard和Warin[6]）。在整个资产价格路径上存在随机波动或波动结构的情况下，资产价格过程变为非马尔可夫过程，这使得数值分析更加困难。

克服随机波动率模型中缺乏马尔可夫性的一个典型方法是假设波动率变量是完全可观测的，或者至少可以从隐含波动率表面一致估计。还可以采用基于非线性滤波和隐马尔可夫过程技术的更复杂方法。在这个方向上，参见例如Rambharat和Brockwell【34】、Ludkovski【31】、Song、Liang和Liu【36】、Ye和Zhou【39】以及其中的其他参考文献。在更复杂的情况下，即使假设存在可观测的波动性结构，也无法将问题（1.1）简化为马尔可夫情形，而不增加大量的自由度。当波动性是分馏布朗运动BHA的函数时，就会出现这种现象，如拜耳、弗里兹和Gatheral【2】、Gatheral【16】、Chronop Oulou和Viens【8】、Forde和Z hang【15】以及其中的其他参考文献中所述。此外，由于分数布朗运动对于H 6=1/2既不是半鞅也不是马尔可夫过程，因此aMonte Carlo方法的具体发展是一项非常不平凡的任务。非马尔可夫最优停止问题的离散型近似：第二部分3在这项工作中，我们提出了一个蒙特卡罗方案，该方案适用于相当多的状态，包括路径依赖随机微分方程（以下简称SDEs）的路径依赖支付泛函、随机波动率和其他由布朗运动驱动的非马尔可夫系统。这项工作中设计的蒙特卡罗方案是基于Le▄ao和Ohashi【26，27】、Le▄ao、Ohashi和Simas【28】以及Le▄ao、Ohashi和Russo【30】开发的方法。在Le▄ao、Ohashi和Russo【30】中，作者提出了一种离散化方法，该方法产生了一种系统的方法来逼近基于过滤F的完全非马尔可夫最优停止问题。

哲学界认为超马丁盖尔-斯奈尔包络（t）=ess supt∈Tt（F）EZ（τ）| Ft; 0≤ t型≤ t基于连续的回归过程，Z被视为布朗运动B的非预期功能基因，即Z=Z（B）。与马尔可夫最优停止回归方法的标准文献相反，在我们的方法中，要分析的相关结构是状态噪声B，因此，过程Z被解释为一个简单的函数，将B“转移”到系统中。因此，底层状态空间是有限维的。通过使用【28，30】开发的技术，我们可以通过（1.3）Akn生成的适当离散时间滤波来降低布朗噪声的维数：=Tk，ηk，Tkn，ηkn; 1.≤ n≤ e（k，T），其中（Tkn）k，n≥1是一个具有显式密度函数的合适的停止时间族（参见Burqand Jones[5]和Milstein and Tretyakov[3 2]），ηKi是一个离散随机变量，它对时间i=1时合适的近似鞅的符号和跳跃坐标进行编码，e（k，T），e（k，T）：=dT-2公里 对所需的周期数进行编码，以覆盖给定间隔[0，T]上给定序列选择k的最佳停止问题（1.1）↓ 0作为k→ +∞. 定理2.1给出了（1.3）的转移概率的闭式表达式，因此从计算角度来看，离散化过程是可行的（尽管在高维设置中）。RNI上的usualMarkov链态动力学X替换为{Aki；1≤ 我≤ e（k，T）}在高维状态空间×。×Se（k，T）- 折叠笛卡尔积其中S：=（0+∞) ×I andI：=n（x，…，xd）；x个l∈ {-1, 0, 1} l ∈ {1, . . .

，d}和dxj=1 | xj |=1o。信息集{Aki；1≤ 我≤ e（k，T）}目前，我们为奖励过程Z设计了一种我们称之为嵌入离散结构（见定义3.1）。正如著作[28，29，30]所示，这种结构存在于对Z的较弱正则性假设下，例如路径连续性和轻度可积性假设。然而，我们还记得，该方法要求“用户”提供特定的bes结构，该结构适合于分析手头的给定状态X。一旦为（1.2）确定了结构，定理4.1表明，与原语状态变量Ak相关的Longstaff-Schwartz型算法会随着模拟路径数N和离散化水平k的增加而收敛到最佳值s（0）。命题4.1和推论4.1针对与给定嵌入离散结构w.r.t.Z.上的Snell包络型过程相关的最优停止问题，提供Longstaff-Schwartz型算法的误差估计，以证明Monte Carlo格式具有显式误差估计的收敛性，我们利用了最初由Egloff【12、13】和Zanger【40、41、42】基于马尔可夫链近似的马尔可夫差异非常成功地采用的统计学习理论技术。我们证明了4 S'ERGIO C.BEZERRA、ALBERTO OHASHI、FRANCESCO RUSSO和FRANCYS DE Souza Zanger[40、41、42]所采用的sa me哲学可用于证明与奖励类别Z=f（X）相关的Longsta off Schwartz型算法的收敛性，其中X是一个Rn值的f适应连续过程。利用统计学习理论技术，我们得到了由k编码的每个离散化水平k的精确误差估计（w.r.t.N）。

与经典马尔可夫情形类似，与我们的反向动态编程方程相关的连续值的规律性对总体误差估计起着关键作用。定理5.1给出了由布朗运动驱动的非马尔可夫路径依赖的SDE X组成的奖励Z的一个具体示例的连续值的Sobolevtype正则性。重要的是要强调，本文设计的数值方案是计算最优值（1.1）。换言之，观察员能够在整个时间段[0，T]内跟踪控制问题（例如Americanoption），而不仅仅是在给定的一组运动离散时间T<…<tn（例如百慕大选项样式）。我们指出，治疗这个疾病也没有概念上的障碍。本文件组织如下。在第2节中，我们回顾了Leao、Ohashiand Russo[30]中的一些基本对象。在第3节中，我们定义了Longstaff-Schwartz算法。在第4节中，我们讨论了该方法的收敛性和误差估计。在第5节中，我们介绍了具体的线性结构近似空间和与路径相关SDE中出现的最优停止问题相关的连续值的光滑性。附录e ndix部分给出了定理2.1的证明。2、准备工作为了使本文能够独立完成，我们回顾了勒奥、大夏和西马斯【28】和勒奥、大夏和罗斯【30】所使用的基本对象。为了完整性，我们在这里提供了本文中使用的基本对象列表。在这项工作中，我们将研究二维布朗运动B={B。

，Bd}在通常的随机基上(Ohm, F、 P），其中Ohm是空间C（[0+∞); Rd）：={f:[0+∞) → Rdcontinuous}，具有紧区间上一致收敛的常见拓扑，P是紧区间上的维纳测度Ohm 使得P{B（0）=0}=1，F：=（Ft）t≥0是布朗运动产生的自然过滤的通常P-增强。对于固定的正序列ksuch thatPk≥1k<+∞ 对于每个j=1，d、 我们定义k，j：=0 a.s.，并设置（2.1）Tk，jn：=infTk，jn-1<t<∞; |Bj（t）- Bj（Tk，jn-1） |=k, n≥ 1、对于每个j∈ {1，…，d}，族（Tk，jn）n≥0是F停止时间的序列，强Markovproperty表示{Tk，jn- Tk，jn-1.n≥ 1} 是一个i.i.d.序列，其分布与Tk，j相同。此外，Tk，jis是一个绝对连续的随机变量（见Burq和Jones[5]）。根据这组停止时间，我们将Ak：=（Ak，1，…，Ak，d）定义为d维逐步过程，其成分由（2.2）Ak，j（t）给出：=∞Xn=1kσk，jn{Tk，jn≤t} ；t型≥ 0，其中（2.3）σk，jn：=1.如果Bj（Tk，jn）- Bj（Tk，jn-1) > 0-1.如果Bj（Tk，jn）- Bj（Tk，jn-1） <0，对于k，n≥ 1和j=1，d、 设Fk，j：={Fk，jt；t≥ 0}是由{Ak，j（t）；t生成的自然过滤≥ 0 }. 人们应该注意到，Fk，jis是离散型过滤（参见He，Wang a and Yan[19]中的第4节（第11章）和第5节（第5章）），即非马尔可夫最优停止问题的离散型近似：第二部分5Fk，jt=n∞[l=0天l∩{Tk，jl≤ t<Tk，jl+1} ；Dl∈ Fk、jTk、jl对于l ≥ 0o，t≥ 0，其中Fk，j={Ohm, } 对于m，Fk，jTk，jm=σ（Tk，j，…，Tk，jm，σk，j，…，σk，jm）≥ 1和j=1，d、 从He，Wang和Yan【19】中的5.56开始，我们知道FK，jTk，jm∩Tk，jm≤ t<Tk，jm+1= Fk、jt∩Tk，jm≤ t<Tk，jm+1,每m≥ 0且j=1，d、 在这种情况下，Fk、jis是Jacod a ndShiryaev意义上的跳跃过滤【21】。