具有不连续两级上限的美式期权

这一事实意味着期权定价公式中存在一个当地时间点（邱（2015）对美国cappedstrangle期权得出了类似的结果）。图2显示了美国上限期权价格CA，L（S，0）和常数上限。可以清楚地看到，当地时间期限带来了巨大的价值。定理2.3。美式封顶期权的价格CA，L（S，t）isCA，L（S，t）=CE，L（S，t）+r（L-K） Et公司中兴通讯-r（u-t） {苏≥五十} 杜邦（2.11）+Et中兴通讯-r（u-t） （δSu-rK）1{B（u）≤苏≤五十} 杜邦+Et公司中兴通讯-r（u-t） CA，LS（L-, u） dlLu公司对于t∈ [T，T]和S>0，其中lL=(lLt）t∈[T，T]是进程在L处等待的本地时间lLt=Q- limε↓02εZtT{L-ε<Su<L+ε}d hSiu。（2.12）证明。首先，让我们定义=（S、t）∈ R+×[T，T）：S<BL，2（T）DL=（S、t）∈ R+×[T，T）：S>LDL=（S、t）∈ R+×[t*∨ T、 T）]：BL，2（T）=B（T）<S<L其中，CLI是连续集，DL、DL是练习区域的两部分。我们还可以确定当地时间过程lBL，2=(lBL，2t）t∈[T，T]和lB=(lBt）t∈[t*∨T、 T]在BL上，2在【T，T】上，B在【T】上*∨ T、 T]，分别，lBL，2t=Q- limε↓02εZtT{BL，2（u）-ε<Su<BL，2（u）+ε>d hSiulBt=Q- limε↓02εZtt*∨T{B（u）-ε<Su<B（u）+ε}d hSiu。现在，我们验证了CA，Land BL，2满足局部时空曲线公式的条件（Peskir（2005），见定理3.1和备注3.2）。

实际上，（i）CA，Lis C1,2inCL（通过强马尔可夫性质），并且在DLand DL中都是平滑的；（ii）BL，2和Lare连续且有界变化，因为前者是非递增的，后者是恒定阈值；（iii）对于任何t，Q（Xt=BL，2（t））=0且Q（Xt=L）=0∈ [T，T]因为X是GBMP；（iv）CA，Lt+LSCA，L-rCA、Lis在CL中局部有界∪ DL∪ DLas在CL中为零，as CA，L（S，t）=L- K在dL和CA中，L（S，t）=S- DL中的K；（v） CA、Lis分别在CL、DL和DL上凸；（vi）t 7→ CA，LS（t，L+）=0和t 7→ CA，LS（t，BL，2（t）-) 在[T，T]上连续（后者因CA，Lin-CL的C1,2-性质而成立）；（七）t 7→ CA，LS（t，L-) = 1在[t]上连续*∨ T、 T）]。然后我们可以用Peskir公式计算e-r（T-t） CA，L（ST，t），意味着-r（T-t） CA，L（ST，t）（2.13）=CA，L（S，t）+ZTte-r（u-t）CA，Lt+LSCA，L-rCA，L（Su，u）du+MT+ZTte-r（u-t）CA，LS（Su+，u）- CA，LS（Su-, u）{Su=BL，2（u）}dlBL，2u+ZTt*∨te公司-r（u-t）CA，LS（Su+，u）- CA，LS（Su-, u）{Su=L}dlLu=CA，L（S，t）+MT- r（L-K） 中兴通讯-r（u-t） {苏≥五十} du+ZTte-r（u-t） （rK）-δSu）1{B（u）≤苏≤五十} du+Zt*∨tte公司-r（u-t）CA，LS（Su+，u）- CA，LS（Su-, u）{Su=L}dlLu+ZTt*∨te公司-r（u-t）CA，LS（Su+，u）- CA，LS（Su-, u）{Su=B（u）}dlBu+ZTt*∨te公司-r（u-t）CA，LS（Su+，u）- CA，LS（Su-, u）{Su=L}dlLu=CA，L（S，t）+MT- r（L-K） 中兴通讯-r（u-t） {苏≥五十} Du图3。该图绘制了左侧导数CA，LS（L-, t） 加利福尼亚州，拉丁美洲或拉丁美洲∈ [0，T）。参数集为T=4，K=1，L=1.39，r=0.1，δ=0.1，σ=0.3。+ZTte-r（u-t） （rK）-δSu）1{B（u）≤苏≤五十} 杜邦-中兴通讯-r（u-t） CA，LS（L-, u） dl其中M=（Mt）t≥这是鞅部分，我们用的是CA，Lt+LSCA，L-rCA，L=0，包括；CA，L（S，t）=L-K在dL和CA中，L（S，t）=S-DL中的K；拆分本地时间项w.r.tlBL，2分为两部分；B on[t]处的光滑条件*∨ T、 T]；最后，CA，LS（L+，·）=0。

现在，在获取期望值Et后，使用M的可选抽样theorem，重新排列术语，并注意到CA，L（S，T）=（S∧ L- K） +对于allS>0，我们得到（2.11）。备注2.4。利用当地时间的定义和简单的计算，可以得出（2.14）dEtlLu公司= φ-日志（长/秒）-（r）-δ-σ） （u）-t） σ√u-t型σL√u- TDU此处Д（z）=√2πe-zis是标准正态律的概率密度函数，因此（2.11）中的最后一项可以通过在其中插入期望值来重写，使其成为关于预期局部时间ztte的s aLebesgue Stieltjes积分-r（u-t） CA，LS（L-, u） ^1-日志（长/秒）-（r）-δ-σ） （u）-t） σ√u-t型σL√u- tdu。备注2.5。我们注意到，CA，Lis的公式（2.11）是隐式的，需要了解CA，LS（L-, u） ，可根据u的公式（2.9）进行估算∈ [T，T*) 由CA给出，LS（L-, u） =1 f或u∈ [t*, T） （见图3）。这种计算CA，Lwas的方法非常有效，因为它不在全局范围内使用f o rmula（2.9），而只在L以下使用f o rmula（2.9）来估计左导数CA，LS（L-, u） 。备注2.6。如果我们拿t≥ [t*∨ T、 T]和S=BL，2（T）in（2.11），然后StraightForward操作表明BL，2求解以下积分方程BL，2（T）- K=CE（BL，2（t），t）+Et中兴通讯-r（u-t） （δSu-rK）1{Su≥BL，2（u）}du开[关]*∨T、 其中CEI是相应的欧洲无上限看涨期权的价格。我们注意到，该积分方程与美国未分配调用边界的积分方程完全相同。这并不奇怪，因为我们从定理2.1中知道，bl，2=B，on[t*∨T、 T）]。因此，定理2.3为这一事实提供了另一种证明，Broadie和Detemple（1995）对此进行了验证。在下一节中，我们将讨论区间[0，T]。3.

主要结果本节包含论文的主要结果定理3.1，它描述了所有感兴趣的情况下区间[0，T]上的最优行使策略。第4-6节给出了完整的细节、证明和期权定价公式。定理3.1。（i） 如果L<min（L，B（T）），则（2.3）中的最佳练习时间由（3.1）τ给出*（t） =inf{u≥ t：（苏，u）∈ E}∧ t对于t∈ [0，T），其中运动区域E=E∪ 两个不相交区域的经济体=（S、t）∈ R+×0，t: L≤ S≤ BL，1（t）（3.2）E=（S、t）∈ R+×【T，T】：S≥ BL，2（t）（3.3）对于so me t∈ [0，T）（在下一节中规定）。行使边界BL=（BL，1（T））T∈[0，t]表示为BL，1（t）=L表示t∈ [T，T]其中0≤ T≤ 这也将在下一节中描述，在区间[0，T]上，边界BL，1求解积分方程（3.4）L- K=CE，L（BL，1（t），t）+∏（BL，1（t），t；BL，1（·））受边界条件BL，1（T）约束-) = 五十、 其中，（4.23）和（4.24）分别给出了函数s CE、L（s，t）和∏（s，t；BL，1（·））。此外，如果（3.5）t≡ T-rlog（（L- K） /（L- K） （）≥ 0当BL时，1（t）=+∞ 对于t∈ [0，t]和BL，1（t）<+∞ 对于t∈ （t，t），（ii）如果B（t）≤ L<L，则（2.3）中的最佳运动时间由（3.6）τ给出*（t） =inf{u≥ t：（苏，u）∈ E}∧ t对于t∈ [0，T），其中运动区域E=E∪ E的经济阻力=（S、t）∈ R+×[0，T）：L≤ S≤ BL，1（t）(3.7)∪（S、t）∈ R+×[t*, T） ：B（T）≤ S≤ LE类=（S、t）∈ R+×【T，T】：S≥ B（t）.（3.8）运动边界BL=（BL，1（t））t∈[0，T）表示为BL，1（T）=L表示T∈ [T，T]其中0≤ T<T（第5节规定），在区间[0，T]上，边界BL，1求解积分方程l- K=CE，L（BL，1（t），t）+∏（BL，1（t），t；BL，1（·））符合边界条件BL，1（T-) = 五十、 式中，（5.12）和（5.13）分别给出了CE、L（S，t）和∏（S，t；BL，1（·））。

此外，如果t≡ T-rlog（（L-K） /（L-K） （）≥ 0，则BL，1（t）=+∞ 对于t∈ [0，t]和BL，1（t）<+∞ 对于t∈ （t，t）。（iii）如果L>Land cap保持连续，则（2.3）中的最佳运动时间由（3.9）τ给出*（t） =inf{u≥ t：（苏，u）∈ E}∧ t对于t∈ [0，T），其中运动区域为（3.10）E=（S、t）∈ R+×[0，T]：S≥ BL，1（t）∪（S、t）∈ R+×（T，T）：S≥ B（t）∧ L.最佳运动边界BL，1=（BL，1（t））t∈[0，T]在[0，T]上递减且连续，其特征是积分方程bl，1（T）的解∧ L- K=CE，L（BL，1（t），t）+∏（BL，1（t），t；BL，1（·））（3.11）表示t∈ [0，T）根据边界条件BL，1（T-) = 最大值（rK/δ，L∧ B（T）），其中函数CE、L（S，T）和∏（S，T；BL，1（·））分别在（6.10）和（6.11）中给出。Tis BL处的边界值，1（T）=L∧ B（T）。定理3.1表明，[0，T]上的最佳行使区域的结构取决于T处无上限期权边界B（T）的上限成分L和Land的相对位置。第一种情况是当L<L∧B（T）。在本例中，exerciseregion涉及时间0≤ t型∨ 0≤ T≤ t<t。在时间间隔（t，t）内，即时运动总是次优的：（S，t）/∈ E代表所有S∈ R+和t∈ （t，t）。在[T，T]中，沿着S=L的直线进行即时运动是最佳的：对于T∈ [T，T]，（S，T）∈ Eif且仅当S=L.In（t，t）时，在边界LandBL，1之间的区域内是最佳的=BL，1（t）t型∈（t，t）：对于t∈ （t，t），（S，t）∈ Eif且仅当L≤ S≤ BL，1（t）。最后，在[0，t]中，最好是在上限L以上运动：对于t∈ [0，t），（S，t）∈ Eif且仅当S≥ 五十、 运动区域最值得注意的方面是，它分为两部分EAN和E，由一个区域{（S，t）：S分隔∈ R+，t∈ （t，t）}，其中最好继续。

图6显示了运动区域E=E∪ E和这种情况下的时间（t，t，t）。第二种情况是B（T）≤ L<L。在这种情况下，t=t，锻炼区域涉及0的次数≤ t型∨ 0≤ 因此，分隔集合EAN和Ehas的连续子区域消失了。但是运动区域Enow包括集合{（S，t）∈ R+×[t*, T） ：B（T）≤ S≤ 五十} 图9显示了E=E的这种结构∪ E、 最后一种情况是，当L>着陆时，cap保持连续，即在时间T时，capis L（T）=L。在这种情况下，在cap Lfort上方，即时练习总是最佳的∈ [0，T]。此外，存在一个下边界BL=（BL（t））t∈[0，T]这样，如果BL（T），则在（S，T）进行练习是最佳的≤ S≤ 土地t∈ [0，T]。图10显示了这种情况下的E。运动区域各组成部分的直觉可提供如下。出现在（i）和（ii）中的时间t是方程的唯一解-r（T-t） （L）- K） =L- K如果t≥ 0，那么这个方程的左边是t处的值∈ [0，T]在尽可能早的日期T收到合同的最大付款。在T之前的时间T，立即执行超过上限的付款- K>e-r（T-t） （L）- K） 因此，不能被任何等待政策所支配。在案例（i）中起主要作用的时间t由等待直到跳转时间tb的策略确定，然后再决定是否锻炼。该特定等待政策的价值是到期日为t时美国上限看涨期权价格t的欧洲复合期权的Cw（S，t）值。当L<min（L，B（t）），则（L，t）的支付为CA，L（L，t）>L- K因此，即时运动在（L，T）点上是次优的。

由于基础资产价格的贴现和不确定性，沿上限L向后移动，复合合同的价值Cw（L，t）不断变化，但即时行权支付保持不变。时间是[t，t]中的最大时间，此时Cw（L，t）=L- K对于任何t∈ （t，t），Cw（L，t）>L- K和（L，t）的即时运动占主导地位。此外，因为Cw（S，t）是S的增函数，所以Cw（S，t）>L- K和（S，t）时的即时运动也在S>Landt时占主导地位∈ （t，t）。这项即时演习主要针对S<陆地t∈ （t，t）源自这样一个事实，即此时不能行使具有上限土地到期日2的上限期权。时间是【t，t】中最适合沿上限行使的时间。由于Cw（·，tt）严格增加，且上限期权的行权收益不会在上限以上发生变化，Cw（S，t）>L- K代表S>陆地即时运动对于S>L仍然是次优的at（S，t）。对于上述原因，对于S<L，它也是次优的at（S，t）。当一个人沿着贴图在时间上进一步向后移动时，S=L处的刀锋属性持续存在。时间t标志着这段距离的结束。对于t<t的患者，在上限以上立即运动是最佳的，尤其是对于L≤ S≤ BL，1（t），其中BL，1=BL，1（t）t型∈（t，t）是非内生边界。案例（iii）的直觉如下。当我们施加cap的左连续性时，我们知道（T，T）的最佳运动策略。在T=T时，我们比较即时支付∧ L- K和延续值，即有上限期权的价格CA，L（S，T）（有上限L）。显然，当且仅当S高于临界阈值bL，1（T）=L时，立即锻炼才是最佳的∧B（T）。然后需要理解[0，T]上的练习策略。高于Lis的即时练习总是最佳的，因为L-K是可以获得的最大报酬。

在这种情况下，由于上限不增加，因此在上限下方存在一个边界BL，1on【0，T】，因此，如果BL，1（T），则最好使用该边界≤ S≤ 五十、 此外，如果S<rK/δ，则不应运动∧ 五十、 因为在这个地区，等待锻炼对当地的好处是积极的。在T附近，在≥ 最大值（rK/δ，L∧ B（T）），因为这些收益为负值。因此，在Tif之前，只有当rK/δ<L时，土地下方才有一部分运动区。备注3.2。（无股息资产）如果δ=0，则提前行使美国无息看涨期权永远不是最佳选择，即B=+∞ 在[0，T]上。这立即排除了第二种情况。[T，T]上的运动区域只是L上的集合。在第一种和第三种情况下，[0，T]的结构具有上述形式。条件δ=0并不简单。总之，这种情况下唯一的定性变化是[T，T]上的运动边界是常数上限L。备注3.3。（固定上限）如果L=L，则合同简单地成为Americancapped期权，单上限L=L=Lfro m Broadie and Detemple（1995）（见第2节的结果）。4、如果L<min（L，B（T）），在本节中，我们假设L<B（T），或等效地，T*≥ T、 目的是建立上述定理3.1（i）的陈述。本案例的完整分析分为以下步骤1-8。定理3.1（i）的证明。让我们定义函数cw（S，t）≡ Et公司e-r（T-t） CA，L（ST，t）= 埃斯-r（τ*（T）-t）Sτ*（T）∧ L- K+对于t<Tand S>0，其中τ*（T） 在（2.6）和第二等式中，我们使用了OREM 2.1。Cw（S，t）函数是一种欧洲衍生品的价值，到期日和支付金额由美国上限认购期权价格和上限L给出。

它也可以被视为一种美国上限看涨期权，延迟行权条款限制在【T，T】。对于原始封顶期权（2.3）的持有人而言，Cw（S，t）是保单的价值，它包括在决定行使或不行使之前至少等待t。这种等待策略总是可行的，它的值为CA，L提供了一个下限。通过使用Ito-Tanaka公式计算CA，Lwe可以重写CwasCw（S，t）=Ete-r（T-t） CA，L（ST，t）（4.1）=CA，L（S，t）- r（L- K） Et公司中兴通讯-r（u-t） {苏≥五十） }du-Et公司中兴通讯-r（u-t） CA，LS（L-, u） dlLu公司=CE，L（S，t）+r（L- K） Et公司中兴通讯-r（u-t） {苏≥五十） }du+ Et公司中兴通讯-r（u-t） （δSu-rK）1{B（u）≤苏≤五十} 杜邦+Et公司中兴通讯-r（u-t） CA，LS（L-, u） dlLu公司对于S>0和t<t，我们使用（2.14）计算dEt[lLu]，导数CA，LS（L-, u） 使用（2.9）和Et[1{Su≥五十} ]，Et[1{B（u）≤苏≤五十} ]，Et[Su{B（u）≤苏≤五十} ]可以用标准正态律的累积分布函数Φ（·）来表示。当L<B（T），我们得到Cw（L，T）>L- K那么唯一解Bw（T）到（4.2）Cw（Bw（T），T）=L- Kis使得Bw（T）<L。同样，对于T∈ [0，T），设Bw（T）是（4.3）Cw（Bw（T），T）=L的唯一解- Kand注意到Cw（S，t）>L- K表示S>Bw（t）Cw（S，t）<L- K表示S<Bw（t）。边界Bw=（Bw（t））t∈[0，T]表示与上述CW相关联的等待策略具有与L相同值的连续曲线-K，这是对[0，T]的最大可能影响。下面的结果是一个明显的结果。引理4.1。如果T∈ [0，T]和S>Bw（T）或S<L.Proof。如果S>Bw（t），则Cw（S，t）>L-K≥ S∧L-K意味着立即锻炼严格受等待时间t再考虑锻炼的政策支配。

如果S<L，则存在期限较短的美式无上限看涨期权CA（S，t；t）≤ 和相应的最佳运动边界B，如S<B（t）<Land thusCA（S，t；t）>S-K由于该政策对有上限期权持有人是可行的，且支付金额与无上限期权的支付金额相匹配，因此CA，L（S，t）≥ CA（S，t；t）>S-K因此，对于最初的美国上限期权而言，立即行使并不理想。2、让我们定义Bw（t）=Lon[0，t]的最大根（如果存在），否则welet t=0，并注意t<tas Bw（t）<L。还可以定义集（4.4）Dw=（S、t）∈ R+×0，t: L≤ S≤ 最大值（Bw（t），L）表示下边界与上边界最大值（Bw，L）在[0，t]上的区域（见图4）。现在，我们准备进一步深入了解最佳运动区域的结构。图4：。该图绘制了区域Dw（灰色）。点虚线表示上边界Bw。参数集为T=3、T=4、K=1、L=1.3、L=1.39、r=0.1、δ=0.1、σ=0.3。tis值为2.93。定理4.2。（i） 上限看涨期权（2.3）的即时行权区域由两个不相连的子区域E=E组成∪ E其中E 德万德=（S、t）∈ R+×【T，T】：S≥ BL，2（t）.（ii）如果t>0，则子区域Eis位于非空陆地上方。若t=0且Bw（0）=L，则由单点（L，t）组成。如果t=0且Bw（0）<L，则NE= .（三）（长、五）∈ 对于所有v∈ [0，t]。（iv）如果t≡ T-rlog（（L- K） /（L- K） （）≥ 0，然后（S，t）∈ 对于任何t∈ [0，t]和≥ 五十、 此外，对于任何t∈ （t，t）存在es=es（t），因此对于任何S>es，在（S，t）处继续是最优的。（v） 存在T∈ [0，t]因此，对于s>Land t，在（s，t）运动不是最佳的∈ [T，T]。证据（i） 根据引理4.1，在BW以上和L以下，立即锻炼是次优的。