具有不连续两级上限的美式期权

紧接着就是E 数据仓库。（ii）为了表明Eis在L上方向下连接，假设（S，t）∈ E并考虑点（S′，t），使S≥ S′≥ 五十、 作为S·≥ S′·由此得出CA，L（S，t）≥ CA，L（S′，t）。（S，t）即时练习的最优性意味着L- K=CA，L（S，t）≥ CA，L（S′，t）≥L- K因此（S′，t）∈ E、 建立向下连接。要显示非空，让t>0，并注意Cw（L，t）=L-K在（t，t）中，立即行权是次优的，因此美式有上限期权的价值与行权延迟到间隔[t，t]的期权的价值相同，即CA，L（S，t）=Cw（S，t）。如果t=和S=L，则只有两种选择，练习或遵循延迟练习政策。两者产生相同的价值。因此，CA，L（L，t）=Cw（L，t）=L- K和（L，t）∈ E、 如果t=0且Bw（0）=L，则相同的规则适用。在这种情况下，该区域由一个单点D={（L，t）}和E=D组成。最后，如果t=0且Bw（0）<L，则立即锻炼对所有患者而言都是次优的∈ R+，表示E= .（iii）从（i）我们得到（L，t）∈ 我们取（L，t）表示任何t∈ [0，t]。现在，我们引入了一个辅助的封顶期权CA，El，其到期时间早于eT<t，对于该封顶，新的封顶为Lt=Lt<eT+LeT≤t型≤T、 显然是CA，L≤ CA，eL，然后我们可以连续递减，使点eT<eT（以与T相同的方式定义）与T重合。从（i）中，我们得到了CA，eL五十、 et公司= L- K和U L- K≤ CA，L（L，t）≤ 加利福尼亚州，埃尔五十、 et公司= L- K，即（L，t）∈ E、 （iv）现在如果我们假设t=t-rlog（（L- K） /（L- K） （）≥ 0取t≤ t、 那么对于任何运动策略τ，我们都有e-r（τ-t）（L）∧ Sτ-K） 1{τ<T}+（L∧ Sτ-K） 1{τ≥T}(4.5)≤ （L）-K） Qt（τ<T）+e-r（T-t） （L）-K） Qt（τ≥ T）≤ L-因此，立即行使支付- K支配任何可接受锻炼策略的期望值。

因此，对于任何t≤ 看台≥ 五十、 现在，我们取任何t∈ （t，t）。然后选择足够大的es=es（t）>0，以便概率er（t-t） （L）- K） /（L- K）≤ Qt（ST>L）<1。如果我们考虑在T处进行剪切的策略，那么显然（4.6）CA，L（S，T）≥ 埃斯-r（T-t） （L）-K） 1{ST>L}i>（L-K） e类-r（T-t） Qt（ST>L）>L-K对于S>es为t>t，因此在（S，t）处停止不是最佳选择。因此，我们证明了存在es，对于任何S>es，在（S，t）处继续是最优的。（v） 我们知道[t，t]上的最佳运动策略，并证明了以上几点（L，t）∈ Efor t公司∈ [0，t]。现在，让我们考虑点（S，t），其中S>Landt<t，以及在t之前出现的上限Lif的第一次命中时间所给出的练习策略，否则我们将遵循已知的最佳练习规则，从t开始。该策略的值可以计算为（4.7）C（S，t）=（L-K） 埃斯-r（τL-t） {τL<t}i+Ethe-r（t-t） Cw公司St，t{τL≥t} i其中τL=inf{u≥ t:Su=L}表示L的第一次命中时间。我们参考附录中的引理8.1，以计算（4.7）中的两个期望值。一般来说，我们有∈ [0，t]（数值结果表明t<t，见图5），因此C（S，t）>L- K对于S>Land t∈ [T，T]。因此，最好不要运动，CA，L=CforS>Land t∈ [T，T]。根据定理3.2，我们得到CA，L=Cwon{（S，t）∈ R+×[t，t]}在t>0的情况下，引入Ein的上运动边界是自然的。图5：。该图绘制了t类的右侧导数CS（L+，t）∈ [0，t）。参数集为t=3，t=4，K=1，L=1.3，L=1.39，r=0.1，δ=0.1，σ=0.3。我们得到t=1.78。定义4.3。

我们确定上边界BL，1=（BL，1（t））t∈[0，t]以便可以将即时练习子区域E写入=（S、t）∈ R+×0，t: L≤ S≤ BL，1（t）.根据定理3.2，我们立即得到了BL的以下性质，1:a）BL，1（t）≤Bw（t）表示t∈ [0，t]；b） BL，1（t）=t的lf∈ [T，T]；c） BL，1（t）<+∞ 对于t>t∨ 0和IF t≥ 0然后BL，1（t）=+∞ 对于t∈ [0，t]。使用上述属性b），我们可以重写EaseE∪ E其中E=（S、t）∈ R+×【0，T】：L≤ S≤ BL，1（t）（4.8）E=（S、t）∈ R+×T、 T型: S=L.(4.9)4. 接下来，我们提供了使用简单基准的下限和上限。首先，让我们考虑限制期权价格CA，L，∞具有有限到期日和上限∞τ=Lτ<T+LT≤τ<∞. 让E∞是该选项的直接执行区域，并定义边界Bw，∞= （Bw，∞（t） ）t∈[0，T]，时间t1，∞和区域Dw，∞分别以与Bw、tand和Dw相同的方式。显然，E∞= E∞∪ E∞其中E∞ Dw，∞定理4.2和E中的满足性质（ii）-（v）∞= {（S，t）∈ R+×[T，T）：S≥ B∞∧ 五十} ，其中B∞是无上限永久看涨期权的最佳阈值。此外，下面的引理成立。引理4.4。演习分区域E∞左连接：if（S，t）∈ E∞对于t≤ t1，∞andS>L，然后（S，v）∈ E∞对于所有v∈ [0，t]。证据证据是矛盾的。假设（S，t）∈ E∞对于t≤ t1，∞和S>存在v的陆地∈ [0，t]使得（S，v）/∈ E∞, i、 e.、CA、L、，∞（S，v）>L-KLetτ∞vbe（S，v）的最佳练习策略。现在考虑一下ltτ=Lτ<T+T的转换封顶合同-v+LT+t-v≤τ <∞和price CA，L，∞（S，S；T+T-v） 对于s∈ [0, ∞) . 注意，CA，L，∞（S，·；T+T）-五）≤ 加利福尼亚州，洛杉矶，∞（S，·）。作为CA，L，∞（S，t；t+t-v） =CA，L，∞（S，v），然后是CA，L，∞（S、v）≤ 加利福尼亚州，洛杉矶，∞（S，t）。因此，根据初始假设，L- K<CA，L，∞（S、v）≤ 加利福尼亚州，洛杉矶，∞（S，t）=L-K，我们得出了一个矛盾。

因此，必须是（S，v）∈ E∞.如果我们确定上边界BL，1，∞= （BL，1，∞（t） ）t∈[0，t1，∞]共E页∞, 然后左连接E∞表示边界BL，1，∞是非递增的。此外，作为CA，L，∞≥ CA，L，我们有那个E∞ EAN和边界BL，1，∞是BL 1的下限。接下来，我们考虑具有限制行权条款的合同，限制为[0，T]，并且在Lin[T，T]自动行权。设CA、L、T（S、v）为合同价格，Et为即时行使区域。我们定义了边界Bw，T=（Bw，T（T））T∈[0，T]和区域Dw，Tin的方式分别与（4.3）和（4.4）中的相同。注意ET=ET∪ ETwhere ETDw，定理4.2中的Tsatis fies性质（ii）-（v），ET={（S，t）∈ R+×【T，T】：S≥ 五十} 是自动运动在L的区域。很明显，CA，L，T（S，T）≤ CA，L（S，t）表示所有∈ [0，T]，因此E 总而言之，我们有以下引理。引理4.5。E∞ E ET，其中E∞满足第4.2.5条的要求。我们已经知道了最优行权策略和区间[T，T]上的期权价格，因此我们可以设置新的合同到期日。因此，美国cappedoption（2.3）具有不连续的cap Lτ=L{τ<T}+L{T≤t型≤T} 到期日相当于到期日和行权支付为（4.10）G（Sτ，τ）=（Sτ）的美国封顶衍生工具∧ L- K） +{τ<T}+C（Sτ，τ）1{τ=T}在τ∈ [0，T]。等价合同在区间[0，T]内有一个固定的上限L，Tgiven的终值为美式上限期权的已知值CA，L（ST，T）=C（ST，T）（C的定义见（4.7）。对于该合同，等待行权的瞬时收益由（4.11）H（S）给出≡ （LSG- rG）（S）对于t<，因此（4.12）H（S）=H（S）1{K≤S<L}+h{S≥五十} 对于S>0，其中（4.13）h（S）=（r-δ） S-r（S）-K） =rK-δS和h=-r（L-K） 。6.

标准马尔可夫参数导致值函数CA的以下自由边界问题，L=CA，L（S，t）和上运动边界BL，1=（BL，1（t））t∈[0，T]至bedeterminedCA，Lt+LSCA，L- rCA，L=0，C（4.14）CA，L（BL，1（t）+，t）=L- K代表t∈ [0，T）（4.15）CA，L（S，T）>C（4.16）CA中的G（S，T），L（S，T）=G（S，T）ineE（4.17），其中连续集C和练习区域（0，T）由C={（S，T）给出∈ R+×[0，T]：S<Lor S>BL，1（T）}（4.18）eE=（S、t）∈ R+×【0，T】：L≤ S≤ BL，1（t）.（4.19）备注4.6。我们注意到，上述系统在BL，1没有施加平滑条件。在典型的停止时间问题中，这一特性遵循这样一个事实：如果一个底层进程刚好在运动边界上方或下方开始，它就会立即进入运动区域。然而，在我们的问题中，边界BL，1并不总是递增的。因此，这个标准参数无法应用，我们也无法证明平滑特性。直觉上，它应该成立，数值结果支持这种直觉。但为了使分析尽可能严格，我们不假设平滑条件成立，因此定价公式中将出现本地时间项。7、我们现在假设满足曲线上局部时空公式（Peskir（2005））在BL，1上要求的技术条件，即BL，1是连续的，且在[0，T]上有界变化。

然后我们将公式应用于e-r（T-t） CA、L（ST、t）和obtaine-r（T-t） CA，L（ST，t）（4.20）=CA，L（S，t）+MT+ZTte-r（v-t） （CA，Lt+LSCA，L- rCA，L）（Sv，v）dv+ZTte-r（v-t）SCA，L（BL，1（v），v）1{Sv=BL，1（v）>L}dlBL，1v+ZTte-r（v-t）SCA，L（BL，1（v），v）1{Sv=BL，1（v）=L}dlBL，1v+ZTte-r（v-t）SCA，L（L，v）1{Sv=L<BL，1（v）}dlLv=CA，L（S，t）+MT+ZTte-r（v-t） h{Sv∈（L，BL，1（v））}dv+ZTte-r（v-t） CA，LS（BL，1（v）+，v）1{Sv=BL，1（v）}dlBL，1v-中兴通讯-r（v-t） CA，LS（L-, v） 1{Sv=L}dlLv=CA，L（S，t）+MT+ZTte-r（v-t） h{Sv∈（L，BL，1（v））}dv+ZTte-r（v-t） CA，LS（BL，1（v）+，v）dlBL，1v-中兴通讯-r（v-t） CA，LS（L-, v） dlLvwhere公司SCA，L（S，t）≡ 钙，硫（S+，t）- CA，LS（S-, t） 是CA导数的跳跃，t的LatS>0∈ [0，T）；lBL，1和lLare S分别在BL、1和L花费的当地时间；M=（Ms）s≥这是鞅项，我们用（4.14）利用（4.12）。我们还使用了CA，LS（BL，1（t）-, t） =0和CA，对于t，LS（L+，t）=0∈ [0，T）当BL，1（T）>L时。注意，CA，L（S，T）表示S<Land T∈ [0，T）因为最佳运动规则是等待，直到我们在T之前达到Lb，否则我们获得值C（ST，T），即（4.21）CA，L（S，T）=（L-K） 埃斯-r（τL-t） {τL<t}i+Ethe-r（T-t） C（ST，t）1{τL≥T} i其中τL=inf{u≥ t:Su=L}表示当St=S<L时，Lw的第一次命中时间（两个期望值的公式见附录中的引理8.1）。现在，以期望值Et为例，使用可选抽样定理、终端条件ca，当S>0时，L（S，T）=C（S，T）、公式（2.14）以LandBL的当地时间表示，1，以及（4.20）中的重新排列项，我们得到了以下早期行权溢价表示。定理4.7。

美式封顶看涨期权的价格具有EEP表示（4.22）CA，L（S，t）=CE，L（S，t）+∏（S，t；BL，1（·）），对于S>0和t<Twhere（4.23）CE，L（S，t）=Ete-r（T-t） C（ST，t）∏（S，t；BL，1（·））=（4.24）=r（L- K） 中兴通讯-r（v-t） Et公司{Sv∈（L，BL，1（v））}dv-中兴通讯-r（v-t） CA，LS（BL，1（v）+，v）Д-日志（BL，1（v）/秒）-（r）-δ-σ） （五）-t） σ√v-t型σBL，1（v）√v-tdv+ZTte-r（v-t） CA，LS（L-, v） ^1-日志（长/秒）-（r）-δ-σ） （五）-t） σ√v-t型σL√v- tdv。在该表达式中，CE，L（S，t）是到期日欧洲衍生利率的价格，而∏（S，t；BL，1（·））是在最佳行权边界BL，1.8下的早期行权溢价。表征最佳运动边界BL，1=（BL，1（t））t∈[0，T]，我们插入S=BL，1（T）表示T∈ （t∨0，T）转化为（4.22），并使用（4.15）推导出BL，1（4.25）L的以下递归积分方程- K=CE，L（BL，1（t），t）+∏（BL，1（t），t；BL，1（·）），用于t∈ （t∨ 0，T），根据边界条件BL，1（T-) = 五十、 这就完成了定理3.1（i）的证明。图6：。该图绘制了问题（2.3）中的即时运动区域（灰色）。[0，T]上运动区的EO部分由E（上边界为BL，1on[0，T]）和水平段E={（S，T）∈ R+×[T，T]：S=L}。参数集为T=3、T=4、K=1、L=1.3、L=1.39、r=0.1、δ=0.1、σ=0.3。我们得到t=0.22、t=1.78和t=2.93。备注4.8。重要的是，BL，1的积分方程（4.25）是隐式的，因为它依赖于导数CA，LS（L-, v） 和CA，LS（BL，1（v）+，v）o f CA，Lat Land BL，1。如上所述，可以使用（4.21）独立于BL估计前导数。然而，e上的后者需要未知值CA，Labove L。为了从数值上解决这个问题，我们使用反向归纳法和求积格式来近似∏。

然后，在每个时间步v，我们获得边界BL，1（v）的值，作为代数方程的解，以及CA，LS（BL，1（v）+，v），使用（4.22）作为u>v的准备恢复BL，1（u）（见第7节的详细信息）。我们还注意到，通过在BL，1（见备注4.6）处施加平滑条件，我们可以避免出现CA，LS（BL，1（v）+，v）的现象，数值结果似乎为这种情况提供了支持。然而，由于我们希望尽可能保持分析的通用性和准确性，因此我们不会强加它。5、案例B（T）≤ 现在让我们假设≥ B（T），即T*< T、 注意，在这个假设下，我们有BL，2（T）=B（T）表示T∈ [T，T]。看来这个案子比前一节的案子更容易处理。本案的证明也分为几个步骤。定理3.1（ii）的证明。1、我们从以下关于[0，T]运动区结构的观察开始。如果B（t）≤ S<L或t∈ [t*, T） ，则最好是立即在（S，T）处执行capped选项。事实上，我们记得≤ CA和CA（S，t）=S-K图7。该图绘制了（2.3）中的美国封顶期权价格CA，（S，1）。虚线表示即时付款∧ L- K） +。参数集isT=3，T=4，K=1，L=1.3，L=1.39，r=0.1，δ=0.1，σ=0.3。对于S≥ B（t）。然后我们有了S∧ L- K=S- K≤ CA，L（S，t）≤ CA（S，t）=S- K因此，CA，L（S，t）=S∧L- 这意味着（S，t）属于运动区域。接下来，很明显，（S，t）属于S<min（L，B（t））和t的连续区域∈ [0，T）。为了证明这一点，可以使用期限较短的期权的标准参数（参见引理4.1或Broadie and Detemple（1995））的证明）。

使用与前一节中完全相同的元素（参见定理4.2（ii）的证明），我们还可以证明锻炼子区域在L上是下连通的。现在我们证明，对于所有t∈ [0，T]。事实上，我们已经知道（L，t）∈ E代表所有t∈ [t*, T] 。现在让我们确定任何t<t*并使用与定理4.2（iii）证明中相同的思想。我们选择新到期日为t的辅助封顶期权*≤ t对于B（eT）=L的上限。显然，期权价格上涨。此外，我们还有thatet（如前一节所定义）equalseT。因此，利用定理4.2（iii）的结果，我们知道（L，t）属于辅助期权的行使区域。由于该期权的价格高于原期权的价格，且其报酬与（L，t）重合，我们可以得出以下结论（L，t）∈ E、 然后我们注意到，CA，L（S，t）与带封顶期权的价格CA，L（S，t）与单封顶LF的价格S一致≤ 土地t<t。这是因为两份合同都有相同的最优行使政策和低于L的相同支付。下一个观察结果是，存在（S，t）属于所有S>土地t的延续区域的t<t∈ [T，T]。为了显示这一点，对于S>Land T∈ [0，T）让我们考虑等待股价达到上限L的政策。然后，该策略的值由C（S，T）给出≡ （L）- K） 埃斯-r（τL-t） {τL<t}i+Ethe-r（T-t） （ST∧ L- K） 1{τL≥T} i（5.1）图8。该图绘制了问题（2.3）中的即时运动区域（灰色）。[0，T]上运动区的EO部分由E（上边界为BL，1on[0，T]）和水平段E={（S，T）∈ R+×[T，T]：S=L}。[T，T]上的运动区域以BL，2为特征，见定理3.2（i）。参数集为T=1，T=2，K=1，L=1.28，L=1.3，r=0.05，δ=0.05，σ=0.5。我们得出T=0.386，T=0.988。

可以看出，上边界BL，1并非处处都在减小。其中τ是上限L的首次命中时间。事实上，这是带有回扣支付的Europeancapped barrier down and out看涨期权的价格-对其著名表达式的直接检验表明，Lc处的斜率CS（L+，t）转化为1，即t→ T、 由于其连续性，对于充分接近T的T，Lis处的导数仍然为正。然后，我们确定方程CS（L，t）=0的最大正解（如果存在）；否则，T=0。因为t的斜率为正∈ （T，T），我们有c（S，T）>L- 在（S，t）等待S>L是最佳选择。当readsCA，L（S，t）=CA，L（S，t）（5.2）时，S的期权价格为≤ LandCA，L（S，T）=C（S，T）（5.3），对于S>Land，其中τ是盖L的第一次击中时间。最后，如果T≡ T-rlog（（L- K） /（L- K） （）≥ 0，然后（S，t）∈ 对于任何t∈ [0，t]和S≥ 五十、 证明与前一案例相同。2、上述结果促使我们确定运动上限BL，1=（BL，1（t））t∈[0，T），使运动子区域Eon[0，T）给定为=（S、t）∈ R+×0，T: L≤ S≤ BL，1（t）(5.4)∪（S、t）∈ R+×t型*, T: B（t）≤ S≤ L.很明显，对于t，BL，1=lf∈ [T，T）和BL，1（T）=+∞ 对于t∈ [0，t]如果t≥ 0 .正如我们所知，[T，T]的最佳行权政策，我们将新的到期日设置为T。因此，美国上限期权（2.3）相当于到期日和行权支付为（5.5）G（Sτ，τ）=（Sτ）的美国上限衍生品∧ L- K） +{τ<T}+CA，L（ST，T）1{τ=T}在τ处∈ [0，T]其中CA，L（S，T）在（5.1）-（5.3）中给出。