具有不连续两级上限的美式期权

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英文标题：
《American Options with Discontinuous Two-Level Caps》
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作者：
Jerome Detemple and Yerkin Kitapbayev
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  This paper examines the valuation of American capped call options with two-level caps. The structure of the immediate exercise region is significantly more complex than in the classical case with constant cap. When the cap grows over time, making extensive use of probabilistic arguments and local time, we show that the exercise region can be the union of two disconnected set. Alternatively, it can consist of two sets connected by a line. The problem then reduces to the characterization of the upper boundary of the first set, which is shown to satisfy a recursive integral equation. When the cap decreases over time, the boundary of the exercise region has piecewise constant segments alternating with non-increasing segments. General representation formulas for the option price, involving the exercise boundaries and the local time of the underlying price process, are derived. An efficient algorithm is developed and numerical results are provided.
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中文摘要：
本文研究了具有两级上限的美式有上限看涨期权的估值问题。即时运动区的结构明显比具有恒定cap的经典情况更复杂。当cap随时间增长时，通过广泛使用概率参数和局部时间，我们证明了运动区域可以是两个断开集的并集。或者，它可以由两组由一条线连接的装置组成。然后，该问题归结为第一个集合的上边界的特征，它被证明满足一个递归积分方程。当cap随时间减少时，运动区域的边界具有分段恒定段，与非增加段交替。推导了期权价格的一般表示公式，包括行权边界和标的价格过程的本地时间。提出了一种有效的算法，并给出了数值结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> American_Options_with_Discontinuous_Two-Level_Caps.pdf (397.53 KB)

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关键词：美式期权 Quantitative Presentation derivatives Alternating

具有不连续两级资本的美式期权Jerome Detemple&Yerkin Kitapbayev2017年7月19日本文研究了具有两级资本的美式有上限看涨期权的估值。即时运动区域的结构明显比具有恒定上限的经典情况更为复杂。当CAP随着时间的推移而增长时，通过广泛使用概率参数和localtime，我们可以了解ex-ercise区域如何可以是两个断开连接集的并集。或者，它可以由两组由一条线连接的装置组成。然后，问题归结为第一个集合的上边界的特征化，它被证明满足递归积分方程。当cap随时间减少时，运动区域的边界具有分段恒定段，与非增加段交替。推导了期权价格的一般表示公式，包括行权边界和标的价格过程的本地时间。提出了一种有效的算法，并给出了数值结果。1、介绍上限是各种衍生品合同中具有吸引力的条款。对于寻求建立空头头寸的投资者来说，上限限制了不利价格变动的风险敞口。对于买家来说，这会降低价格，从而降低进入多头头寸的成本。CAP产品可以在有组织的交易所、OTC市场上找到，或者作为企业提供的融资包的组成部分出现。一个常见的例子是CAPS合同，由CBOE于1991年推出，交易至90年代末。该期权写在S&P100和S&P500指数上，其收益仅限于基础指数的30点波动。一旦基础指数的变化达到上限，它也会自动关闭，因此有一个自动行权准备金。

另一个例子是90年代初在卢森堡证券交易所交易的墨西哥指数挂钩欧元证券（MILES）。MILES是墨西哥股票指数Bolsa Mexicana de Valores上的一种美国上限期权。这是一个禁止行权的初始行权期，之后是一个由持有人选择行权的期间，但收益受到上限规定的限制。因此，这是具有两级上限的美式上限期权的特例。如今，Capsapear已成为可纳入CBOE提供的FLEX选项中的功能。FLEXMathematics主题分类2010。主要91G20、60G40。次级60J60、35R35、45G10。关键词和短语：美式封顶期权、最优停止、几何布朗运动、自由边界问题、局部时间、积分方程期权是写在指数或股票上的完全可定制产品。它们可以是欧美风格。牛市和熊市利差是具有上限的弹性期权的例子。上限期权的估值一直是学术界和实务界关注的话题。早期关于欧式封顶期权估值的研究包括Boyle和Turnbull（1989）。Flesacker（1992）和Chance（1994）等人讨论了在cap自动行使的cap选项。Broadie和Detemple（1995）研究了美国风格限制期权的案例。他们同时考虑了不变和增长的上限。利用优势参数，他们表明，对于到期日为T且资本上限为L的有盖看涨期权，最佳的行使策略是B的首次命中时间∧ L，上限L的最小值和最佳运动边界B=（B（t））t∈无上限但在其他方面相同的选项的[0，T]。

他们推导出了限制期权价格的几种表示形式。对于以恒定速率g增长的上限，他们表明最优策略存在于一个3参数族中。它们描述了最优参数政策，并确定了相关的期权价值。在最近的一项研究中，邱（2015）分析了美国限制扼杀期权，并探索了当地的时空公式，以得出早期行使溢价（EEP）表示。该对最优运动边界被描述为耦合积分方程组的唯一解。本文研究了一类具有两级上限Lτ<T+LT的美式上限看涨期权的定价问题≤τ≤T、 其中，L是任意的水平，使得L，L>K。从寻求筹集资本的发行公司的角度来看，这种acap结构提供了更大的灵活性。案例L与问题的成功尤其相关，因为合同的潜在增长提高了其对潜在买家的吸引力。与此同时，两级资本上限仍然限制了公司的风险敞口，这让发行人很感兴趣。然而，为了完整性，我们还考虑了L<L的情况。很明显，在区间[T，T]上，定价问题归结为单上限L的问题，而直接行使区域的特点是Broadie and Detemple（1995）。因此，E={（S，t）∈ R+×【T，T】：S≥ B（t）∧ 五十} 。我们利用Peskir（2005）的局部时空演算，并使用欧式封顶期权作为早期行使溢价公式的基准，为期权价格提供了一种替代表示。由于capL执行区域的Payoff函数不平滑，定价公式中出现了当地时间项。然而，我们发现这种表示法很有效，我们将其广泛用于分析最佳运动策略[0，T]。

值得注意的是，这一表述也为Broadie和Detemple（1995）的结果提供了另一种证明。也就是说，它表明资本下方的边界部分与美式无上限看涨期权的边界满足相同的积分方程（见备注2.6）。然后，我们考虑区间[0，T]上的定价问题。有三种情况的利益。在第一种情况下，L<B（T）∧ 五十、 我们表明，[0，T]上的直接运动区域采用=（S、t）∈ R+×0，t: L≤ S≤ BL，1（t）其中BL，1=BL，1（t）t型∈[0，t]是上限，t<是内生时间。它有三个不寻常的特点：（i）如果≡ T-rlog（（L-K） /（L-K） （）≥ 0，则BL，1（t）=+∞对于t∈ [0，t]和BL，1（t+）=+∞ ; （ii）存在时间t∨ 0≤ t<t确认（S，t）/∈ 对于任何S>0和t∈ （t，t）；（iii）存在时间t∨0≤ T≤ tsuch thatBL，1（t）=l对于t∈ [T，T]。我们刻画了时间（t，t，t），并证明上边界BL，1在[t]上解一个递归积分方程∨ 0，T]。在第二种情况下，B（T）≤ L<L。【0，T】上的即时运动区域变为=（S、t）∈ R+×[0，T）：L≤ S≤ BL，1（t）∪（S、t）∈ R+×[t*, T） ：B（T）≤ S≤ L其中t*是方程B（t）=陆上边界BL，1的唯一解=BL，1（t）t型∈[0，T）是在整个区间[0，T]上定义的。此外，对于T，存在T<T，BL，1（T）=lf∈ 【T，T】。与前一种情况的主要区别在于，即时锻炼（i）在S=L时总是最佳的（因此T=T），并且（ii）在B（T）时在LW以下是最佳的≤ S≤ 五十、 推导了bl，1on[t]的相应递推积分方程∨ 0，T]。在最后一种情况下，当L>L时，我们假设cap是左连续的。我们施加此条件是为了避免与左侧期权价格的不连续性以及可能不存在最佳行使时间相关的技术难题。

此外，具有左、右连续上限的期权的价格在T之前一致。对于这种情况，我们表明立即行使区域isE=（S、t）∈ R+×[0，T]：S≥ BL，1（t）∪（S、t）∈ R+×（T，T）：S≥ B（t）∧ L其中BL，1=BL，1（t）t型∈[0，T]是在满足边界条件BL（T）的[0，T]上定义的内生非增长边界-) = 最大值（rK/δ，L∧ B（T））和BL（T）=L∧B（T）。在这种情况下，上限以上的即时运动在[0，T]上总是最佳的。如果BL，1（T），上限以下的即时运动也是最佳的≤ S≤ 五十、 我们推导了[0，T]上BL，1的递归积分方程。在所有情况下，整个区间[0，T]上的直接运动区域是两个集合的并集，E=E∪E、 在上述第一种情况下，所讨论的集合是断开的，即它们被连续性最佳的区域分隔开。对于每种情况，我们推导出了期权价格的一般表示公式，包括相关边界和标的价格过程在上限和边界处的局部时间。我们还开发了计算行权边界和期权价格的高效算法，并给出了数值结果。与标准美式衍生品相比，该期权定价和确定最佳行权政策的主要困难在于行权区域内基础资产价格的支付不平滑以及支付的时间不连续性。尽管第一个问题可以像前面提到的论文一样解决，但第二个特征导致了运动区域的复杂结构，并阻止了标准方法的应用。本文提供了概率论证，广泛使用支配关系和当地时间来解决这些类型的困难。

我们的方法的其他潜在应用包括存在执行延迟和决策滞后的有限期脉冲控制问题，这在算法交易和其他决策过程中很常见。关于相关研究和理论背景，我们参考了Palczewski和Stettner（2010）等人的研究成果，他们展示了在一类相当普遍的马尔可夫过程下，具有时间不连续支付的最优停止问题的值函数的规律性。本文的组织结构如下。第2节阐述了问题，回顾了Broadie和Detemple（1995）的结果，并为constantcap期权问题提供了一个替代定价公式。第三部分是本文的主要结果。它描述了三种利益案例的最优行使政策。第4、5和6节考虑了隔离中的每一种情况，并证明了第3节中宣布的行权政策的最优性。它们还为期权价格提供了相关的早期行权溢价公式。最后，第7节描述了用于计算的astep分步算法，并给出了数值结果。2、考虑概率空间的问题表述和初步结果(Ohm, F、 Q）其中Q是风险中性度量。设Wbe为具有自然过滤（Ft）t的Q标准布朗运动≥我们假设标准金融市场的标的资产价格S遵循风险中性度量Q（2.1）下的几何布朗运动，dSt=St（r- δ） dt+σdWt），其中r>0是利率，δ≥ 0表示股息收益率，σ>0表示波动率参数。美式封顶看涨期权具有行权支付F（Sτ∧ L（τ）- K） +运动时间τ，其中L=（L（t））t∈[0，T]是上限。在本文中，我们关注具有两个levelcaps的封顶期权，即（2.2）L（τ）=Lτ<T+LT≤τ≤T<T。在中间日期TifL6=L时，cap L（T）向右连续，并有跳跃。

如果L>L，我们将注意力限制在该cap的左连续版本，即L（τ）=Lτ≤T+LT<τ≤T、 履约价格为K，到期日为T。为了避免不重要的情况，我们假设L，L>K。可以调用标准参数（如Karatzas（1988））将价格函数写成（2.3）CA，L（S，t）=supt≤τ≤春节e-r（τ-t） （Sτ∧ L（τ）- K）+在时间0≤ t型≤ Tand给定股票价格S>0，其中取最大值为总停止时间τ∈ [t，t]w.r.t.过滤（Ft）t≥在本文中，我们使用了符号Et[·]≡ E[·| St=S]，E是Q下的期望值。我们还将S的微型发生器定义为（2.4）ILS=（r- δ） SS+σSS、 我们注意到，不连续支付的最优停止问题的值函数是连续的，最优停止规则具有标准形式，这在一般情况下是不正确的。然而，如果L<Lwe可以应用Palczewski和Stettner（2010）的定理3.1 iii）来获得CA、Lis连续，最佳运动时间为（2.5）τ*（t） =inf{u≥ t:CA，L（Su，u）=（Su∧ L（u）- K） +}∧ T、 对于T≤ T、 当值函数从左边开始变得不连续时，情况会变得更加复杂，并且我们可能不存在最佳停止时间。为了避免这些问题，我们将考虑左连续帽L（τ）=Lτ≤T+LT<τ≤t当L>Land显示两个版本之间的连接时（参见第6节）。设B=（B（t））t∈[0，T]表示行使K和到期日T相同的无上限看涨期权的最佳行权边界，即行权支付f（Sτ- K） +。在L<L的情况下，继Brodie和Detemple（1995）之后，我们定义了*如下所示t型*= s、 如果B（s）=L（s），对于某些s∈ [0，T]T*= 0，如果B（·）<L（·）打开∈ [0，T]T*= T、 如果B（T-) > 书信电报*= T、 如果L<B（T）<L，则T*是方程B（s）=L（s）的唯一解（如果存在此类解）。否则，t*位于区间[0，T]的一角。

很明显，对于t∈ [T，T]，最优行使规则遵循带封顶期权CA、L和单封顶L的策略。这个问题在Broadie和Detemple（1995）中得到了解决，在下面的定理2.1和2.2中，我们给出了他们的结果。定理2.1。[T，T]上可分配看涨期权（2.3）的最优行使边界为界值，2=B∧ （2.3）中的最佳运动时间由（2.6）τ给出*（t） =infu≥ t：苏≥ BL，2（u）∧ t对于t∈ [T，T]。封顶看涨期权的价格（2.3）为（2.7）CA，L（S，t）=Ethe-r（τ*（t）-t）Sτ*（t）∧ L- K+如果S>0和t∈ [T，T]。图1说明了最佳运动边界BL，2=B∧l对于单帽问题。当时间限制在时间间隔[T，T]内时，问题（2.3）的最佳练习区域显然是（2.8）E=（S、t）∈ R+×【T，T】：S≥ BL，2（t）.Broadie和Detemple（1995）利用上述定理推导出了CA，L（S，T）的定价公式，指出如果T*> t当S在t之前到达L时*或者有上限的期权在t时成为无上限看涨期权*. 如果t*≤ T、 对于S<L，有上限的期权价格与无上限的期权价格一致。通过使用ACAPED option Cae获得了一个替代公式，LW以Las的自动练习作为早期练习溢价表示的基准。定理2.2。（i） 对于t∈ [T，T]，具有不连续capL的封顶买入期权的价格等于具有恒定cap Lso thatCA的封顶买入期权价格，L（S，T）=CA，L（S，T）（2.9）图1。该图绘制了最佳运动边界BL，2=B∧ l针对单帽期权问题。虚线表示未加盖的exerciseboundary B。参数集为T=4、K=1、L=1.39、r=0.1、δ=0.1、σ=0.3（L）-K） Et公司e-r（τ*（t）-t） {τ*（t） <t*}+ Et公司e-r（t*∨t型-t） CA（St*∨t、 t型*∨ t） 1{τ*（t）≥t型*}对于S>0，其中Cai是标准美式看涨期权的价格，行使K，到期T。

可以使用已知的τ分布简化第二项*（t） 开[t，t*∨t] （即，恒定障碍物的第一次击中时间），然后根据CA积分进行计算。附录中的引理8.1显示了如何计算这两个期望值。（ii）或者，封顶期权可以定价为（2.10）CA，L（S，t）=Cae，L（S，t）+EtZτLte-r（u-t） （δSu-rK）1{Su≥B（u）}du对于S>0和t∈ [T，T]，w HERE Cae，L（S，T）=E-r（τL-t）SτL∧ L- K+iis有上限期权Cae的价格，L在上限土地自动行使τL=inf{u≥ t:Su=L}∧ 这是Lon[t，t]的第一次击球时间。期权价格Cae、LCA可以封闭形式计算。公式（2.9）要求整合标准美式看涨期权价格CA（S，t*)关于S，而公式（2.10）归结为关于τLand S联合分布的早期行使保费的积分。在本文中，我们将使用第三种版本的封顶期权价格，这在计算上很方便。它还基于早期行权溢价分解，与此相反，基准由欧洲封顶期权价格CE给出，L（S，t）=Ete-r（T-t） （ST∧ L- K）+.证明依赖于曲线上的局部时空公式（Peskir（2005））。美式封顶期权值得注意的特点是支付函数∧ L- K） +不是平滑图2。该图绘制了美国封顶期权价格CA，L（S，0）和常数封顶L（粗线）。细线表示欧洲封顶期权价格CE，L（S，0），虚线表示当地时间贡献，虚线表示即时支付∧ L- K） +。参数集isT=4，K=1，L=1.39，r=0.1，δ=0.1，σ=0.3。可以看出，localtime术语具有很大的价值。在运动区域Es中，当S=L时。