具有不连续两级上限的美式期权

等效合同在时间间隔[0，T]上有一个恒定的上限，在T上有一个已知的终值。对于该合同，等待行使的瞬时收益由（5.6）H（S）给出≡ （LSG- rG）（S）表示t<，Tand表示S>0，因此（5.7）H（S）=H（S）1{K≤S<L}+h{S≥五十} 式中（5.8）h（S）=（r-δ） S-r（S）-K） =rK-δS和h=-r（L-K） 。使用标准参数，我们得到期权价格CA，L=CA，L（S，t）解PDECA，Lt+LSCA，L- rCA，L=0（5.9），在连续集C={（S，t）∈ R+×[0，T]：S<min（L，B（T））或S>BL，1（T）}。3、我们在曲线上应用局部时空公式（再次假设BL，1是连续的且在[0，T]上有界变化），以获得-r（T-t） CA，L（ST，t）（5.10）=CA，L（S，t）+MT+ZTte-r（v-t） （CA，Lt+LSCA，L- rCA，L）（Sv，v）dv+ZTte-r（v-t）SCA，L（BL，1（v），v）1{Sv=BL，1（v）>L}dlBL，1v+ZTte-r（v-t）SCA，L（BL，1（v），v）1{Sv=BL，1（v）=L}dlBL，1v+ZTte-r（v-t）SCA，L（L，v）1{Sv=L<BL，1（v）}dlLv=CA，L（S，t）+MT+ZTte-r（v-t） h（Sv）1{Sv∈（B（v），L）}dv+ZTte-r（v-t） h{Sv∈（L，BL，1（v））}dv图9。该图绘制了B（T）时问题（2.3）中的即时运动区域（灰色）E≤ L<L。参数集为T=3、T=4、K=1、L=1.46、L=1.5、r=0.03、δ=0.05、σ=0.25。我们得到t=0.22和t=1.79+中兴通讯-r（v-t） CA，LS（BL，1（v）+，v）1{Sv=BL，1（v）}dlBL，1v-中兴通讯-r（v-t） CA，LS（L-, v） 1{Sv=L}dlLv=CA，L（S，t）+MT+ZTte-r（v-t） h（Sv）1{Sv∈（B（v），L）}dv+ZTte-r（v-t） h{Sv∈（L，BL，1（v））}dv+ZTte-r（v-t） CA，LS（BL，1（v）+，v）dlBL，1v-中兴通讯-r（v-t） CA，LS（L-, v） dlLV，其中M=（Ms）s≥这是鞅项，我们使用了（5.7）和（5.9）。我们还使用了thatCA，LS（BL，1（t）-, t） =0和CA，对于t，LS（L+，t）=0∈ [0，T）当BL，1（T）>L时，我们重新调用CA，L（S，T）=CA，L（S，T）表示S<Land T∈ [0，T）。现在，以期望值Et为例，使用可选抽样定理，终端条件（5.2）-（5.3），重新排列（5.10）中的条款，我们得到了下面的早期行权溢价表示。定理5.1。

美式封顶看涨期权的价格具有EEP表示（5.11）CA，L（S，t）=CE，L（S，t）+∏（S，t；BL，1（·）），对于S>0和t<Twhere（5.12）CE，L（S，t）=Ete-r（T-t） CA，L（ST，t）∏（S，t；BL，1（·））=（5.13）=ZTte-r（v-t） Et公司（δSv- rK）1{Sv∈（B（v），L）}dv+r（L- K） 中兴通讯-r（v-t） Et公司{Sv∈（L，BL，1（v））}dv-中兴通讯-r（v-t） CA，LS（BL，1（v）+，v）Д-日志（BL，1（v）/秒）-（r）-δ-σ） （五）-t） σ√v-t型σBL，1（v）√v-tdv+ZTte-r（v-t） CA，LS（L-, v） ^1-日志（长/秒）-（r）-δ-σ） （五）-t） σ√v-t型σL√v-tdv。在该表达式中，CE，L（S，t）是欧洲衍生工具在到期日的价格，L（ST，t）是支付CA，并且∏（S，t；BL，1（·））是在最佳行使边界BL，1.4下的早期行使溢价。表征最佳运动边界BL，1=（BL，1（t））t∈[0，T]，我们插入S=BL，1（T）表示T∈ （t∨ 0，T）转化为（5.11），以导出bl，1（5.14）L的以下递推积分方程- K=CE，L（BL，1（t），t）+∏（BL，1（t），t；BL，1（·）），用于t∈ （t∨ 0，T），根据边界条件BL，1（T-) = 五十、 这就完成了定理3.1（ii）的证明。6、案例L>L最后，我们考虑案例L>Land，假设cap是左连续的（6.1）Lτ=Lτ≤T+LT<τ≤T、 在这种情况下，我们已经知道区间（T，T）上的最佳练习规则。定理3.1（iii）的证明。1、我们首先注意到，给定的期权价值为asCA，L（S，T）=G（S，T）≡ 最大值（S∧ L- K、 CA，L（S，T））（6.2）表示S>0，因为我们决定是否立即锻炼并接受S∧L-K或continueandget CA，L（S，T）。利用已知的CA结构，Lwe可以改写期权价格asCA，L（S，T）=（S∧L- K） 1{S≥L∧B（T）}+CA，L（S，T）1{S<L∧B（T）}（6.3），S>0。

我们还注意到，支付（S，t）≡ （S）∧L-K） t+时∈ [0，T）由Tand的值决定，因此我们可以应用Palczewski和Stettner（2010）的结果得出CA，Lis在R+×[0，T]上连续，并且[0，T]上的最佳运动时间以标准形式τ给出*= inf{t>0:CA，L（St，t）=G（St，t）}。（6.4）我们还可以看到，值函数CA，L（S，t）在t+forS>L处从右侧不连续∧ B（T）。这并不重要，因为我们关注的是区间[0，T]。2、我们现在注意到，在这种情况下，上限L在[0，T]上没有增加，因此当固定S>0时，期权价格CA，L（S，T）在T中减少。因此，演习区域是右连接的。标准优势论点表明，运动区域在上限水平Lon[0，T]以下向上连接。下一个观察结果是，在（S，T）运动S≥ 土地t∈ [0，T]，当一个人在那里获得最大可能的回报时。还可以清楚地看到，当S<rK/δ时，等待锻炼的局部益处为正，因此持有者不应在T之前行使低于rK/δ的期权。因此，我们可以确定非递增锻炼边界BL，1=（BL，1（T））T∈[0，T]使得运动子区域Eon[0，T]被给定为asE=（S、t）∈ R+×0，T: S≥ BL，1（t）.（6.5）根据上述论点和（6.3），我们得到BL，1（T-) = 最大值（rK/δ，L∧ B（T））和bl，1（T）=L∧ B（T）。因此，边界BL，1可能在T处出现跳跃。我们定义时间T*作为方程BL的根，1（t）=Lon[0，t）。如果BL，1<Lon[0，t），那么我们让t*= 0 . 正如我们所知，关于（T，T）的最佳行权政策，我们将新到期日设置为T。因此，美国上限期权（2.3）相当于到期日和行权支付为（6.6）G（Sτ，τ）=（Sτ）的美国上限衍生品∧ L- K） +{τ<T}+G（ST，T）1{τ=T}在τ∈ [0，T]其中G（S，T）在（6.3）中给出。

我们在前一节中定义了等待锻炼的瞬时益处H（S）、函数H（S）和常数。此外，期权价格CA，L解决了PDECA，Lt+LSCA，L- rCA，L=0（6.7），在连续集C={（S，t）∈ R+×[0，T）：S<BL，1（T）}。我们记得边界BL，1是不增加的，这一事实允许我们很容易证明光滑条件在BL，1（T）处适用于T∈ （t*, T） （参见例如，第381页，第25节inPeskir和Shiryaev（2006））。BL，1的单调性也使我们能够在[0，T]上显示BL，1的连续性。3.在这种情况下，我们可以在曲线上应用局部时空公式，作为边界BL，1的连续性和有界变差，从而得到-r（T-t） CA，L（ST，t）（6.8）=CA，L（S，t）+ZTte-r（u-t）CA，Lt+LSCA，L-rCA，L（Su，u）du+MT+ZTte-r（u-t）CA，LS（Su+，u）- CA，LS（Su-, u）{Su=L}dlLU图10。当L>L时，该图绘制了问题（2.3）中的即时运动区域（灰色）。参数集为T=1、T=2、K=1、L=1.45、L=1.3、r=0.03、δ=0.05、σ=0.25。我们得到t*= 0.75和t*= 1.63 .+ZTt公司*∨te公司-r（u-t）CA，LS（Su+，u）- CA，LS（Su-, u）{Su=BL，1（u）}dlBL，1u=CA，L（S，t）+ZTt*∨te公司-r（u-t） （rK）-δSu）1{BL，1（u）≤苏≤五十} 杜邦- r（L-K） 中兴通讯-r（u-t） {苏≥五十} du+MT-中兴通讯-r（u-t） CA，LS（L-, u） dl其中M=（Mt）t≥0是鞅部分，我们使用PDE（6.7），BLon（t*, T） ，和CA，LS（L+，·）=0。现在，以期望值Et为例，使用可选抽样定理，当S>0时，终端条件L（S，T）=G（S，T），在（6.8）中重新排列项，我们得到下面的早期exercisepremium表示。定理6.1。

美式封顶看涨期权的价格具有EEP表示（6.9）CA，L（S，t）=CE，L（S，t）+∏（S，t；BL，1（·）），对于S>0和t<Twhere（6.10）CE，L（S，t）=Ete-r（T-t） G（ST，t）∏（S，t；BL，1（·））=（6.11）=ZTt∨t型*e-r（u-t） Et公司（δSu- rK）1{Su∈（BL，1（u），L）}du+r（L- K） 中兴通讯-r（u-t） Et公司{苏≥L}du+ZTte-r（u-t） CA，LS（L-, u） ^1-日志（长/秒）-（r）-δ-σ） （u）-t） σ√u-t型σL√u- tdu。在该表达式中，CE，L（S，t）是欧洲衍生品在到期日的价格，payoff G（ST，t）和∏（S，t；BL，1（·））是给定最佳行权边界BL，1的早期行权溢价。我们注意到CA，LS（L-, u） =1开[t*, T） 。4、表征最佳运动边界BL，1=（BL，1（t））t∈[0，T]，我们将S=BL，1（T）插入（6.9）中，以导出BL，1（6.12）BL，1（T）的以下递归积分方程- K=CE，L（BL，1（t），t）+∏（BL，1（t），t；BL，1（·）），用于t∈ [t*, T） ，根据边界条件BL，1（T-) = 最大值（rK/δ，L∧ B（T））。现在让我们简略地讨论一下右连续cap L大于L的情况。在这种情况下，我们不能使用Palczewski和Stettner（2010）的结果作为T的补偿。事实上，在某些可能的情况下，没有最佳停止时间。例如，如果δ非常小，则rK/δ>Land等待S是最佳选择∈ （L，rK/δ∧五十） 等待对当地的好处是积极的。然而，在t=t时，Payoff从S突然下降-K到L-K后者是【T.T】的最大可能支付额。因此，在这种情况下，没有最佳的练习规则。标准参数表明，对于给定的S>0，两个选项版本（右连续和左连续大写）的值在t<Tand t>t时重合。

两份合同之间的区别在于：（i）正确的连续版本可能没有最佳的行使时间；（ii）温度下的值；（iii）右连续版本的值函数从左到右具有不连续性，而左连续版本的值函数从右到T具有不连续性。Wealso注意到，即使右连续版本在某些情况下没有最佳练习时间，我们可以构造一个停止时间序列，当t<t.7时，相应的值函数收敛到期权价格。数值算法在本节中，我们描述了三种情况下美式上限期权问题（2.3）的数值解：（i）L<min（L，B（T））；（ii）B（T）≤ L<L；（iii）L>L。（i）这里我们使用（4.22）和（4.25）讨论了L<min（L，B（T））情况下的数值算法，并提供了一个逐步算法。第1步。我们为无上限看涨期权的边界B求解众所周知的递归积分方程（有关数值实现的详细信息，请参见示例（2006）第8章）。这给出了未封顶价格CA（S，t）的早期行权溢价表示。第2步。使用公式（2.9）、引理8.1和CA的EEP公式，我们计算CA，L（L-ε、 t）对于任何t∈ [0，t*) 固定小ε>0来估计CA，LS（L-, t） （见图3）。然后，我们利用（2.11）计算任何S>0的CA，L（S，T）（见图2）。使用（2.11）和计算一维积分比使用公式（2.9）更为有效，因为公式（2.9）要求对看涨期权价格CA进行积分，后者也以积分形式给出。第3步。这里，我们使用（4.1）计算S>0和t<tb的函数Cw（S，t）。第4步。现在我们可以计算所有t的Bw（t）∈ [0，T]使用步骤3中的函数CW和定义（4.3），并用数字确定T（见图4）。第5步。这里，我们识别T。

为此，我们计算非常小的ε>0和t<tusing（4.7）、引理8.1的C（L+ε，t）和Cwat t t的值（见步骤3）来估计（L+，t）（见图5）。从t=t开始，我们在时间上向后走，观察到c（L+ε，t）>L- K当且仅当t>t对于某些t<t。因此，我们得到t。步骤6。在求解BL，1的递归积分方程（4.25）之前，我们估计CA，LS（L-, t） 对于t∈ [0，T）为ε（L- K- CA，L（L- ε、 t）对于固定的小ε>0，我们使用（4.21）、引理8.1和Cto计算值CA，L（L-ε、 t）。第7步。最后，我们有了数值求解积分方程（4.25）的所有要素。我们用步骤h离散区间[0，T]，并用求积格式近似积分。然后，使用终端条件BL，1（T）=陆面反向感应，在点T处覆盖边界BL，1-h、 T型-2h。。。，0通过求解代数方程序列。我们还必须获得CA，LS（BL，1（T- ih）+，T- ih）在每个时间步，因为需要计算BL，1。导数由（4.22）估算，因为我们已经计算了bl，1（T-jh）和CA、LS（BL、1（T-jh）+，T-jh）用于1≤ j<i。因此，我们还需要估计a，LS（L+，T），它简单地等于CS（L+，T）。通过插值和计算BL，1on【0，T】（见图6），我们可以恢复美式封顶期权价格CA，Lusing（4.22）（见图7）。数字示例。示例1。为了说明该算法，我们选择了一个参数集并实现了上述所有步骤，以获得美式封顶看涨期权的即时行使区域和价格。参数值为：T=3，T=4，K=1，L=1.3，L=1.39，r=0.1，δ=0.1，σ=0.3。对于这一组，我们有T=1.78，T=2.93和T*= 3.66 . 有关图示，请参阅图1-7。

数值实验似乎证明，在BL，1处的平滑粘贴条件成立，因此CA，LS（BL，1（v）+，v）=0，并且对于该参数集，边界BL，1正在减小。示例2。这个问题中一个有趣的问题是上界bl，1的单调性。影响它的因素有两个相反的因素：非递减支付和t增加时时间范围递减。这种权衡妨碍了我们证明BL，1的单调性。事实上，对于图8中的一组参数，我们得出边界是非单调的，具有一些局部增长周期。这是最优停车问题（2.3）的另一个显著特征。（ii）现在我们转到案例B（T）≤ L<L。正如我们在第5节中所看到的，当T=Tand时，运动区域的结构比L<min（L，B（T））的情况简单，因此数值算法涉及较少。事实上，我们可以跳过上述算法中的步骤3-4，只执行步骤1、2、5、6和7来求解（5.14）。我们在图9中说明了这种情况，其中我们绘制了直接运动区域E。（iii）最后，我们讨论了L>L的情况。由于练习区域是上连通的，数值算法变得非常简单。该方法类似于步骤1中的经典无上限看涨期权边界算法。我们简单地离散区间[0，T]，然后从BL，1（T）开始-) = 最大值（rK/δ，L∧B（T））我们使用反向归纳法和求解代数方程序列来恢复运动边界BL，1on[0，T]。我们在图10.8中绘制了直接运动区域E。附录对于定价公式中出现的某些期望值的数值计算，我们使用以下辅助引理。引理8.1。让我们确定一些0≤ t<t且常数水平L>0，并考虑稀释时间τL=inf{u≥ t:Su=L}当库存p大米开始于St=S时的水平L。

然后可以计算以下期望值e-r（τL-t） {τL<t}=（λ2φ/σΦ（d）+λ2α/σΦ（d+2f√T- t/σ）f或S<Lλ2φ/σΦ(-d） +λ2α/σΦ(-d- 2f层√T- t/σ）f或S>l加权=对数λ- f（T- t） σ√T- 串联f=√b+2rσ，b=-（r）- δ - σ/2），φ=（b- f） /2，α=（b+f）/2，λ=S/L。现在，如果我们取一些可积函数G，那么我们计算以下期望值asEte-r（τL∧T-t） G（ST）1{τL≥T}=（e）-r（T-t） S<Le的RLG（x）u（x，t，t）dx-r（T-t） R+∞LG（x）u（x，t，t）dx表示S>l其中u（x，t，t）=Д（d-（x） （）- λ1-2（右-δ） /σД（d+（x））xσ√T- td±（x）=±logλ+log（x/L）+b（T-t） σ√T- t、 证明。证据可在Broadie和Detemple（1995）的附录中找到。参考文献【1】Boyle，P.和Turnbull，S.（1989）定价和对冲封顶期权。J、 未来市场9（41–54）。[2] Broadie，M.和Detemple，J.（1995）美国分割支付资产的上限看涨期权。修订版。财务部。螺柱。8 (161–191).[3] Chance，D.（1994年）。有限行使上限和差价的定价和对冲。《金融研究杂志》17（561-584）。[4] Detemple，J.（2006）。美式衍生品。查普曼和霍尔/CRC。[5] Flesacker，B.（1992年）。有上限股票指数期权的设计和估值。伊利诺伊大学香槟分校工作论文。[6] Karatzas，I.（1988年）。关于美式期权的定价。应用程序。数学Optim公司。17 (37–60).[7] Palczewski，J.和Stettner，L.（2010）。间断泛函的有限时域最优停止及其在时滞脉冲控制中的应用。暹罗J.控制优化。48 (4874–4909).[8] Peskir，G.（2005年）。在曲线上随当地时间变化的变量公式。J、 Theoret。概率。18 (499–535).[9] Peskir，G.和Shiryaev，A.N.（2006）。停止和自由边界问题。数学讲座，ETH Z¨urich，Birkhauser。[10] 邱S.（2016）。美国鹰选项。第1号研究报告（2016），Probab。统计师。曼彻斯特集团（45页）。