风险和可变性的扩展基尼型度量

尾部延伸基尼是标准化的、位置不变的、正均匀的，这一事实很容易从其定义中实现。对于Choquet表示，weagain指出，U可以是[0，1]上的任何均匀分布rv，因此方程F-1X（U）=X保持不变，其中E[X]=m。因此，我们得到t EGinir，p（X）=-2r1- pCov[X，（1- FX（X））r-1 | X>xp]=-2r1- pE[（X- m） （（1- FX（X））r-1.- (1 - p） r-1/r）| X>xp]=-2r1- pE[（X- m） （（1- FX（X））r-1.- (1 - p） r-1/r）| X>xp]=-2r1- pE[（F-1X（U）- m） （（1- U） r-1.- (1 - p） r-1/r）| U>p]=-2r（1- p） Zp（F-1X（u）- m） （（1- u） r-1.- (1 - p） r-1/r）du=（1- p） [ZpF-1X（u）(-r（1- u） r-1+ (1 - p） r-1） du+mrZp（（1- u） r-1.- (1 - p） r-1/r）du]=（1- p） ZpF公司-1X（u）[gr（u）+（1- p） r-1] 杜。事实上，根据前面命题的证明，我们得到了Rp（（1- u） r-1.- (1 -p） r-1/r）du=0。最后，Choquet表示意味着共单调可加性。这就完成了证明。备注3.9。然而，正如Furman等人【11】的反例（r=2）所示，尾部延伸基尼并不是次加性的。因此，与扩展的基尼函数不同，尾部对应项不是变异性的一致度量。尽管TEG不是一个一致的可变性度量，但我们现在将表明，预期缺口与尾部扩展基尼的线性组合有助于形成一致的风险度量，即扩展基尼缺口，从而量化尾部风险的大小和可变性。我们现在定义了这样的组合。定义3.10。让p∈ (0, 1). 我们知道风险价值和预期短缺是函数V aRp:L→ (-∞, ∞] 和ESp:L→ (-∞, ∞] 定义一致性：V aRp（X）=inf{X∈ R:FX（x）≥ p} ，（3.9）ESp（X）=1- pZpV aRq（X）dq。（3.10）备注3.11。ES是一个SSD单调共单调加性相干风险度量，这是一个公认的事实。

当cdf fx连续时，ES与尾条件期望E[X | X]一致≥ xp]。定义3.12。广义基尼缺口是一个函数EGSλr，p:L→ (-∞, ∞]定义的一致性：EGSλr，p（X）=ESp（X）+λT EGinir，p（X），λ≥ 0.（3.11）为了成为合理的风险管理工具，需要一致的风险度量的属性。然而，如前一节所述，TEG不是次加性的，并且作为可变性的度量也不是单调的。然而，当λ为零时，EGS显然继承了ES的所有相干特性，但当λ足够大时，TEG开始支配ES，因此EGS的相干性无法预期。直觉上，正如Furman等人[11]所建议的那样，可能存在描述λ值的athreshold，其中EGS是一致的。我们现在以正式的方式对其进行验证。提案3.13。扩展的基尼缺口具有平移不变性、正齐次性和共单调可加性，可表示为有符号Choquetintegral一致性：EGSλr，p（X）=ZF-1X（u）φλr，p（u）du（3.12），其中，φλr，p（u）=（1- p） [1- p+2λ（gr（u）+（1- p） r-1） [p，1]（u），u∈ [0, 1]. （3.13）此外，广义基尼缺口是λ的SSD单调一致风险度量∈ [0，1/（2）（r-1)(1 - p） r-2)].证据从ES和TEG的性质可以很容易地验证平移不变性、正同质性和共单调可加性。关于Choquet表示，我们有：EGSλr，p（X）=ESp（X）+λT EGinir，p（X）=1- pZpF-1X（u）du+2λ（1- p） ZpF公司-1X（u）[gr（u）+（1- p） r-1] du=ZpF-1X（u）[1- p+2λ（1- p） （gr（u）+（1- p） r-1） ]du=ZF-1X（u）φλr，p（u）du。对于相干性，仍然需要证明EGS对于λ是单调的和次可加的∈[0，1/（2）（r- 1)(1 - p） r-2)]. 注意，φλr，pis是[0，1]上的一个增函数，因此φλr，p（u）是非负的当且仅当φλr，p（p）≥ 0

因此，φλr，pis非负当且仅当λ∈ [0，1/（2）（r- 1)(1 - p） r-2)]. 这一事实暗示了第2节讨论的性质的单调性和次可加性。因此，EGS是选择λ的一致风险度量。最后，对于λ的选择，SSD单调性，这直接暗示了EGS是定律不变的。证据到此结束。备注3.14。根据前面的命题，我们可以将EGS与其接受集联系起来，接受集定义为AEGSλr，p={X∈ 五十： EGSλr，p（X）≤ 0}. 众所周知，例如，见F¨ollmer和Schied[9]，该集合是凸的、定律不变的、单调的，对于正标量的乘法和共单调变量之间的加法是闭合的。此外，我们有AEGSλr，p包含L+，并且与{X没有交集∈ 五十： X个/∈L+}。从EGS的平移不变性直接验证EGSλr，p（X）=inf{m:X+m∈ AEGSλr，p}。备注3.15。我们已经知道，EGS可以表示为不同水平p上ES的凸组合，一种Kusuoka表示，符合EGSλr，p（X）=RESp（X）u（dp），其中φλr，p（u）=r[1-u、 1）su（ds）。这里，u是（0，1）上的概率度量。这些表示与众所周知的对偶表示相联系，符合EGSλr，p（X）=E[XQ]，其中F-1Q（u）=φλr，p（u）。我们可以将Q视为相对于P绝对连续的替代概率度量的相对密度（RadonNikodym）。备注3.16。从前面的命题中，我们得出，扩展基尼短路是Acerbi[1]中引入的谱风险度量类别的一部分，其特征是加权函数φλr，p，能够反映个人对风险的主观态度。在Furman等人【11】中，引入了一个特殊案例（r=2），将相同的权重函数分配给所有决策者。因此，这与个人的风险厌恶功能有关。

因此，φλr、pto依赖于参数r、p和λ更为合理。现在，我们提供了一个关于权重函数φ如何与每个变量（参数）amongu、r、p和λ的变化（偏导数）相关的结果和解释。可以指出，通过光谱表示，结果可以直接理解为每个参数对EGS值的影响。提案3.17。考虑加权函数φλr，p（u）=φ（u，r，p，λ）=1- p+2λ[（1- p） r-1.- r（1- u） r-1](1 - p） [p，1]（u），其中u∈ [0，1]，p∈ （0，1），r>1和λ∈ [0，1/（2）（r- 1)(1 - p） r-2)]. 我们得到：（i）使EGS次可加的λ值的区间在p中具有不减的上界，如果r≥ 2，否则p不增加。此外，当且仅当r≥ 1.-ln（1-p） ；（ii）φ在u中不递减；（iii）φ在λ中不递减；（iv）φ在p if中不递减，且仅在ifu中递减≥ 1.-1.- p- 2λ（r-3)(1 - p） r-14λr（r）-1);（v） φ在r中不递减，当且仅当（1- p） （1）-p）≥经验值(1 - u） r-1[r ln（1- u） +1]（r）-1).证据对于（i），我们必须记住，当λ∈ [0，1/（2）（r- 1)(1 -p） r-2)]. 考虑函数lb（r，p）=2（r- 1)(1 - p） r-2表示λ不应超过的阈值。关于p，我们得到Bp（r，p）=Bp（r，p）=（r- 2） （1）- p） 1个-r2（r- 1).BPR的符号直接依赖于r的符号-因此，对于r，B（r，p）在p中不递减≥ 2，否则不增加。关于r，我们有Br（r，p）=Br（r，p）=-1(1 - p） r-2[1+（r- 1） ln（1- p） ][（r）- 1)(1 - p） r-2].Br的符号取决于Cp（r）=1+（r）的符号-1） ln（1-p） 。

递减函数cpmaps（1，∞) 至(-∞, 1） ，则存在唯一的临界值r=1-ln（1-p） Bpnon在（1，r）上增加，在（r，∞).对于（ii），该主张源于EGS是光谱风险度量这一事实。更具体地说，我们有φu（u，r，p，λ）=2λr（r-1)(1 - u） r-2(1 - p） [p，1]（u），在任何情况下都是非负的。关于（iii），该索赔直接来自EGS的定义。更具体地说，关于我们获得的权重函数φλ（u，r，p，λ）=2[（1- p） r-1.- r（1- u） r-1](1 - p） 【p，1】（u）。我们可以注意到，当u=1时，该表达式在u中是非递减的，具有临界值-(1 -p） r-r-1、因此，φλ≥ u时为0≥ 1.-(1 -p） r-r-1.≥ p、 自rr起-1.≥ 1、但u≥ pis是唯一重要的情况，因为φλ.对于第（iv）项，我们首先注意到φp（u，r，p，λ）=1- 2λ（r- 3)(1 - p） r-2.- 4λr（1）- u） r-1(1 - p）-1(1 - p） [p，1]（u），这是u中的一个非递减表达式。因此，我们得到φp≥ 0当且仅当u≥ 1.-1.- p- 2λ（r-3)(1 - p） r-14λrr-最后，关于第（v）项，我们按照相同的推理得出φr（u，r，p，λ）=2λ[ln（1- p） （1）- p） r-1.- (1 - u） r-1.- r ln（1- u） （1）- u） r-1](1 - p） 。这是一个复杂的表达式，可以同时假设正值和负值，因为分子中的一些项具有不同的符号，没有支配性。此外，isolatingu或r并非微不足道。尽管如此，经过一些处理，我们得到了φr≥ 0当且仅当（1- p） （1）-p）≥ （exp{（1- u） r-1[r ln（1- u） +1]}）（r-1). 到此结束。备注3.18。上述命题所发现的偏导数的非线性行为与函数gr（u）=-r（1-u） r-1，这是我们发展的理论的核心，对于r 6=2来说，这并不是微不足道的，Furman等人[11]考虑了这种情况。很容易注意到，它反复出现在偏导数的表达式中。

因此，我们的贡献是通过将规范案例扩展到可以解决更复杂的r的情况。由于p反映了谨慎性水平，在实践中通常接近1，因此第（i）项的优先级通常接近1。因此，就实际问题而言，λ的上限在最相关的r值中是不递减的。最复杂的参数敏感性分别与第（iv）项和第（v）项中的谨慎性水平p和推广项r有关，因为φpand公司φ由于分子中的某些项具有不同的符号而不受支配，所以很少有表达式可以同时假设正值和负值。这可以解释为φ是一个加权函数，而pand r的变化会改变任何概率水平u的“质量”的大小。由于φλr，p（u）du=1，有必要通过其他值的减少来补偿φ（u）的增加。关于谨慎性水平，前面命题中的第（iv）项强调，对于较大的u值，p中的φnon会减小。这与实际直觉一致，因为将更多的权重置于极端概率。此外，当我们验证φ关于u和p的变化时，这一点得到了证实，我们得到了非负表达式φup=4λr（r- 1)(1 - u） r-2(1 - p） 【p，1】（u）。当我们考虑u和r变化的敏感性时，在一种情况下，我们得到φur=2λ（1- u） r-2[（2r- 1） +（r- r） ln（1- u） ]（1- p） 【p，1】（u），关于符号存在分歧——括号内的第一项为非负项，而第二项为非正项，这与前面的论点一致。尽管如此，φ在r中是不递减的，在这种情况下，r的行为更像是风险规避系数，当p（1）为非递减函数时-p） （1）-p） 大于一个阈值，该阈值是一个表达式，取决于u和r。

重复Prudenclevel的实际选择论证，p将接近1，而对于更多的u值，φ将在r中增加。在这个意义上，r必须被理解为EGS风险度量系列的泛化参数，而不是单个线性风险规避系数。4常规分布的广义基尼缺口在本节中，我们提供了分析公式，以计算已知和常用分布函数的拟议广义基尼缺口。从这个意义上说，位置标度矩阵是由位置参数和非负标度参数参数化的概率分布族。假设Z是一个固定的rv，取α的R值∈ 兰德β∈ (0, ∞), 设X=α+βZ。与X相关的双参数分布族称为与给定Z分布相关的位置-尺度族；α称为位置参数，β称为比例参数。任意分布的标准形式是位置和比例参数分别为0和1的形式。在本节中，我们将注意力限制在标准rv上。通常，当X=α+βZforα∈ R和β∈ (0, ∞), 直接从它们的性质来看，我们得到了ESp（X）=α+βESp（Z）和T EGinir，p（X）=βT EGinir，p（Z）。接下来，我们从一般的椭圆族开始，然后将得到的结果专门化为均匀分布、正态分布和Student-t分布情况。我们记得，如果Xd=α+βZ，则Xis是椭圆分布，其中Z是球形分布。设Zbe为球形rv，特征发生器ψ：[0，∞) → R简洁地Z~ S（ψ）。当Z具有概率密度函数（pdf）时，则存在密度生成器g：[0，∞) → [0, ∞) 这样的话∞z-1/2g（z）dz<∞, 我们简洁地写Z~ S（g）。我们可以将pdf格式转换为f:R→ [0, ∞] f（Z）=c g（Z/2），其中c>0是归一化常数。

当∞g（z）dz<∞, 在这种情况下，我们的E[Z]=0，因为pdf f在0左右对称。在这种情况下，我们定义函数g:[0，∞) → [0, ∞) 按G（y）=cR∞yg（x）dx被称为Z.Wenow态的尾发生器，证明了本节的主要结果。提案4.1。让Z~ S（g）、E[Z]和p∈ (0, 1). 那么，我们有：ESp（Z）=G（zp/2）1- p、 （4.1）T EGinir，p（Z）=2r（r- 1)1 - pE公司(1 - FZ（Z））r-2G（Z/2）| Z>zp+2[1-r（1-p） r-2] ESp（Z）。（4.2）证明。对于ES。我们得到：ESp（Z）=E[Z | Z>zp]=1- pZ公司∞zpzf（z）dz=c1- pZ公司∞zpzg（z/2）dz=c1- pZ公司∞zp/2g（x）dx=G（zp/2）1- p、 关于TEG，我们得到：T EGinir，p（Z）=-2r1- pE[Z（1- FZ（Z））r-1 | Z>zp]- E[Z | Z>zp]E[（1- FZ（Z））r-1 | Z>zp]E[Z（1- FZ（Z））r-1 | Z>zp]=1- pE[Z（1- FZ（Z））r-1{Z>zp}]=1- pZ公司∞zpz（1- FZ（z））r-1f（z）dz注意，zf（z）dz=-dG（z/2）和G（z/2）=（1- p） ESp（Z）。部件的集成应符合：E[Z（1- FZ（Z））r-1 | Z>zp]=1- p（1- p） r-1克（z/2）- （r）- 1） E[（1- FZ（Z））r-2G（Z/2）| Z>zp]=（1- p） r-1ESp（Z）- （r）- 1） E[（1- FZ（Z））r-2G（Z/2）| Z>zp]。E[Z | Z>zp]=ESp（Z）。最后，类似于命题3.5的证明，我们有：E[（1- FZ（Z））r-1 | Z>zp]=（1- p） r-1r。这就完成了证明。备注4.2。请注意，V ar（Z）在错误时是有限的∞z1/2g（z）dz<∞, 在这种情况下，v ar（Z）等于toR∞-∞G（z/2）dz（通过部件集成）。因此，我们有*（z） =G（zp/2）/V ar（z）是pdf。在这种情况下，我们得到表达式T EGinir，p（Z）=2r（r-1)1-pV ar（Z）E[（1- FZ（Z））r-2f层*（Z） | Z>zp]+2[1- r（1- p） r-2] ESp（Z）。现在，我们重点讨论标准均匀rv Z的情况~ U型[-1, 1]. 从这个意义上讲，我们有以下推论。推论4.3。让Z~ U型[-1、1]和p∈ (0, 1). 那么，我们有：ESp（Z）=1- zp4（1- p） ，（4.3）T EGinir，p（Z）=r3（1- p）1.- zp公司r-1+ 2[1 - r（1- p） r-2] ESp（Z）。（4.4）证明。标准均匀分布为密度为fZ（z）的球形分布=[-1,1]（z）=[0,1/2]（z/2），z∈ [-1, 1].

因此，我们得到g（z）=1[0,1/2]（z）和c=。在这种情况下，尾部生成器由以下公式得出：G（y）=Z∞yg（t）dt=-y、 因此，我们得到（zp/2）=1- zp，ESp（Z）=1- zp4（1- p） 为了证明TEGini的结果，我们使用备注4.2。因此，我们得到：T EGinir，p（Z）=2r（r- 1)3(1 - p） E“1.- Zr-2f层*（Z） | Z>zp#+2[1- r（1- p） r-2] ESp（Z），带E“1.- Zr-2f层*（Z） | Z>zp#=4（1- p） Zzp公司1.- zr-2dz=2（1- p） （r）- 1)1.- zp公司r-这就完成了证明。在下一个推论中，我们处理标准法线rv Z~ N（0，1），其cdfwe用Φ表示。推论4.4。让Z~ N（0，1）和p∈ (0, 1). 那么，我们有：ESp（Z）=Φ（zp）1- p、 （4.5）T EGinir，p（Z）=2r（r- 1)1 - pE公司(1 - Φ（Z））r-2Φ（Z）| Z>zp+ 2[1 - r（1- p） r-2] ESp（Z）（4.6）证明。标准正态分布是密度生成器g（z）=exp的球形分布(-z） ，c=1/√2π和G（z/2）=Φ（z）。因此，方程式（4.5）直接遵循方程式（4.1）。为了确定第二部分，我们使用注释4.2，V ar（Z）=1。最后，我们揭示了一个关于Student-t分布的推论。让n∈ R*+,如果其Pdfi:fn（Z），我们说Z有一个具有n个自由度的标准Student-t分布=√nβ（n/2，1/2）1+锌-（n+1），z∈ rBeta（a，b）代表Beta分布。我们设置θ=n+1和kθ=n。然后，我们表示Z~ 参数为θ>的t（θ），pdf可以重写为：fθ（z）=cθ1+z2kθ-θ、 z∈ R其中cθ=(√2kθβ（θ-1/2, 1/2))-1、Z的期望值仅在θ>1时定义明确，Z的方差仅在θ>时定义明确。设Fθ为Z的cdf。推论4.5。让Z~ t（θ），θ>1，和p∈ (0, 1). 那么，我们有：ESp（Z）=cθkθ（1- p） （θ- 1)1+zp2kθ-(θ-1） ，（4.7）T EGinir，p（Z）=2r（r- 1)(1 - p） （θ- 1） cθkθcθ-1E“（1- Fθ（Z））r-2fθ-1rkθ-1kθZ|Z>zp#+2[1- r（1- p） r-2] ESp（Z）。（4.8）证明。

标准Student-t的尾部生成器由以下公式给出：g（z）=1+zkθ-θ、 z∈ RHence，我们得到：G（z）=cθz∞z1+tkθ-θdt=cθkθ- 1.1+zkθ-(θ-1） ，这导致：G（Z/2）=cθkθcθ-1(θ - 1） fθ-1rkθ-1kθZ！然后，方程式（4.6）紧随方程式（4.2）之后。5从理论到实践在本节中，我们将为EGS的实际使用提供说明。在此意义上，考虑EGSλr，pde定义：EGSλr，p（X）=ZF-1X（u）φλr，p（u）du，其中，φλr，p（u）=1- p+2λ[（1- p） r-1.- r（1- u） r-1](1 - p） [p，1]（u），带u∈ [0，1]，p∈ （0，1），r>1和λ∈ [0，1/（2）（r- 1)(1 - p） r-2)].在实践中，EGSλr的评估，PCA可以简化为评估Acerbi[1]提出的离散版本，作为谱风险度量的一致估计：[EGSλr，p（X）=NXi=1X（i）φi，（5.1），其中，{X（i）；i=1，…，N}是观测值的N元组{X，…，XN}给出的有序统计量，φii是给出的合适权重函数的自然选择：φi=φλr，p（i/N）PNk=1φλr，p（k/N）i=1，…，N（5.2）满足piφi=1。根据φλr，p的表达式，EGSλr，pi只涉及V aRp以外的损失，因此我们对尾部风险感兴趣。备注5.1。当r足够高时，（1-p） r-1.-r（1-u） r-1.→ 0φλr，p→1.- p、 也就是说，在这种情况下，EGSλr，pis与ESp混淆。这句话确保了，对于高度风险厌恶的投资者，我们可以简单地使用ESp。换句话说，ESp可以被视为EGSλr，pF对于相当高风险厌恶程度的限制。此外，由于投资者的风险厌恶程度越高，他承担的风险就越小，因此我们可以认为EGSλr，pis至少等于ESpi。e、 ，EGSλr，p≥ 特别是在下面，我们用一个数值例子来说明上述方法。我们的数据集包括2016年11月15日至2017年11月15日期间MASI指数的每日收益，其中包括N=250个观察值。