风险和可变性的扩展基尼型度量

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Extended Gini-type measures of risk and variability》
---
作者：
Mohammed Berkhouch, Ghizlane Lakhnati, Marcelo Brutti Righi
---
最新提交年份：
2018
---
英文摘要：
  The aim of this paper is to introduce a risk measure that extends the Gini-type measures of risk and variability, the Extended Gini Shortfall, by taking risk aversion into consideration. Our risk measure is coherent and catches variability, an important concept for risk management. The analysis is made under the Choquet integral representations framework. We expose results for analytic computation under well-known distribution functions. Furthermore, we provide a practical application.
---
中文摘要：
本文的目的是引入一种风险度量，通过考虑风险厌恶，扩展了基尼类型的风险和可变性度量，即扩展基尼缺口。我们的风险度量是一致的，并抓住了可变性，这是风险管理的一个重要概念。分析是在Choquet积分表示框架下进行的。我们展示了在已知分布函数下解析计算的结果。此外，我们还提供了一个实际应用。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
--

---
PDF下载：
--> Extended_Gini-type_measures_of_risk_and_variability.pdf (466.66 KB)

2022-6-1 04:26:01 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Quantitative Applications Presentation distribution variability

风险和变量的扩展基尼型测度Mohammed Berkhouch*LGII，ENSA，摩洛哥阿加迪尔Ibn Zohr大学。电子邮件：mohammed。berkhouch@edu.uiz.ac.maGhizlane摩洛哥阿加迪尔Ibn Zohr大学ENSA LakhnatiLGII。电子邮件：g。lakhnati@uiz.ac.maMarcelo巴西阿雷格里港南里奥格兰德联邦大学。电子邮件：marcelo。righi@ufrgs.brOctober本文的目的是引入一种风险度量，通过考虑风险规避，扩展了基尼类型的风险和可变性度量，即扩展基尼缺口。我们的风险度量是一致的，并抓住了可变性，这是风险管理的一个重要概念。分析是在Choquetintegral表示框架下进行的。我们展示了在已知分布函数下的解析计算结果。此外，我们还提供了一个实际应用。JEL分类：C6、G10关键词：风险度量、可变性度量、风险厌恶、签名Choquet积分、扩展基尼缺口。1简介在现代风险管理中，文献中提出了大量的风险措施。这些指标是从一组随机变量（财务损失）到实数的映射。首先，重点是预期回报的可变性，众所周知的方差也是如此。在金融系统崩溃和危机之后，*通讯作者。电话号码：（+212）6 10 88 46 86。与基于尾部的风险度量相关的一个显著趋势已经出现，尤其是当今最流行的风险度量：风险价值（VaR）和预期缺口（ES）。然而，这种风险度量并没有捕捉到财务状况的可变性，这是一个原始但相关的概念。

为了解决这个问题，一些作者提出并研究了风险度量的具体示例。在这个意义上，菲舍尔（Fischer）[8]考虑将平均值和半偏差相结合。关于尾部风险，Furman和Landsman【10】提出了一种通过VaR衡量截断尾部的平均值和标准偏差的方法，而Righi和Ceretta【17】则考虑通过损失的分散度来实现ES。从实践的角度来看，Righi和Borenstein【18】探讨了这一概念，称这种方法为损失偏差，用于投资组合优化。Righi[19]以更普遍的方式介绍了风险和可变性度量组成的结果和示例，以确保坚实的理论属性。最近，Furman等人【11】引入了基尼缺口（GS）风险度量，该度量是一致的，满足协单调可加性。GS是ES和基于尾部的基尼系数之间的组合。然而，GS假设所有个体对风险的态度都是相同的，而代理人在做出涉及风险的个人决策的方式上有所不同，因为他们对风险的厌恶程度不同。为了将这种心理行为纳入尾部风险分析，我们引入了广义的GS。这种风险度量称为扩展基尼缺口（EGS），它捕捉到了可变性的概念，满足了协单调可加性特性，并且在其荷载参数的必要和有效条件下是一致的。考虑决策者的风险厌恶，再加上这些属性，与代理人在寻找可测量的风险度量时所寻求的一致。本文采用的方法将我们引入Acerbi[1]提出的谱风险度量的新家族，该家族具有一个吸引人的加权函数。从这个意义上讲，我们将以单独的方式讨论variabilityterm和组合风险度量的属性。

此外，我们还详细讨论了上述加权函数中各参数的作用。此外，我们还展示了在已知分布函数下计算EGS的解析公式的结果。我们在这篇论文中的重点是理论结果，但这种方法引起了进一步的forthcominginvestigations。从这个意义上讲，我们新的风险度量系列的风险预测是一个值得进一步单独调查的主题，这将在未来几年内进行。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍并讨论了一些预备知识，如风险和可变性度量的基本属性，以及符号Choquet积分的作用。在第3节中，我们从经典基尼泛函和扩展基尼泛函开始，介绍这一概念，并探讨我们称之为尾部扩展基尼泛函和扩展基尼短缺的性质。在第4节中，我们给出了椭圆分布风险度量类的闭合形式，然后导出了均匀、正态和Student-t情形。第5节说明了引入的风险度量类别在实践中的应用。2序言我们首先介绍一些基本符号。让(Ohm, A、 P）是无原子概率空间。所有的方程和不等式几乎都是P意义上的。设Lq，q∈ [0, ∞), 表示所有随机变量（从现在起为rv）的集合(Ohm, A、 P）具有有限的q动量和L∞是所有基本有界rv的集合。在本文中，X∈ 当财务损失（利润）为正值（负值）时，Lis arv对其进行建模。对于everyX∈ 五十、 fx表示X的cdf，ux表示任何均匀的[0，1]rv，使得方程F-1X（UX）=X保持不变。R¨uschendorf（[21]，提案1.3）保证了此类rv的存在。我们将xpas表示为X的p-分位数。

当（X（ω）时，两个rv的X和Yare是共单调的- X（ω））（Y（ω）- Y（ω））≥ 0表示（ω，ω）∈ Ohm × Ohm （P×P）-几乎可以肯定。在本文中，我们处理了几个凸锥X ofrv，其中X=Lis特别重要，L∞始终包含在X中。我们首先揭示风险和可变性度量的定义。我们在整篇文章中假设所有泛函都尊重以下性质，这是直接从其分布函数获得泛函的必要条件。定义2.1。如果函数f满足以下性质，则称其为定律不变性：（A）定律不变性：如果X∈ X和Y∈ X在P下具有相同的分布，简洁地说Xd=Y，然后f（X）=f（Y）。定义2.2。风险度量是一个函数ρ：X→ (-∞, ∞], 这可能会满足以下特性：（B1）单调性：ρ（X）≤ ρ（Y）当X，Y∈ X是这样的X≤ 几乎可以肯定。（B2）平移不变性：ρ（X+m）=ρ（X）+m，对于所有m∈ R和X∈ 十、 （A1）正同质性：ρ（λX）=λρ（X），对于所有λ>0和X∈ 十、 （A2）次加性：ρ（X+Y）≤ ρ（X）+ρ（Y），对于所有X，Y∈ 十、 （A3）共单调可加性：ρ（X+Y）=ρ（X）+ρ（Y），对于每个共单调对，Y∈ 十、 如果风险度量满足属性（B1）和（B2），则为货币度量；如果风险度量满足属性（A1）和（A2），则为一致性度量。备注2.3。关于这些性质的解释，我们请读者参考F¨ollmer and Schied（[9]，第4章），Delbaen[6]和McNeil等人[16]。例如，functionalsVaR和ES都是货币的，并且是协单调加性的，而ES甚至是相干的。定义2.4。

函数ν：X→ [0, ∞] 是一种可变性的度量，它可能符合以下特性：（C1）标准化：对于所有c，ν（c）=0∈ R、 （C2）位置不变性：ν（X+c）=所有c的ν（X）∈ R和X∈ 十、 （A1）正同质性：对于所有λ>0和X，ν（λX）=λν（X）∈ 十、 受Rockafellar等人[20]偏差度量概念的启发。（A2）次加性：ν（X+Y）≤ ν（X）+ν（Y）对于所有X，Y∈ X（A3）共单调可加性：ν（X+Y）=对于每个共单调对，Y∈ 十、 如果进一步满足（C1）、（C2）、（A1）和（A2），则可变性度量是一致的。备注2.5。例如，最经典的可变性度量是方差和标准差。方差函数满足属性（A）、（C1）、（C2），但不满足（A1）或（A2），因此不一致。另一方面，由于满足所有上述性质，标准偏差函数是一致的。方差和标准差都不是协单调可加的。此后，有符号Choquet积分的概念起着关键作用。它起源于Choquet[4]，在能力的框架内，由Schmeidler（[22]，[23]）在决策理论中进一步描述和研究。定义2.6。函数h：[0，1]→ 当R为非递减且满足边界条件h（0）=0和h（1）=1时，称其为畸变函数。设h为一个位移函数，该函数由以下等式定义：I（X）=Z∞(1 - h（FX（x）））dx-Z-∞h（FX（x））dx（2.1），适用于所有x∈ X称为（递增）Choquet积分。每当h：[0，1]→ R是有限变量，I称为有符号Choquet积分。备注2.7。当h是右连续的，则方程（2.1）可以重写为（Wanget al.[25]）：I（X）=ZF-1X（t）dh（t）。（2.2）此外，当h是绝对连续的，φa函数使得dh（t）=φ（t）dt，那么方程（2.2）变成：I（X）=ZF-1X（t）φ（t）dt。

（2.3）在这种情况下，φ被称为有符号Choquet积分I的加权泛函。备注2.8。有符号Choquet积分是共单调可加的，我们可以从表示式（2.2）中很容易看到（参见Schmeidler[22]）。此外，我们从Yaari【26】和F¨ollmer and Schied（【9】，定理4.88）中了解到，任何法律不变的风险度量都是单调可加的和货币的，当且仅当它可以表示为Choquetintegral。此外，当且仅当函数h是凸时，函数I是次可加的（参见Yaari[26]和Acerbi[1]）。此外，正如Furman等人[11]所证明的，关于加权泛函φ，积分是单调的当且仅当φ≥ 当且仅当φ在[0，1]上不递减时，它是次可加的。（递增的）Choquet积分和有符号积分之间的主要区别在于，后者更一般，不一定是单调的。我们特别感兴趣的一个实际和理论原因是，我们知道一个合适的风险度量应该是单调的，这是Artzner等人提出的[2]，但这个问题与可变性度量无关。换言之，只要涉及变量的度量，有符号Choquet积分就是相关的。下面的定理是在Furman等人的一个完整证明中阐明的。[11] 给出了变率的共单调可加测度和相干测度的刻划。定理2.9。设ν：Lq→ R是任何Lq连续函数。以下三个陈述是等价的：（i）ν是一个共单调可加且相干的可变性度量。（ii）存在一个凸函数h：[0，1]→ R、 h（0）=h（1）=0，使得ν（X）=ZF-1X（u）dh（u），X∈ Lq。（2.4）（iii）存在一个非递减函数g：[0，1]→ R使得ν（X）=Cov[X，g（UX）]，X∈ Lq。

（2.5）接下来，我们回顾一些在经济学、保险、金融和概率论中流行的可变性偏序：定义2.10。对于X，Y∈ 五十、 X是二阶随机支配（SSD）byY，简洁地说是XSSDY，如果E【f（X）】≤ E[f（Y）]对于所有增凸函数f。如果另外，E[X]=E[Y]，那么我们说X在凸阶上小于Y，简洁地说是XCXY。在此框架下，我们具有以下风险和可变性度量属性：（B3）SSD单调性：如果XSSDY，然后ρ（X）≤ ρ（Y）。（C3）CX单调性：如果XCXY，然后ν（X）≤ ν（Y）。备注2.11。让q∈ [1, ∞], 关于Lqall，实值律不变的相干风险测度是SSD单调的。我们请读者参考Dana【5】、Grechuk等人【14】、F¨ollmer和Schied【9】来证明上述断言，并参考Mao和Wang【15】来描述SSD单调风险度量。3扩展基尼短路在本节中，我们展示了我们的主要贡献，它基于基尼系数，一个由Corrado Gini引入的自由中心可变性度量，作为方差度量的替代（例如，Giorgi（[12]，[13]），Ceriani和Verme[3]）。基尼系数在许多研究领域都具有显著的影响力（例如，Yitzhakian和Schechtman[30]及其参考文献）。伊扎基（Yitzhaki）[28]列出了更多关于基尼系数的备选表述。我们现在给出一个正式的定义。我们同样地说，Y是X的平均保持扩散，简单地说是M P S X.definition 3.1。基尼系数是一个功能基尼：L→ [0, ∞] 定义一致性：基尼（X）=E[| X*- 十、**|], （3.1）其中X*和X**是X.备注3.2的两份独立副本。基尼系数可以用有符号Choquet积分表示：基尼（X）=2ZF-1X（u）（2u- 1） 杜。

（3.2）从定理2.9可以看出，基尼系数是可变性的相干度量，并且是CX单调的。此外，方程（3.2）可以用协方差（这是基尼系数最常见的公式）表示：基尼（X）=4Cov[F-1X（U），U]=4Cov[X，UX]。（3.3）我们记得，U可以是[0，1]分布rv上的任意均匀值，Ux是均匀的[0，1]rv，因此方程式F-1X（UX）=X保持不变。基尼函数假设所有个体对风险都有相同的态度。尽管如此，这一概念可以扩展为一系列在决策者的风险厌恶程度上彼此不同的可变性度量，本文中的参数r反映了这一点。扩展基尼系数的基本定义基于协方差项。我们参考了Yitzhaki【27】、Shalit和Yitzhaki【24】、Yitzhaki和Schechtman【29】以及Yitzhaki和Schechtman【30】，以了解延伸吉尼地产的概述。我们现在在正式意义上公开它。定义3.3。扩展基尼系数是一种功能性基尼系数：L→ [0, ∞]定义一致性：EGinir（X）=-2rCov[X，（1- FX（X））r-1] ，r>1。（3.4）备注3.4。扩展基尼有一些特殊情况： 对于r=2：扩展基尼系数变为简单基尼系数。 对于r→ ∞: 扩大基尼反映了最大最小投资者的态度，他们只在最坏的结果方面表达风险。 对于r→ 1： 扩展基尼值趋于零，代表了一个风险中性个体的态度，他不关心可变性。现在，我们将探讨扩展基尼系数作为signedChoquet积分的特征。在这个意义上，请注意，从定理2.9中的方程式（2.5）中，如果onesets gr（u）=-r（1- u） r-1对于r>1和u∈ [0，1]，我们遇到ν（X）=-r Cov[X，（1-FX（X））r-1]. 考虑到这一点，我们现在陈述并证明正式结果。提案3.5。

扩展的基尼泛函是变异性的CX单调相干度量，由有符号Choquet积分Ginir（X）=2ZF表示-1X（u）（1+gr（u））du。（3.5）证明。我们记得，U可以是[0，1]上的任意均匀分布的rv，这样方程F-1X（U）=X成立，其中E[X]=m。为了获得证明，我们需要声明E[（1- FX，p（X））r-1 | X>xp]=（1- p） r-X为1/r∈ 五十、 r∈ (1, ∞) andp公司∈ 为了证明这一点，我们得到了- FX，p（X））r-1 | X>xp]=E[（1- U） r-1 | U>p]=1- pZR（1- u） r-1[p，1]（u）du=1- pZp（1- u） r-1du=1- p[-(1 - u） r/r]p=（1- p） r-1/r。在这个角度下，我们可以很容易地验证：E[（1- FX（X））r-1] =1/r。因此，我们得到以下结果：EGinir（X）=-2r Cov[X，（1- FX（X））r-1]= -2r E[（X- E（X））（（1- FX（X））r-1.- E[（1- FX（X））r-1])]= -2r E[（F-1X（U）- m） （（1- U） r-1.-r） ]=-2rZ（F-1X（u）- m） （（1- u） r-1.-r） du=-2rZF-1X（u）（（1- u） r-1.-r） du=2ZF-1X（u）（1+gr（u））du。从这个有符号Choquet积分表示出发，命题中的其他主张紧接着从定理2.9开始，并且所有变量的相干测度都是CX单调的。证据到此结束。备注3.6。在这种情况下，定理2.9的hrin方程（2.4）由以下公式得出：hr（u）=u+（1- u） r- 1，r>1（3.6）根据公开的内容，我们现在将重点转向对分布函数尾部的调整。在这个意义上，我们现在引入尾部扩展基尼（TEG）泛函，并正式证明其性质和Choquet积分表示。定义3.7。尾部延伸基尼是一种功能性基尼，p:L→ [0, ∞] 定义一致性：T EGinir，p（X）=-2r1- pCov[X，（1- FX（X））r-1 | X>xp]，r>1，0<p<1。（3.7）提案3.8。尾部扩展基尼是标准化的、位置不变的、正齐次的、共单调的加性基尼。此外，它是一个有符号的Choquet积分：T EGinir，p（X）=（1- p） ZpF公司-1X（u）[gr（u）+（1- p） r-1] 杜。（3.8）证明。