全球范围内稳健的定价和对冲

取（3.8）中的P-期望值并使用（3.9）表明，EPhf（R[0，T]XtdAt）i≤ u(φ) + ν(ψ).这证明了P、A和（ψ、ψ、H）是任意的。通过对a或f的附加温和假设，我们得到了强对偶和对偶极小值的存在性：定理3.9。Letu≤cν不可约，设f:R→ [0, ∞] be Borel，让Abe得到一组平均过程。假设以下两个条件之一：我们使用约定inf = ∞.o f是下半连续的，A包含一个内部平均过程；oA包含一个严格的内周期平均过程。然后su，ν（f，A）=Iu，ν（f，A）∈ [0, ∞]只要上述两个条件之一成立，这个值就与A无关。此外，如果Iu，ν（f，A）<∞, 然后存在一个优化器（ψ，ψ，H）∈Du，ν（f，A）表示Iu，ν（f，A）。备注3.10。（i） 对于固定的f，基于模型的稳健价格Su，ν（f，A）在选择se t A下是不变的（只要定理3.9的假设成立）。特别是，美国、百慕大和欧洲中等成熟度期权（参见示例3.3-3.4）都具有相同的稳健模型基础价格（因为相应的集合A都包含严格的内部平均过程）。如果f是下半连续的，则扩展到示例3.3（i）的Asian styleoption。如果给出了两个以上的边际值，则这些衍生产品的基于实物模型的价格通常会有所不同；参见示例6.3。（ii）式（3.1）的导数明显依赖于X和/或X，如f（（X+X））不在定理3.9中（A不包含内部平均过程）。在这些情况下，稳健的基于模型的价格仍以相应的稳健的基于模型的价格为界，例如欧式衍生工具f（XT/2）。

然而，这个不等式通常是严格的；参见示例6.4。备注3.11。（i） 定理m 3.9可以沿着[8，第7节]的路线扩展到不可约边值。（ii）如果我们将自己限制在有限的风险策略上，则持续保持强大的双重性；参考备注4.15了解论点的概要。是否存在（通常）具有有限变化动态部分H的对偶极小值（ψ，ψ，H），这是一个悬而未决的问题。我们将定理3.9的证明推迟到第4.4节的末尾。这个想法如下。我们分别用辅助最大化问题和辅助最小化问题来约束定价问题和hedg-ing问题，并证明这两个辅助问题之间存在strong对偶。因此，所有四个问题都具有相同的价值，尤其是价格和对冲问题具有很强的二元性。此外，我们还证明了辅助对偶问题允许一个极小化子，并且辅助问题对偶空间中的每个元素都会产生一个代价相同的半静态超边。然后，特别地，辅助对偶问题的极小值产生了f和A的最优半静态超边（与A无关）。4辅助问题在本节中，我们定义了一个不可约对u≤具有域（I，J）和函数f:R的cν→由一个ν-可积凹函数从下方限定的R。第4.1节正式推导了辅助原始和对偶问题。第4.2–4.3节严格介绍了它们，并证明它们分别是基于模型的稳健价格和稳健超边际价格的上界和下界。第4.4节证明了它们的强对偶性。

最后，第4.5.4.1节研究了辅助pr问题的原优化器和对偶优化器的结构特性。形式（3.1）的支付的关键特性是在P∈ M（u，ν）在u和ν之间为凸序。在本节中，我们将解释这一观察结果，以及如何使用它从下面估计鲁棒pricingproblem和从上面估计鲁棒Superhedge问题。让P∈ M（u，ν）a和letτb e a[0，T]-值F-停止时间。可选停止定理和Jensen不等式的应用表明，对于任何凸函数ψ，u（ψ）=EP[ψ（X）]=EPψ（EP[Xτ| F]）≤ EP[ψ（Xτ）]和ν（ψ）=EP[ψ（XT）]≥ EP公司ψ（EP[XT | Fτ]）= EP[ψ（Xτ）]，因此P下的Xτ定律在u和ν之间为凸序。利用一个时变参数和Jensen不等式以及optionalstopping定理，可以证明这个性质推广到平均过程a的随机变量r[0，T]xtdat。引理4.1。让P∈ M（u，ν），设A为平均过程。那么P下r[0，T]xtdat的定律是在u和ν之间的凸序。在续集中，为了简洁起见，我们编写了S=Su，ν（f，A）和I=Iu，ν（f，A）。引理4.1意味着≤ supu≤cθ≤cνθ（f）=：eS。我们在第4.2节中表明，在对f和A的温和假设下，逆不等式也成立。因此，S=eS和one被认为是I=eI的可测对偶问题。因此，让我们正式推导拉格朗日对偶问题。

双重化约束u≤cθ≤cν建议考虑拉格朗日（θ，ψ，ψ）：=θ（f）+（θ（ψ）- u(ψ)) + (ν(ψ) -θ（ψ）），（4.1），其中凸函数ψ，ψ被视为拉格朗日乘子。那么这个图对偶问题就是i=infψ，ψsupθL（θ，ψ，ψ）=infψ，ψsupθ{θ（f+ψ- ψ) -u（ψ）+ν（ψ）}注意，（4.1）中的最后两项对于所有凸ψ，ψ当且仅当原始约束u≤cθ≤cν保持不变。其中，企业接管了共同投资职能，并采取了明确的措施。将有限测度θ视为约束f的拉格朗日乘数≤ -ψ+ψ和重新标记Д=-ψ和ψ=ψ，我们得到i=inf{u（ν）+ν（ψ）：Д凹，ψ凸，和Д+ψ≥ f} 。（4.2）在第4.3节对EI的精确定义中，u（ν）+ν（ψ）是广义定义2的理解。5和不等式ψ+ψ≥ f需要保持J。然后我们证明，foreI中的每个可能元素（Д，ψ）都包含一个元素（Д，ψ，H）∈ Du，ν（f，A）（命题4.7），这意味着≤工程安装。将上述与弱对偶不等式（引理3.8）yieldseS=S相结合≤ 我≤工程安装。因此，对于r-obust定价和超边缘问题的强对偶性和双重实现，归结为对于更简单的辅助问题的相同断言，这在第4.4.4.2节辅助原始问题中得到了证明。考虑辅助原始问题u，ν（f）=supu≤cθ≤cνθ（f），（4.3），其中θ（f）被理解为外积分，如果f不是Borel可测的。在f和A的合理条件下，原始值u，ν（f）是稳健模型基础d价格（3.2）：命题4.2的下限。设A是一组平均过程。

假设以下两组条件中的一组成立：（i）A包含一个内部平均过程，f是下半连续的，并且从下方以一个ν-可积凹函数ν：J为界→R（ii）A包含严格的内部平均过程，f是Borel。TheneSu，ν（f）≤ Su，ν（f，A）。本节末尾给出了命题4.2的证明。它基于以下以M（u，ν）为单位的度量构造，根据该构造，r[0，T]XtdAtequals定律（近似或实际）等于给定θ。这种结构还强调了A包含一个内部平均过程的重要性，该过程不会对给定X的边际分布的时间0和T施加任何质量；反例见示例6.4。引理4.3。Letu≤cθ≤cν。（i） 有一个序列（Pn）n≥1. M（u，ν），使lpnZ[0，T]XtdAtn→∞----→ θweaklyf对于每个内平均过程A.（ii）如果A是严格的内平均过程，则存在P∈ M（u，ν）（取决于A）使得LPR[0，T]XtdAt= θ.证据（i） ：通过命题2.1的两步改编，存在一个度量∈ Md（u，θ，ν）。对于所有足够大的n，让ιn:R→ Ohm be嵌入ofRinOhm 它将（y，y，y）映射到具有恒定路径的工件[0，T] t 7→ y[0，n）（t）+y[n，t）（t）+y{t}（t）（4.4）（在时间和t跳跃（最多），并用Pn表示：=Qo （ιn）-1相关pushfor ward措施。然后Pn∈ M（u，ν）的相应性质。此外，表示Rby（Y，Y，Y）上的正则过程，并设置An=Ao 对于一个内部平均过程，我们有z[0，T]（n）tdAnt- Y=YAnn-+ Y（蚂蚁-- 安-) + Y蚂蚁- YAT=（Y- Y） 安-+ （Y）- Y）AnT（4.5）=（Y- Y） 安-在R上，我们使用=1和内部平均过程的AT=0。通过构造，Q下的r[0，T]（ιn）tdantn定律与pn下的r[0，T]xtdat定律相结合，云德Q定律为θ。

因此，证明（4.5）c中的右侧在L（Q）中接近于零，即n→ ∞.为此，请注意| Y- Y |≤ |Y |+| Y |是Q-可积的，因为u和θ有有限的一阶矩。因此，受支配收敛的影响，Ann-→ 0点方向为n→ 0.So fix（y，y，y）∈ R、 自isF改编后-（ω） 仅取决于区间[0，n]上路径ωo的值。鉴于嵌入（4.4），这意味着-（y，y，y）=An-（ιn（y，y，y））=一个-（y[0，T]），其中y[0，T]表示y处的常数路径。因此，断言的逐点收敛源自A=0且A是右连续的事实。（ii）：如果A是一个严格的内部平均过程，那么（4.5）中的最后一个表达式对于足够大的n是相同的零，并且设置P=pn给出期望的结果。备注4.4。引理4.3的第（i）部分仍然成立，如果我们限制自己使用几乎肯定是连续路径的鞅测度。第（ii）部分对连续鞅的模拟需要额外的假设，即存在小于T的，使得≡ 这个断言的主要成分是[9，定理1 1]：对于每个离散时间鞅{Yn}n≥0，存在连续时间鞅{Zt}t≥0具有连续采样路径，因此进程{Yn}n≥0和{Zn}n≥0具有相同的（联合）分布。命题4.2的证明。Letu≤cθ≤cν。首先假设条件（ii）成立，并假设A是严格的内部平均过程。然后通过引理4.3（ii），有P∈ M（u，ν），使得LP（R[0，T]XtdAt）=θ。因此，θ（f）=EP“fZ[0，T]X dA#≤ Su，ν（f，A）。由于θ是任意的，因此声明如下。下一步，假设条件（i）成立，并假设A是内部平均过程，而Д与条件（i）相同。根据引理4.3（i），有一个序列（Pn）n∈N M（u，ν），θn：=LPn（R[0，T]XtdAt）→ θ弱。定义fk=f∨ (-k） ，k≥ 1.

那么fkis的界是低的和下半连续的，所以lim infn→∞θn（fk）≥ θ（fk）由Portmanteau定理确定。固定ε>0。选择足够大的第一个k，以便ν（（ν+k）-) ≤ε和N足够大，以至于θN（fk）- θ（fk）≥ -ε表示所有n≥ N、 使用该0≤ fk公司- f≤ （^1+k）-（Д+k）-是凸的，我们得到≥ N、 θN（f）-θ（f）=θn（f-fk）+（θn（fk）- θ（fk））+θ（fk- f）≥ -θn（（Д+k）-) -ε≥ -ν（（ν+k）-) -ε≥ -ε.因此，lim infn→∞θn（f）≥ θ（f）。现在，声明遵循mθ（f）≤ lim信息→∞θn（f）=lim infn→∞EPn“fZ[0，T]XtdAt#≤ Su，ν（f，A）。4.3辅助对偶问题考虑辅助对偶问题iu，ν（f）=inf（ν，ψ）∈eDu，ν（f）{u（ν）+ν（ψ）}，（4.6），其中u，ν（f）表示（ν，ψ）的集合∈ Lc（u，ν），带凹面Д：J→R与凸ψ：J→R使得ψ+ψ≥ f on J.对偶值eiu，ν（f）是稳健超边缘pr ice（3.10）：命题4.5的上界。让f：R→ [0, ∞] 博雷尔。然后Iu，ν（f，A）≤eIu，ν（f）。命题4.5紧跟在下一个结果（命题4.7）之后，该结果表示每个（ψ，ψ）∈eDu，ν（f）产生f和a的半静态超边。更准确地说，半静态超边的形式为（Д，ψ，H），动态部分H可以用Д和ψ的“导数”明确表示。给定一个凸函数ψ：J→ R、 一个Borel函数ψ′：I→ 对于每个x，R被称为ψif的asubderivative∈ 一、 ψ′（x）属于ψ在x处的次微分，即ψ（x）-ψ（x）≥ ψ′（x）（x）-x） ，x∈ J、 对称地，对于凹函数Д：J→ R、 a Borel函数Д′：I→ Ris称为νif的超导数-ν′是-φ.备注4.6。If（ψ，ψ）∈eDu，ν（f）和f>-∞ 在J上，则ψ和ψ都是有限的（因此，亚导数和超导数都得到了很好的定义）。根据注释2.8，我们已经知道ψ在J上是有限的。此外，ψ<∞ o n J byLemma 2.7（i）如果f>-∞ 在J上，然后≥ f- ψ > -∞, 因此，这也是J.命题4.7的定义。

让f：R→ [0, ∞] be Borel and let（ψ，ψ）∈eDu，ν（f）。表示^上的正则过程Ohm 通过（X，A），确定^F适应过程h=（ht）t∈[0，T]（开）Ohm) byh=Д′（X）（1-（A）-ψ′（X）A，ht=-^1′（X）-ψ′（Xt），t∈ （0，T），（4.7）式中，Д′是ψ的任何超导数，ψ′是ψ的任何次导数，我们在R\\I上设置Д′=ψ′=0。设置H=（H，A）。然后（ψ，ψ，H）∈ Du，ν（f，A）表示平均过程的任意非空集A。本节末尾给出的命题4.7的证明依赖于以下两个技术引理。定义Ohmu，νin（3.4）对于第一个至关重要。我们还记得（实值）cádlág函数在c compactintervals上是有界的。引理4.8。设ψ和ψ′如命题4.7所示。对于每个ω∈ Ohmu，ν，函数[0，T] t 7→ （ωT- ωt）ψ′（ωt）有界。证据固定ω∈ Ohmu，ν，写I=（l，r）和l，r∈R、 我们考虑三种情况：（i）J=i，（ii）J=[l，R），和（iii）J=[l，R]。情形（l，r）与（ii）对称。（i） ：假设J=i=（l，r）。我们声称ω在I的一个比较（因而严格）子集中演化。为了矛盾，假设∈[0，T]ωT=l∈ [-∞, ∞). 然后是序列（tn）n∈N [0，T]这样limn→∞ωtn=l。如有必要，可将该序列传递到子序列，以（严格地）增加或不增加到极限t∈ [0，T]。那么，作为ωiscádlág，ωt-= l或ωt= l、 但是ωt= l在任何情况下Ohmu，ν，ωt的矛盾∈ J=I。因此，输入∈[0，T]ωT>l且对称上切∈[0，T]ωT<r。这证明了这一说法。因此（ωT- ωt）ψ′（ωt）在t上有界∈ [0，T]因为次导数ψ′有界于I.（ii）的紧子集上：假设J=[l，r]，即ν在l>-∞. 如果ω演化为inI，那么我们可以像（i）中那样进行论证。因此，我们可以假设t:= inf{t∈ [0，T]：ωT=l}∈ （0，T）。那么，由于ω是cádlág，通过定义Ohmu，ν，对于所有u，我们有ωu=l∈ [t, T]）。

特别地，ωT=l，这足以证明[0，T)  t 7→ （ωT- ωt）ψ′（ωt）有界。我们可以像（i）中一样论证r′：=支持∈[0，T]ωT<r，因此路径ω在紧区间[l，r′]中演化。因为ψ是凸的且在（l，r）上是有限的，所以ψ′从上到下是有界的。因此t 7→ （ωT-ωt）ψ′（ωt）在[0，t]下有界). 为了证明这个函数也是有界的，我们观察到，通过ψ的凸性，（ωT- ωt）ψ′（ωt）≤ ψ（ωT）-ψ（ωt）=ψ（l）- ψ（ωt）。（4.8）现在ψ（l）是有限的，因为ν在l上有一个原子，ψ在[l，r′]上从b e low开始有界，因为它在紧致区间[l，r′]上是有限的和凸的。在（4.8）中使用this可以显示断言。（iii）：假设J=[l，r]，即ν在l>-∞ 和r<∞.如（ii）所示，我们可以计算ω在T之前到达J的一个端点。根据对称性，我们可以通过定义Ohmu，ν，则路径ω从右端点r（否则将在r中捕获）开始，即supt∈[0，T]ωT<r。现在，与（ii）中相同的参数证明了该断言。第二个技术引理是[8，备注4.10]对我们的设置的改编。它用于显示第4.7条中半静态交易策略的容许条件（3.9）。引理4.9。Let（ψ，ψ）∈ Lc（u，ν）和let g，g:J→ 博雷尔。设τ为一个[0，T]值的F-s顶置时间，使得ψ（X）+ψ（XT）+g（X）（Xτ- 十） +g（Xτ）（XT- Xτ）（4.9）从下到上为界Ohmu,ν. 那么对于所有P∈ M（u，ν），EP[Д（X）+ψ（XT）+g（X）（Xτ- 十） +g（Xτ）（XT- Xτ）]=u（ν）+ν（ψ）。证据设χ为（ψ，ψ）相对于u的凹慢化剂≤cν，设θ为Xτ定律。通过可选停止，u≤cθ≤cν。我们将（4.9）扩展到（^1）-χ） （X）+（ψ+χ）（XT）+[χ（X）- χ（XT）（4.10）+g（X）（Xτ- 十） +g（Xτ）（XT- Xτ）]，并观察到前两项是P-可积的。

然后，假设下边界得到最后一项有一个P可积的负部分。因此，我们可以应用Fubini定理并迭代计算其积分。为此，letQ是正则空间rw上的（X，Xτ，XT）定律，分解dq=u（dx）κ（x，dx）κ（x，x，dx）表示martinga le kernelsκ和κ。鉴于（2.4）中u（ν）+ν（ψ）的定义，我们必须确定（4.10）中最后一项的P-期望值是（u-ν)(χ).为此，我们观察到u κ-a.e.（x，x）∈ J、 ZJ[χ（x）- χ（x）+g（x）（x- x） +克（x）（x- x） ]κ（x，x，dx）=ZJ[χ（x）-χ（x）+g（x）（x- x） ]κ（x，x，dx）（4.11）=χ（x）-ZJχ（x）κ（x，x，dx）+g（x）（x- x） 。将（4.11）的左侧与u积分κ给出了（4.10）中最后一项的P期望值。因此，仍需证明右侧的相应积分等于（u-ν)(χ). 将（4.11）的右侧与κ（x，dx）进行积分，得到u-a.e.x∈ J、 χ（x）-ZJχ（x）κ（x，dx），（4.12），其中κ（x，·）=RJκ（x，·）κ（x，dx）是一个增益a鞅核。最后，（4.12）对uisZJ的积分χ（x）-ZJχ（x）κ（x，dx）u（dx）。注意到u κ是rw上的一步鞅测度的分解，其边缘为u和ν，最后一项等于（u-ν） （χ）引理2.4。命题4.7的证明。首先，我们证明了t（ψ，ψ，H）是一种半静态的交易策略。因为h和A是明显的^F适应和（Д，ψ）∈ Lc（u，ν）根据假设，仍需检查条件（3.5）（用A代替Y）。因此，请确定平均过程A，并注意HA=（HA，A）。provingHA中唯一重要的部分∈ L(Ohmu，ν）表示（XT- Xt）hAtis dA可积于（0，T）上，用于Ohmu,ν. 为此，请注意Д′（X）和ψ′（X）是有限的，因为∈ 一、 因此，必须表明（XT- Xt）ψ′（Xt）在中的每条路径的[0，T]上有界Ohmu,ν; 这是引理4.8的内容。其次，我们展示了超边缘属性（3.8）。