全球范围内稳健的定价和对冲

为了处理中间定律，我们在这里对他们的工作进行了轻微的扩展≤cθ≤cν，其中≤cθ和θ≤cν可能不是不可约的。在本文的其余部分中，每当我们编写u≤cν对于任何两个度量ua和ν，我们隐含地假设这两个度量都是有限的，并且有一个有限的第一时刻。在本节中，我们将≤cθ≤cθ≤cν。定义2.3。Letχ：J→ R为C形。表示为-凸函数的二阶导数测度χ′-χ和byχ在I的端点处χ的可能跳跃。我们设置（θ- θ） （χ）：=ZI（uθ- uθ）dχ′+ZJ\\I|χ| d（θ- θ) ∈ [0, ∞]. （2.2）右侧在[0，∞] 因为uθ≤ I和θ（{b}）上的uθ≤θ（{b}）表示b∈ J\\I.如果θ=u且θ=ν，则（2.2）与[8]中的方程式（4.2）一致，因为u集中在I上。如[8]中所述，存在（θ）的替代表示- θ） （χ）关于R上（一步）鞅耦合分解的迭代积分：引理2.4。Letχ：J→ R是凹的，让Q∈ Md（θ，θ）。对于任何分解Q=θ κ、 我们有（θ- θ） （χ）=ZJχ（x）-ZJχ（x）κ（x，dx）θ（dx）。证据[8，引理4.1]的证明没有使用该u≤cν是不可约的。此外，对于χ：J→ R凹和连续，与[8，Le mma 4.1]yieldZI（uθ- uθ）d′χ′=ZJ(R)χ（x）-ZJ′χ（x）κ（x，dx）θ（dx）。（2.3）（注意，对于边界点x，rj'χ（x）κ（x，dx）=χ（x∈ J\\I因为κ是集中在J.）上的鞅核，对于一般凹χ：J→ R、 我们写χ=(R)χ- |χ| 1J \\i带'χ连续。

然后，我们可以在（2.3）的左侧用χ替换“χ”，右侧的被积函数读数为χ+|χ| 1J\\I-ZJχ（x）κ（·，dx）-ZJ\\I|χ（x）|κ（·，dx）。将其与θ积分并使用Fubini定理yieldsZJχ（x）-ZJχ（x）κ（x，dx）θ（dx）+ZJ\\I|χ| dθ-ZJ\\I|χ| dθ。这与（2.3）一起证明了该主张。如[8]所示，（θ-θ)(χ) = θ(χ) - θ（χ），如果至少一个单独的积分是有限的。我们现在可以定义积分θ（Д）+θ（ψ），如【8，定义4.7】所示。定义2.5。Let^1：J→R和ψ：J→ R be Borel函数。如果存在凹函数χ：J→ R以便-χ ∈ L（θ）和ψ+χ∈ L（θ），我们说χ是（ψ，ψ）相对于θ的凹慢化剂≤cθ和setθ（Д）+θ（ψ）：=θ（Д-χ) + θ(ψ + χ) + (θ- θ)(χ) ∈ (-∞, ∞]. （2.4）如[8]中所述，（2.4）中定义的表达式θ（Д）+θ（ψ）不影响凹面慢化剂的选择。定义2.6。对于Borel函数对的空间，我们写Lc（θ，θ）：J→ R允许凹模torχ与θ的关系≤cθsuchthat（θ- θ)(χ) < ∞.接下来，我们将介绍上述概念的其他性质。引理2.7。Let（ψ，ψ）∈ Lc（θ，θ）。（i） ν是θ原子上的有限元素。如果Д为凹面，则Д<∞ 在J和Д上>-∞关于θ支撑的凸包的内部。（ii）ψ是θ原子上的有限元素。如果ψ是凸的，那么ψ>-∞ 关于J和ψ<∞关于θ支撑的凸包的内部。（iii）如果a，b：R→ R为a ffne，则（ψ+a，ψ+b）∈ Lc（θ，θ）和θ（Д+a）+θ（ψ+b）={θ（Д）+θ（ψ）}+θ（a）+θ（b）。证据我们只同意（iii）。设χ是（ψ，ψ）相对于θ的协方差慢化剂≤cθ。然后^1-χ ∈ L（θ），ψ+χ∈ L（θ），和（θ-θ)(χ) < ∞. Beinga ffne，a和b是θ-和θ-可积的。因此，χ也是（Д+a，ψ+b）的凹面慢化剂，r相对于θ≤cθ和（Д+a，ψ+b）∈Lc（θ，θ）。最后一个断言是直接计算。备注2.8。

回想一下，I是ν的支撑的凸包的内部，J是I和作为ν原子的I的任何端点的并集。因此，引理2.7（ii）特别表明，如果（ψ，ψ）∈ Lc（θ，ν）与ψ凸，则ψ在J上是有限的。我们用上述积分的一些计算规则来总结这一节，当ν是凹的，ψ是凸的。引理2.9。Letu≤cθ≤cθ≤cθ≤cν（其中对u≤cν不可约）和let（ψ，ψ）∈ Lc（θ，θ）是这样的，即Д是凹的和有限的，ψ是凸的和有限的，并且Д+ψ从下方以凹的θ-可积函数为界。（i） ^1和-ψ是（ψ，ψ）相对于θ的凹慢化剂≤cθ。（ii）（Д，ψ）∈ Lc（θ，θ）∩Lc（θ，θ）。（iii）θ（Д）+θ（ψ）≤ θ(φ) + θ(ψ).（iv）θ（Д）+θ（ψ）≤ θ(φ) + θ(ψ).证据表示为ξ+ψ的凹θ-可积下界。根据ξ的凹度，我们得到θ（ξ）≥ θ(ξ) ≥ θ(ξ) > -∞, 所以ξ也是θ-和θ-可积的。（i） ：关于ν的凹慢化剂性质，必须证明ν+ψ是θ-可积的。用I上凹函数Д的左导数Д′表示。然后表示（x，x）∈ I×J，ξ（x）≤ ψ（x）+ψ（x）≤ Д（x）+ψ（x）+Д′（x）（x- x） 。（2.5）固定任何Q∈ Md（θ，θ）。然后（2.5）还将Q-a.e.保持在J×J上（例如，在J\\I上设置Д′=0）；这使用了J\\I点上的任何质量保持在鞅运输计划下。由于ξ是θ-可积的，所以（2.5）中右侧的负部分是Q-可积的。然后，可以在[8，备注4.10]中论证，（2.5）中的右侧是Q-可积的。它允许ψ+ψ是θ-可积的。关于断言-ψ、 必须证明ψ+ψ是θ可积的。我们有ξ（x）≤ Д（x）+ψ（x）=[Д（x）+ψ（x）+Д′（x）（x- x） ]+[ψ（x）-ψ（x）- И′（x）（x）- x） ]Q-a.e.在J×J.（2.6）根据上述，右侧的第一项是Q-可积的。因此，第二项的负部分也是Q-可积的。

因此，我们可以使用Fubini定理对第二项进行迭代积分，如【8，备注4.10】所示。Q积分等于-(θ-θ)(-ψ) ≤ 特别地，（2.6）中的右侧是Q-可积的。因此，ψ+ψ是θ-可积的。（ii）–（iv）：我们从上面知道，ψ+ψ是θ-可积的。由此可知，对于θ，ν是（ψ，ψ）的凹慢化剂≤cθ。因为θ≤cθ，我们有uθ≤ uθ和θ（{b}）≤ θ（{b}）表示b∈ 因此，（θ- θ)(φ) ≤ (θ- θ)(φ) < ∞ （参见定义2.3）。因此，（ψ，ψ）∈ Lc（θ，θ）和θ（Д）+θ（ψ）=θ（Д-φ) + θ(φ + ψ) + (θ- θ)(φ)≤ θ(φ -φ) + θ(φ + ψ) + (θ- θ)(φ)= θ(φ) + θ(ψ).可以类似地显示（ψ，ψ）∈ Lc（θ，θ）和θ（Д）+θ（ψ）≤ θ(φ)+θ(ψ).2.3路径随机积分对于任何有限变分的F适应cádlág过程H，积分H-oXT=R（0，T）Ht-DXT可按路径定义，即针对每个ω∈ Ohm 分别通过以下部分进行整合：H-o XT：=XTHT- XH公司-Z（0，T）XtdHt，（2.7），其中右侧的积分是路径Lebesgue–Stieltjesuintegr al.设置H0-= 0，因此H=H，我们可以重铸（2.7）灰-o XT=（XT- 十） H+Z（0，T）（XT- Xt）dHt。（2.8）对于任何鞅测度P，如果H的（标准）随机积分-关于X的存在，那么它是P-与路径随机积分不可区分的。我们需要给积分H一个合理的意义-o XT对于某些整数和H，它们不一定是有限的变化，但可能在有限的时间内发散。示例2.10。下面的例子激发了我们对有限变分被积函数的路径随机积分的扩展。设u=δ，ν=δ-1+δ.然后u≤cν与域（I，J）=((-1, 1), [-1, 1]).

考虑apayo ff函数f，它在[-1，1]，并且在-1和1，例如，f（x）=1-√1.-x个[-1,1]（x），亚洲风格导数f（TRTXtdt）的半静态超边可推导如下。ByJensen不等式与f的凸性[-1，1]，fTZTXtdt≤ZTf（Xt）dtT≤ZT公司f（XT）-f′（Xt）（Xt- Xt）dtT=f（XT）-ZT（XT- Xt）f′（Xt）dtT。与（2.8）相比，亚洲风格衍生品的半静态超优势来自于Payofff（XT）成熟度为T的欧洲风格衍生品和H=0且动态dHt的动态交易策略H=-f′（Xt）dtT。当X远离(-1, 1). 但是，当X接近时-1或1，导数f′（Xt）bec任意变大（绝对值），H可能无法确定。然而，事实证明，integralRT（XT-Xt）f′（Xt）数据仍在这些路径上定义。原因是，当X的路径任意接近1时，那么对于任何鞅耦合P∈ 这些路径上的M（u，ν），XT=1P-a.s.（原因J=[-1，1]），以便XT-Xtbec体积小，阻碍f′（Xt）的生长。我们将为F-自适应cádlág积分器X和被积函数H定义一个路径随机积分-F rm^Ht=h+Z（0，t]hsdYs（2.9），对于F适应的cádlág过程Y=（Yt）t∈有限变量的[0，T]和Fadapted过程h=（ht）T∈[0，T]-即使在（2.9）的右侧不确定的某些情况下。其想法是将（2.9）正式替换为（2.8），正式使用Lebesgue–Stieltjes积分的关联性，然后将结果表达式用作路径随机积分的定义。我们首先为该积分引入一组被积函数。定义2.11。Le t公司Ohm′ D（[0，T]；R）。

我们用L表示(Ohm′) 由一个F适应过程h和一个F适应过程cádlág组成的一组对（h，Y）具有有限的变化，使得过程（XT-Xt）ht）t∈对于中的每条路径，[0，T]在（0，T]上是dY-可积的Ohm′.如果Y是有限变化的F-适应cádlág过程，那么（1，Y）∈ L(Ohm′)对于任何Ohm′ D（[0，T]；R）（因为任何cádlág函数都有界于紧区间）。我们制作了一套Ohm′ D（[0，T]；R）表示本节其余部分。定义2.12。对于H=（H，Y）∈ L(Ohm′), 我们赛斯 XT：=（XT- 十） h+Z（0，T）（XT- Xt）htdYtonOhm′. （2.10）我们注意到，（2.10）右侧的Lebesgue–Stieltjes积分通过定义L得到了很好的定义(Ohm′). 下面的结果显示，对于路径有界h，hXt与^H重合-oXTfor^H如（2.9）所示。这激发了对H的解释 X根据自我融资交易策略从X交易中获得的收益-.提案2.13。设H=（H，Y）∈ L(Ohm′) 和ω∈ Ohm′. 如果功能T 7→ ht（ω）在[0，T]上有界，然后（H XT）（ω）=（^H-o XT）（ω），其中^H=H+R（0，·]H dY。如果我们为t设置H=Yand ht=1∈ （0，T）对于有限变化的F适应cádlág过程，则H=（H，Y）∈ L(Ohm) 根据命题2.13，H XT=Y-o XTon公司Ohm.所以积分H XTembeds所有路径随机积分Y-o XT。命题2.13的证明。

由于h（ω）在[0，T]上有界，因此^Ht（ω）=h（ω）+R（0，T）hs（ω）dYs（ω）在[0，T]上是一个定义良好的cádlág有限变差函数。因此，通过（2.8），^H-oXT=（XT- 十） h+Z（0，T）（XT- Xs）hsdYs=H XT。3稳健的定价和边缘化问题在本节中，我们定义了一对不可约对u≤具有域（I，J）和Borel函数f:R的cν→由一个ν-可积凹函数从下方限定的R。3.1定价问题我们的定价和对冲双重性适用于广泛的外来衍生工具，包括美式期权、固定行使亚洲期权、百慕大期权和中等到期的欧洲期权。我们现在描述这类衍生证券。定义3.1。一个非负F-适应的非减量cádlág过程A=（At）t∈如果AT（ω）=1表示每个ω，[0，T]称为平均过程∈ Ohm. 如果附加A（ω）=0和AT（ω）=每个ω0∈ Ohm, 然后A被称为内部平均过程。如果还有∈ （0，T），使得对于每个ω，At（ω）=0∈ Ohm, 然后，A被称为严格的内部平均过程。回想一下，我们设置了A0-= 0，注意对于每个ω∈ Ohm, A（ω）可以用[0，T]上的Borel概率测度来表示。如果A是一个内部平均过程，那么这个概率测度在（0，T）上得到支持，如果A是一个严格的内部平均过程，那么对于某些T，它的支持度（统一在ω中）包含在[T，T]中∈ （0，T）。给定一组非空的平均过程，我们考虑一个导数安全性，其在时间T的支付为fZ[0，T]XtdAt, （3.1）如果∈ A由买方选择，卖方遵守∈时间t时为[0，t]。然后，稳健的基于模型的价格定义为asSu，ν（f，A）=supP∈M（u，ν）supA∈AEP“fZ[0，T]XtdAt#. （3.2）换句话说，Su，ν（f，A）是与给定边缘分布一致的所有鞅模型中基于模型的衍生证券（3.1）的最高价格。备注3.2。

可以证明，对于每个P∈ M（u，ν）和每个平均过程A，P下r[0，T]xtdat的定律在u和ν之间为凸序；参见引理4.1。由于f是由一个ν可积分凹函数从下方限定的假设，因此（3.2）中的预期得到了很好的定义。对于示例3.3（无特殊行使权）中的特定选择，获得了重要的特殊证书。设置A={A}剥夺了买方的任何特殊行使权，并将（3.2）简化为更常见的robustpricing问题Supp∈M（u，ν）EP【F】表示导数分数F=F（R【0，T】XtdAt）。（i） 亚洲选项。设置为=t/t可恢复亚洲风格的导数f（TRTXtdt）；这包括固定罢工亚洲看跌期权和看涨期权，但不包括浮动罢工亚洲期权。[12]分析了这种稳健的定价问题。（ii）欧洲选项。设置为=1[T′，T]（T）时，会产生欧洲风格的支付（XT′），中间到期日为T′∈ （0，T）。示例3.4（特殊行使权利）。固定一个非空集T，其停止时间为[0，T]-value，并考虑a={1[[τ，T]]：τ∈ T}。然后（3.2）降低到上限∈M（u，ν）supτ∈TEP[f（Xτ）]。（3.3）（i）美式期权。如果T由所有[0，T]值的F-停止时间组成，则（3.3）是[2]中分析的鲁棒美式期权定价问题。（ii）百慕大期权。百慕大期权，行使日期为0≤ T<···<Tn≤ 通过选择T作为停止时间的{T，…，Tn}-值的集合来覆盖T。3.2超边际问题在美式期权稳健半静态超边际的情况下，众所周知，通常只有当期权的卖方在行使期权后可以调整其交易策略的动态部分时，定价套期保值双重性才能成立；参见【3，第3节】。换言之，买方必须在行使权利时将其行使权利的决定告知卖方。模拟inour设置是卖方在时间t观察。

也就是说，他的交易策略可以“适应”买方选择的平均过程。为了精确起见，让我们Ohm 是的笛卡尔积Ohm 非负的，非减量的，cádlág函数集a：[0，T]→ [0，1]，其中a（T）=1。As^Ohm 是Skorokhod空间D（[0，T]；R×[0，1]）的子空间，我们可以用子空间Skorokhod拓扑来装备它，并用相应的Borelσ-代数来表示。我们写下^F=（^Ft）t∈[0，T]对于^上规范过程生成的（原始）过滤Ohm. 对于^上的任何过程ZOhm 和任何平均过程a（开Ohm), 我们定义了程序ss ZAonOhm byZAt（ω）=Zt（ω，A（ω）），ω∈ Ohm.请注意，如果Z是^F-适应的，则ZA是F-a适应的，如果Z是cádlág或单位差，则ZA也是。接下来，我们为套期保值问题确定一组合适的路径。允许Ohmu,ν Ohm表示路径子集，这些路径从I开始，在J中演化，如果它们接近边界，则被“捕获”J:Ohmu,ν:= {ω ∈ Ohm : ω∈ 一、 ωt∈ J代表所有t∈ （0，T），如果ωT-∈ J、 那么ωu=ωt-适用于所有u∈ [t，t]和（3.4）如果ωt∈ J、 那么ωu=ωt对于所有u∈ [t，t]}。我们可以证明u和ν之间的每一个marting-ale耦合都集中在Ohmu，ν：引理3.5。Ohmu,ν∈ F和P[Ohmu，ν]=P[Ohm] 对于每个P∈ M（u，ν）。我们现在已经准备好为稳健的超级边缘问题确定交易策略。定义3.6。半静态交易策略是由一对函数（ψ，ψ）组成的三元组（ψ，ψ，H）∈ Lc（u，ν）和a对H=（ht，Yt）t∈^F-AdaptedProcess on^的[0，T]Ohm 这样的话哈：=（哈，耶）∈ L(Ohmu，ν）对于每个平均过程A.（3.5），半静态交易策略时间T的投资组合价值由静态部分与payoff sν（X）和ψ（XT）的和以及收益HA动力部分的XT：Д（X）+ψ（XT）+HAXT。（3.6）u和ν分别集中在I和J上的事实，以及马丁格尔性质意味着P-a.e.路径具有（3.4）中的前两个性质。

其他两个性质可以类似于非负上鞅几乎可以在零中捕获的事实（参见[21，引理7.31]）。建立该位置的初始成本等于静态部件的初始价格：u（ν）+ν（ψ）。（3.7）我们现在将注意力转向半静态交易策略，该策略规定了我们的衍生证券在Ohmu，ν和定义3.7中的每个平均过程。半静态交易策略（ψ，ψ，H）称为半静态超边缘（对于f和A），如果对于每个A∈ A、 f级Z[0，T]XtdAt≤ ψ（X）+ψ（XT）+HA XTon公司Ohmu，ν（3.8）andEPψ（X）+ψ（XT）+HA XT公司≤ u（ν）+ν（ψ），P∈ M（u，ν）。（3.9）f和A的半静态超边集用Du，ν（f，A）表示。要求（3.9）是可接受的条件。它要求每个P∈ M（u，ν），由静态部分和动态部分组成的投资组合值，是静态部分设置时间和时间T之间的一步P-上乘。换句话说，最终投资组合价值（3.6）的期望值小于或等于初始投资组合价值（3.7）。我们将稳健的超边际价格（对于f和A）定义为为为f和A建立半静态s超对冲所需的“最小”初始资本：Iu，ν（f，A）=inf（Д，ψ，H）∈Du，ν（f，A）{u（ν）+ν（ψ）}。（3.10）3.3弱对偶和强对偶稳健定价和对冲问题之间的弱对偶是其定义的直接序列：引理3.8（弱对偶）。让f：R→R是Borel的，由aν-可积凹函数从下开始有界，并设a是一个非空的平均过程集。ThenSu，ν（f，A）≤ Iu，ν（f，A）。证据让P∈ M（u，ν），A∈ A、 和（ψ，ψ，H）∈ Du，ν（f，A）（如果此集合为空，则无需显示）。