全球范围内稳健的定价和对冲

此外，一个简单的计算表明，ψ+ψ≥ f和（ψ，ψ）∈ 引理2.9的Lc（u，ν）。通过弱对偶不等式（4.17）（如果f从下方以一个函数为界，这也成立；参见备注4.12），θ（f）≤ u（ν）+ν（ψ）适用于任何可容许的原始元素和对偶元素。因此，可以证明θ（f）=u（ν）+ν（ψ）对于θ和（ν，ψ）的特定选择。案例（i）：使用身份（t- s） +=（| t- s |+t- s） ，积分θ（f）、u（ν）和ν（ψ）可以用u、θ和ν的势函数表示如下：θ（f）=（uθ（b）-uθ（a））+m-a+bm，u（Д）=-α（uu（a）+m- am），ν（ψ）=m- am+α（uν（z∨ b） +百万- （z）∨ b） m）。替换α=（b- a） /（（z∨ （b）- a） 简化得到u（ν）+ν（ψ）=m+（（a-（z）∨ b） ）α-2a）米-α（uu（a）-uν（z∨ b） ）=米-a+bm+b-auν（z∨（b）- uu（a）（z∨（b）- a、 uνuμν+ψa-haa+hf（z-, uν（z-)) （z+，uν（z+）（a，uu（a））图5.2：构建建议n 5.2中所述黄油摊铺的最佳中间层θ（顶部）和双优化器Д+ψ（底部）的势函数。因此，θ（f）- （u（Д）+ν（ψ））=b-一uθ（b）- uθ（a）b-一-uν（z∨ （b）- uu（a）（z∨ （b）- 一,并且它可以证明br集合中的两个商是相等的。为此，我们区分了两种情况。一方面，如果z≤ b、 通过构造u=uθ，就足以观察到uθ（a）=uu（a）和uθ（b）=uν（b）。另一方面，如果z≥ b、 那么这两个商是相同的，因为u=uθ是[a，z]上的一个函数 【a，b】与a处的uu和z处的uν重合。情况（ii）：一方面，由于θ=u且u集中在a的左侧，因此θ（f）=u（f）=m- 是另一方面，u（ν）+ν（ψ）=R（x- a） ν（dx）=m- 是5.2奶油摊铺奶油摊铺的支付函数的形式为f（x）=（x- （a）- h） （）+- 2（x- a） ++（x- （a+h））+，对于固定的a和h>0。我们有以下类似于命题5.1的内容：；我们省略了证据。提案5.2。

考虑两条线l+，l-通过最大和最小斜率的点（a，uu（a）），分别位于uν图形的下方（或上方）。我们区分了（i+）l+是一条切线，其切点（z+，uν（z+），（ii+）l+是一条渐近线，（i-) l-是具有切点（z）的切线-, uν（z-)), （二）-) l-是渐近线。在（ii±）情况下，我们设置z±=±∞.设u是与uνon重合的凸函数(-∞, z-] ∪ [z+，∞)并且在[z]上-, a] 并在[a，z+]上，用φ（x）=定义凹函数φ和凸函数ψ-（α+β）（x-a） +，ψ（x）=α（x-（z）-∧ （a）- h） ））++β（x-（z）+∨ （a+h））+，其中α=ha-（z）-∧（a）-h） ）和β=h（z+∨（a+h））-a、 这里，在渐近线情况下（ii±），ψ，ψ需要被解释为出现在z±上的极限函数→±∞.然后，具有势函数uθ=u的中间定律θ是辅助原始问题u的优化器，ν（f），（ν，ψ）是辅助原始问题eIu，ν（f）的优化器，公共最优值是根据u和νbyeSu的势函数给出的，ν（f）=eIu，ν（f）=h（s++s-),式中+=（uν（z+∨（a+h））-uu（a）（z+∨（a+h））-ain情况（i+），min情况（ii+），s-=（uν（z-∧（a）-h） （）-uu（a）a-（z）-∧（a）-h） ）在（i-）的情况下，-最小情况（ii-）。6反例在本节中，我们给出四个反例。例6.1表明，如果对偶元素Д、ψ分别要求为全局凹和全局凸，则辅助问题的强对偶可能无法用于一般（不一定不可约）边缘。例6.2表明，如果要求对偶元素ν和ψ分别是u-和ν-可积的，则强对偶可能会失败。

示例6.3表明，当给出两个以上的边际值时，亚洲和美国风格衍生品基于模型的稳健价格通常不相等。例6.4表明，当命题4的假设成立时，e质量Su，ν（f，A）=eSu，ν（f）可能失效。2 a再次违反。示例6。1（具有全局凸/凹双元素的对偶间隙）。设u=δ-1+δ，设ν为上的均匀分布(- 2，2），并设置f（x）：=| x|-, x个∈ R（带f（0）=∞).首先，我们证明了esu，ν（f）是有限的。固定任何u≤cθ≤cν。计算势函数uu和uν表明u≤cν和{uu<uν}=I∪ I，I=(-2，0）和I=（0，2）。因为eν在I和I的共同边界0处没有原子，θ也不能在0处有原子。因此，我们可以用δ写出θ=θ+θ-1.≤cθ≤cν| i和δ≤cθ≤cν| I。由于f在限制为Ior I时是凸的，我们得到θ（f）=θ（f）+θ（f）≤ ν| I（f）+ν| I（f）=ν（f）<∞.它遵循u，ν（f）=ν（f）<∞.第二，设ψ是凹的，ψ是凸的，这样tν+ψ≥ f我们证明了必要的u（ν）+ν（ψ）=∞. 为此，我们可以假设∞例如，如果z-= -∞ 和z+<∞, 则Д（x）=-β（x- a） +和ψ（x）=h+β（x-（z）+∨ （a+h））+。图6.1：示例6.2中的函数f。on supp（u）={-1, 1}. 然后Д<∞ 到处都是凹痕。因此，计算ψ+ψ≥ f等于0意味着ψ（0）=∞. 其中ψ=∞ 在上(-∞, 0]或在[0，∞) 利用ψ的凸性。在这两种情况下，我们都有u（ν）+ν（ψ）=∞.例6.2（具有单独可积对偶元素的对偶间隙）。我们考虑边缘u：=CXn≥1n-3unandν：=CXn≥1n-3νn，其中C：=（Pn≥1n-3)-1，un：=δnandνn：=（δn-n为1+δn+δn+1）≥ 1、这些是与[8，示例8.5]中相同的边缘，其中显示u≤cν与域（（0，∞), [0, ∞)). 我们现在让f:R+→ [0，1]是通过f（n）=0和f（2n+）=n给出的点的piec e w ise线性函数≥ 0; 查阅

图e 6.1。我们继续为优化器foreu，ν（f）andeIu，ν（f）构建候选优化器。对于原始问题，定义序列（(R)θn）n≥1by？θn=（（δn-n偶数为1+2δn+（2δn-+ δn+1）表示n奇数，并设置'θ：=CPn≥1n-3〃θn。可以检查un≤c′θn≤cνnand compute？θn（f）=。因此，u≤c′θ≤cν（通过测量中势函数的线性）和θ（f）=。我们现在转向双重公关问题。设|和|ψ分别是唯一的凹函数和凸函数，具有二阶导数测度s-\'^1′\'=Xn≥0δ2n+和‘ψ′’=Xn≥1δnand？ψ（0）=？ψ（0）=0、？Д′（0）=f′（0）=和？ψ′（0）=0。选择“初始条件”时，应确保f（0）=Д（0）+ψ（0）和f′（0）=Д′（0）+ψ′（0），并且二阶导数测度的选择确保Д和ψ分别获得f的负曲率和正曲率。因此，R+byconstruction上的|+|=f。在定义2.3的意义上，我们继续计算u（|）+ν（|ψ）。（单个积分是有限的，因为|和|有四次增长，而u和ν没有二阶矩。）为此，我们不需要在ν的支持下证明t′ν+’ψ=fvanishes。这意味着相对于u而言，(R)Д是（(R)Д，(R)ψ）的凹慢化剂≤cν。然后，我们可以计算u（°ν）+ν（°ψ）=u（°Д）- φ) + ν(ψ + φ) + (u - ν)( φ) = (u -ν） （(R)Д）=CXn≥1n-3（un- νn）（(R)ν）。修复n≥ 1、由于(R)是连续的，我们有（un- νn）（(R)ν）=ZI（uun- uνn）d′~n′。（6.1）差异uun-uνnvanishes外部（n-1，n+1），在该间隔上，(R)Д′集中在n-（如果n为奇数）或在n+（如果n为偶数）上，质量为1。因此，（6.1）的右侧塌陷为（uun-uνn）（n±）=。因此，u（(R)ν）+ν（(R)ψ）==(R)θ（f）。

因此，通过（弱）对偶，θ和ψ分别是原始优化和对偶优化。我们现在可以争辩说，L（u）×L（ν）中不存在对偶优化器。为便于对比，假设（ψ，ψ）∈ L（u）×L（ν）是一个双优化器，请注意supp（(R)θ）={0.5，1，2，2.5，3，…}。根据命题4.16（i），我们得到了ψ+ψ=f′θ-a.e。我们可以证明，对（Д，ψ）的以下修改不会影响其最优性，也不会影响Д和ψ的个别可积性；我们省略了繁琐的细节。首先，ψ被其在ν原子上的分段线性插值所代替。第二，在f的扭结处，用其分段线性插值代替φ。第三，将适当的凸函数添加到φ，并从ψ中减去（分别保持其凹凸性），以使二阶导数测度-Д′和ψ′是单数形式。由于φ+ψ=f在supp（(R)θ）上，并且两侧都是分段线性的，因此我们得出结论，φ+ψ=f在[，∞). 像-Д′和ψ′是单数，则Д和ψ必须分别考虑f的负曲率和正曲率。由此可见，ψ和ψ都有四次增长。由于u和ν没有第二时刻，我们得出u（ν）=-∞ 和ν（ψ）=∞, 矛盾。示例6。3（亚洲和美国风格衍生产品针对多个边际的不同稳健模型价格）。对于n≥ 2给定边缘u≤cu≤c···≤cun与时间点0、1、…、，n（比如）基于模型的稳健价格Su，。。。，un（f，A）的定义类似。但这种基于模型的健壮价格现在非常依赖于，如下例所示。固定收敛凸函数f。一方面，如果A对应于美式衍生工具，那么可以检查Su，。。。，un（f，A）=un（f）。

另一方面，对于亚洲风格的衍生品，即A′={t 7→ t/n}，Jensen不等式yieldsfnZnXtdt≤nn型-1Xi=0fZi+1iXtdt,所以这是u，。。。，un（f，A′）≤nnXi=1ui（f）≤ un（f）。对于一般的边缘选择，这两个不等式都是严格的。因此，具有严格凸Payoff函数的亚洲风格衍生品基于模型的稳健价格通常小于相应的美国风格衍生品。例6.4（命题4.2假设的必要性）。（i） 我们表明，如果A不包含内部平均过程，Su，ν（f，A）=eSu，ν（f）可能失败。集合A={A}={t 7→+{t=t}，所以rtxtdat=（X+XT）/2，并考虑f（X）=X。然后，使用X在任何P∈ M（u，ν），可以检查su，ν（f，A）=（3u（f）+ν（f））/4，当u，ν（f）=ν（f）时，因为f是凸的。现在，选择u和ν，使得u（f）<ν（f）（f是严格共凸的）。然后，Su，ν（f，A）<eSu，ν（f）。（ii）我们表明，如果A包含内部平均过程，但f不是低半连续过程，则Su，ν（f，A）=eSu，ν（f）可能失败。设置A={t 7→ t/t}和f（x）=1{| x|≥1} ，并选择u=δ和ν=（δ+δ-1)/2. 一方面，因为ν（f）=1和f≤ 1，我们有u，ν（f）=1。另一方面，我们声称Su，ν（f，A）=0。为此，Fix P∈M（u，ν）。因为P-a.e.X的路径从0开始，在[-1，1]和isright continuous，TRTXtdt公司< 1 P-a.s.因此，EPf（TRTXtdt）= 0 .自P起∈ M（u，ν）是一个半径，Su，ν（f，a）=0。参考文献【1】A.Aksamit、S.Deng、J.OblóJ和X.Tan，《离散时间金融市场中美式期权的稳健定价对冲对偶》，数学。《金融》（2019年以上），即将出版。[2] E.Bayraktar，A.M.G.Cox和Y.Stoev，鞅最优运输与运输，暹罗J.控制优化。56（2018），第1417–433号。[3] E.Bayraktar、Y.-J.Huang和Z.Zhou，关于在模型不确定性下对冲美式期权，暹罗J.Financ。数学6（2015）号。

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