全球范围内稳健的定价和对冲

在中固定平均过程a和路径Ohmu,ν. 为了便于记法，我们写h而不是下面的hAin。然而，请注意，Hah与（4.7）中的h具有相同的形式表达式，但A是固定平均过程（而不是^上规范过程的第二个组成部分）Ohm).使用H的定义 Xt和h以及A=A、 我们获得 XT=（XT- 十） h+Z（0，T）（XT- Xt）htdAt=（Xt- 十） ^1′（X）-Z[0，T]（XT- Xt）（Д′（X）+ψ′（Xt））数据。然后，利用dA是[0，T]上的概率测度、ψ的凹凸性和Jensen不等式，我们可以估计 XT=Z[0，T]Д′（X）（XT- 十） dAt公司-Z[0，T]ψ′（Xt）（Xt- Xt）dAt（4.13）≥ И′（X）Z[0，T]XtdAt- 十、-Z[0，T]（ψ（XT）-ψ（Xt））dAt≥ ^1Z[0，T]XtdAt！- ^1（X）-ψ（XT）+Z[0，T]ψ（XT）dAt≥ ^1Z[0，T]XtdAt！- ^1（X）-ψ（XT）+ψZ[0，T]XtdAt！。重新排列术语并使用该ψ+ψ≥ f在J上，我们发现ν（X）+ψ（XT）+H XT公司≥ fZ[0，T]XtdAt！。第三，我们展示了可采性条件（3.9）。固定平均进程A和P∈ M（u，ν）。确定F停止时间Cs、s的系列∈ （0，1），byCs=inf{t∈ [0，T]：At>s}，注意0≤ 铯≤ T代表s∈ （0，1），因为AT=1。然后，使用族作为（4.13）中积分的时间变化（参见[24，命题0.4.9]），得到了ψ（X）+ψ（XT）+H XT（4.14）=Z{Д（X）+ψ（XT）+Д′（X）（XCs- X）-ψ′（XCs）（XT- XCs）}ds。现在，假设（4.14）中的被积函数是从下面有界的，uniformlyover s∈ （0，1）和ω∈ Ohmu,ν. 然后通过引理4.9，P-integr的期望值，等于每个s的u（ν）+ν（ψ）∈ (0, 1). 将其与托内利定理和（4.14）结合使用，给出了sep[Д（X）+ψ（XT）+H XT]=u（Д）+ν（ψ），因此（3.9）保持不变。仍然需要证明（4.14）中的被积函数从下面一致有界。

这是由Д的凹性和ψ的凸性以及Д+ψ的偏移量得出的≥ f≥ J上的0：Д（X）+ψ（XT）+Д′（X）（XT- X）- ψ′（Xt）（Xt- Xt）≥ ψ（Xt）+ψ（Xt）≥ f（Xt）≥ 0，t∈ [0，T]。这就完成了证明。4.4二元性我们现在转向辅助问题u，ν（f）和iu，ν（f）之间的二元性。定理4.10。Letu≤cν与域（I，J）不可约且设f:R→[0, ∞].（i） 如果f是上半解析的，则Nesu，ν（f）=eIu，ν（f）∈ [0, ∞].（ii）IfeIu，ν（f）<∞, 然后存在一个对偶极小化子（ψ，ψ）∈eDu，ν（f）。有几个重新标记。备注4.11。我们只陈述了一个不可约c分量的对偶性。我们可以公式化并证明任意边缘的完全对偶性u≤cνinanalogy至【8，第7节】。为了简洁起见，我们省略了细节。备注4.12。定理4.10中f的下界可以放宽。确实，假设f:R→R是上半解析函数，由下半解析函数g建立。我们首先考虑原始问题。B e原因g为a ffine和任意u≤cθ≤cν与u、θ（f）具有相同的质量和质心- g） =θ（f）-θ（g）=θ（f）- u（g）。因此，eSu，ν（f-g） =eSu，ν（f）-u（g）。（4.15）关于对偶问题，我们注意到（ψ，ψ）∈eDu，ν（f- g） if和onlyif（Д+g，ψ）∈eDu，ν（f）和Le mma 2.7（iii），u（Д）+ν（ψ）={u（Д+g）+ν（ψ）}- u（g）。因此，eIu，ν（f-g） =eIu，ν（f）-u（g）。（4.16）因为f- g是非负的，（4.15）–（4.16）的左手边与定理4.10（i）一致。因此，eSu，ν（f）=eIu，ν（f）∈ (-∞, ∞].此外，ifeIu，ν（f）<∞, 然后，alsoeIu，ν（f- g） <∞ 和一个对偶极小值（ψ，ψ）∈eDu，ν（f-g） foreIu，ν（f- g） 根据定理4.10（ii）存在。现在，上述结果表明（ψ+g，ψ）∈eDu，ν（f）是iu，ν（f）的对偶极小值。Theo rem 4.10的证明基于几个准备结果。根据[8，命题5.2]的精神，威斯特研究了对偶空间的关键封闭性。提案4.1 3。

Letu≤cν与域（I，J）不可约，设f，fn:J→ [0, ∞] 使fn→ f逐点，let（ψn，ψn）∈eDu，ν（fn）与SUPN{u（νn）+ν（ψn）}<∞. 然后是（ψ，ψ）∈eDu，ν（f），使得u（ν）+ν（ψ）≤ lim信息→∞{u（νn）+ν（ψn）}。证据设hn=Д′n:I→ R是凹函数νn的超导数。AsДn（x）+ψn（y）+hn（x）（y- x）≥ ψn（y）+ψn（y）≥ fn（y）≥ 0，（x，y）∈ I×J，（νn，ψn，hn）在[8]的对偶空间Dcu，ν（0）中。因此，按照[8，命题5.2]证明中的推理路线（基于Komlos引理；我们记得凸（凹）函数的凸组合是一个gainconvex（凹）），我们可以在不丧失一般性的情况下假设→ ^1u-a.e.和ψn→ψν-a.e.for so me（(R)，ψ）∈ Lc（u，ν）。此外，[8]中的参数还表明u（(R)ν）+ν（(R)ψ）≤ lim信息→∞{u（νn）+ν（ψn）}。现在，定义函数ψ，ψ：J→R byД：=直线信息→∞^1nandψ：=lim supn→∞ψn.则ψ是凸的，ψ是凹的，ψ=(R)u-a.e.，特别是ψ=(R)ψν-a.e，（ν，ψ）∈ Lc（u，ν）和u（ν）+ν（ψ）≤ lim信息→∞{u（νn）+ν（ψn）}。此外，asДk+ψk≥ fkon J，我们每个n都有≥nхk+SUP≥nψk≥ infk公司≥n（ψk+ψk）≥ infk公司≥nfkon J.发送n→ ∞ 给出ψ+ψ≥ f总之，（ψ，ψ）∈eDu，ν（f）。我们继续证明了有界上半连续函数的强对偶性。引理4.14。让f：R→ [0, ∞] 有界且上半连续。TheneSu，ν（f）=eIu，ν（f）。该证明基于类似于[8，引理6.4]的Hahn–Banach分离论证。证据我们首先展示了弱对偶不等式。Letu≤cθ≤cν和（Д，ψ）∈eDu，ν（f）。尤其是，ψ+ψ从下方有界。然后通过引理2.9（iii）–（iv），θ（f）≤ θ(φ + ψ) = θ(φ) + θ(ψ) ≤ θ(φ) + ν(ψ) ≤ u（ν）+ν（ψ），（4.17）和不等式u，ν（f）≤eIu，ν（f）如下。这个逆不等式基于一个Hahn–Banach参数，所以让我们引入一个合适的空间。

根据de la Vallée–Poussin定理，存在一个递增的凸函数ζν：R+→ 超线性增长的R+，使得x 7→ζν（| x |）是ν-可积的。现在，设置ζ（x）=1+ζν（| x |），x∈ R、 用cζ表示所有连续函数f:R的空间→ R，使f/ζ完全消失。我们赋予Cζ范数kfkζ：=kf/ζk∞. 使用这个符号，与[8，引理6.4]的证明中相同的参数表明，对偶空间c*Cζ上连续线性泛函的ζ可以用有限符号测度表示。修复f∈ Cζ。然后-ζ（x）kfkζ≤ f（x）≤ ζ（x）kfkζ，x∈ J、 （4.18）因为ζν是凸的，x 7→ ζν（| x |）是ν-可积的，我们有θ（ζ）≤ ν(ζ) < ∞对于所有u≤cθ≤cν。这与（4.18）一起表明ESu，ν（f）是有限的。因此，在f上加一个合适的常数，我们可以假设esu，ν（f）=0。对于以下Hahn–Banach参数，我们考虑凸锥：={g∈ Cζ：eIu，ν（g）≤ 0}.命题4.13暗示K是闭合的。为了矛盾起见，假设eiu，ν（f）>0。然后，通过Hahn–Banach定理，K和f可以通过Cζ上的连续线性函数来精确分离。也就是说，有一个有限的有符号度量ρ，使得ρ（f）>0和ρ（g）≤ 所有g为0∈ K、 对于任何紧支撑的非负连续函数g∈ Cζ，我们有eiu，ν(-g）≤ 0也就是说，-g级∈ K，因此ρ(-g）≤ 这表明ρ是一个（非负）有限度量。如果需要，将ρ乘以正常数，我们可以假设ρ的质量与u和ν的质量相同。接下来，设ψ为凸且线性增长。然后ψν（R）- ν(ψ) ∈ 坎德-ψu（R）+u（ψ）∈ K、 使用ρ≤ 这两个函数的0产生u（ψ）≤ ρ(ψ) ≤ ν(ψ). 我们的结论是u≤cρ≤cν。但现在ρ（f）>0合同u，ν（f）=0。因此，eIu，ν（f）≤eSu，ν（f）。最后，设f有界且上半连续，并选择fn∈ Cb（R）Cζ，使得fnf。通过上述，我们得到了所有n的eu，ν（fn）=eIu，ν（fn）。Weshow低于该界限→∞eSu，ν（fn）=eSu，ν（f）。

利用这一点和iu，ν的单调性，我们得到了iu，ν（f）≤ 画→∞eIu，ν（fn）=limn→∞eSu，ν（fn）=eSu，ν（f）≤eIu，ν（f）。所以有界上半连续函数具有很强的对偶性。limn仍然有争议→∞eSu，ν（fn）=eSu，ν（f）。我们更普遍地证明了esu，ν沿有界上半连续函数的递减序列是连续的。因此，设fnf是有界上半连续函数的收敛序列。固定ε>0并设置l := 画→∞eSu，ν（fn）。然后，对于每个n，l ≤ Su，ν（fn）<∞ 因此setAn：={u≤cθ≤cν：θ（fn）≥ l - ε} 不是敌人。此外，每个Anis都是弱紧集{θ：u的闭子集≤cθ≤cν}和An+1 一因此，在交点处存在θ′∩n≥1安。然后通过单调收敛得到u，ν（f）≥ θ′（f）=limn→∞θ′（fn）≥ l - ε.这意味着esu，ν（f）≥ l asε是任意的。逆不等式来自于esu，ν的单调性。这就完成了证明。定理4.10的证明。（i） ：这是引理4.14和电容性参数的结果，几乎与[8，第6节]一模一样。sa me ar gumentscan可在[22]中找到。因此，我们省略这些阐述。（ii）：将命题4.13应用于常数序列fn=f，并将序列（ψn，ψn）最小化∈eDu，ν（f）of eiu，ν（f）产生一个对偶极小值。我们现在可以证明鲁棒价格和超边缘问题之间的对偶性。定理3.9的证明。根据命题4.2、引理3.8和命题4。5，eSu，ν（f）≤ Su，ν（f，A）≤ Iu，ν（f，A）≤eIu，ν（f）和定理4.10表明esu，ν（f）=eIu，ν（f）。因此，eSu，ν（f）=Su，ν（f，A）=Iu，ν（f，A）=eIu，ν（f）。（4.19）尤其是，（4.19）中的量都与A的选择无关（只要定理3.9的两个条件之一成立）。如果Iu，ν（f，A）<∞, theneIu，ν（f）<∞ 因此有一个优化器（ψ，ψ）∈eDu，ν（f）foreIu，ν（f）。

那么命题4.7提供了一个H=（H，A），使得（ψ，ψ，H）∈ Du，ν（f，A）。通过（4.19）和Iu，ν（f，A），（ν，ψ，H）的定义，Iu，ν（f，A）的isan优化器。备注4.15。如果我们将自己局限于动态部分为有限变化的交易策略，那么稳健定价和超边缘问题的强二元性（没有双重实现）将继续存在。首先，观察（2.9）定义的过程^H在有界时具有有限的变化。回顾命题4.7中h的定义（4.7），我们发现h在{ω：ωT上有界∈ Jo} 由于这些路径被定义在一个紧子集J中，ψ′有界。这将更普遍地适用于几乎所有路径，如果ψ′在J上一致有界。因此，如果J是开的，则强对偶（以及有限变分策略中的对偶实现）成立。第二，考虑以下情况：对于某些-∞ < a<b≤ ∞. 假设定理3.9的假设成立，且Iu，ν（f，A）<∞, 和let（ψ，ψ）∈eDu，ν（f）是一个双辅助优化器。然后ψ（a）<∞ asν在a处有一个natom（参见引理2.7）。如果ψ′（a）>-∞, 然后，与Boves相同的论点表明，命题4.7中构建的动态交易策略具有有限的变化。如果ψ′（a）=-∞, 然后我们构造了一系列函数ψk（x）：=（ψ（x）for x≥ a+k，ψ（a）+k（x- a） （ψ（a+k）-ψ（a））表示x<a+k。通过区间[a，a+k]上的线性插值逼近ψ。然后我们得到ψkψ和u（ν）+ν（ψk）u（ν）+ν（ψ）=eIu，ν（f）作为k→ ∞. 自ψ′k（a）>-∞, 几乎可以肯定，相关过程H（k）的变化是有限的。J=（a，b）和J=[a，b]的情况类似于原始优化器和对偶优化器的4.5结构。如果存在辅助问题的原始优化器，我们可以导出对偶优化器的一些必要属性。命题4.16。让u≤cν与域（I，J）不可约且设f:R→ [0, ∞] 博雷尔。

假设thateSu，ν（f）=eIu，ν（f），thatu≤cθ≤cν是u，ν（f）和（ν，ψ）的最佳值∈eDu，ν（f）是iu，ν（f）的优化器。然后（i）Д+ψ=fθ-a.e.，（ii）Д是{uu<uθ}的连接分量上的一个函数，（iii）ψ是{uθ<uν}的连接分量上的一个函数，（iv）如果θ（{b}）>0，则Д在J的有限端点b没有跳跃，并且（v）如果θ（{b}<ν（{b}）在J的有限端点b没有跳跃。证据在引理4.14的证明中，我们得到（参见（4.17）），θ（f）≤ θ(φ + ψ) ≤ u(φ) + ν(ψ).由于没有对偶间隙以及θ和（Д，ψ）的最优性，所有的线性性质都是相等的：θ（f）=θ（Д+ψ）=u（Д）+ν（ψ）。（4.20）现在（i）源自（4.20）中的第一个等式，以及以下事实：≥ fon J.重新排列第二个等式，我们可以写0={u（ν）+ν（ψ）}-θ(φ + ψ)= {u(φ) + ν(ψ)} - {θ(φ) + ν(ψ)} + {θ(φ) + ν(ψ)} - θ(φ + ψ).使用前三个表达式的定义（2.4）（使用Д作为前两个术语的共同调节因子，以及-ψ表示第三个；参考引理2.9（i）），WeActain0=（u- ν)(φ) - (θ - ν)(φ) + (θ - ν)(-ψ)= (u - θ)(φ) + (θ - ν)(-ψ） ，（4.21），其中最后一个等式是（u）定义的直接序列- ν） （Д）和（θ）- ν） （Д）（参见（2.2））。（4.21）右侧的两个术语定义为非负相关，因此必须消失：0=（u- θ） （Д）=ZI（uu- uθ）dИ′+ZJ\\I|Дdθ，对于（θ）类似- ν)(-ψ). 这意味着{uu<uθ}（这是断言（ii）），且|对于θ具有anatom（即断言n（iv））的J的每个端点，ν|=0。（iii）和（v）的证明是相似的。下一个结果表明，对于上半连续f，存在一个极大孔径u，ν（f），它相对于凸阶是最大的。为了简洁起见，我们省略了标题。提案4.17。

Letu≤cν不可约且设f:R→ [0, ∞] 是上半连续的，并由一个凸的、连续的和ν可积的函数从上面加以约束。此外，fix严格凸函数g:R→ 考虑“二次”优化问题supθ∈Θ（f）θ（g），（4.22），其中Θ（f）：={θ：u≤cθ≤cν和θ（f）≥eSu，ν（f）}是辅助原始问题的优化器集。（i） Θ（f）是非空的，凸的，弱紧的，（4.22）允许一个优化。（ii）（4.22）中的任何优化器θ都具有以下性质：oθ在Θ（f）中相对于凸阶是最大的。o如果O是一个开放区间，那么O {uθ<uν}且f | Ois凸，则θ（O）=0。o如果K是一个间隔，则Ko {uu<uθ}，f | Kis严格凹，θ（K）>0，则θ| Kis集中在单个原子中。下面的示例显示，集合优化器foreSu，ν（f）可以具有多个关于凸阶的最大或最小元素；这个偏序集通常没有最大或最小元素。示例4.18。设u=δ，ν=（δ-1+δ+δ），并设f与f分段线性(- 1） =f（1）=3，f(-1/2）=f（1/2）=2，f（0）=0。我们声称不存在最大或最小的原始优化器。我们构建候选原始优化器和对偶优化器，如下所示。在主LSIDE上，设置θ=δ-+δ和θ=δ-1+δ. 在双面，设置Д≡ 0且设ψ为在ψ之间线性插值的凸函数(-1） =ψ（1）=3，ψ（0）=1。直接计算得到θ（f）=θ（f）==ν（ψ），这表明θ和θ是原始优化器，而（ν，ψ）是对偶优化器。首先，我们证明了在凸序中不存在同时支配θ和θ的原始优化器。实际上，我们可以检查uν=max（uθ，uθ），因此，ν是唯一可行的原始元素，它在对流序中同时支配θ和θ。

但是ν（f）=2<，因此ν不是最优的。其次，我们证明了不存在同时受θ和θ支配的原始优化器。实际上，可以检查{uu<min（uθ，uθ）}=(-,), 因此，必须集中于同时受θ和θ支配的每个可行的原始元素[-,]. 但f≤ 2开[-,], 所以没有原始优化器可以集中在这个时间间隔上。我们用一个例子来结束这一节，这个例子表明，如果f不是上半连续的，则原始达到一般不成立。示例4.19。设u=δ，ν=（δ-1+δ），并设置f（x）：=| x | 1(-1,1）（x）。然后u≤cν与域不可约((-1, 1), [-1, 1]). 考虑序列θn：=（δ-1+n+δ1-n） ，我们可以看到这是u，ν（f）≥ 1、但没有u≤cθ≤cν使得θ（f）≥ 1，因为f<1开[-1, 1].5例如，两种常见的支付函数是风险逆转和奶油价差。在本节中，我们为这些支付效应的辅助原始和对偶问题提供了解决方案。在本节中，我们确定了不可约边际≤cν和分别用m表示其共同总质量和一阶矩。5.1风险逆转风险逆转的支付函数的形式为f（x）=-（a）- x） ++（x- b） +，对于固定的a<b。以下结果提供了关于u和ν的潜在函数的原始和双优化器的简单几何结构。我们记得，位于势函数uu和uν之间的任何凸函数u都是测度θ的势函数，该测度θ在u和ν之间为凸序（参见，例如，[10]）。提案5.1。考虑通过最大坡度点（a，uu（a））的线位于uν图形的下方（或上方）；参见图5.1。

这条线要么是（i）uν图的切线，对于某些z有一个切点（z，uν（z））∈ （a），∞) 或（ii）uνnear图的渐近线+∞.在（i）的情况下，用ν（x）=定义凹函数Д和凸函数ψ-α（x- a） +，ψ（x）=x-a+α（x- （z）∨ b） ）+，其中α=（b- a） /（（z∨ （b）- a） 。此外，设u是唯一的凸函数，与uuon重合(-∞, a] 当uν在[z]上时，∞) 并且是[a，z]上的α（即，u在[a，z]上与上述切线重合）。用θ表示唯一的测量值，势函数uθ=u。在（ii）的情况下，设置Д（x）=0，ψ（x）=x-a、 θ=u。作者们感谢大卫·霍布森提出了这种构造的想法。注意，只有当（a，u（a））位于图5.1中虚线势函数的增加部分时，才会发生情况（ii）。特别是，在这种情况下，u集中在a.uνuuabД+ψf（a，uu（a））（z，uν（z））uνuuД+ψab（a，uu（a））（z，uν（z））的左侧。图5.1：构建命题5.1中所述风险逆转的最佳中间层θ（顶部）和双重优化器Д+ψ（底部）的p势函数；左面板中的z>b，右面板中的z<b。然后，θ是辅助原始问题u，ν（f），（ν，ψ）是辅助对偶问题eIu，ν（f）的优化器，公共最优值是根据u和νbyeSu，ν（f）=eIu，ν（f）=（m）的势函数给出的-a+bm+b-auν（z∨（b）-uu（a）（z∨（b）-ain案例（i），m- 阿明案（二）。证据我们首先注意到θ和（Д，ψ）分别是辅助主问题和对偶问题的容许元素。实际上，通过构造，uθ是凸的，并且位于uu和uθ之间。因此，相关测量θ满足u≤cθ≤cν。