全球范围内稳健的定价和对冲

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英文标题：
《Robust Pricing and Hedging around the Globe》
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作者：
Sebastian Herrmann and Florian Stebegg
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We consider the martingale optimal transport duality for c\\`adl\\`ag processes with given initial and terminal laws. Strong duality and existence of dual optimizers (robust semi-static superhedging strategies) are proved for a class of payoffs that includes American, Asian, Bermudan, and European options with intermediate maturity. We exhibit an optimal superhedging strategy for which the static part solves an auxiliary problem and the dynamic part is given explicitly in terms of the static part.
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中文摘要：
在给定初始律和终端律的情况下，我们考虑了c \\\'adl \\\'ag过程的鞅最优输运对偶。证明了一类包括美国、亚洲、百慕大和欧洲中等成熟度期权的收益的强对偶性和对偶优化器（鲁棒半静态超边缘策略）的存在性。我们给出了一个最优的超边缘策略，其中静态部分解决了一个辅助问题，动态部分根据静态部分显式给出。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-6-1 04:39:08 上传

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关键词：Mathematical intermediate Differential Optimization Applications

全球范围内稳健的定价和对冲*Sebastian Herrmann+Florian Stebegg2019年4月10日摘要我们考虑了给定初始律和终端律的cádlág过程的鞅最优输运对偶。针对一类具有中间成熟度的美国、亚洲、百慕大和欧洲期权，证明了对偶优化器（鲁棒半静态超边缘策略）的强对偶性和存在性。我们给出了一个最优的超边缘策略，其中静态部分解决了一个辅助问题，动态部分根据静态部分显式给出。稳健超磨边；半静态策略；鞅最优运输；二元性。AMS MSC 2010 60G44、49N05、91G20。JEL Cl ASSITION G12、G23、C61.1简介本文研究了支付形式为f（X，a）=fZ[0，T]XtdAt. （1.1）这里，f是一个非负Borel函数，X是一个cádlág价格过程（在Skorokhod空间上实现），a由买方从给定的行使权集合中选择。更准确地说，A是一组所谓的平均过程，即非负和非减损的自适应cádlág过程A与AT≡设置A={1[[τ，T]]：τA[0，T]-值停止时间}或A={T 7→ t/t}将（1.1）分别减少到美式或亚式导数的有利特例：f（Xτ）或fTZTXtdt. （1.2）其他相关示例包括百慕大期权和中等到期的欧洲期权（参见示例3.3–3.4）。*作者感谢David Hobson、Sigrid K"allblad、Marcel Nutz和Yavor Stoev鼓励讨论。+密歇根大学数学系，电子邮件sherrma@umich.edu.Columbia大学统计系，电子邮件florian。stebegg@columbia.edu.Robust定价问题。设u和ν为R上的概率测度。

Wedenote by M（u，ν）u和ν之间的（连续时间）鞅耦合集，即概率测度P，其中X是边际分布XP的鞅~ u和XTP~ ν. 原始问题的值：=supP∈M（u，ν）supA∈AEP【F（X，A）】（1.3）可以解释为所有模型中F的最大基于模型的价格，该价格与给定的边际值一致。如果A是单态，那么（1.3）就是所谓的（连续时间）ma rtingaleoptimal传输问题。这一问题是由贝格尔布克、亨利·劳德雷和彭克纳（6）在离散时间环境中提出的（对于一般支付），以及加利孔、亨利·劳德雷和图兹（15）在连续时间中提出的；参见调查【26】。半静态过边问题。（1.3）的形式对偶问题有一个自然的解释，即supe-rhedging问题。粗略地说，半静态超边是一个三元组（ψ，ψ，H），由函数ψ，ψ和一个合适的过程H组成，因此对于每个∈ A、 超边缘不等式成立：ψ（X）+ψ（XT）+ZTHAt-dXt公司≥ F（X，A）路径。（1.4）此处，策略y H=HAmay以一种适应的方式取决于a（参考第3.2节的精确公式）。以美式支付为例，这意味着在选定的行使时间τ，买方将其行使决策传达给卖方，然后卖方可以调整其享乐策略的动态部分（参见【3，第3节】）。（1.4）中的左侧是两个欧洲风格衍生品在X上的静态头寸加上在X上的自我融资动态交易策略的最终价值。不平等性（1.4）表示，这种半静态投资组合的最终价值支配着每种选择的执行权和“所有”价格路径的支付。

半静态参数（ν，ψ，H）的初始cos t等于静态部分的价格u（ν）+ν（ψ）。（1.3），I：=inf{u（Д）+ν（ψ）：（Д，ψ，H）的形式问题是一个半静态超边缘}，（1.5）相当于找到最便宜的半静态超边缘（如果存在）及其初始成本，即所谓的稳健超边缘价格。对偶问题的主要目标和放松。我们感兴趣的是强对偶性，即S=i，以及对偶实现，即对偶极小化的存在。双重成就需要适当放松双重问题。实际上，对于离散时间鞅最优运输问题，Beiglb"ock、HenryLabordère和Penkner[6]研究了上半连续支付的对偶性有多强原始问题（1.3）可以看作是有限测度P上的优化，有三个约束：两个边际约束和鞅约束。其形式对偶问题是拉格朗日对偶问题，其中适当的函数ψ和ψ以及适当的过程分别用作边际约束和鞅约束的拉格朗日乘子。我们使用通用符号u（Д）表示Д对u的积分。但提供一个反例，表明即使支付函数有界且连续，双重实现也可能失败。Beiglb"ock、Nutz和Touzi【8】通过从两个方面放松双重问题，在一步案例中实现了一般支付和边际的强双重性和双重实现。首先，它们只要求s超对冲不等式在准肯定意义下成立，即，在u和ν之间的每一步鞅耦合下都是零集的超理想集。原因是边际约束可能会在实线上引入障碍，而这些障碍（几乎可以肯定）不能被任何带有边际的鞅所跨越；霍布森（Hobson）[16]首次观察到了这一点（另见考克斯（Cox）[11]和贝格尔布坎德朱伊莱（Beiglb"ockand Juillet）[7]）。

这些障碍将实线划分为区间，将边缘定律划分为所谓的不可约分量。然后，可以将强对偶和双重实现简化为证明每个不可约分量的结果相同[16，8]。其次，Beiglb"ock、Nutz和Touzi【8】将表达式u（ν）+ν（ψ）的含义扩展到两个单独积分都是有限的某些情况。例如，u（Д）=-∞ 和ν（ψ）=∞, 但组合静态部分的价格EP[Д（X）+ψ（XT）]在选择P时是明确的、确定的和不变的∈ M（u，ν）。在这种情况下，该价格仍然用u（ν）+ν（ψ）表示。在第3.2节中，我们采用两种松弛方法来精确定义dua l问题。在连续时间内，Dolinsky和Soner【13，14】表现出强烈的二元性，即满足一定增长条件的一致连续支付。他们使用分部积分公式来定义随机积分T-dXtpathwise表示有限变量被积函数H。然而，一般来说，在这类函数中无法预测双重实现。对于我们的收益（1.1），我们需要允许被积函数在有界时具有有限变化，但在某些价格路径上可以任意变大或变小。由于被积函数在这些路径上的变化不是有限的，因此需要适当扩展沿程积分的含义。为了便于介绍，我们以一种非严格的方式讨论了我们的结果和方法，忽略了与双重问题松弛有关的所有方面。主要结果。我们证明了形式（1.1）的支付在不可约边值的f和A上的温和条件下的强对偶性和对偶实现（定理3.9）；所有结果都可以按照[8，第7节]的思路扩展到一般边缘。

关键思想是将原始问题和对偶问题简化为不依赖于执行权集的更简单的辅助问题。特别是，我们的结果涵盖了Borel可测f的美式导数f（Xτ）和下半连续f的亚洲式导数f（TRTXtdt），并表明这两种导数具有（可能令人惊讶的）相同的超边缘价格和结构相似的半静态超边缘。方法论我们的方法依赖于两个重要的观察结果，这两个观察结果允许我们分别用更简单的辅助原始问题和对偶问题来约束原始问题和对偶问题。为了得到一个原始下界，我们证明了对于在u和ν之间的凸序中的任何定律θ，都有一个序列（Pn）n≥1. 如果A是一个合适的平均过程，则pn下的r[0，T]xtdat定律弱收敛于θ。这允许我们用辅助原问题的值从下方将S绑定：=supu≤cθ≤cνθ（f）。（逆不等式也成立（参见引理4.1），因此实际上S=eS。）关于对偶上界，我们证明了（模技术性），如果ψ是凹的，ψ是凸的，则ψ+ψ≥ f、 那么（ψ，ψ，H）是一个半静态边界，其中动态部分H明确地以Д和ψbyHt的形式给出：=Д′（X）-Z[0，t]{Д′（X）+ψ′（Xs）}dAs。（1.6）这允许我们用辅助对偶问题的值来限制I fr om：=inf{u（ν）+ν（ψ）：ν凹，ψ凸，Д+ψ≥ f} 。因此，S和I的强二元性和双重成就来自于对更简单的问题andeI的相同断言，我们通过采用[8]的技术证明了这一点。此外，我们对对偶问题的简化意味着，如果（ψ，ψ）是最优foreI，那么它也是最优半静态超边的静态部分，动态部分H可以通过（1.6）事后计算。

这大大降低了超边缘问题的复杂性：在Skorokhod空间上满足不等式约束的两个函数和过程上的优化被简化为两个函数上的优化，在R上实现不等式约束。我们的方法表明，许多导数具有相同的鲁棒超边缘价格和半静态超边缘。事实上，eI-andeS并不依赖于授予买方的行使权集合A，这种独立性在f和A的温和条件下转移给S和I。例如，如果f是下半连续的，那么亚洲风格的衍生工具f（TRTXtdt）、美国风格的衍生工具f（Xτ）和欧洲风格的衍生工具f（XT′）（对于固定到期日T′∈ （0，T））均具有相同的稳健超边缘价格（备注3.10）。当给定两个以上的边距时，这种不变性会减弱。相关文献。关于半静态环境下鲁棒超边缘的现有文献大多涉及强对偶和双重实现。结果在通用性、明确性以及精确公式方面各不相同。看涨期权可作为额外对冲工具使用的半静态设置可追溯到霍布森关于lo-okbackoption的最终文件【17】。在过去二十年中，许多其他特殊的外来衍生品（大多没有特殊行使权）已在此框架内进行了分析；参见调查【18】。有特殊行使权的证券已经在离散时间环境下的美国式衍生品的背景下进行了研究。Bayraktar，Huang，and Zhou[3]获得了一个有点不同的原始问题的对偶结果（参见[3，定理3.1]），并表明，如果他们用与本文类似的y来表述原始问题，对偶可能会在他们的设置中失败；有关订单组合约束的相关结果，请参见lso【4】。

Hobson和Neuberger【20】（基于我们注意到【17】中描述的超边缘策略实际上在调用选项中是动态的。Neuberger的早期手稿【23】通过对原始问题采用弱公式来解决这个问题：而不是在固定过滤路径空间上仅优化鞅测度，优化过程在支持鞅的过滤概率空间上运行，从而允许更丰富的信息结构，从而允许更多的停止时间。关于这方面的最新发展，我们也参考了[1、5、19]。我们注意到，所有这些文件都允许对可能的价格路径集（例如，二叉树）进行重大限制，而我们允许所有的cádlág路径。这种差异可能就是为什么我们的环境中存在着强烈的二元性，而原始公共关系问题却没有得到任何放松。在aDirac初始定律u的情况下，研究了（1.2）中的亚洲风格支付案例。对于凸f或凹f，Stebegg[25]表现出很强的对偶性和对偶性。对于非负Lipschitz f，Cox和K"allblad【12】获得了基于模型的最大价格的PDE特征，该价格为完全支持的ν。Bayraktar、Cox和Stoev【2】为美式支付的相应定价问题提供了类似但不完全相同的PDE，如（1.2）所示。我们主要对偶结果的一个序列是，亚洲和美国的PricingProblem是相同的，因此这两个偏微分方程具有相同的（粘度）解。论文的组织结构。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们回顾了关于凸阶和势函数的基本结果，介绍了[8]的广义积分及其相关性质，并给出了有限变分被积函数随机积分的路径定义的扩展。

第三节介绍了鲁棒定价和半静态定价问题，并给出了我们的对偶结果。第4节讨论了辅助问题之间的对偶性，它们的优化器的结构，以及它们与毛坯定价和超边缘问题的关系。在第5节中，我们提供了风险逆转和奶油价差的primal和dua l优化器的简单几何结构。最后，第6.2节“预备工作”中收集了一些反例，确定了时间范围T，并让Ohm = D（[0，T]；R）是[0，T]上实值c撸dl撸gpath的空间。我们捐赠Ohm 使用Skorokhod拓扑，并用相应的Borelσ-algebr a表示，用X=（Xt）t表示∈[0，T]上的规范化进程Ohm, F=（Ft）t∈[0，T]由X生成的（原始）过滤。除非另有说明，所有需要过滤的概率概念都与F有关。对于任何过程，Y=（Yt）T∈[0，T]打开Ohm, 我们是Y0-= 0，所以y在时间0的跳跃是Y=Y.2.1鞅测度和凸序集u和νbe finitemeasures on R with fi fi fi fi first moment。我们用∏（u，ν）表示u和ν的（连续时间）耦合集，即有限测度POhm 这样Po 十、-1=u和Po 十、-1T=ν。此外，如果正则过程X是P下的鞅（如果[8]中的PAs是以自然方式定义的，则使用与概率测度相反的有限测度证明是有用的。不是概率测度），那么我们写P∈ M（u，ν），并假设P是u和ν之间的（连续时间）鞅耦合。我们还考虑这些概念的离散时间版本。也就是说，我们用∏d（u，ν）表示rw上具有边际分布u和ν的有限测度Q集，用Md（u，ν）表示测度Q的子集，在该子集下，Ris上的正则过程是鞅（在其自身的过滤中）。

Rw上的有限测度集∏d（u，θ，ν）和m（u，θ，ν），规定的边际分布类似地重新定义。我们写u≤cν如果u和ν在u（ν）的意义上是凸序的≤ ν（ν）适用于任何凸函数Д：R→ R、 在这种情况下，u和ν具有sa memass和相同的重心重心（u）：=u（R）Rxu（dx）。势函数uu：R→ [0, ∞] u的定义单位为u（x）：=Z | x-y |u（dy）。（2.1）我们参考【7，第4.1节】了解势函数的基本性质。特别是，凸阶、势函数和鞅测度之间的以下关系是众所周知的。提案2.1。设u和ν为有限测度，且u（R）=ν（R）。则以下各项等效：（i）u≤cν，（ii）uu≤ uν，（iii）Md（u，ν）6=, 和（iv）M（u，ν）6=.类似的结果适用于三个边缘u、θ、ν、相应的势函数和集合Md（u、θ、ν）。我们回顾了[8，定义2.2]中的以下定义（另见[7，定义A.3]）。定义2.2。一对有限的度量值u≤如果集合I={uu<uν}连接且u（I）=u（R），则称cν为不可约的。在这种情况下，让J是I和I的任何端点的并集，它们是ν的原子；那么（I，J）是u的域≤cν。我们使用不可约u≤cν表示本文的其余部分。2.2广义整数u≤cν与域（I，J）不可约。Beiglb"ock和Juillet【7，第A.3节】以及Beiglb"ock、Nutz和Touzi【8，第4节】恰当地将表达式u（ν）+ν（ψ）的含义扩展到了单个整数不一定是有限的情况。