关于年金购买的自由边界

函数w在C中是C1,2，它解决了以下边值问题：（wt+Lw）（t，x）=-e-Rtr（u）duH（t，x），（t，x）∈ C、 （3.25）w（t，x）=0，（t，x）∈ C∩ {t<t}，（3.26）w（t，x）=0，x∈ R+。（3.27）似乎（3.25）以一种稍微不寻常的形式给出，但人们应该记住w（t，x）=e-Rtr（u）duv（t，x）（见（3.5）），因此对于v，我们得到更规范的表达式（vt+Lv- r（·））（t，x）=-H（t，x），（t，x）∈ C、 （3.28）下一个技术引理说明了w的一些性质，这些性质将有助于研究边界的正则性C、 其证明见附录。引理3.6。假设t的g（t）<0∈ （0，T）。然后（i）x7→ 对于所有t，w（t，x）均不增加∈ [0，T]，（ii）对于任何T∈ [0，T]它保持SLIMX→∞w（t，x）=0，（3.29）（iii）对于所有t<tin[0，t]，我们有S∩ （（t，t）×R+）6=.值得注意的是，（iii）并不排除可能存在∈ （0，T）等∩ （{t}×R+）=.4、最优边界的性质在本节中，我们提供了边界的充分条件C用时间b的函数表示。我们建立了集合C和S相对于x变量的连通性，并最终研究了t 7的Lipschitz连续性→ b（t）。值得强调的是，这项研究在数学上具有挑战性，因为地图t 7缺乏单调性→ b（t）和落在现有概率文献关于最优停止和自由边界问题的范围之外。在第5节中，我们展示了GompertzMakeham死亡率定律（精算学中的主流模型）自然导致了我们下面所做的一组假设。通过注意setR：{（t，x），可以初步了解C的形状∈ [0，T]×R+：H（T，x）>0}（4.1）包含在C中。

事实上如果（t，x）∈ R thennw（t，x）≥ EZτRe-Rt+sr（t+u）duH（t+s，Xxs）ds> 0在年金购买13的自由边界上，τR从R开始的首次退出时间为（t+s，Xxs）。对于所有t∈ [0，T]使得g（T）6=0边界R由曲线γ（t）给出：=-K`（t）/g（t）。（4.2）此外，对于每个t∈ [0，T]，我们表示R byRt的T截面：={x∈ R+：（t，x）∈ R} 。（4.3）备注4.1。（1） 注意，如果（3.2）中的g（·）和K`（·）在[0，T]上有相同的符号，即γ（·）≤ 0），则R= 或R=[0，T]×R+。在前一种情况下，S=[0，T]×R+，而在后一种情况下，我们有C=[0，T]×R+。（2） 召回（3.3）。考虑t∈ [0，T），使得g（T）<0，即`（T）-β（t）-(θ-α） f（t）>0。那么如果θ≥ α和K>0，即K是收购费，我们得到Rt=[0，γ（t）），γ（t）=K`（t）`（t）- β（t）- (θ - α） f（t）>K。后者意味着，如果个人财富小于或等于K，且基金价值呈正趋势（扣除股息支付），则不应购买年金。出于（1）的动机，在上述备注中，我们稍后将假设γ（·）>0在[0，T]上。现在，我们说明了概率表示（3.11）容易提供连续和停止区域形状的充分条件。提案4.2。如果g（·）在[0，T]上没有改变其符号，则停止区域由自由边界b：[0，T]表示→ R+∪ {+∞}.（4.4）特别是（i）如果g（t）≥ 0表示所有t∈ [0，T]然后S={（T，x）∈ [0，T]×R+：x≤ b（t）}。（ii）如果g（t）≤ 0表示所有t∈ [0，T]然后S={（T，x）∈ [0，T]×R+：x≥ b（t）}。证据如果（i）wx（t，x）≥ 0，这意味着（t，x）∈ C类==> （t，x）∈ C代表所有x≥ x、 下面是声明。类似的论点适用于案例（ii）。对于每个t∈ [0，T]我们表示St：={x∈ R+：（t，x）∈ S} 和Ct=R+\\St。这些分别是停止集和连续集的所谓t形截面。

（i）下的ClearlySt=[0，b（t）]，St=[b（t）+∞) 根据上述提议的（ii）。在本文的其余部分，我们提出了下一个长期假设。这将包含在以下所有结果中，无需明确提及。在第5节和第6节中，我们讨论了它的适用范围和一些扩展。假设4.3。假设γ（t）>0，对于所有t∈ [0，T]及其极限γ（T）：=limt→Tγ（T）存在（可能是有限的）。此外，对于所有t，我们有（i）：g（t）>0∈ （0，T）或（ii）：所有T的g（T）<0∈ （0，T）。备注4.4。值得讨论我们假设的财务/人口解释。我们首先注意到金钱的价值f（·）应该随着时间的推移而缓慢变化。事实上，在像我们这样具有确定性死亡率的模型中，想象个人或保险人对生存概率的看法可能会发生剧烈变化是不合理的（在随机死亡模型中可能会出现这种情况）。此外，一个从一开始就比人群中的平均14 T.DE ANGELIS和G.Stabile更健康的个体，随着时间的推移将保持健康，这是合理的，因此地图T 7→ f（t）-1不应改变符号（这在随机死亡率模型中也不太合理）。最后，我们观察到→ ∞ 一个有f（t）→ 因为最终个人和保险人应该就生存概率达成一致。如前所述，f（·）很小，因此g（·）中的前导项是涉及β和θ的项- ρ（见（3.3））。他们特别强调了个人财务风险和人口风险之间的相互作用。

一方面，（2.5）中的β（t）=α+uS（η+t）可以解释为由数据风险调整的金融投资产生的股息——请注意，主观死亡率高的个人不太可能年金化，更愿意享受金融投资的回报；另一方面，θ- ρ与金融投资的风险溢价密切相关。Ing（·）这两项的权重为1- 分别为f（·）和f（·）。此外，（3.4）中的g（·）表示单位股票投资的边际收益，这是由于将年金化延迟一个时间单位而产生的。考虑到目前为止的所有考虑因素（回想一下f（·）- 1不会改变符号，而fis几乎可以忽略不计），从（3.3）中的公式可以清楚地看出，如果f（t）>1（f（t）<1）对于所有t∈ （0，T），即个人发现年金定价过低（定价过高），θ<ρ（θ>ρ），则g（·）在[0，T]上保持负（正）。这一结论在财务上是明确的，因为定价过低的年金和负风险溢价的前景会给投资者带来负边际收益（每单位股票），因为推迟年金购买（反之亦然）。最后，对于所有t，如果f（t）>1（f（t）<1∈ （0，T）和θ>ρ（θ<ρ），则g（·）可能改变其符号。然而，如果例如t 7→ β（t）是单调的（即致命力是单调的），那么符号的变化不太可能发生多次，因为货币价值f的时间变化缓慢。基于这一观察结果，我们在第5节中使用Gompertz-Makeham死亡率进行了数值实验，表明当g（·）的符号发生变化时，这可能超过20年。因此，我们允许g（·）在时间T处消失，主要是出于数学目的。

事实上，我们还将在第6节中说明，这种额外的灵活性使我们能够将结果扩展到当g（·）改变其符号onceon（0，T）时的某些情况。备注4.5。假设4.3中γ（t）的正性排除了S=[0，t]×R+或C=[0，t]×R+的情况（见备注4.1第（1）点）。假设4.3中的条件（i）和（ii）确实得到了第5节图1和图3所示数值实验的支持，其中g（·）最多一次不改变符号或itchenges符号。请注意，假设3.1和4.3暗示γ∈ C（0，T）。不难验证以下属性是否成立。引理4.6。（a） 如果g（·）>0开（0，T），则对于每个T∈ （0，T）存在g（T）>0使得zsg（T+u）du≥ g（t）s代表所有s∈ [0，T- t] 。（4.5）（b）如果（0，T）上的g（·）<0，则对于每个T∈ （0，T）存在g（T）>0使得zsg（T+u）du≤ -g（t）s代表所有s∈ [0，T- t] 。（4.6）下一个简单引理将在以下内容中有用。关于年金购买的自由边界15引理4.7。如果K`（t）≤ 0表示所有t∈ [0，T]然后limx→0w（t，x）=0表示所有t∈ [0，T]。因此[0，T]×{0} S、 证明。回顾（3.2）并使用支配收敛，我们得到0≤ 林克斯→0w（t，x）≤ 林克斯→0ZT-t | g（t+s）| E[Xxs]ds=0。接下来，我们证明了最优边界在[0，T]上是局部Lipschitz连续的，因此在任何紧上也是有界的。下面证明中的一些思想是从[5]中的定理4.3中借用的。然而，我们不能直接应用[5]的结果，因为其中的条件（D）对应于存在c>0的要求，因此t型e-Rtr（s）dsH（t，x）≤ c（1+| g（t）|）表示所有（t，x）∈ [0，T]×R+。在我们的设置中，后一个界限显然是不可能的，因为上面等式中的左侧在x中是线性的。定理4.8。最优边界b（·）在[0，T]上是局部Lipschitz连续的。证明。

在这个证明中，当我们考虑假设4.3的情况（i）和情况（ii）时，大多数参数是对称的。我们首先注意到，在假设4.3的情况（i）中，引理4.7成立（因为γ（·）>0），并且由于（3.11），C中的wx>0。自由边界b是w的零级集，那么w的连续性和引理4.7意味着，对于每个t∈ [0，T），我们可以发现δ>0非常小，因此方程w（T，x）=δ有一个解x=bδ（T）。w的δ水平集由连续函数bδ局部给出。moreoffδ（T）>b（T）≥ 族（bδ）δ>0随δ减小→ 所以它的极限存在，它的上半连续是连续函数的递减极限，b（t）≥ b（t）。由于w（t，bδ（t））=δ，很明显，将极限取为δ→ 0我们得到w（t，b（t））=0，然后b（t）≤ b（t），从而得出δ→0bδ（t）=所有t的b（t）（4.7）∈ [0，T）。类似地，在假设4.3的情况（ii）中，我们有wx<0。然后bδ（T）<b（T）和（4.7）保持不变（如果b（T）=+∞, 限制是+∞). bδ的有限性总是由引理3.6保证的。因为（t，bδ（t））∈ C代表所有t∈ [0，T），并且wx（T，bδ（T））6=0在假设4.3的（i）或（ii）下，隐函数定理的应用给出（回想一下W∈ Cin C）（4.8）bδ（t）=-wt（t，bδ（t））wx（t，bδ（t）），t∈ [0，T）。接下来我们将获得bδ上的一个界，对于任何有界区间[T，T]，它独立于δ（0，T）。这允许使用Ascoli Arzela定理提取序列（bδj）j≥1如j所示→ ∞, bδjc在[t，t]上一致收敛于Lipschitz连续函数。极限的唯一性和（4.7）意味着b（·）是局部Lipschitz。为了找到bδ上的一致界，我们将证明分步骤进行。第1步。让我们首先观察假设4.3的情况（i）中的wx（t，bδ（t））>0，因此| bδ（t）|=| wt（t，bδ（t））| wx（t，bδ（t））。（4.9）16 T.DE ANGELIS和G.Stabile为了简化符号，我们在下面设置xδ：=bδ（T），T是固定的。

为了估计（4.9）中的数值，我们使用（3.12）中的界限，从而得到| wt（t，xδ）|≤ C1+T- t型xδeEτδ+Eτδ,（4.10）式中，τδ=τ*（t，xδ），为简单起见。堵住（4.10）内部（4.9），我们得到| bδ（t）|≤ C1+T- t型xδeEτδ+Eτδwx（t，xδ）。（4.11）类似估计，但分母替换为-wx（t，xδ）可以在假设4.3中（ii）的设置中获得，直到发生明显变化，即| bδ（t）|≤ C1+T- t型xδeEτδ+Eτδ-wx（t，xδ）。（4.12）在这一点上，为了使（4.11）和（4.12）δ一致，我们必须将它们的极限视为δ→ 为此，我们需要分别考虑假设4.3的情况（i）和情况（ii）。步骤2-案例（i）。这里St=[0，b（t）]和，因为b≤ γ和γ∈ C（0，T），然后b是局部有界的。请注意，在（3.9）中定义的EP中，流程B=B- σs，s≥ 0是布朗运动，从xδ开始的个人财富（2.1）可以写为dxxδs=（θ- α+σ）Xxδsds+σXxδsdeBs。那么，对于任何s∈ [0，T- t] 我们有eP（τδ>s）=ePinf0≤u≤s（Xxδu- b（t+u））>0≥Pinf0≤u≤s（Xxδu- b（t+u））>0= P（τδ>s）（4.13）和thuseEτδ≥ Eτδ。用（4.11）的分子代替该估计值，我们可以写出| bδ（t）|≤ C1+T- t型（1+xδ）eEτδwx（t，xδ）。（4.14）回顾假设3.1、（3.11）和（4.5），现在很清楚，存在一个常数>0，与（t，xδ）无关，因此wx（t，xδ）≥ 中欧和东欧Zτδg（t+s）ds≥ c g（t）eEτδ。（4.15）因此，将后者插入（4.14），我们得出结论| bδ（t）|≤Cc g（t）1+T- t型（1+xδ）≤cg（t）1+T- t型（2+γ（t））（4.16），其中c>0是一个合适的常数，其中我们使用了bδ（t）≤ 1+γ（t）asδ→ 那么（4.16）中的一致界意味着b是如所声称的局部Lipschitz。步骤2-案例（ii）。此处St=[b（t）+∞). 这一部分的分析比前一个案例涉及更多。

类似于（4.13）中的参数给出了Eτδ≥eEτδ关于年金购买17的自由边界，遗憾的是，这无助于（4.12）中的估计。因此，我们需要以不同的方式进行。从（4.12）中我们可以看到，为了限制| bδ（t）|，我们必须限制τδ/| wx（t，xδ）|和Eτδ/| wx（t，xδ）|（回想一下wx≤ 0). 前者可以很容易地用（3.11）和（4.6）来界定，因为wx（t，xδ）≤ 中欧和东欧Zτδg（t+s）ds≤ -c g（t）eEτδ（4.17），合适的c>0。然后（4.17）表示τδ| wx（t，xδ）|≤c g（t）。（4.18）另一个术语需要更多的工作，因为分子中的期望值是关于P的，而分母中的期望值是SEP。虽然我们仍然可以使用（4.17）来估计比率Eτδ/| wx（t，xδ）|，但现在我们得到的是Eτδ| wx（t，xδ）|≤Eτδc g（t）eEτδ。（4.19）我们的下一个任务是找到Eτδ/eEτδ比值的界限。根据假设4.3，存在a>0，使得γ（t）≥ 2a用于t∈ [0，T]和wedenoteτa=inf{T≥ 0:Xt≤ a} 。对于证明的这一部分，很容易想到Ohm 作为连续路径的正则空间ω={ω（t），t≥ 0}并表示移位运算符θsω={ω（s+t），t≥ 0}. 回想一下Eet，x[·]=eE[·| Xt=x]和Et，x[·]=E[·| Xt=x]。使用此符号，我们必须注意对于固定（t，xδ）和任何s≥ 0我们有P（τδ>s）=Pt，xδ（τ*- t>s）andeP（τδ>s）=ePt，xδ（τ*- t>s），因为τ*= inf{u≥ t：（u，Xt，xδu）∈ S} 在Pt下，xδ和Pt，xδ。我们的第一个估计值见τδ=eEt，xδ（τ*- t） =xδEt，xδhe（α-θ)(τ*-t） Xτ*（τ）*- t） 我≥cxδEt，xδ[xτ*（τ）*- t） ]（4.20）适用于合适的均匀常数c>0。

接下来我们得到，xδ[xτ*（τ）*- t） ]=Et，xδXτ*（τ）*- t）{τ*≤τa}+1{τ*>τa}≥ aEt，xδ（τ）*- t） 1{τ*≤τa}+ Et，xδXτ*（τ）*- t） 1{τ*>τa}.（4.21）最后一项可以进一步简化：Et，xδXτ*（τ）*- t） 1{τ*>τa}= Et，xδXτ*（τ）*- t） 1{τ*>τa}{τ*<T}+1{τ*=T}≥ a Et，xδ（τ）*- t） 1{τ*>τa}{τ*<T}+ Et，xδXτ*（τ）*- t） 1{τ*>τa}{τ*=T}（4.22）我们使用{τ*< T} {Xτ*≥ γ(τ*)} 在Pt、xδ和γ（τ）下*) ≥ 2a。上述表达式中的最后一项可通过使用迭代条件作用和18 T.DE ANGELIS和G.Stabile估计。强马尔可夫性质：Et，xδXτ*（τ）*- t） 1{τ*>τa}{τ*=T}= Et，xδ（T- t） 1{τ*>τa}Et，xδXτ*{τ*=T}Fτa= Et，xδ（T- t） 1{τ*>τa}Et，xδXτa+τ*oθτa{τ*oθτa=T-τa}Fτa（4.23）=Et，xδ（T- t） 1{τ*>τa}Eτa，XτaXτ*{τ*=T}≥ Et，xδ（T- t） 1{τ*>τa}{τ*=T}Eτa，aXτ*{τ*=T}≥ cEt，xδ（T- t） 1{τ*>τa}{τ*=T},其中C：=inf0≤s≤TEs，aXT{τ*=T}> 0。（4.24）注意，（4.24）中的严格正性可以通过使用已知的布朗运动联合定律及其运行上确界来验证。实际上，回顾γ（t）≥ 2A适用于所有t∈ [0，T]我们有，aXT{τ*=T}≥ Es，aXT{sups≤u≤TXu公司≤2a}.从（4.21）、（4.22）和（4.23）我们得到，xδ[xτ*（τ）*- t） ]≥ aEt，xδ（τ）*- t） 1{τ*≤τa}+ a Et，xδ（τ）*- t） 1{τ*>τa}{τ*<T}+ cEt，xδ（T- t） 1{τ*>τa}{τ*=T}≥ cEt，xδ（τ*- t） =cEτδ（4.25），c=a∧ c、 现在我们将后者插入（4.20），然后再插入（4.19）并获得τδ| wx（t，xδ）|≤xδcg（t）（4.26），其中c=c·c·c>0为均匀常数。上述表达式和（4.18）现在可替换为（4.12），并给出| bδ（t）|≤cg（t）1+T- t型bδ（t）（4.27），其中c>0是一个合适的常数。我们记得，在假设4.3的情况（ii）中，引理3.6-（iii）意味着对于任何0≤ 我们可以找到∈ （t，t）使得bδ（t）≤ b（t）<+∞.

latterand（4.27）允许应用Gronwall不等式来获得，对于任何0≤ t<t<t，存在一个常数ct，t>0，与δ无关≤t型≤t型bδ（t）≤ ct，t.（4.28）因此，边界b也有相同的界限，它表明b在任何紧上都有界限。此外，（4.27）和（4.28）还根据需要给出了bδ在[t，t]上的统一界。边界的Lipschitz连续性对于值函数w的正则性具有重要影响，我们总结如下。提案4.9。值函数w在[0，T）×R+上连续可微。此外，wxxi在集C的闭包上连续∩ {t<t- ε} 对于所有ε>0。关于年金购买的自由边界19证明。推论（3.5）告诉我们，Wt和Wx在C和S内部的所有点上都是连续的，因此，仍然需要分析w穿过边界的规律性。为了做到这一点，必须观察到，自t 7→ b（t）是局部Lipschitz，重对数定律意味着τ*实际上等于第一次X严格低于边界，如（i），或严格高于边界，如（ii）。换句话说，S的首次进入时间等于其内部的首次进入时间。这是一个重要的事实，可以用来证明（t，x）7→ τ*（t，x）是连续的P-a.s.，并且在所有边界点处为零（参见示例[4，引理5.1和命题5.2]）。固定（t，x）∈ C∩ {t<t}取序列（tn，xn）n≥1. C带（tn、xn）→（t，x）为n→ ∞. （t，x）7的连续性→ τ*（t，x）和上述讨论意味着τ*（tn，xn）→ 0，P-a.s.为n→ ∞. 后者以及公式（3.11）和（3.12）给出了wx（tn，xn）→ 0和重量（tn，xn）→ 因为（t，x）和序列（tn，xn）是二进制的，所以我们得到w∈ C（[0，T）×R+）。关于Wxxx连续性的最终声明如下（3.25）。