关于年金购买的自由边界

然而，这就留下了一些关于S的实际形状及其边界规则性的问题。对这些问题的完整回答需要使用不同的方法，我们将其留给未来的工作。6.1. 关于最优边界正则性的一点注记。这项工作的主要数学挑战之一是最优性边界缺乏单调性，我们通过证明边界是indeedlocally-Lipschitz来克服这一问题。虽然我们的方法仅依赖于随机微积分，但在（4.8）中着眼于隐函数定理并提供bδ的界限的想法，有些来自偏微分方程（我们参考文献[5]，以获得对该主题更广泛的评论）。特别是，我们受到了[17]的启发，其中研究了与最优停止问题相关的变分不等式（见其中的等式（1.3））。有趣的是，我们的假设比[17，pp.376-377]中的假设要弱得多，因此在这个意义上，我们的概率方法扩展了[17]中使用纯分析工具获得的结果。如果我们使用问题公式（3.5），可以更好地理解与符号平行的情况，尽管使用（2.7）显然是等效的。首先，文[17]中研究的问题是带漂移的布朗运动，最优停止问题中的增益函数和运行成本都要求是多项式增长的。在我们的例子中（Xt）t立即违反了这一点≥0是带漂移的布朗运动的指数，而（3.5）中的函数H在X中是线性的。更重要的是，对于证明自由力的Lipschitz正则性来说，与我们的工作有非常小的差异的关键在于【17】研究了最小化问题。28 T.DE ANGELIS和G.StabileBundary在【17】中指出，运行成本梯度上的某些特定下限应保持不变。

根据【17】，在我们的假设4.3中，我们还需要-Rtr（u）du | g（t）|≥ ch1+e-Rtr（u）du | Ht（t，x）- r（t）H（t，x）| ifor all（t，x）∈ [0，T]×R+，对于某些c>0。由于上述表达式的左侧与x无关，很明显，边界不能成立。附录容许停车时间。在这里，我们使用[1]中的一个论点来证实weincur在优化Tt时没有失去一般性，而不是使用（Gt）t的停止时间≥0其中Gt=英尺∨ σ（{D>s}，0≤ s≤ t） 。关键是对于任何（Gt）t≥0-停止时间τ存在（Ft）t≥0-停止时间τ，使得τ∧ ΓD=τ∧ ΓD，P×QS-a.s.（见[16，Ch.VI.3，P.370]）。然后，让T0，Tbe为（Gt）t的集合≥[0，T]中的0-停止时间，我们有supτ∈T0，TESZΓD∧τe-ρsαXsds+1{D≤τ} e类-ρΓDXΓD+Pη+τZΓDΓD∧τe-ρsds= supτ∈T0，TESZΓD∧τe-ρsαXsds+1{D=τ∧ΓD}e-ρΓDXΓD+Pη+τ∧ΓDZΓDτ∧ΓDe-ρsds= supτ∈T0，TESZΓD∧τe-ρsαXsds+1{D=τ∧ΓD}e-ρΓDXΓD+Pη+τ∧ΓDZΓDτ∧ΓDe-ρsds= supτ∈T0，TESZΓD∧τe-ρsαXsds+1{D≤τ} e类-ρΓDXΓD+Pη+τZΓDΓD∧τe-ρsds,在第一个等式中，我们使用了{D≤ τ} ={ΓD=τ∧ ΓD}和thatPη+τZΓDτ∧ΓDe-ρsds=1{τ≤ΓD}Pη+τZΓDτ∧ΓDe-ρsds。对于Tt中的停止时间，可以重复相同的参数，Tupon取expectationconditioned to Ft∩ {ΓD>t}。引理3.6的证明。w（t，·）的单调性紧随（3.11）之后。我们现在证明（iii）。为此，我们需要一个初步结果，并引入γ（t）：=inf{x∈ R+：H（t，x）<-δ} 对于固定δ>0。因为t的g（t）<0∈ （0，T）很容易验证γ（T）=-（δ+K`（t））/g（t）（6.2）和H（t，x）<-x的δ∈ （γ（t）+∞).我们定义了停止时间τ=τ（t，x）：=inf{s≥ 0:Xxs≤ γ（t+s）}∧ （T- t） （6.3）在年金购买的自由边界29上，注意τ（t，x）→ T- 概率为x的t→ ∞.

事实上，对于任何ε>0的情况，都存在γε∈ (0, +∞) 使得γ（t+s）≤ γε适用于所有s≤ T- t型- ε、 因此（T- t型- τ≥ ε） =P（τ≤ T- t型- ε) ≤ Pinf0≤s≤T-t型-εXxs≤ γε(6.4)≤ Pinf0≤s≤T-t型-εXs≤γεx很明显，最后一项为0，为x→ ∞.现在请注意，如果存在*< T使得*, T）×R+ C、 那么对于所有s≥ t型*一个hasw（s，γ（s））=EZT公司-东南方-Rs+ur（v）dvH（s+u，γ（s）Xu）du（6.5）=γ（s）ZT-东南方-Rs+ur（v）dvg（s+u）e（θ-α） udu+KZT-东南方-Rs+ur（v）dv`（s+u）du。注意γ（s）ZT-sg（t+u）du=-（δ+K`（s））g（s）g（s+ξs）（T- s） （6.6）对于某些ξs∈ [0，T- s] ，我们立即得出结论：*, T）×R+ C类==> lims公司→Tw（s，γ（s））=0，（6.7），自`∈ C（[0，T]）。我们现在分两步进行。第1步。这里我们证明了S∩ （[t，t）×R+）6= 对于所有t<t。假设相反，即存在t*< T使得*, T）×R+ C、 因此对于任何t∈ [t*, T）给定并固定了τ*（t，x）=t- 所有x的t P-a.s∈ R+。特别地，我们取x>γ（t）。为了获得值函数的上界，我们使用（3.24）和（6.3）的鞅性质得到0≤ w（t，x）=EZτe-Rt+sr（u）duH（t+s，Xxs）ds+w（t+τ，Xxτ）≤ E{τ≤T-t型-ε} w（t+τ，Xxτ）+ E{T-t型-ε<τ<T-t} w（t+τ，Xxτ）(6.8)- δ（T- t型- ε） c P（τ>T- t型- ε） 其中，c>0是贴现系数的统一下界。因为{τ<t上的Xxτ=γ（t+τ）- t} γ（·）在[t，t]上有界且连续- ε] ，然后，使用该w∈ C（[0，T]×R+），我们可以找到Cε∈ [0, +∞), 独立于x等≤s≤T-t型-εw（t+s，γ（t+s））≤ cε。（6.9）另一方面（6.7）意味着dε：=sup0≤s≤εw（T- s、 γ（T- s） ）<+∞（6.10）以便（6.8）给出0≤ w（t，x）≤ cεP（τ≤ T- t型- ε） +P（τ>T- t型- ε） （dε- δ（T- t型- ε） c）。30 T.DE ANGELIS和G。

稳定取极限为x→ ∞ 回顾τ（t，x）→ T- 概率t（见（6.4））weget0≤ w（t，x）≤ dε- δ（T- t型- ε） c.最后，让ε→ 0，使用（6.7）我们得到dε→ 0和0≤ w（t，x）≤ -δ（T- t型- ε） c，因此存在矛盾。这意味着S∩ （[t，t）×R+）6= 对于所有t<t。第2步。这里我们证明了S∩ （（t，t）×R+）6= 对于所有t<tin[0，t]。让我们用矛盾来论证，并假设∩ （（t，t）×R+）= 对于给定的对联<tin[0，T]。在不损失一般性的情况下，我们可以设置t：=sup{t>t:S∩ （（t，t）×R+）=}我们从上面的步骤1知道t<t。这个想法是为了证明t=t，因此是矛盾的。修复t∈ [t，t）存在x∈ R+带（t，x）∈ S、 自wx起≤ 0然后{t}×[x+∞) ∈ S和we定义τ：=inf{S≥ 0:Xxs≤ x} 。（6.11）如（6.8）所示，我们使用（3.24）到停止时间ζ的鞅性质：=τ*∧ τ∧ （t- t） ，其中τ*= τ*（t，x）和τ=τ（t，x）。特别是，注意P（τ*≥ t型- t） =1，因此P（ζ≥ τ∧ （t- t） ）=1，我们得到0≤ w（t，x）≤ - δ（t- t） c P（τ>t- t） +Ew（t+τ，γ（t+τ））1{τ<τ*∧（t-t） }（6.12）+Ew（t，Xxt-t） 1{t-t<τ*∧τ}.关于事件{τ<τ*∧ （t- t） }我们有γ（t+τ）≤ 支持≤s≤tγ（s）≤ γ表示约0≤ γ< ∞ 这只取决于tand t。因此w（t+τ，Xxτ）≤ 对于一些C>0，也只依赖于tand t，而且{t- t<τ*∧ τ} ={t- t<τ*∧ τ} ∩ {τ≤ t型- t} 否则，该过程将穿过垂直半线{t}×[x+∞) ∈ S、 因为事件{t上的相同原因- t<τ*∧ τ} 一个有XXT-t型≤ x表示w（t，Xxt-t）≤ 对于某些C>0，仅取决于ont，tand x.收集（6.12）0中的这些事实≤ w（t，x）≤ C P（τ≤ t型- t） +CP（τ≤ t型- t）- δ（t- t） c P（τ>t- t） 。（6.13）我们将极限值取为x→ ∞.

从与（6.4）相同的参数中，我们得到P（τ≤ t型-t）→ 0，P（τ>t- t）→ 1和类似的p（τ≤ t型- t） =Pinf0≤s≤t型-tXxs型≤ x个= Pinf0≤s≤t型-tXs公司≤xx号→ 因此（6.13）导致矛盾，必须是t=t。上述步骤1和2给出（iii）。最后我们可以证明（3.29）。由于w（t，x）=0，x，t=t的极限很明显∈ R+。对于所有的t∈ [0，T]这样S∩（{t}×R+）6=. 因此，仍然需要证明t∈ [0，T]这样S∩ （{t}×R+）=.在年金购买的自由边界上31拿一个这样的t∈ [0，T]和fix T>T，因此存在x∈ R+带（t，x）∈ S（由于（iii）必须存在）。回想一下（6.11）中的τ，然后重复鞅参数和上面的估计，我们得到0≤ w（t，x）≤ Ew（t+τ，γ（t+τ））1{τ<τ*∧（t-t） }+ Ew（t，Xxt-t） 1{t-t<τ*∧τ}≤ C P（τ≤ t型- t） +CP（τ≤ t型- t） 。将极限值设为x→ ∞ （3.29）很容易验证。定理4.12中唯一性的证明。我们只在S={（t，x）：x的情况下给出证明≤ b（t）}与另一种情况一样，具有相同的参数。同样，这里我们假设γ（T）<+∞ 为简单起见，请注意，下面的参数可以很容易地适用于γ（T）=+∞.假设存在一个连续函数c：[0，T]→ R+与c（T）=γ（T），与c（T）≤ γ（t）适用于所有t∈ [0，T]并使c solvesG（T，c（T））=Ee-RT公司-tr（t+u）挖掘（t，Xc（t）t-t） +ZT-te公司-Rsr（t+u）duβ（t+s）Xc（t）s-H（t+s，Xc（t）s）1{Xc（t）s≤c（t+s）}ds公司.（6.14）然后我们定义一个函数uc（t，x）=Ee-RT公司-tr（t+u）挖掘（t，XxT-t） +ZT-te公司-Rsr（t+u）duβ（t+s）Xxs-H（t+s，Xxs）1{Xxs≤c（t+s）}ds公司（6.15）并注意，这是（4.35）中值函数V的c模拟。

注意：Uc（T，x）=G（T，x）表示x≥ 由于强马尔可夫性，不难证明过程（总线）是∈[0，T-t] 是鞅，其中Bus：=e-Rsr（t+u）duUc（t+s，Xxs）+Zse-Rur（t+v）dvβ（t+u）Xxu-H（t+u，Xxu）1{Xxu≤c（t+u）}杜。（6.16）那么同样的论点也意味着（bVs）s∈[0，T-t] 也是鞅，其中bvs：=e-Rsr（t+u）duV（t+s，Xxs）+Zse-Rur（t+v）dvβ（t+u）Xxu-H（t+u，Xxu）1{Xxu≤b（t+u）}杜。（6.17）现在我们按照文献中的惯例分四步进行（见【14】和【15】）。第1步。首先，我们证明对于所有x，Uc（t，x）=G（t，x）≤ c（t），t∈ [0，T]。（t，x）的语句很简单∈ {T} x R+或x=c（T），因为它后面是c（·）和uc的定义。现在让我们取t<t和x<c（t），定义σc：=inf{s≥ 0:Xxs≥ c（t+s）}∧（T-t） 利用bu的鞅性质得到uc（t，x）=Ee-Rσcr（t+u）duUc（t+σc，Xxσc）+Zσce-Rsr（t+u）du（β（t+s）Xxs-H（t+s，Xxs））ds.（6.18）32 T.DE ANGELIS和G.Stabile使用Uc（T+σc，Xxσc）=G（T+σc，Xxσc），P-a.s.，因为c解（6.14），Uc（T，x）=G（T，x），我们得到Uc（T，x）=Ee-Rσcr（t+u）挖（t+σc，Xxσc）+Zσce-Rsr（t+u）du（β（t+s）Xxs-H（t+s，Xxs））ds= G（t，x），（6.19），其中最终等式也使用β（t）x- H（t，x）=-（Gt+LG- r（·）G）（t，x）和Dynkin公式。第2步。现在我们显示V（t，x）≥ Uc（t，x）。对于x来说，这种说法微不足道≤ c（t），t∈ [0，T）由于步骤1。类似地，对于x，Uc（T，x）=V（T，x）=G（T，x∈ R+。然后，text<T，取x>c（T），并表示τc：=inf{s≥ 0:Xxs≤ c（t+s）}∧ （T- t） 。利用Bu和（6.14）的鞅性质，我们得到了Uc（t，x）=Ee-Rτcr（t+u）duUc（t+τc，Xxτc）+Zτce-Rsr（t+u）duβ（t+s）Xxsds=Ee-Rτcr（t+u）挖掘（t+τc，Xxτc）+Zτce-Rsr（t+u）duβ（t+s）Xxsds≤ V（t，x）。（6.20）步骤3。这里我们证明了c（t）≥ b（t），t∈ [0，T]。

假设有t∈ [0，T）这样c（T）<b（T），取x≤ c（t）表示σb：=inf{s≥ 0:Xxs≥ b（t+s）}∧ （T- t） 。现在利用bv和bv的鞅性质，我们得到v（t，x）=Ee-Rσbr（t+u）duV（t+σb，Xxσb）+Zσbe-Rsr（t+u）du（β（t+s）Xxs-H（t+s，Xxs））ds（6.21）Uc（t，x）=Ee-Rσbr（t+u）duUc（t+σb，Xxσb）+Zσbe-Rsr（t+u）duβ（t+s）Xxs-H（t+s，Xxs）1{Xxs≤c（t+s）}ds公司.（6.22）注意Uc（t，x）=V（t，x），因为x≤ c（t）<b（t），回想一下V（t+σb，Xxσb）≥Uc（t+σb，Xxσb）。然后，从（6.21）中减去（6.22），我们得到0≤EZσbe-Rsr（t+u）duH（t+s，Xxs）1{Xxs>c（t+s）}ds.（6.23）由于H（t+s，Xxs）<0表示s≤ σb（回想一下，H<0低于γ（·）），并且由于P（Xxs>c（t+s），σb>s>0对于任何非常小的s（由于b和c的连续性），则（6.23）中的质量是矛盾的，因此它不可能是c（t）<b（t）。第4步。在这最后一步中，我们展示了c（t）≤ b（t）代表t∈ [0，T]，因此，从步骤3中，我们得出T的c（T）=b（T）的结论∈ [0，T]。假设有t∈ [0，T），使得c（T）>b（T），取x∈ （b（t），c（t））。然后让τb=inf{s≥ 0:Xx≤ b（t+s）}∧ （T- t） 在年金购买33的自由边界上，再次使用bothbU和bv的鞅性质，我们得到v（t，x）=Ee-Rτbr（t+u）duV（t+τb，Xxτb）+Zτbe-Rsr（t+u）duβ（t+s）Xxsds（6.24）Uc（t，x）=Ee-Rτbr（t+u）duUc（t+τb，Xxτb）+Zτbe-Rsr（t+u）duβ（t+s）Xxs-H（t+s，Xxs）1{Xxs≤c（t+s）}ds公司.（6.25）由于步骤3和步骤1，我们注意到V（t+τb，Xxτb）=Uc（t+τb，Xxτb）=G（t+τb，Xxτb）。我们还记得V（t，x）≥ 步骤2导致的Uc（t，x）。然后从（6.24）中减去（6.25）给定0≤ EZτbe-Rsr（t+u）duH（t+s，Xxs）1{Xxs≤c（t+s）}ds.（6.26）自c（·）≤ γ（·）和c（t）<γ（t），然后H（t+s，Xxs）1{Xxs≤c（t+s）}≤ 0，对所有s都是严格负的∈ [0，τb）非常小。此外，c（·）和b（·）的连续性意味着P（Xxs≤ c（t+s），τb>s）>0，所有s>0的值都非常小。

因此（6.26）给出了一个冲突，它必须是c（t）≤ b（t）。致谢：这项工作得到了萨皮恩扎罗马大学的资助，研究项目“Polizze‘递延收入年金’per la previdenza complementare:un modello stocastico di valutazione”，批准号：RP11615500B7B502。T、 DeAngelis还得到了EPSRC赠款EP/R021201/1“研究随机最优控制中自由边界规律的概率工具包”的部分支持。最后，我们要感谢三位匿名评论员，他们的宝贵评论提高了我们论文的质量。参考文献【1】Chakrabarty，A.，Guo，X.（2012）。具有不同信息水平和时间不确定性的最佳停车时间。《随机分析和金融应用：纪念严家安的论文》，第19-38页。[2] E.Chevalier（2006年）。养老金计划到期前的最佳提前退休。FinanceStoch公司。10（2），第204-221页。[3] T.De Angelis（2015年）。关于一维差分有限水平最优停止问题中自由边界连续性的注记，SIAM J.Control Optim。，53（1），第167-184页。[4] T.De Angelis和E.Ekstrom（2017年）。无限期股息问题，Ann。应用程序。概率。27（6），第3525-3546页。[5] T.De Angelis和G.Stabile（2017年）。关于Lipschitz连续最优停止边界，arXiv:1701.07491。[6] A.Friedman和W.Shen（2002）。基于工资的退休福利财务估值的变分不等式方法。金融斯托克。6（3），第273-302页。[7] R.Gerrard、B.Hojgaard和E.Vigna（2012年）。选择退休后的最佳年金时间Quant。《金融》，12（7），第1143-1159页。[8] D.Gilbarg和N.S.Trudinger，《二阶椭圆型偏微分方程》，柏林斯普林格出版社（2001）。[9] D.Hainaut和G.Deelstra（2014年）。

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Stabile:Dipartmento di Metodi e Modelli per l\'Economia，il Territorio e la Finanza，Sapienza Universit\'a di Roma，Roma，Italy电子邮件地址：gabriele。stabile@uniroma1.it