关于年金购买的自由边界

对于金融市场，我们考虑一个完全概率空间(Ohm, F、 P）携带一维布朗运动（Bt）t≥0.B产生的过滤用（Ft）t表示≥0，并用P-null集扩充。在年金化之前，个人财富中用于购买年金并投资于金融基金的部分由随机过程（Xt）t建模≥0、在下文中，我们不区分基金动态和财富动态。关于年金购买的自由边界5，其动态读数xxt=（θ- α） Xxtdt+σXxtdBt，Xx=x>0，（2.1），其中θ是金融投资的平均连续收益，α是恒定的分割率，σ>0是波动系数。对于人口统计学风险，我们考虑另一个概率空间：给定一个可测量空间(Ohm, F） 我们让qs和qo表示(Ohm, F） 假设(Ohm, F、 Qi），i=S，O都是完整的。量度qs与个体的主观生存概率相关。相反，Qo指的是保险公司为年金定价和公开信息时使用的客观生存概率。在我们的问题中，个人在时间零点时的年龄η>0，该值在本文中给出并固定。我们定义了一个随机变量ΓD：(Ohm, F）→ （R+，B（R+）表示个人死亡时间，对于i=S，我们定义危险函数spiη+t：=Qi（ηD>η+t+S | D>η+t）和S，t≥ 0、这些代表了在η+t年龄存活的个体存活到η+t+s年龄的主观/客观概率（我们遵循πη+t的标准精算符号）。设uS：[0+∞) → [0, +∞) 和uO：[0+∞) → [0, +∞)是确定性函数，分别代表主观和客观死亡率。

那么，对于i=S，O我们有spiη+t=exp-Zsui（η+t+u）du, 对于t，s≥ 0.（2.2）保险人和个人采用的不同生存概率函数解释了保险人可获得的关于个人风险档案的不完善信息。最后，我们说MS：=(Ohm × Ohm, F F、 P×QS）是个体的概率空间，为了完整性，MO：=(Ohm×Ohm, FF、 P×QO）是保险公司的概率空间。备注2.1。函数u和uOAR在一开始就给出了，在优化过程中没有更新。以非平凡的方式进行更新需要对死亡率使用随机动力学，这通常会导致更复杂的问题。2.2. 优化问题。保险公司使用其基于客观生存概率的概率模型为年金定价。特别是，根据标准精算理论，以每年一个货币单位的利率（由年龄为η+t的个人购买）连续支付的终身年金在t>0时的价值由aoη+t=Z给出∞e-bρuupOη+tdu。这里bρ>0是保险人保证的恒定利率。在我们的模型中，基金在时间T自动转换为年金，但个人可以选择在时间T之前进行年金化。如果她决定一次性年金∈ [0，T]，当基金价值等于X时，年金支付率为常数，读数为（2.3）Pη+T=X- KaOη+t，其中常数K是固定收购费（K>0）或税收激励（K<0）。如下文备注3.2所述，K=0的情况会导致琐碎的解决方案。来自6 T.DE ANGELIS和G。

稳定建模视角T<+∞ 反映了一个事实，即保险公司通常有购买年金的最高年龄限制（这在[9]中也有所提及）。个人追求的优化标准是，通过MS模型下年金购买的最佳时机，使未来预期现金流的现值最大化。如果个人在时间t时还活着，则让ES[·]为测量值P×QS下的预期，优化问题为Svt=ess supτ∈Tt，TESZΓD∧τte-ρsαXsds+1{D≤τ} e类-ρΓDXΓD（2.4）+Pη+τZΓDΓD∧τe-ρsds英尺∩ {ΓD>t}其中Tt，是（Fs）的集合≥0-停止时间取其值在[t，t]，ρ>0是贴现率。在年金化之前，即对于s<τ，个人从基金中以α的比率获得分红。年金化后，即s>τ，她以固定年利率Pη+τ获得连续年金支付。如果个人在购买年金之前死亡，即在事件{D≤ 她留下的遗产相当于她的财富。备注2.2。由于[1]中的一个结果，我们在附录中表明，使用Tt，T的停止时间不会损失一般性。也就是说，我们在（2.4）中获得的值与使用扩大过滤（Gt）T的停止时间相同≥0其中Gt=英尺∨ σ（{D>s}，0≤ s≤ t） 。由于人口不确定性和基金回报之间假定的独立性（即。

ΓDindependent of（Bt）t≥0），并且由于优化超过（Ft）t≥0停止时间，可以使用Fubini定理和（2.2）asVt=ess supτ重写值函数∈Tt，TEZτte-Rstr（u）duβ（s）Xsds+e-Rτtr（u）挖掘（τ，Xτ）英尺（2.5）式中，E[·]是P下的期望值，r（t）：=ρ+uS（η+t），β（t）：=α+uS（η+t），G（t，x）=f（t）（x- K） andf（t）=aSη+taOη+t。（2.6）此处aSη+是个人对年金的主观评估，即aSη+t=Z∞e-ρuupSη+tdu。（2.6）中的函数f（·）是所谓的“金钱价值”。由于我们处于马尔可夫环境中，因此E[·| Ft]=E[·| Xt]。特别是，如果Xt=x>0，P-a.s.我们发现使用符号Et，x[·]：=E[·| Xt=x]=E[·| Ft]很方便。此外，过程X是时间齐次的，因此（s，Xs）s≥t型Xt=x= 法律（t+s，Xs）s≥0X=X.使用上述符号，对于任何给定（t，x）∈ [0，T]×（0+∞) 我们可以重写（2.5）asV（t，x）=sup0≤τ≤T-tE公司Zτe-Rsr（t+u）duβ（t+s）Xxsds+e-RτR（t+u）挖掘（t+τ，Xxτ）,（2.7）其中我们还说≤ τ ≤ s<==> τ ∈ Ts，s（这应该不会引起混淆，因为本文中的所有停止时间都属于某些s的Ts，sfo≤ s） 。关于年金购买的自由边界72.3。变分问题。在结束本节之前，我们将介绍与（2.7）自然相关的变分问题。设L为与微分（2.1）相关的二阶微分器，即（LF）（x）=（θ- α） xFx（x）+σxFxx（x），对于F∈ C（R+）。假设V足够正则，通过应用动态规划原理和It^o公式，我们期望值函数应满足以下变分不等式（2.8）maxn（Vt+LV-r（·）V）（t，x）+β（t）x，G（t，x）-V（t，x）o=0，（t，x）∈ （0，T）×R+终端条件V（T，x）=G（T，x），x∈ R+。在本文的其余部分中，我们将表明（2.8）与V在a.e.意义上成立∈ C（[0，T）×R+）∩ C（[0，T]×R+）和Vxx∈ L∞loc（[0，T）×R+）。

此外，我们将研究V=G的集合的几何，即所谓的停止区域。3、值函数的性质在本节中，我们提供了值函数的一些连续性性质及其梯度上有用的概率界。在下面的内容中，给定一组 [0，T]×R+有时表示A∩ {t<t}：=A∩ （[0，T）×R+）。此外，我们在本文的其余部分做出了下一个站立假设。假设3.1。uS（·）和uO（·）在[0+∞).为了研究优化问题（2.7），我们发现引入函数（3.1）v（t，x）=v（t，x）很方便- G（t，x），（t，x）∈ [0，T]×R+，这在财务上可以理解为延迟年金购买的期权价值。我们可以很容易地计算出（t，x）：=（Gt+LG- r（·）G）（t，x）+β（t）x=G（t）x+K`（t），（3.2），其中G（t）：=f（t）+β（t）（1- f（t））+（θ- ρ） f（t）和`（t）：=r（t）f（t）- f（t）。（3.3）It^o公式的应用e-RτR（t+u）挖掘（t+τ，Xxτ）=G（t，x）+EZτe-Rsr（t+u）duH（t+s，Xxs）- β（t+s）Xxsds公司因此，很容易验证（见（2.7））（3.4）v（t，x）=sup0≤τ≤T-tE公司Zτe-Rsr（t+u）duH（t+s，Xxs）ds.请注意，（3.4）包括一个非时间同质的确定贴现率。这类最优停止问题在文献中相对少见。它们的特点是技术难题，通过考虑问题的折扣版本，可以更方便地处理这些难题。因此我们引入（3.5）w（t，x）：=e-Rtr（s）dsv（t，x）=sup0≤τ≤T-tE公司Zτe-Rt+sr（u）duH（t+s，Xxs）ds.8 T.DE ANGELIS和G.Stabile由于w的问题等同于v和v的问题，从现在起，我们将重点分析（3.5）。从（2.7）可以清楚地看出，V（t，x）≥ G（t，x），对于所有（t，x）∈ [0，T]×R+，因此前为非负。

此外，很容易检查w（t，x）是否对所有（t，x）都是有限的∈ [0，T]×R+，这得益于X的众所周知的性质和假设3.1。和最优停止理论一样，我们让（3.6）C=（t，x）∈ [0，T]×R+：w（T，x）>0和（3.7）S=（t，x）∈ [0，T]×R+：w（T，x）=0分别是所谓的连续区域和停止区域。我们还表示为C集合C的边界，我们将（t，X）的首次进入时间引入S，即（3.8）τ*（t，x）：=inf{s∈ [0，T- t] ：（t+s，Xxs）∈ S} ，对于（t，x）∈ [0，T]×R+。自（t，x）7→ H（t，x）是连续的，不难看出对于任何固定的停止时间eτ≥ 0，设置τ：=eτ∧ （T- t） ，映射（t，x）7→ EZτe-Rt+sr（u）duH（t+s，Xxs）ds也是连续的。因此，w是下半连续的，因此C是开放的，S是封闭的。此外，w和标准最佳停车结果的一致性（见[15，Cor.2.9，Sec.2]）保证（3.8）是w（t，x）的最佳结果。为了将来的频繁使用，我们在此介绍一种新的概率度量，由其Radon-Nikodym导数（3.9）Zt=dePd P定义Ft=expσBt-σt, t型≥ 0，注意xxt=x Zte（θ-α） t，t≥ 0。（3.10）众所周知，对于所有t，P和P在Ft上是等价的∈ [0，T]。备注3.2。如果（2.3）中的K=0，问题（3.5）将简化为确定性问题。注意{s<τ}Zs=1{s<τ}E[Zτ| Fs]=E{s<τ}Zτ| Fs,因为{τ>s}是Fs可测的，并且由于Fubini定理，一个hasw（t，x）=x sup0≤τ≤T-tE公司ZT公司-te公司-Rt+sr（u）dug（t+s）Zs{s<τ}e（θ-α） 十二烷基硫酸钠= x sup0≤τ≤T-tE公司ZT公司-te公司-Rt+sr（u）挖掘（t+s）E{s<τ}ZτFs公司e（θ-α） 十二烷基硫酸钠= x sup0≤τ≤T-tE公司ZτZτe-Rt+sr（u）挖掘（t+s）e（θ-α） 十二烷基硫酸钠.然后，使用Zτ改变测量值（cf。

（3.9））我们得到w（t，x）=x sup0≤τ≤T-球座Zτe-Rt+sr（u）挖掘（t+s）e（θ-α） 十二烷基硫酸钠.在年金购买9的自由边界上，后者等价于函数f（t+·）：=Z·e最大化的确定性问题-Rt+sr（u）挖掘（t+s）e（θ-α） sds。因此，最佳年金化时间仅取决于t（正如[13]中所述）。备注3.3。如果我们允许T=+∞ 假设EZ∞e-Rtr（u）du | H（t，Xt）| dt< +∞,然后，我们的问题（3.5）仍然处于良好状态。我们注意到，作为容许停车时间定义的一部分，有限视界仅在（3.5）中出现。很明显，与（3.5）的时间依赖性相关的主要数学挑战来自映射t 7的特性→ e-Rtr（u）duH（t，x）。因为在T=+∞, 因此，下面的分析可能会扩展到情况T=+∞ 小调整后。下一个命题开始分析w的规律性，它为其梯度提供了一个概率表征，这对于我们随后分析C的边界至关重要。命题3.4。对于每个t，值函数w在x中是凸的∈ [0，T]，它在[0，T]×R+上是局部Lipschitz连续的。此外，对于a.e.（t，x）∈ [0，T]×R+wehavewx（T，x）=eEZτ*e-Rt+sr（u）挖掘（t+s）e（θ-α） 十二烷基硫酸钠（3.11）存在一个均匀常数C>0，使得-C1+T- t型xeEτ*+ Eτ*≤ 重量（t，x）≤ CxeEτ*+ Eτ*（3.12）证明。1.（凸性）自x 7起→ e-Rtr（u）duH（t，x）是线性的，那么对于x，y，它不难显示∈ R+，λ∈ （0，1）和xλ：=λx+（1- λ） 是的，我们有Zτe-Rt+sr（u）duH（t+s，Xxλs）ds= λEZτe-Rt+sr（u）duH（t+s，Xxs）ds+ (1 - λ） E类Zτe-Rt+sr（u）duH（t+s，Xys）ds≤ λw（t，x）+（1- λ） w（t，y），对于任何停止时间τ。取τ的上确界∈ [0，T- t] 该声明如下。2.（Lipschitz连续性）固定（t，x）∈ [0，T]×R+，选择ε>0。

首先，我们证明了| w（t，x±ε）- w（t，x）|≤ cε，（3.13），c>0，与（t，x）无关。10 T.DE ANGELIS和G.STABILELetτ*= τ*（t，x）在w（t，x）中是最优的，因此在w（t，x+ε）中是可容许的和次优的，因此我们有w（t，x+ε）- w（t，x）≥ EZτ*e-Rt+sr（u）duH（t+s，Xx+εs）- H（t+s，Xxs）ds公司= εEZτ*e-Rt+sr（u）挖掘（t+s）Xx+εs- Xxsεds= εEZτ*e-Rt+sr（u）挖掘（t+s）XSD（3.14）=εeEZτ*e-Rt+sr（u）挖掘（t+s）e（θ-α） 十二烷基硫酸钠,其中，我们使用了最后一个等式（3.10）。对于上界，我们用τ+ε：=τ重复上述参数*（t，x+ε）对于w（t，x+ε）和find（t，x+ε）而言是最优的- w（t，x）≤ εeEZτ+εe-Rt+sr（u）挖掘（t+s）e（θ-α） 十二烷基硫酸钠.自τ起*τ+ε小于T- t我们有| w（t，x+ε）- w（t，x）|≤ cε适用于c>0，与（t，x）无关。通过应用对称参数，我们还可以证明| w（t，x- ε) - w（t，x）|≤ 使（3.13）保持不变。

为了将来参考，我们还注意到W（t，x）- w（t，x- ε) ≤EZτ*e-Rt+sr（u）duH（t+s，Xxs）- H（t+s，Xx-εs）ds公司=εeEZτ*e-Rt+sr（u）挖掘（t+s）e（θ-α） 十二烷基硫酸钠（3.15）接下来，我们显示，对于所有δ>0，x∈ R+和任意t∈ [0，T- δ] 我们有| w（t±ε，x）- w（t，x）|≤ cδε（3.16），对于某些cδ>0，仅取决于δ和所有ε≤ T- t、 Letτ*= τ*（t，x）在w（t，x）中为最佳，选取ε>0并定义νε：=τ*∧ （T- t型- ε).由于νε对于w（t+ε，x）是容许的和次优的，我们得到w（t+ε，x）- w（t，x）≥ EZνεe-Rt+ε+sr（u）duH（t+ε+s，Xxs）ds-Zτ*e-Rt+sr（u）duH（t+s，Xxs）ds= EZνεe-Rt+ε+sr（u）duH（t+ε+s，Xxs）- e-Rt+sr（u）duH（t+s，Xxs）ds公司- EZτ*νεe-Rt+sr（u）duH（t+s，Xxs）ds.（3.17）现在我们使用e-Rt+ε+sr（u）duH（t+ε+s，Xxs）- e-Rt+sr（u）duH（t+s，Xxs）≤Zεdd ze公司-Rt+s+zr（u）duH（t+s+z，Xxs）d z≤Zε-r（t+s+z）H（t+s+z，Xxs）+zH（t+s+z，Xxs）d z≤ 年金购买11的自由边界上的c（1+Xxs）ε（3.18），其中最后一次估计后接（3.2），（3.3）和假设3.1，统一常数c>0（回想一下r（·）≥ 0). 将上述表达式插入（3.17）的第一项，并使用第二项的中值定理，我们得到（t+ε，x）- w（t，x）≥E- cεZνε（1+Xxs）d s- H（t+ζ，Xxζ）（τ*- νε)式中ζ（ω）∈ (νε(ω), τ*(ω)). 请注意，0≤ （τ）*- νε) ≤ ε1{τ*≥T-t型-ε} 从（3.2）中，我们得到了界H（t+ζ，Xxζ）（τ*- νε)≤ c（1+Xxζ）ε1{τ*≥T-t型-ε}.总之，注意νε≤ τ*通过改变测量值（t+ε，x），回顾（3.9）和（3.10）- w（t，x）≥ -cεEZτ*（1+Xxs）d s+（1+Xxζ）1{τ*≥T-t型-ε}≥ - CεEZτ*（1+xZs）d s+（1+xZζ）1{τ*≥T-t型-ε}≥ - CεEτ*+ xeEτ*+ P（τ*≥ T- t型- ε） +xeP（τ*≥ T- t型- ε)（3.19）对于不同的常数C>0。

利用马尔可夫不等式，我们得到了P（τ*≥ T-t型-ε) ≤Eτ*/（T- t型- ε） andeP（τ*≥ T- t型- ε) ≤eEτ*/（T- t型- ε） ，插入（3.19）给定（t+ε，x）- w（t，x）≥ -CεEτ*+ xeEτ*1+T- t型- ε（3.20）通过使用类似的估计，并通过观察σ+ε：=τ*（t+ε，x）对于w（t，x）是容许的和次优的，我们得到w（t+ε，x）- w（t，x）≤ EZσ+εe-Rt+ε+sr（u）duH（t+ε+s，Xxs）- e-Rt+sr（u）duH（t+s，Xxs）ds公司≤ cεEZσ+ε（1+Xxs）d s≤ CεEσ+ε+xeEσ+ε（3.21）我们再次使用的地方（3.18）和测量的变化。然后给出对称参数（t，x）- w（t- ε、 x）≤ CεEτ*+ xeEτ*（3.22）和W（t，x）- w（t- ε、 x）≥ -CεEσ-ε+xeEσ-ε1+T- t型（3.23）带σ-ε:= τ*（t，x- ε).方程式（3.20）–（3.23）暗示（3.16），结合（3.13）和（3.16），我们得出以下结论：∈ C（[0，T]×R+），局部Lipschitz和可微a.e.[0，T）×R+。3.（梯度边界）Let（T，x）∈ [0，T）×R+是w的一个可微分点。将（3.14）和（3.15）除以ε，让ε→ 如所述，0给出（3.11）。此外，12 T.DE ANGELIS和G.Stabile将（3.20）除以ε，让ε→ 0我们得到（3.12）中的下限。最后，将（3.22）除以ε，让ε→ 0我们得到了（3.12）中的上界。w的连续性和标准最优停止理论保证，对于所有t∈[0，T]，进程ws：=w（T+s，Xxs）+Zse-Rt+ur（v）dvH（t+u，Xxu）du，（3.24）是所有s的连续超鞅∈ [0，T- t] 和（Ws）∧τ*)s≥0是鞅。下一个推论是最优性停止文献中通常使用的标准PDE参数，参见，例如[10，Thm.2.7.7]。推论3.5。