关于年金购买的自由边界

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英文标题：
《On the free boundary of an annuity purchase》
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作者：
Tiziano De Angelis and Gabriele Stabile
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  It is known that the decision to purchase an annuity may be associated to an optimal stopping problem. However, little is known about optimal strategies, if the mortality force is a generic function of time and if the `subjective\' life expectancy of the investor differs from the `objective\' one adopted by insurance companies to price annuities. In this paper we address this problem considering an individual who invests in a fund and has the option to convert the fund\'s value into an annuity at any time. We formulate the problem as a real option and perform a detailed probabilistic study of the optimal stopping boundary. Due to the generic time-dependence of the mortality force, our optimal stopping problem requires new solution methods to deal with non-monotonic optimal boundaries.
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中文摘要：
众所周知，购买年金的决定可能与最优停止问题有关。然而，如果死亡率是时间的一般函数，并且投资者的“主观”预期寿命与保险公司为年金定价所采用的“客观”预期寿命不同，那么对最优策略知之甚少。在本文中，我们讨论了这个问题，考虑到个人投资于基金，并有权随时将基金价值转换为年金。我们将问题描述为实物期权，并对最优停止边界进行详细的概率研究。由于死亡力的一般时间依赖性，我们的最优停止问题需要新的解决方法来处理非单调最优边界。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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2022-6-1 04:49:31 上传

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关键词：自由边界 Mathematical Differential Optimization Quantitative

关于年金购买的自由边界，ANGELIS和GabrieleStabileAbstract。众所周知，购买年金的决定可能与最优停止问题有关。然而，如果死亡率是时间的一般函数，并且投资者的主观预期寿命与保险公司采用的客观预期寿命不同，则对最优策略知之甚少。在本文中，我们将考虑投资基金的个人，并有权随时将基金价值转换为年金来解决这个问题。我们将问题描述为实物期权，并对最优停止边界进行了详细的概率研究。由于重力的一般时间依赖性，我们的最优停止问题需要新的解决方法来处理非单调最优边界。1、简介在一个老龄化的世界里，对退休财富的准确管理对财务状况至关重要。对于有工作的个人来说，除了国家养老金之外，仔细考虑为退休而设计的金融和保险产品的现有效用是很重要的。例如，这包括职业养老基金和税收优惠退休账户（如个人退休账户（美国））。这些产品中的大多数依靠年金将退休财富转化为有保障的终身退休收入。终身年金提供终身保障收入流，以换取（单一或定期）保费。购买年金有助于个人管理长期风险，即超过其金融财富寿命的风险，但这通常是一种不可逆转的交易。

事实上，大多数年金合同都会对投保人的部分或全部取消施加严厉的惩罚，尤其是在合同的早期。购买年金的时机（所谓的年金化）是一项复杂的财务决策，取决于多种风险因素，如市场风险、寿命风险、未来对流动资金的潜在需求和遗赠动机。自Yaari（19）的开创性贡献以来，这一主题的研究激发了一个完整的研究领域。Yaari表明，没有遗赠动机的个人应该将其所有退休财富转换为年金。在Yaari之后，几位作者分析了所谓“全有或全无”制度安排下的年金化决策，即终身年金是在单一交易中购买的（与渐进年金相反）。最初，个人的养老金投资于金融市场，在购买年金时，则转换为终身年金。本文的中心思想是在金融市场投资时，将即时年金的价值与延期年金的价值进行比较。因此，一个严格的类比适用于行使美式期权的问题，年金化决策可以被视为行使实物期权。米列夫斯基（Milevsky）[12]提出了一个模型，其中，只要金融投资的回报保证消费流至少在2018年7月13日（2010年7月13日）进行数学科目分类，个人就可以推迟年金化。91G80、62P05、60G40、35R35。关键词和短语。年金，死亡率，最优停止，自由边界问题。2 T.DE ANGELIS和G.Stabile等于年金支付提供的金额。

特别是[12]采用了基于控制消费短缺概率的标准。其他论文研究了效用最大化背景下的最优年金化时间，并将其表述为最优停止和控制问题。投资者致力于最大化消费（退休前）和年金支付（退休后）的预期效用。假设死亡率和CRRA效用不变，Stabile[18]分析解决了时间齐次最优停止问题。他证明，如果个人在年金化前后具有相同程度的风险厌恶，那么年金要么立即购买，要么从不购买（即所谓的“现在或永远”政策）。相反，如果个人在年金支付阶段更厌恶风险，那么一旦财富低于固定阈值（最佳停止边界），就会购买年金。Gerrard等人[7]和Liang等人[11]也假设了恒定的死亡率。[7]中的模型类似于[18]中研究的模型，但具有二次效用函数，作者发现了一个封闭形式的解决方案：if（Xt）t≥0表示个体的死亡过程，那么当X离开特定的时间间隔时，最好停止（因此，最佳停止边界由该时间间隔的端点形成）。在文献[11]中，与之前的论文不同，作者假设个人在年金化后可以继续投资和消费。利用鞅方法，给出了CRRA效用函数的显式解。

与文献[7]相反，在文献[11]中，当财富过程进入一个特定的区间时，就会发生最优年金化，该区间的端点构成了最优停止边界。Milevsky和Young[13]假设死亡的时间依赖性，分析了全有或全无市场和更普遍的任何时候都有的市场，在这些市场中，允许采用渐进化策略。对于全有或全无的市场，他们发现最佳年金化时间作为CRRA效用的一部分是确定的。因此，退休决定独立于个人财富。我们的工作与Hainaut和Deelstra的工作关系更为密切[9]。他们考虑的是将退休财富投资于金融基金的个人，该基金最终必须转换为年金。该基金以跳跃式扩散过程为模型，以固定利率支付股息。死亡率是一个依赖时间的决定函数，个人的目标是使年金化前后未来现金流的市场价值最大化。根据保险惯例，假设个人只能在给定的最大年龄之前购买年金。[9]中的作者将问题转化为一个最优停止问题，并为值函数写出一个变分不等式。然后，他们使用维纳-霍普夫分解和时间步进法数值求解变分问题。Hainaut和Deelstra认为，购买年金的决定应该由时间-财富平面上的上限或下限、时间依赖性阈值触发。这里和后面的t是与时间相关的状态变量，x是与财富相关的变量，因此时间财富平面被简单地称为（t，x）-平面。[9]中讨论的阈值是其设置中的最佳停止边界，我们用映射7表示它→ b（t）。

【9】中提供了当金融基金的价值足够高或足够低时发生年金化的数字示例。在本文中，我们对与年金化决策相关的最优停止问题进行了详细的数学研究，类似于[9]中所考虑的问题。为了对最优停止边界进行严格分析，我们通过考虑无跳跃的几何布朗运动简化了金融基金的动力学。如[9]所述，我们研究了加入年金购买基金的自由边界并有机会在时间范围内购买年金的个人未来预期现金流的最大化[0，T]。时间0是个人加入基金的时间，时间T是个人达到购买年金最大年龄的时间。在最佳情况下评估的未来预期现金流现值为我们提供了所谓的价值函数V。请注意，仔细检查下面（2.4）中的问题公式，可以发现在T时，基金被转换为年金（与[9]中的情况相同）。这意味着个人最终将在时间T购买年金，但她也有提前购买的选择。可以将此功能视为基金合同规范的一部分，或者视为投资者在时间0时的承诺。然而，重要的是要注意，本文中开发的方法也适用于T=+∞, 不超过一些小改动（更多详情，另请参见备注3.3）。这里介绍的模型的一个关键特征是使用了一种相当普遍的时间依赖性、确定性死亡率。这是精算师行业常见的现实假设。

正如【13】中所述，我们考虑了两种不同的死亡率因素：一种是主观因素，由个人用来衡量未来现金流（表示为uS），另一种是客观因素，由保险公司用来为年金定价（表示为uO）。这两种不同死亡率之间的相互作用有助于最佳年金化决策的一些关键定性方面（更多详情请参见第5节）。有趣的是，死亡率的一般时间依赖性结构也是该问题数学研究中的主要技术挑战。一方面，标准最优停止结果确保时间财富计划分为连续区域C和停止区域S，其中等待选项具有严格的正值，停止区域S应立即购买年金。按（Xt）t表示≥0代表基金价值（或同等个人疲劳财富）的过程，通过在第一时间停止二维过程（t，Xt）t给出最佳停止规则≥0进入集合S。此外，在一些mildtechnical假设下，这两个集合被一个最佳边界（PDE语言中的自由边界）分割，该边界仅取决于时间，即t 7→ b（t）。另一方面，当试图推断边界b的性质时，会出现技术困难。事实上，由于死亡力的一般时间依赖性，不可能建立映射t 7的任何单调性→ b（t）。在最优停止和自由边界理论中，众所周知，b的单调性是严格研究边界正则性（如连续性）和值函数正则性（如连续可微性）的关键。

感兴趣的读者可以参考[15]中的示例集和[5]中的介绍，以进行更深入的讨论。通过证明最优边界实际上是时间的局部Lipschitz连续函数，我们克服了这一主要技术障碍。为了实现这一目标，我们只依赖概率方法，这些方法是专门为解决问题而设计的新方法。这种方法借鉴了文献[5]中的类似观点，但我们强调，我们的问题不属于该论文中讨论的问题类别（参见下面定理4.8之前的讨论）。一旦证明了Lipschitz正则性，我们还可以得到值函数V在t和x上，在（t，x）-平面的所有点上，尤其是在C的边界上是连续可微的。这是一个比更常见的光滑条件更强的结果，该条件表示z 7→ Vx（t，z）在最佳边界上是连续的。最后，我们找到了唯一表征自由边界和值函数的非线性积分方程。本文的分析是通过数值求解一些具体例子的积分方程并研究它们对模型参数变化的敏感性来完成的。值得注意的是，在我们的一些例子中，在对参数进行自然假设的情况下，最优边界结果是非4 T.DE ANGELIS和G.StabileMonomonic。这一事实表明，本文提出的新方法对于研究年金化问题确实是必要的。总之，我们的贡献至少有两方面。一方面，我们在全有或全无的框架下，通过处理具有时间依赖性死亡率的模型，增加了有关年金化问题的文献。

如上所述，据我们所知，此类模型仅在[13]（产生确定性最优策略）和[9]（主要以数值方式）中考虑。我们根据最优边界b对最优年金化策略进行了严格的理论分析。我们的研究还揭示了[9]没有捕捉到的行为，例如b的lackof单调性。后者可能反映了由于死亡率的（确定性）变化，投资者优先权随时间的变化。另一方面，值得注意的是，我们从考虑一个应用问题开始，用一个什么样的、非常规的、看似无害的公式，但我们很快意识到，它的严格分析远非微不足道。因此，我们开发了概率论文献中关于最优停止和独立兴趣的新方法。最后，为了将我们的工作与该领域的偏微分方程文献联系起来，可能值得注意的是，[6]（以及后来的[2]）研究了一个由最优退休激励的自由边界问题。在该文件中，投资者可以决定在给定的期限T之前退休。提前退休福利由时间和当前工资的函数ψ（t，s）确定。该问题仅用变分不等式解决，自由边界自t 7起取决于时间→ ψ（t，s）线性增加。然而，与我们的模型相反，在[6]和[2]中，死亡率假设为常数。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了财务和精算假设，然后介绍了最优年金问题。在第3节中，我们给出了值函数的一些连续性性质及其梯度上有用的概率界。

在第4节中，我们说明了建立连续区域和停止区域形状的充分条件，并研究了最优边界的正则性。此外，我们还发现了具有唯一自由边界和值函数特征的非线性积分方程。在第5节中，我们给出了一些数值例子来说明我们假设的适用范围。第6节，我们提供了一些最终备注和扩展。2、问题公式在我们的模型中，我们考虑个人（或投资者）和保险公司面临两个随机性来源：金融市场和个人的生存概率。我们假设这两个来源是独立的，我们也假设个人和保险公司对人口风险有不同的信念，而他们对金融市场的看法相同。因此，可以方便地初步构建两个概率空间：一个用于模拟金融市场，另一个用于模拟人口组成部分。问题的时间范围是固定的，用T<+∞.2.1. 金融和人口模型。