扩散极限订货簿中小订单的最优布局

接下来，我们研究最优布局x的存在性和行为*（t） 有争议的是，金融领域最重要的两个连续模型：Bachelier模型和BlackScholes模型。3 Bachelier模型下的最优订单安排在本节中，我们研究了当价格过程{St}t≥0遵循带漂移的布朗运动（BM），通常称为Bachelier模型。本节的所有证明均推迟至附录A。如最近的一些著作所示（参见，例如，[5]和[4]），带漂移的布朗运动是一种合理的中间日间时间范围近似值（如几分钟）。此外，我们可以将此模型视为相关随机游动（CRW）的连续时间对应物。具体而言，通过使价格变化和刻度大小之间的时间步长以某种方式衰减为0，对称CRW收敛于无漂移布朗运动（参见【14，第3节】），而某些非对称CRW收敛于无零漂移布朗运动（参见【8】）。让我们从给出成本函数的封闭形式表示开始。引理3.1。设dSt=udt+σdWt，其中W={Wt}t≥0是标准布朗运动，u∈ R和σ>0分别是价格过程S的漂移和波动。然后，等式（3）中引入的COST函数接受以下表示：C（x，t）=N-x个- utσ√t型+ e-2xuσN-x+utσ√t型(-x个- ρ（x，t）（r+f））+utNx+utσ√t型+ e-2xuσ（2x- ut）N-x+utσ√t型+ f、 x>0。当u=0时，C（x，t）=-2N个-xσ√t型ρ（x，t）（r+f）+f，x>0，严格地在x上递增∈ (0, ∞) 例如，如果x→ ρ（x，t）是非递增的。另外，请注意，对于任何u∈ (-∞, ∞),C（0+，t）：=limx→0+C（x，t）=-ρ（0+，t）（r+f）+f<f，因此，在时间0时按市场指令立即购买永远不是最佳选择。因此，对于x不递增的零漂移BM→ ρ（x，t），C（0+，t）<C（x，t），对于所有x>0。

在这种情况下，我们说x=0+是最优布局解决方案，并称之为“平凡”最优布局解决方案。从直觉上看，值0+代表一个“最小”数字，在实践中，这可以解释为以最佳或次优出价下达限价购买订单的策略。刚才提到的无漂移BM的最优顺序安排与[10]关于对称相关随机游动的结论一致，这是预期的，因为如上所述，零漂移布朗运动是[10]中使用的对称相关随机游动的扩散极限。当漂移为正值时，对于非递增函数x，最优布局策略仍然为x=0+→ ρ（x，t）。然而，对于负漂移，应该存在一个非平凡的最优布局解决方案。如图1所示，如果时间范围很小，则不一定是这种情况。下面的结果探索了非中心最优布局解存在的条件。定理3.2。设C（x，t）和{St}t≥0如引理3.1所示，假设r+f>0，ρ（x，t）为Con（0，∞) × (0, ∞). 然后，以下断言成立：根据备注2.1，如果Qbx（0）一书的初始状态是非减量的，因此结论是有意义的，那么这种情况预计会发生。0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10-0.003-0.001 0.001C（x，t），t<t0，t>t0x预期成本t=0.0384t=0.0334t=0.0234t=0.0184图1：当t=0.0284，（r+f）ρ（0+）=0.006，σ=0.2时，C（x，t）对x，t=0.0184（洋红），t=0.0234（蓝色），t=0.0334（绿色），t=0.0384（红色）。（i） 如果u>0和x→ ρ（x，t）对于每一个t>0是不递增的，然后对于所有x>0，C（0+，t）<C（x，t）。（ii）假设u<0，并且在给定的时间范围t>0时，以下条件保持不变：ρ（0+，t）<2 |u| tr+f，ρ（0+，t）x个≥ 0

（4） 然后，存在x*（t）∈ (0, ∞] 这样C（x*（t） ，t）≤ C（x，t），对于所有x>0。此外，x*（t） <∞, 如果以下附加条件成立：lim supx→∞ρ（x，t）x个≤ 0，lim infx→∞ρ（x，t）x>2 |u|σtr+f，（5）备注3.3。根据我们在第2节中的讨论，可以将ρ（0+，t）解释为ρ（ε，t），即在时间0上放置在最佳出价队列上的限价指令在下一次价格变化之前（或在）和时间t之前执行的概率。条件xρ（0+，t）>0本质上是指ρ（2ε，t）>ρ（ε，t）和，如第5节所述，在实际中，当存在一些LOB不平衡（例如，0<Qbε（0））时，通常满足- Qaε（0）≤ Qb2ε（0）-Piifa（i），其中我们使用了与（2）中相同的符号。需要（4）中的条件来排除x=0+可能是最优的，而需要（5）中的条件来排除x=+∞ 可能是最佳选择。在第5节中，我们证明，对于一大类模型，（5）中的第一个条件成立，而数量lim infx→∞其中第二个条件中出现的ρ（x，t）x可以由一个显式量下界，因此，可以对模型参数施加精确约束，以满足该条件（见下面的命题5.2和备注5.3）。需要（4）中的两个条件来保证xC（0+，t）<0（因此，排除x*（t） =0）。很自然地，我们会考虑最小的时间范围，即对于任何t>t，都存在一个非平凡的最优布局策略。具体来说，lett：=infu≥ 0 :Cx（0+，s）<0，对于所有s>u. （6） 这一阈值很重要，因为如果投资者的首选时间范围大于T，那么他/她可以获得的限价订单将有一个非零的最优位置。作为定理3.2证明的推论，我们推导出t的以下上界，它对于σ的任何值都是显著相同的。推论3.4。

假设u<0，并且（4）中的第二个条件满足（6）中定义的所有t。然后，我们得到了t≤其中，对于所有t>t，ρ（0+，t）<2ut/（r+f）。特别是，t≤ （r+f）/2 |u|。很容易看出ρ（0+，t）随t不减，如第5节所述，在合理的市场条件下，通常在几秒钟内达到其最大值（见图6）。出于这些原因，以下我们假设ρ（0+，t）在t中是常数，并在第3节的其余部分使用ρ（0+）。推论3.4意味着它的上界为（r+f）/2 |u|，因此，当漂移负变大或回扣和费用之和变小时，它会变小。虽然在实践中需要ularge可能太多，但我们确实知道r+f在实践中非常小。因此，询问tas（r+f）的渐近行为是很自然的→ 以下结果提供了关于t定理3.5的进一步信息。让（4）中的第二个条件和（5）中的两个条件满足，所有t>0。也假设ρ（0+，t）≡ ρ(0+) ∈ （0，1），对于所有t和lim supt→0xρ（0，t）<∞.那么，（6）中定义的临界时间tde为正，因此xC（0+，t）=0.0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.25-0.15-0.05σ=0.1u3.0 3.5 4.0 4.50.000 0.004 0.008 0.012x*（t）κ1（t0）（t-t0）κ1（t0）（t-t0）κ1（t0）（t-t0）+κ2（t0）（t-t0）2κ1（t0）（t-t0）+κ2（t0）（t-t0）2最佳布局解决方案和近似值t（天）最佳布局图2：左面板：相对误差，（t-当（r+f）ρ（0+）=0.006，σ=0.1，和（t=ρ（0+）（r+f）/2/|u|时，t）/t的不同值为|u|。

右面板：当（r+f）ρ（0+）=0.006，σ=0.2，u=-0.25：x*（t） （黑色），κ（t）（t-t） （蓝色），κ（(R)t）（t-\'t）（红色），κ（t）（t-t） +κ（t-t） （绿色）和κ（(R)t）（t-\'t）+κ（\'t）（t-\'t）（洋红色）与t（天）。此外，我们有lim（r+f）→0t（r+f）=ρ（0+）2 |u|。此外，如果，t型xρ（0，t）≥ 0，对于所有t，那么这是方程的唯一解xC（0+，t）=0。从实用的角度来看，之前结果提供的近似值非常重要，因为在大多数市场中，r+f可以忽略不计。例如，对于任何美国交易所，都有每股0.003美元的费用和回扣上限，这使得r+f≤ $0.006. 一般来说，如果投资者可以等待的时间超过（r+f）ρ（0+）/2u|，他/她可以使用一种最优配售策略，该策略优于以最佳出价或市场秩序配售。在图2的左面板中，我们展示了当（r+f）ρ（0+）=0.006且σ=0.1时，t的相对误差：=（r+f）ρ（0+）/2 |u|相对于|u|。现在，我们分析最优配售的行为，投资者应该发出限价指令，以最小化预期成本。定理3.6。假设满足定理3.5的条件，并且xρ（0+，t）<见《联邦法规》，第17篇，242.610（c）（1）和《证券交易法》第51808号（2005年6月9日），70 FR 37496，37545（2005年6月29日）（文件号S7-10-04）0和t型xρ（0+，t）≥ 0，对于所有t>0。同样，让t>0和x*（t） ，对于t>t，如OREMS 3.2和3.5所述。

然后，作为t&t，x*（t） =κ（t- t） +κ（t- t） +o（（t- t） ），（7）式中κ：=-Ct型x（0，t）Cx（0，t）>0，κ：=-Cx（0，t）κ+Ct型x（0，t）κ+Cx个t（0，t）Cx（0，t）。让我们注意到，κ和κ中涉及的所有偏导数都可以用N（u）以闭合形式计算√t/σ）（例如，关于κ涉及的衍生物，请参见下文（27）和（28））。上述结果为我们提供了t和t时最优布局解的一阶和二阶近似值。这些近似值需要t的值，根据推论3.5，当r+f→ 因此，定理3.5和3.6的组合为我们提供了最优布局解x的简单近似值*（t） ，当t→ tand（r+f）很小，这在大多数市场是合理的假设。在图2的右面板中，我们绘制了显式最优位置解、一阶和二阶近似值，并用其近似值t=ρ（0+）（r+f）/2u|替换。如图所示，使用“t”的近似值的性能略低于使用“t”的近似值。在本节的其余部分，我们分析了最优布局解决方案x的行为*（t） 对于大时间范围t。为简单起见，我们假设ρ=ρ（x，t）在x和t中是常数。我们在这个方向上的第一个结果给出了上下估计。定理3.7。设u<0，θ：=p1- 2σ/（uρ（r+f）），设x*（t） ，对于t>t，如前3.2所示。然后-σ√t型- utθ≤ x个*（t）≤ - uθt，其中上述第一个和第二个不等式适用于任何t>maxρ（r+f）-u,σu(θ-1)和t>t。作为定理3.7的推论，我们可以推导x的一阶近似值*（t） 当投资者的时间范围t较大时，为|u|θt。下面的定理提供了二阶近似。定理3.8。设u<0和x*（t） 为定理3.2中定义的最佳位置，θ为定理3.7中定义的最佳位置。

那么，limt→∞德克萨斯州*（t） t型- uθ!= θ、 （8）式中θ：=σ2ρ（r+f）|u|θh-6(θ-1)(θ+1)+1+2uρ（r+f）σ(θ-1)θ+1-(θ+1)(θ-1） i.4 Black-Scholes模型下的最优订单安排虽然带有漂移的布朗运动能够在短时间内（例如，几分钟内）大致捕捉价格运动，但通常认为几何布朗运动（GBM），也称为Black-Scholes模型，能够在更长的时间段内提供更好的效果。因此，在这一范式下研究最优布局问题的行为既自然又重要。本节中的所有证明均推迟至附录B。当价格过程S遵循波动率σ和漂移u的几何布朗运动时，下列引理提供了等式（3）中引入的预期成本函数的闭合形式表示。引理4.1。设St：=Sexp(u - σ/2）t+σWt, t型≥ 0，其中{Wt}t≥0是标准布朗运动，leteC（y，t）是在价格水平下下达限价订单的预期成本-y（y＞0）；i、 e.，eC（y，t）：=C（S- 硒-y、 t），C（x，y）定义如式（3）所示。类似地，fixρ（y，t）：=ρ（S- 硒-y、 t）。然后，可以将eC（y，t）写入aseC（y，t）=（Se-y- （r+f）~ρ（y，t））N-y-ut+σtσ√t型+ e-2yμσ+yN-y+ut-σtσ√t型+ SeutNy+ut+σtσ√t型- e-2yμσ+ut-yN公司-y+ut+σtσ√t型+ f- S、 在下文中，我们简单地分别写出C（y，t）和ρ（y，t）foreC（y，t）和|ρ（y，t）。对于带漂移的BM，我们有c（0+，t）：=limy→0C（y，t）=f-（r+f）ρ（0+，t）<f，因此，立即下达市场指令也不是最优的。类似地，当u=0时，C（y，t）=-（r+f）ρ（y，t）“N-y+σtσ√t！+eyN公司-y-σtσ√t！#+f- S、 （9）这是y上的递增函数∈ (0, ∞) 当y→ ρ（y，t）是非递增的。我们可以再次指出，y=0+是最优配售解决方案，这可以解释为投资者以最佳或次优出价下单的策略。

与之前一样，我们称之为“琐碎的”限额订单安排。现在，下面的定理表明，当漂移为负且时间范围足够长时，存在一个非平凡的最优布局解。定理4.2。设C（y，t）：=~C（y，t）如引理4.1所示，并假设u<0，且以下条件成立：ρ（0+，t）<as |u| tr+f，ρ（0+，t）y≥ 0，（10），其中，如果u>-σ/2，如果u，则a=1≤ - σ/2. 然后，存在一个y*（t）∈ (0, ∞] 此类（y*（t） ，t）≤ C（y，t），对于所有y>0。此外，y*（t） <∞ 如果以下附加条件成立：lim supy→∞ρ（y，t）y≤ 0，lim infy→∞eyyρ（y，t）>2Sσt |u| r+f.（11）备注4.3。在第5节中，我们将验证定理4.2中条件的合理性。特别是，我们证明了（11）中的第一个条件对于一大类模型是满足的，而（11）中的第二个条件在温和的条件下总是满足的。基于经验合理参数，（10）中的第二个条件通常也满足。正如在Bachelier模型中一样，（10）中的两个条件保证yC（0+，t）<0，因此，最优布局问题允许一个非平凡解。这是很自然的*:= inf公司u≥ 0 :Cy（0+，s）<0，对于所有s>u. （12） 这是因为（9）中方括号内的函数是限制订单放置atS的概率- 硒-执行Yi，它随y的增加而减少。临界值t*对于任何投资期限t>t，都存在一个非平凡的最优配置政策*. 与Bachelier模型一样，为了进一步指定临界时间t*并提供r+f时的估计值→ 0，我们需要进一步的假设。这在以下结果中提供。定理4.4。让（10）中的第二个条件和（11）中的两个条件满足所有t>0。让t*定义如（12）所示。

此外，我们假设ρ（0+，t）≡ ρ(0+) ∈ （0，1），forall t和lim supt→0|yρ（0，t）|<∞. 那么，t*是积极的，因此yC（0+，t*) = 此外，当（r+f）/S→ 0，我们没有*~ρ（0+（r+f）2 |u| S.（13）如果，此外，t型yρ（0，t）≥ 0，对于所有t，则t*是方程的唯一解yC（0+，t）=0。在图3的左面板中，我们绘制了t*和't：=（r+f）ρ（0+/（2 |u| S）来自定理4.4相对于S。如图所示，^t收敛到t*以非常快的速度，因此^t是t*. 根据我们在定理4.2和（13）之后的讨论，我们知道“t：=（r+f）ρ（0+/（2 |u| S）是t的紧上界*当u>-σ/2. 但是，对于u≤ - σ/2，不知道是否仍然是t的上界*. 然而，t：=（r+f）ρ（0+/（|u| S）是上限（在这两种情况下）。现在，我们继续讨论当投资者的时间范围t接近t时，最优配售解决方案的行为*. 以下结果类似于定理3.6。定理4.5。假设满足定理4.4的条件，并且yρ（0，t）<0和t型yρ（0，t）>0，对于所有t。那么，作为t&t*,y*（t） =ρ（t- t型*) + ρ（t- t型*)+ o（（t- t型*)),式中ρ：=-Ct型y（0，t*)Cy（0，t*), ρ:= -Cy（0，t*)ρ+Ct型y（0，t*)ρ+Cyt（0，t*)Cy（0，t*).让我们注意到，ρ和ρ中涉及的所有偏导数都可以用N（pt）的闭合形式计算*（u±σ/2）/σ）（ρ中涉及的导数见下文（40）和（41）。要使用近似值，投资者需要t的近似值*, 在小费用/回扣制度下，可从定理4.4中获得。

因此，定理4.410 15 20 25 300.6 0.8 1.0 1.2 1.4t0与S0S0t（天）t0*t00.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.5049.5 49.7 49.9最优布局解决方案和近似ST（天）最优布局S0exp（y*（t））S0exp的组合(-ρ1（t0）（t-t0））S0exp(-ρ1（t0）（t-t0））S0exp(-ρ1（t0）（t-t0）-ρ2（t0）（t）-t0）2）S0exp(-ρ1（t0）（t-t0）-ρ2（t0）（t-t0）2）图3：左面板：t*当（r+f）ρ（0+）=0.006，σ=0.2，u=-0.05。右面板：Sexp(-y*（t） ）（黑色），Sexp(-ρ（t）（t-t） ）（蓝色），Sexp(-ρ（(R)t）（t-\'\'t））（红色），Sexp(-ρ（t）（t-t）-ρ（t）（t-t） ）（绿色），Sexp(-ρ（(R)t）（t-(R)t）-ρ（(R)t）（t-当（r+f）ρ（0+）=0.006，σ=0.2，u=-0.1，S=50。4.5为我们提供了一个简单但精确的最优布局近似解。在图3的右面板中，我们显示了最佳位置Se-y*（t） 以及其与tand t的一阶和二阶近似值*如定理4.4所示。很明显，当t接近时，二阶近似显示出比一阶近似更好的性能*, 当t较大时，结果相反。除了我们提到的上界之外，我们的下一个结果还提供了t的下界*.提案4.6。假设满足定理4.4的条件，并设t：=ρ（0+）（r+f）/（2 |u| S）和t：=ρ（0+）（r+f）/（|u| S）。同样，将t（z）定义为ast（z）=ρ（0+（r+f）-(u -σ) -q（u-σ）-32σφ（0）Szρ（0+（r+f）8σSz.那么，t（uφ（0））<t*<t，如果u<-σ/2，而t（uφ（0）- βp-u/2e-0.5）<t*<\'t，如果u>-σ/2.上一个结果中获得的上限和下限取决于β的符号：=u- σ/2. 一般来说，β>0表示大σ或小u区域。