扩散极限订货簿中小订单的最优布局

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英文标题：
《Optimal placement of a small order in a diffusive limit order book》
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作者：
Jos\\\'e E. Figueroa-L\\\'opez, Hyoeun Lee, and Raghu Pasupathy
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We study the optimal placement problem of a stock trader who wishes to clear his/her inventory by a predetermined time horizon t, by using a limit order or a market order. For a diffusive market, we characterize the optimal limit order placement policy and analyze its behavior under different market conditions. In particular, we show that, in the presence of a negative drift, there exists a critical time t0>0 such that, for any time horizon t>t0, there exists an optimal placement, which, contrary to earlier work, is different from one that is placed \"infinitesimally\" close to the best ask, such as the best bid and second best bid. We also propose a simple method to approximate the critical time t0 and the optimal order placement.
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中文摘要：
我们研究了一个股票交易者的最优配售问题，该交易者希望在预定的时间范围t内，通过使用限价指令或市场指令结算其库存。对于一个扩散市场，我们刻画了最优限价订单安排策略，并分析了其在不同市场条件下的行为。特别是，我们表明，在存在负漂移的情况下，存在一个临界时间t0>0，这样，对于任何时间范围t>t0，都存在一个最优位置，这与早期的工作相反，不同于“无限小”接近最佳ask的位置，如最佳出价和次最佳出价。我们还提出了一种简单的方法来近似临界时间t0和最优订单安排。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Optimal_placement_of_a_small_order_in_a_diffusive_limit_order_book.pdf (735.47 KB)

2022-6-1 06:00:46 上传

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关键词：Quantitative QUANTITATIV agent-based Approximate Determined

小订单在不同LimitOrder BookJos'e e.Figueroa-L'opez中的最佳布局*Hyoun Lee+Raghu Pasupathy2021年11月15日摘要我们研究希望在预定时间范围t内通过使用限制指令或市场指令清算其库存的股票交易员的最优配售问题。对于不同的市场，我们描述了最优限价订单安排政策，并分析了其在不同市场条件下的行为。特别是，我们表明，在存在负漂移的情况下，存在一个临界时间t>0，这样，对于任何时间范围t>t，都存在一个最优位置，与早期的工作相反，它不同于“完全”接近最佳ask的位置，如最佳出价和次优出价。我们还提出了一种近似临界时间和最优订单安排的简单方法。关键词和短语：最优订单安排、独特的限额订单、高频交易1简介在当今的股票市场上，大多数证券交易所都采用了电子交易系统，买卖双方可以通过电子方式交易证券、外汇或金融衍生品。这导致了算法交易的发展，它依赖于基于*美国密苏里州圣路易斯市华盛顿大学数学系，邮编63130。figueroa@math.wustl.edu.部分由NSF资助的研究：DMS-1561411和DMS-1613016。+美国西拉斐特普渡大学统计系，邮编：47907。lee1487@purdue.edu.美国西拉斐特普渡大学统计系，邮编：47907。pasupath@purdue.edu.on预先编程的交易指令。更普遍地说，高频交易（HFT）是一种新的趋势，主要集中在短时间尺度上。

据估计，HFT超过了美国上市股票交易量的50%。通常，股票交易员的首要问题之一是将大订单拆分为小订单，以减少市场影响，即订单可能对证券价格产生的不利影响，因为购买（分别出售）资产往往会使价格上升（分别下降）。其次，他们需要将这些小订单分为多个时间间隔。在下订单时，他们还需要决定是使用市场订单还是有限订单，在第二种情况下，还需要决定下订单的价格水平。限价订单是以指定价格交易资产的订单。买方/卖方可以指定价格，但不保证限价订单的执行。相比之下，市场指令是指以最佳可用价格买卖资产的指令。立即执行市场指令。用于解决这些问题的不同方法被广泛称为最优执行/安置策略。限价订单簿（LOB）收集所有限价订单，包括数量和价格。在执行市场订单、提交更多限额订单或取消现有限额订单时更新LOB。在传统的最优执行问题中，我们感兴趣的是决定是否（以及何时）下市价订单或限价订单，但仅以最高价或最高价（见[11]、[3]、[2]、[9]、[13]、[6]）。然而，最近的一系列文献也考虑了这样一个问题，即是否应该在书中更深入地放置限制顺序。这个确定最优价格水平的问题通常被称为限价订单的最优配置问题。在文献[10]中，研究了LOB水平知识产权的离散时间模型下的最优布局问题。具体而言，郭等人。

[10] 研究当投资者想要在特定的时间范围t内购买一股资产时的最优配售问题，假设最佳卖价遵循对称相关随机游走（CRW）（CRW的定义见[14]）。郭等人[10]假设一种“静态”交易策略，即投资者的限额指令不能在t之前取消，并且，未在时间t前执行的限制指令会自动取消，并在时间t时更改为市场指令。其中还假设，每次指令价格成为LOB的最佳出价时，投资者的指令都会被执行，这是一种积极的持续概率。[10]中的一个关键结论是，最佳的strategyhttps://www.sec.gov/marketstructure/research/hft2014年3月lit回顾。将投资者的预期成本降至最低的PDF是三种可能性之一：（i）以最佳出价配售；（ii）排名第二；或（iii）初始市场购买订单。此外，答案会根据回扣、市场费用和转移概率的各自值而变化。在当前工作中，我们将订单置于最佳或次优投标水平（如上文（i）或（ii）所述）的策略称为“i-ii级”或“琐碎”解决方案。这种术语有两个原因。首先，以最佳或次最佳出价下单不会包含关于时间0时账簿状态的任何信息，这通常是可用的，最好在下单时予以考虑。第二，通过构造，文献[10]中假设的非对称随机游动缺乏“漂移”，即使在中范围时间范围内，实际价格过程有时表现出中度漂移（见文献[3]）。我们在本文中的调查直接解决了这两个问题。

具体而言，当价格动态偏离对称相关随机游走时，我们描述了最优布局的性质，同时还结合了LOB初始状态的信息。本文讨论了当价格动态服从布朗运动（BM）或几何布朗运动（GBM）等不同模型时的最优策略。BM模型，通常称为Bachelier模型，可以被视为中间日内时间范围内资产价格动态的合理近似值（参见，例如，[5]和[4]）。此外，与[10]的工作衔接，当价格变化与刻度大小之间的时间步长以某种方式变为0时，漂移为0（分别为非零漂移）的BM显示为对称（分别为非对称）相关随机游动的极限（参见[14，第3节]，[8]）。然而，人们普遍认为，GBM（也称为Black-Scholes模型）在较长时期内能够更好地反映资产价格动态，这与更传统的宏观资产价格模型一致。预计在存在负漂移的情况下，存在一种与[10]的I-II级解决方案不同的最优安置政策。直观地说，如果股票的漂移u<0，那么平均而言，在时间范围t内，最好的卖出价在S+ut的水平上，我们预计，在这样一个水平上下订单比在接近最佳任务S的水平上下订单要好。这种直觉是完全合理的，我们证明了临界时间t>0的存在，这样任何水平t>t都存在一个非平凡的最优解。此外，我们发现，对于BM模型，这样的时间范围限制了简洁的闭式近似值ρ（0+）（r+f）/2 |u|，对于GBM模型，限制了ρ（0+）（r+f）/2S |u|。

这里，r和f分别是投资者每执行限额和市场订单的回扣和费用，ρ（0+）衡量的是在初始最佳出价下的订单在最佳ASK队列耗尽之前执行的概率。通常，最优解取决于时间范围t、漂移u、波动率σ和函数ρ：（0，∞) ×(0, ∞) → （0，1），使得ρ（x，t）是在S级下订单的概率-x在该级别成为最佳投标价格的第一时间段内以及在投资的时间范围t之前执行。我们可以通过ρ（x，t）合并关于LOB初始状态的信息：级别x的初始队列大小越大，ρ（x，t）越小。我们还分析了不同市场制度下非平凡最优解的行为。因此，例如，在长周期或小波动的情况下，最优配售解决方案的形式如下-utθ，其中θ>1显式表征。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了最优配售问题，以及我们旨在最小化的投资者预期成本函数。在第3节中，我们研究了BM模型下的问题，并证明了临界水平时间t的存在性，以及当t和t%时最优布局策略的渐近行为∞. 在第4节中，我们对GBM模型进行了相同的计划，此外，我们还考虑了在小波动率区域σ&0下最优配售策略的行为。第5节研究了上述概率ρ（x，t）的行为，并从理论和经验两方面评估了本文所用假设的可行性。第6节给出了一些结论。附录中给出了我们主要结果的证明和一些进一步的细节。一般符号。

函数f（x，t）的偏导数表示为xf，tf，t型xf，xf等。标准正态r.v.Z的pdf、cdf和存活或尾部分布用φ（Z）=e表示-z/2/√2π，N（z）=Rz-∞φ（x）dx，且Nc（z）=N（z）=1- N（z）分别为。2对于连续时间最优配售问题，投资者希望在预定的时间范围t>0之前购买一股股票。显然，他希望以尽可能低的价格购买，为此他在价格水平下了一个限价购买订单- x、 其中x>0。此后，\'Su:=\'S（δ，ε）ude注意到u时每股的最佳要价≥ 当价格变化之间的平均时间跨度由一个参数δ>0控制，并且假设与每次价格变化时的价格增量一致的刻度大小为ε>0时，为0。特别是，我们还假设最佳买卖价格之间的价差总是相隔一个刻度ε（一些有力支持这一假设的实证证据见[5]）。因此，投资者的指令只能在最佳询价处于s级时执行- x+ε，或者，当最佳投标价格处于S级时- x、 我们还表示τ：=0和0<τ<τ<。最佳要价的连续变化次数。特别地，我们假设δ=E（τi+1- τi），对于所有i≥ 0。让我们在此指出，在更一般的设置中，可以将δ设置为不同的模型参数，例如将价格变化速度增加为δ&0的参数。我们采取以下交易策略，并由此产生投资者成本：1。如果“Su>”- x+ε，对于所有0≤ u≤ t（特别是，x>ε），投资者的限价指令将不会完成，他将在时间t取消指令，并以市场价格St购买股票。在这种情况下，投资者的成本/收益可以设置为-\'S+f，其中f≥ 0是市场对每个执行的市场订单施加的费用。2.

否则，假设询价第一次处于-x+ε，此处表示τ，发生在时间t之前。集合j：=min{i≥ 0：τi=τ}。然后，有三种可能性：（i）投资者的指令在s时间执行≤ t型∧ τj+1。在这种情况下，投资者的成本/收益设置为-x个- r、 其中r≥ 0是每个执行的有限订单的返利。（ii）相反，如果在t和τj+1之前未执行命令≤ t（因此必要的\'Sτj+1=\'S-x+2ε），投资者将取消订单，并以市场价格购买股票- x+2ε。在这种情况下，他的成本/收益将为-x+f+2ε。（iii）如果在t和τj+1>t之前未执行指令，导致下一次价格变化发生在时间范围t之后，则投资者将在时间t取消指令，并以市场价格“St=”S购买股份- x+ε。在这种情况下，他的成本/收益将为-\'S+f，与上述情况1相同。如上文第1-2点所述，我们的目标是将投资者的预期成本降至最低。首先，让我们推导出一个明确的公式，我们需要确定最佳投标价格达到水平的事件- x乘以时间t，并且在第一次发生这种情况的时间段内，订单在时间t之前执行。就事件Et而言，运行最小值“Yt：=”Y（δ，ε）t：=inf0≤u≤t'S（δ，ε）u和j：=min{i≥ 0:Sτi=(R)S- x+ε}，当x>0时，成本函数可以写成如下形式（其推导见附录C）：\'Cδ，ε（x，t）=E\'\'St-\'\'S年初至今- x+εP年初至今- x+ε+ P（年初至今）≤\'\'S- x+ε）[-x个- ρ（x，t）（r+f）+2ε（1- ρ（x，t））]+f（1）+P（(R)Yt≤\'\'S- x+ε，τj+1>t，Ect）ε，其中ρ（x，t）：=ρ（δ，ε）（x，t）=P（Et | Yt≤ S-x+). 成本函数（1）受【10】的启发，但由于【10】中不允许提前取消，因此对上述情况2-（ii）的处理存在显著差异。备注2.1。

如上所述，ρ（x，t）是指投标限价单处于S级的概率- 时间0的x在时间t之前执行，并且在第一时间段内，当最佳投标价格处于水平- x、 考虑到后一事件的发生。可以根据级别S的初始投标队列大小Qbx（0）数值计算ρ（x，t）- x和一些关于订单流如何发生以及静态价格变化后最佳询价队列大小的特定假设。直觉上，我们期望ρ（x，t）与初始队列大小Qbx（0）反向移动：Qbx（0）越大，概率ρ（x，t）越小。例如，稍微修改一下[5]中的框架，假设在最佳出价队列耗尽后（这会暂时扩大价差），限价订单的流动会迅速填补缺口，价差再次减少到一个刻度。我们假设，填补缺口后，最佳询问队列的最终大小是从固定分布fa:Z中随机抽取的+→ [0, 1]. 然后，ρ（x，t）可建模如下，对于x>ε，ρ（x，t）：=∞Xi=1Qbx（0）Xj=0fa（i）Ztfτ（s | 0<τ<t）P（Nb，xs=j）αt-s（i，Qbx（0）- j+1）ds，（2）其中τ是最佳投标价格第一次达到- x、 fτ（s | 0<τ<t）是τ调节在0<τ<t上的密度，Nb，xs表示在初始Qbx（0）级未完成订单的时间sout取消的订单数- x、 αu（i，`）是一个LOB的最佳出价在最佳ask之前和时间u之前耗尽的概率，此时在时间0时，在最佳ask时有订单，在最佳出价时有订单。我们假设α只取决于θ，根据文献[5]，这通常发生在几毫秒内。

相反，如果大量限购订单填补了缺口，我们不会将这一次视为卖价的变化，而是继续分析下一次最佳出价再次变化的情况。通过i和`，LOB的状态。对于x=ε，ρ（ε，t）=αt（Qaε（0），Qbε（0）+1，其中，现在Qaε（0）表示在时间0的最佳要价下的未完成订单。在对LOB订单流量和最佳ask价格的动态（决定fτ）施加一些合理的假设后，以及在根据realLOB数据估计Fa后，可以对函数ρ（x，t）进行数值计算。第5节提供了有关ρ（x，t）计算的一些详细信息。现在，我们已经准备好进入连续时间的最优布局问题。我们假设价格变化δ和刻度大小ε之间的（平均）时间步长足够小，并且彼此相关，因此可以通过适当的连续时间过程S来很好地近似'S（δ，ε）：={Su}u≥0和ρ（δ，ε）（x，t）→ 对于光滑函数ρ（x，t），ρ（x，t）。然后，在极限（δ，ε→ 0），类似于（1）的连续时间问题可以写成asC（x，t）=E[St- S | Yt>S- x] P（Yt>S- x） +P（Yt≤ S- x）(-x个- ρ（x，t）（r+f））+f，x>0。（3） 特别是，最佳位置x*（t） ，它将所有x>0的C（x，t）最小化，仅依赖于r和f到r+f，这可以被视为未执行limitorder的“惩罚”。