扩散极限订货簿中小订单的最优布局

在图4中，我们显示了0.015 0.016 0.017 0.018 0.019 0.0200.0030 0.0034 0.0038t0*具有低u（β>0）ut0*t0*下限的估计值T00.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 0.0500.0015 0.0025t0*具有高u（β<0）ut0*t0*下限的估计值图4：左：t*当β>0时，为（实心黑色）、？t（点红色）和下限t（点蓝色）。右：t*当β<0时，为（实心黑色）、？t（点红色）和下限t（点蓝色）。在两幅图中，r+f=0.006，σ=0.2，S=50。当β>0（左图）和β<0（右图）时，下限t和't。如图所示，下界t在β>0的情况下相当粗糙，但在β<0的情况下表现非常好。对于所选的参数设置，(R)t也提供了一个很好的近似值，结果是上界t*在这两种情况下，虽然我们只有当β>0时才能证明这一点。现在，我们继续分析当投资者的时间范围t很大时，最优解的行为。正如在Bachelier模型中，我们假设ρ=ρ（y，t）在y和t中是常数，这对于大t是一个合理的假设，如第5节所述。定理4.7。假设ρ=ρ（y，t）在y和t中是常数。设u<0和y*（t） 是定理4.2中定义的最佳位置。那么，我们有限制→∞y*（t） t型- (-u+σ）+σp-2u+2σln t/t=σp-2u+2σ，尤其是y*（t） /吨→ -u +σ- σp-2u+2σ，如t→ ∞.当投资者可以等待很长一段时间时，之前的结果提供了一个合适的近似值，用于最优安排限额订单。然而，这种分析有一个缺点，因为我们没有考虑货币的时间价值。对于最终渐近区域，我们考虑了低波动率情况下最优布局问题的行为，即σ→ 该定理给出了当波动率很小时最优布局解的一阶和二阶近似值。

如果投资者选择参与价格波动性相对较低的市场，这种近似值可能会很有用。对于隐式，我们再次假设ρ=ρ（x，t）在x和t中是常数。定理4.8。假设ρ=ρ（y，t）在y和t中为常数，且u<0。让我们将预期成本函数表示为C（y，σ），即y和σ的函数。然后，存在一个σ>0，因此每0<σ<σ，就存在y*（σ） 在（0，-ut），使C（y*(σ), σ) ≤ C（y，σ），对于ally>0。此外，我们有：y*(σ) = -ut-p2σt ln（1/σ）+a2 ln（1/σ）p2σt ln（1/σ）+oσpln（1/σ）！，其中a：=ln S+ut+ln t- ln（ρ（r+f））+ln2π。5ρ（x，t）的计算和行为在第3节和第4节中，我们对ρ（x，t）做出了一些假设，我们记得，这些假设被定义为投标限价订单处于S级的概率-在第一时间段内，当最佳投标价格处于S级时，时间0的x在时间t之前执行-x、 假设latterevent发生了。本节的目的是研究ρ（x，t）的行为，并从理论和经验上验证我们假设的合理性。如备注2.1所述，式（2）中给出了ρ（x，t）的合理模型。这取决于各级取消订单的假定订单流量（确定P（Nb，xs=j））、最佳买卖订单的假定订单流量（确定αt（i，j））、分布fa（可根据实际LOB数据估计；参见下图9）和分布fτ（s | 0<τ<t），其中τ是最佳买卖价格第一次达到这些级别- x、 根据目前工作的精神，在接下来的工作中，我们假设最佳ask价格遵循布朗运动（BM）或几何布朗运动（GBM）。

在这种情况下，可以显式计算fτ（s | 0<τ<t）（详见附录D）。以下结果表明，（5）（分别，（11））中的第一个条件在我们的BM（分别，GBM）设置中得到满足。提案5.1。设ρ（x，t）如式（2）所示（分别为|ρ（y，t）：=ρ（S- 硒-y、 t），并让最佳询价遵循BM（分别为GBM）。假设Qbx（0）=0表示大值x。那么，lim supx→∞ρ（x，t）x个≤ 0，lim supy→∞ ρ（y，t）y≤ 0。（14）以下结果表明，在相对温和的假设下，lim inf在等式的第二个条件下。（5） 和（11）保持为正，并给出明确的下界。提案5.2。让最好的要价跟随BM或GBM。此外，当最佳bid和ask队列的初始大小分别为i和`时，设σia和σ\'bbe为最佳ask和bid队列耗尽的时间。假设Qbx（0）=0表示足够大的x。那么，当σia和σ\'bare相互独立，且σbis有界和Cin的密度gb（s）[0，t]时，我们有thatlim infx→∞ρ（x，t）x≥ 2gb（0）σt，极限→∞y▄ρ（y，t）≥ 2gb（0）σt.（15）备注5.3。从命题5.2的结果来看，当密度gb有界且gb（0）>(-u）/（r+f）。在附录D中，我们表明，在aPoissonian阶流下，gb（0）=ub+θb，最佳出价队列的净消耗率（见附录D中的详细信息）。每当gb（0）>0时，就会满足（11）中的第二个条件。现在我们来看看（4）和（10）中条件的合理性，这是通过数值计算得出的。为简单起见，我们仅对GBM进行了分析，但对BM也有相同的结论。

对于订单流，我们假设其中一个最简单（但相关）的设置，其中限额订单的到达、取消和执行遵循独立的泊松过程，其各自的强度率λ\'、θ\'、k和u\'，其中`是a还是b，取决于订单是在询价方还是投标方，k是距离最佳出价或要价的刻度数（详情请参阅附录D）。下表1给出了到达率λ`、θ`、1和u`，而初始LOB曲线k→ Qbkε（0）如图5左面板所示，这与[1]和[7]的平均深度曲线一致。θ`，k的选定值（k=2，3，…）是从[7]借来的。基于上述假设，我们使用实际LOB数据估计的参数值计算ρ（x，t）。ρ（x，t）的计算细节见附录D→ ρ（εi，t）（i表示记号数，ε=0.01），t=30、60和90秒。如图5的右面板所示。如图所示，ρ（ε，t）<ρ（2ε，t），甚至ρ（2ε，t）<ρ（3ε，t），这证明了我们的假设y￠ρ（0+，t）>0。（14）中的条件已经在命题5.1中得到证明，从图5中也可以看出。关于条件1 6 12 19 26 33 40 47 54 61 68初始账簿，Qx（0）勾选股份数量（批次）0 20 40 60 80 1200 20 40 60 80 1000.3 0.5 0.7ρ（x，t），t=30、60和90粘滞概率t=30st=60st=90s图5：左面板：初始业务线i→ Qbiε（0）；右面板：i的图形→ ρ（εi，t），ε=0.01，t=30秒（黑线），t=60秒（红色虚线），t=90秒（蓝色虚线）。在（15）中，图6的左面板表明y→ eyy￠ρ（y，t）向∞ 因此，（15）中的第二个条件是合理的。

让我们注意到，当t变大时，ρ（x，t）变大，这正好使得对于较大的t值，ρ（x，t）在x中近似为常数，正如我们在第3节和第4节的大视界渐近中所做的那样。我们在第3节和第4节中做出的下一个主要假设是t 7→ ρ（0+，t）收敛到其极限值ρ（0+）：=ρ（0+，∞), 作为t→ ∞, 足够快，以便我们可以使用ρ（0+）代替ρ（0+，t）来估计tand t*. 为了证明当u<0时，该假设确实可行，在图6的右侧面板中，我们显示了t→ ρ（ε，t）（ρ（0+，t）的代理）表示最佳出价和询问队列的不同初始值。这里，Qa（0）=6=Pifa（i）i（即价格下跌后最佳询价队列的平均大小），Qb（0）=38是从实际LOB数据中获得的价格下跌后最佳出价的平均大小（详情见附录D）。如图6右面板所示，ρ（0+，t）收敛到极限ρ（0+）几乎是瞬时发生的，只需几秒钟，从而验证了我们的假设ρ（0+，t）≡ρ（0+），对于合理的投资期限t。事实证明，在泊松顺序流量设置下，极限值limt→∞ρ（0+，t）可以显式计算（见下面的等式（68））。在图6的右面板中，我们还显示了近似值“tof t*对于任何t>t，2uSt/（r+f）>ρ（0+，t）。

由于ρ（0+，t）在几秒钟后保持不变，t*≈ ρ（0+）（r+f）/2 |u| S，当Qbε（0）=38、6和1时，分别取64、90和96秒的值。现在，我们讨论假设的有效性t型xρ（0+，t）>0，用于理论0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.0250e+00 2e-04 4e-04ρ~（y，t）y2ey，t=30、60和90syt=30st=60st=90s0 20 40 60 80 1000.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0ρ（ε，t）t（秒）概率图6：左面板：y图→ ey▄ρ（y，t）y，t=30秒（黑线），t=60秒（红色虚线），t=90秒（蓝色虚线）。右面板：ρ（0+，t）=ρ（0+，t），Qaε（0）=6，Qbε（0）=1（实心黑色），Qbε（0）=6（虚线红色），Qbε（0）=38（虚线蓝色）。（点划线）绿线的斜率为2S |u|/（r+f），因此t*≈ 当Qbε（0）=38、6和1时，分别为64、90和96秒。4.4和4.5以保证*是唯一的临界值yC（0+，t）和y的近似值*（t） 作为t&t*保持。我们可以取D（t）：=ρ（2ε，t）- ρ（ε，t）作为ε的代理xρ（0+，t）。在图7中，我们将D（t）绘制为Qaε（0）、Qbε（0）和Qb2ε（0）不同值的t函数。如图所示，D（t）在t中增加，几秒钟后为正值。最后，让我们讨论ρ（x，t）的近似。虽然ρ（x，t）的计算有些复杂，但图8表明ρ（x，t）可以很好地近似于ρ（x，∞),我们推测ρ（x），∞) =Pifa（i）α∞（一，1）。在图8中，我们展示了Bachelier模型（左）和Black-Scholes模型（右）中ρ（x，t）的数值计算，其中x=0.1，Qbx（0）=0、1、10、38、50或100批。

如图8所示，在短时间后，ρ（x，t）相对于t近似恒定。6结论和未来工作是否下达市场指令或限价指令的问题，以及在后一种情况下，在LOB中下达限价指令的位置，最近备受关注。在本文中，我们将此问题视为资产价格服从一定差异动态的最优订单安排问题。通过特定时间0 10 20 30 40 50 60捕捉LOB队列的影响-0.6-0.4-0.2 0.0 0.2ρ（2ε，t）-不同队列大小的ρ（ε，t）测试（秒）Q2b=30，Q1b=38，Q1a=6Q2b=60，Q1b=38，Q1a=6Q2b=90，Q1b=38，Q1a=60 10 20 30 40 50 60-0.8-0.4 0.0ρ（2ε，t）-不同队列大小的ρ（ε，t）测试（秒）Q2b=30，Q1b=15，Q1a=6Q2b=60，Q1b=15，Q1a=6Q2b=90，Q1b=15，Q1a=6图7：t→ ρ（2ε，t）- ρ（ε，t）在Black-Scholes模型下，Qa=Qaε（0）、qb=qbε（0）和qb=Qb2ε（0）的不同值。0 10 20 30 40 50 600.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8ρ（0.1，t）具有不同初始队列大小测试（秒）概率0 20 40 60 80 1000.2 0.4 0.6 0.8ρ（0.1，t）具有GBMt（秒）概率图8:t→ ρ（0.1，t）在Bachelier模型（左）和Black-Scholes模型（右）下，Qbx（0）=0（黑色），Qbx（0）=1（红色），Qbx（0）=10（蓝色），Qbx（0）=38（品红），Qbx（0）=50（绿色），Qbx（0）=100（黄色）。队列大小是成批的（每个大小为100个共享）。黑线几乎与红线重叠。黑线isPifa（i）α∞（i，1）=0.87。依赖执行概率。

我们的模型和随后的分析得出了一些重要的见解：（i）存在一个阈值地平线长度，超过该长度，可以保证存在一个非平凡的最优布局；（ii）在涉及回扣和交易费的某个渐进机制下，阈值水平长度的表征；（iii）当水平长度接近阈值水平长度时，极限订单最优配置的特征和近似值，以及（iv）在涉及水平长度和波动性的不同渐进机制下，最优配置的行为。重要的是，这些关于最优布局的见解依赖于在真实市场中似乎普遍适用的假设，如通过数据和数字调整所看到的。LOB上下文中的许多其他重要上下文，以及与我们在本文中所考虑的内容密切相关的上下文，似乎在很大程度上还没有得到研究。例如，与时间相关的临时订单安排的性质、多个相关资产的影响、对大型有限订单的考虑以及参数未知（但可以估计）的不同模型的存在，都是需要进一步发展的有趣的LOB背景。本文考虑的模型和我们分析的性质可以为这种发展提供信息。A证明：布朗运动为了将来的参考，我们引入以下符号：αt（x）：=x+utσ√t、 βt（x）：=-x+utσ√t、 温度：=u√tσ，c：=r+f。

（16） 如果没有混淆，我们通常会忽略α、β、ρ和a中对t和/或x的依赖性Cx=2φ（αt）cρ+utσ√t+2N（βt）σe-2xuσ-u（x- ut）+ucρ+σ+ N（αt）- 1 (17)- cxρ（x，t）N个(-αt）+e-2xμσN（βt）（18）Cx=-φ（αt）σt√t[2cρx+4ut（cρ+ut）]+4uN（βt）σe-2xuσu（x- ut）- ucρ- σ- cxρ（x，t）N个(-αt）+e-2xμσN（βt）+4c级xρ（x，t）σ√t型σφ（αt）+u√te公司-2xμσN（βt）.为了便于记法，当计算函数C（x，t）和ρ（x，t）及其导数的极限时，我们将插入x=0，而不是x=0+。最后，在证明中经常使用以下众所周知的等式：φ（z）z-z≤ φ（z）zz+1≤ N个(-z）≤ φ（z）z，z≥ 引理的证明3.1。在不丧失一般性的情况下，我们假设S=0。然后，根据Yt和St的联合分布公式得出结果（参见[12，第3.2节]）：P（St>z，Yt>-x） =N-z+utσ√t型- e-2xuσN-z- 2x+utσ√t型, x>0，z≥ - x、 （20）实际上，根据前面的公式，我们直接得到了thatP（Yt≤ -x） =N-x个- utσ√t型+ e-2xuσN-x+utσ√t型P（St∈ dz，Yt>-x） =σ√tφ-z+utσ√t型-σ√te公司-2xuσφ-z- 2x+utσ√t型,可用于查找E[St | Yt>-x] P（Yt>-x） =R∞-xzP（St∈ dz，Yt>-x） dz。定理3.2的证明。很明显，（18）中的项是非负的，因此，对于x→C（x，t）要增加，我们只需要证明（17）中的表达式，我们表示D（x，t），总是正的。该表达式的导数如下所示：Dx=-φ（αt）σt√t[2cρx+4ut（cρ+ut）]+4uN（βt）σe-2xuσu（x- ut）- ucρ- σ（21）+2cxρ（x，t）σ√t型σφ(α) + u√te公司-2xμσN（β）. （22）当x→ ρ（x，t）是非递增的，由于（19）的第三个不等式，（22）中的项是非正的。

现在，当x∈ [0，ut]，（21）中的所有项均为负，而对于x>ut，我们可以将（19）的最后一个不等式应用于与u（x）相关的项- ut）in（21）获得Dx个≤φ（αt）σ√t型-2cρxσt-4ucρσ+ N（βt）e-2xuσ-4ucρσ-4uσ< 然后我们推导出x→ D（x，t）正在减小。但是，同样，D（0+，t）>0和D（x，t）→ 0，asx→ ∞. 这些事实意味着，对于每个t>0，D（x，t）对于x>0是严格正的，因此，对于每个t，最终C（x，t）在x中增加。为了证明第二个断言，假设x>-ut并对（17）中的每个N（·）项应用适当的不等式（19），以获得Cx个≥ φ（αt）2（cρ+ut）σ√t型-2ucρβtσ-αt-(-2ux+2ut+σ）σβ-β(23)- xρ（x，t）cN个(-α） +e-2xμσN（β）. （24）由于（4）中的第二个条件，（24）中的表达式对于足够大的x是正的。经过一些简化后，不难看出（23）中括号内的表达式的形式是2cρ（x，t）/σ√t+4uσt√t/x+O（1/x），因此，根据（4）中的最后一个条件，对于大值x，它变为正值。因此xC（x，t）对于足够大的xand是正的，因此，C不可能(∞, t）≤ C（x，t），对于所有x。总之，注意Cx（0，t）=（φ（at）+N（at）at）σcρ（0，t）√t+u√t型+ 2N（at）- 1.- xρ（0，t）c（25）<2φ（at）cρ（0，t）+2utσ√t+2uN（at）cρ（0，t）+utσ- xρ（0，t）c，（26），其中（26）中的不等式来自于不等式2N（at）- 1<2φ（at）。现在，我们主张如果cρ（0，t）+2ut<0，则xC（0，t）<0。实际上，如果cρ（0，t）+ut≤ 0，这直接来自（25）中的表达式，而如果cρ（0，t）+ut>0，这是（26）中不等式的结果。最后，由于cρ（0，t）+2ut<0明显适用于足够大的t，我们得出结论，存在≥ 0，这样对于所有t>t，xC（0，t）<0。