扩散极限订货簿中小订单的最优布局

后一个条件意味着，对于所有x>0的情况，C（0，t）<C（x，t）是不可能的，因此，x的存在*（t） 如定理陈述所述。定理3.5的证明。回想定理3.2的证明xC（0，t）<0，对于t大。因此，对于定理的第一个断言，我们只需要证明对于足够小的t，xC（0，t）>0。但这在（25）中是清楚的，因为ρ（0，t）/√t型→ +∞, 作为t→ 0，假设ρ（0，t）≡ ρ(0) ∈ （0，1），对于所有t，我们得出结论，TCA可以选择为xC（0，t）=0。对于第二个断言，让我们首先注意到→ 0，as（r+f）→ 0因为推论3.4的上界。接下来，将φ（at）和N（at）展开为√经过一些简化，我们有Cx（0，t）=c2ρ(0+)φ(0)σ√t+ρ（0+）uσ- xρ（0+，t）+φ（0）ρ（0+）μσ√t型+4uφ(0)σ√t+E（t），其中E（t）=μσt-ρ（0+）uφ（0）c12σt1.5+O（t），现在，插入t=t，回想一下xC（0，t）=0，我们有0=1+2uρ（0+）tc+ρ(0+)u/σ -xρ（0+，t）σ2ρ（0+）φ（0）√t+u2σt+E（t）σ√t2ρ（0+）φ（0）cSince，根据推论3.4，t→ 0，作为c→ 0和t/c≤ 2/|u|，我们得到上一个方程右侧的最后三项收敛到0，因此，我们必须得到1+2uρ（0+）tc→ 0，这意味着第二个断言。对于最后一个断言，请注意Ct型x（0，t）=-φ（at）cρ（0，t）σt√t+2uσ√t（φ（at）+atN（at））- ct型由于我们的假设，xρ（0，t），（27）为负值t型xρ（0，t）≥ 0和（19）中的最后一个不等式。定理3.6的证明。我们将使用中值定理来显示最优布局解x的行为*（t） ，当t接近t时。为此，需要满足以下条件：xC需要在（0，t），x处为正*（t）→ 0作为t→ t、 C应该是（0，t）的邻域。首先，让我们回顾一下定理3.5的证明xC（0+，t）=0。

然后，使用（25），我们可以找到φ（at）+N（at）at的表达式，可以替换为Cx（0，t）=-（φ（at）+N（at）at）4u（cρ（0，t）+ut）σ√t型-4c级xρ（0，t）σ√t型- N（at）4uσ- cxρ（0，t）得到Cx（0，t）=2 |u|σ（1+xρ（0，t）c）+2cxρ（0，t）1- 2N（at）+xρ（0，t）cρ（0，t）+ut- cxρ（0，t）。（28）最后一个表达式是肯定的，因为xρ（0，t）>0，xρ（0，t）<0，t<cρ（0+）/2 |u|作为推论3.4的A序列。接下来，让我们回顾一下x*（t） 满意度xC（x*（t） ，t）=0，因此，根据隐函数定理，存在一个包含x=0的开集U、一个包含t=t的开集v和一个唯一的连续可微函数x*（t） 使得{（x*（t） ，t）| t∈ V}=（x，t）∈ U×V|Cx（x，t）=0.特别是，x*（t）→ 0作为t→ t、 此外，由于定理3.5中的t>0，很明显xC（x，t）在（x，t）=（0，t）的邻域中是可微的，因此，我们可以应用均值定理证明存在β∈ （0，1）使0=Cx（x*（t） ，t）=Cx（βx*（t） ，t+β（t- t） ）x*（t）+Ct型x（βx*（t） ，t+β（t- t） ）（t- t） 。自从C类/x，C类/x个当t>0时，t都是连续的，并且有一个包含（0，t）的开集，使得C类/xis严格正，而且x*（t） t型- t=-Ct型x（βx*（t） ，t+β（t- t） （）Cx（βx*（t） ，t+β（t- t） （）---→t型→t型-Ct型x（0，t）Cx（0，t）：=κ。注意κ>0，因为从（27）看，t型xC（0，t）>0。对于二阶近似，我们采用0=xC（x*（t） ，t）约（0，t）到：0=Cx（0，t）x*（t）+Ct型x（0，t）（t- t）+Cx（βx*（t） ，t+β（t- t） ）x*（t）+Ct型x（βx*（t） ，t+β（t- t） ）x*（t） （t- t）+Ct（βx*（t） ，t+β（t- t） ）（t- t） 。并遵循上述类似步骤。定理3.7的证明。为了找到上界，我们需要以下不等式e-2uxσN（βt）- N个(-αt）+φ（αt）（1/αt+1/βt）>0，（29），对于u<0和x>-ut。

接下来，将（19）和（29）应用于（17）的RHS，我们可以得到以下表达式：Cxφ（αt）>2（cρ+ut）σ√t型+-βt+βt2ut- 2uxσ+2ucρσ(-βt）-αt-βt=2xcρσ√t（x- ut）（x+ut）x个- ut1.-2σucρ:= f（x，t）。很明显，x*（t） ：=-utθ等于f（(R)x*（t） ，t）=0且f（x，t）>0，对于所有x>\'x*（t） 。因此，x*（t）≤ \'\'x*（t） 。对于下界，让我们再次将（19）中的适当不等式应用于（17）中的不同项，以获得上界：Cxφ（αt）<2xcρ（x- utθ）σ√t（x- ut）（x+ut）+σt√t型-2u（x- ut）-2ucρ（x- ut）+σ（x+ut）. （30）注意当t>cρ时/(-u），x>-ut，以下不等式为真：2xcρ(-σt- 2utσ√tθ）σ√t（x- ut）（x+ut）+σt√t型-2u（x- ut）-2ucρ（x- ut）+σ（x+ut）> 0。（31）然后，将（30）的RHS和（31）的LHS相加，Cx<2xcρφ（αt）σ√t（x- ut）（x+ut）x个- utθ- σt- 2utσ√tθ=: g（x，t）自x起*（t） ：=-σ√t型-utθ等于g（t，x*（t） ）=0且对于所有x，g（t，x）<0∈ (-ut，x*（t） ，我们得出结论，x*（t）≤ x个*（t） ，前提是x*（t） >-ut。对于后者，我们需要附加条件t>σ/（u（θ- 1)).定理3.8的证明。LetH（z）=Ncρ（z）φ（z），E（z）=H（z）-z、 E（z）=H（z）-那么，我们可以把（17）写成Cxφ（αt）=2（cρ+ut）σ√t+2u（ut- x） σ|βt|-|βt|+σ+2ucρσ|β|-αt+2u（ut- x） σE（|βt |）+σ+2ucρσE（|βt |）- E（αt）经过一些简化后，最佳x=x*（t） 为xt=uθ+2uσ2σcρ√t（x- tu）（x+tu）txE（|βt |）-√t（x- tu）（x+tu）2cρσxtσ+2ucρE（|βt |）+σ√t（x- tu）（x+tu）2cρxtE（αt）。由于误差项Eiconverge为0，其阶数为O（t-1） ，我们得出结论，x*（t）~ |u|θt，ast→ ∞. 特别是，作为t→ ∞, 我们还有（x*（t）-ut）~ |u| t（θ+1）和（x*（t） +ut）~|u| t（θ-1） ，这反过来意味着Ei（|βt |）=O（t-（2i+1）/2）和E（αt）=O（t-3/2).

然后我们得到：x*（t） t型- uθ=2uσ2σcρ|u|（θ+1）|u|（θ- 1） |u|θ3σ|u|（θ+1）t-1.-σ|u|(θ+ 1)|u|(θ- 1） 2（cρ|u|θσ+2ucρσ-σ|u|（θ+1）t-1+σ|u|(θ+ 1)|u|(θ- 1） 2cρ|u|θ-σ|u|(θ- 1） t型-1+o（t-1） ，经过一些简化，我们得出结论（8）。B证明：几何布朗运动为了便于记法，我们在计算函数C和ρ及其导数时，用C代替C表示预期成本，用y=0代替y=0+。我们还经常使用符号α±：=u±σ/2，c：=r+f，α：=u- σ/2σ, β :=u + σ/2σ. （33）为了便于将来参考，我们还要注意：Cy=-硒-y2uσe-2yμσeyN公司-y+α-tσ√t型- eutN-y+α+tσ√t型（34）+Se-yeute-2μσyN-y+α+tσ√t型- N-y-α-tσ√t型（35）+cρ（y，t）e-2yμσ+yσ√tφ-y+α-tσ√t型- (-2uσ+1）N-y+α-tσ√t型(36)- cyρ（y，t）N-y-α-tσ√t型+ e-2yμσ+yN-y+α-tσ√t型, （37）因此，Cy（0，t）=2cρ（0，t）σ√t型φα√t型+ α√田纳西州α√t型(38)- S1+2ασNα√t型-2βσeutNβ√t型- cyρ（0，t）。（39）引理4.1的证明。设Xt：=ln（St/S）=（u-σ） t+σWt，x=S- 硒-y、 和▄Yt：=infu≤tXu。那么，很容易看出▄C（y，t）=（Se-y- （r+f）～ρ（y））P（～Yt≤ -y） +SE[分机|Yt>-y] P（▄Yt>-y） +f- S、 然后，我们可以使用（20）计算成本函数，使用与Lemma3.1中使用的步骤类似的步骤。定理4.2的证明。我们首先表明，（10）中的两个条件排除了y*（t） =0，对此我们将显示yC（0+，t）<0。让我们首先注意到，根据（38）和（50），Cy（0，t）<2cρ（0，t）σ√tφα√t型- Sφ（α√t） 2a |u|σ√t型- cyρ（0，t）=2φα√t型σ√t（cρ（0，t）- aS |u| t）- cyρ（0，t）。由于（10）中的两个假设，最后一个表达式为负。这意味着最佳值为y*（t）∈ (0, ∞]. 排除y*（t） =∞, 我们现在表明，在（11）中的两个条件下，当y足够大时，预期成本的初始偏差为正。设D（y，t）为第（34）-（36）行中的yC。

接下来，将（19）中的第一个或最后一个不等式（取决于符号）应用于D（x，t）的每个N（·）项，我们得到y>max{-α-t、 α+t}：D（y，t）φ-y-α-tσ√t型> 硒-y-2uσσ√泰-α-t型-(σ√t） （y）-α-t）-σ√泰-α+t+σ√泰-α+t-(σ√t） （y）-α+t）-σ√ty+α-t型+ cρ（y，t）2yσ√t（y-α-t） 。很容易看出，因为y→ ∞, 第一项渐近等价于4Se-年初至今√tσ|u|/y，而第二项渐近等价于2cρ（y，t）/σ√t、 因此，对于大的enoughy，根据（11）中的最后一个条件，函数D（y，t）是正的。由于（37）中的表达式最终根据（11）中的第二个条件是非负的，我们得出结论，对于足够大的y，C相对于y的导数为正，因此y*（t） <∞.定理4.4的证明。事实上，从（38）-（39）和附加假设ρ（0+，t）≡ρ(0+) ∈ （0，1）和lim支持→0|yρ（0，t）|<∞, 我们显然有这个限制→0Cy（0，t）=+∞,这意味着t*> 0，并且是这样的Cy（0，t*) = 0、此外，t*是的唯一根Cy（0，t），因为在附加假设下，Cy（0，t）在t中严格递减。事实上，首先要注意Ct型y（0，t）=S2uσ√tφα√t型+2SβσueutNβ√t型-cρ（0，t）σt√tφα√t型- cρt型y（0，t）。（40）根据我们的附加假设，最后一项是非正的t型yρ（0，t）≥ 为了检查前两项是否为负值，我们考虑了两种情况。如果β>0，很明显（40）是负的，而如果β<0，我们可以将（19）中的最后一个不等式应用于N（·）项，得到Ct型y（0，t）<-cρ（0）σt√tφα√t型-cρ（0，t）σt√tφα√t型- cρt型y（0，t）<0。因此，无论β的符号是什么，yC（0，t）是严格递减的，我们得出了定理的最后一个结论。最后，我们检查第二个断言。为了便于记法，让我们使用tinsteadof t*. 我们首先表明→ 0 as（r+f）/S→ 0

否则，假设存在序列cn=rn+fn和Sn0，使得cn/Sn0→ 0和limn→∞tn0=：t∈ (0, ∞), 其中TN0是yC（0，tn0）=0对应于Cn和Sn0。那样的话，limn→∞Sn0C（0，tn）y=-1.-2ασN（αpt）+2βσeutN（βpt）- cyρ（0，t），这实际上是严格负的，因为（50）和（10）中的第二个条件。现在，让我们证明t.展开φ的渐近行为α√t型, Nα√t型, 和Nβ√t型作为的权力√t并进行一些简化，我们有Cy（0，t）=σcρ（0）φ（0）√t+cρ（0）α+√t型cρ（0）αφ（0）+Sφ（0）2u+ E（t）- cyρ（0），其中e（t）=SβuN（0）t- ρ（0）cφ（0）αt√t+Sαφ（0）t√t+（S+c）O（t）和术语O（t）都不依赖于Snor c。现在，插入t=t，回想一下yC（0，t）=0，设置γ：=cρ（0）/（2uS），我们得到：0=1+α2φ（0）√t+tγ+αt+E（t）√t2γSuφ（0）-σyρ（0）√t2ρ（0）φ（0）。因此，由于t→ 0作为c/S→ 0，我们有γ1+E（t）2S√tuφ（0）= -1.-α2φ(0)√t型-αt-σyρ（0）√t2ρ（0）φ（0）→ -1，完成了自clearlyE（t）2S以来第二个断言的证明√tuφ（0）=β2φ（0）N（0）√t型-ρ（0）cα48uSt+α12ut+（1+cS）O（t）→ 0，作为c/S→ 定理4.5的证明。为了便于记谱，让我们用t代替tin*. 我们基本上需要证明这一点yC（0，t）>0，其余的证明遵循与第3.6条相同的线。检查一下yC（0，t）>0，让我们首先注意Cy（0，t）=S2uσNα√t型-4SβσeutNβ√t型+ 序号-α√t型(41)-4ασ√tρ（0）chφα√t型+ α√田纳西州α√t型i（42）+8cρ（0）σ√thφα√t型+ α√田纳西州α√t型我- cρ（0）。（43）（43）中的项是正的，因为根据假设，ρ（0）<0，ρ（0）>0，α<0，所以φα√t型+ α√田纳西州α√t型> 0

然后，让我们分析（41）-（42）中表示D（t）的术语。为此，我们回顾yC（0，t）=0，根据（38）-（39）中的表达式，我们得到ρ（0）cSφα√t型+ α√田纳西州α√t型= 1+2ασNα√t型-2βσeutNβ√t型.然后我们可以代入（42），得到：D（t）=SN-α√t型- eutNβ√t型-4uσ- Nα√t型+ eutNβ√t型+ Nβ√t型1.- eut最后，当u<0时，上述所有项均为正值，因此，yC（0，t）>0。命题4.6的证明。回想一下定理4.4yC（0，t*) = 0和yC（0，t）是t的严格递减函数。因此，要找到t的下界（分别为上界）：=t*, 我们将找到函数的根，该根是yC（0，t）。在定理4.2的证明中，在这两种情况下都得到了上界和后续根。让我们将A（t）定义为（38）-（39）的前两项。然后我们可以重写a（t）=2σ-1ρ（0）ct-1/2楼(√t） +Sg(√t） 式中，f（x）=φ（αx）+αxN（αx），g（x）=-1.-σαN（αx）+σβeuxN（βx）。注意，f（x）=αN（αx），f（x）=αφ（αx），g（x）=σuφ（αx）+βuxeuxN（βx）. 那么，对于一些θ∈ (0,√t） ，我们有(√t） =φ（0）+α√t+f（θ）t=φ（0）+α√t+αφ（αθ）t≥ φ(0) +α√t、 同样，对于β<0，g（x）≥σuφ（αx）≥σuφ（0），因此，对于某些θ∈ (0,√t） ，g(√t） =g（θ）√t型≥σuφ(0)√t、 将前面的两个不等式A（t）放在一起≥σ√t型2ρ（0）cφ（0）+αρ（0）c√t+4Suφ（0）t.最后一个表达式的根精确地为t（μφ（0））。对于β≥ 0，我们用它来表示θ∈ (0,√t） ，g(√t） =g（θ）√t型≥4uσφ(0) -4βσp-u/2e-0.5√t、 由不等式ux exp（ux）>-p-u/2e-0.5. 将上述不等式与f的下界结合起来(√t） ，我们得到a（t）≥σ√t型2ρ（0）cφ（0）+αρ（0）c√t+4Suφ(0) - βp-u/2e-0.5t型.很容易检查t（uφ（0）- βp-u/2e-0.5）是最后一个表达式的正根。定理4.7的证明。回想一下，我们假设ρ=ρ（y，t）在y和t中是常数。

在此假设下，C类/y减少为（34）-（36）中的表达式。让我们在证明中也使用以下符号：dt：=-y*（t）- ut+σtσ√t、 et:=-y*（t） +ut+σtσ√t、 英尺：=-y*（t） +ut-σtσ√t、 （44）我们将首先表明dt→ ∞ 作为t→ ∞. 为了便于记法，下面我们简单地写y（t）=y*（t） 在dt和y（t）中经常省略t。首先，请注意(-y+α-t）/√t型→ -∞,作为t→ ∞, 不管y的值是多少，这表明用φ（z）/z分别近似（34）和（36）的第一项和第二项。现在，让我们首先假设dt→\'\'d∈ (-∞, ∞), ast转到∞ 沿子序列tn→ ∞. 这意味着et=dt+2ut/（σ√t）→ -∞ 作为tgoes to∞ 沿着tn，因此，我们可以通过φ（z）/z分别近似（34）和（35）的第二项和第一项。具体来说，回顾误差函数EAN和Efrom（32），我们将（34）-（36）写成Cy=-硒-yN（dt）+φ（dt）2Se-yσudt+α+et+ φ（dt）2ρcσ√t型1.-α√tft（45）+φ（dt）2Se-yσ{|u| E(-ft）+α+E(-et）}+φ（dt）2ρcα-σE(-ft），（46），其中我们使用了（33）和（44）中的符号。请注意，（45）次右侧的前两项√自dt起t变为0→以类似的方式，第（46）次√tall收敛到0，而右侧的第三项为（45）次√t可重写为φ（dt）2ρcyy-ut+σt=φ（dt）2ρc-dtσ√t型- ut+σt-dtσ√t+2(-ut+σt）→ φ（(R)d）ρ（0）cas t→ ∞ 沿着tn.我们得出结论√田纳西州yC（y（tn），tn）→ φ（(R)d）ρd，这是矛盾的，因为yC（y（tn），tn）=0。其次，假设dt→ -∞, 作为t→ ∞, 注意，在这种情况下，我们可以应用近似值N(-z）≈ φ（z）/z到所有项，经过一些简化后，我们得到：0=Se-yσ√t2ut2y（y-ut+σt）（y-ut-σt）（y+ut-σt）+2ρcyσ√t（y-ut+σt）-2uSe-yσE(-ft）+α+Se-yσE(-et）- 硒-yE公司(-dt）+2ρcα-σE(-英尺）。从这里，我们得出结论√t（y-ut+σt）yφ（dt）Cy→2ρcσ，再次导致矛盾。然后我们可以得出结论，dt→ ∞, 作为t→ ∞.

我们现在已经准备好展示y的第一和第二近似值*（t） 。我们考虑两种情况：情况1：u+σ<0。让我们将近似值φ（z）/z应用于（34）-（36）中的适当项，并除以2φ（dt）ρcy/σ√t（y-ut+σt/2）. 然后，我们得到以下等式：0=-硒-yφ（dt）ρcσ√tyy公司-ut+σt+1+Se-yσ√t2ρcσ√t（y+ut+σt）y（y- ut-σt）+y-ut+σtydt！- 硒-yy2ρc2|u|σ全职员工(-英尺）- 硒-yyρcα+σftE(-et）- 硒-yσt2ρcE（dt）fty-yα-σftE(-英尺）。因此，作为t→ ∞, 我们有Se-y~ φ（dt）ρcσtyft。让我们把对数取到两边，得到（y-ty+（y-泰-)2σt+ln t+lny-ut+σt/2y+ 自然对数Sσ√2π2ρc→ 0，（47），其中y±=-u+σ±σp-2u + 2σ. 让我们用t除以两边，因为y/t 9 0（在引理C.3中得到了改进），ln（（y- ut+σt/2）/y）有界，这意味着（y/t- y+（y/t-y-) → 0、决定是否→ y+或y/t→ y-, 注意，自dt→ ∞, 是/否<-u+σ/2，对于足够大的t，因此，y/t-y+<-σ-σp-2u + 2σ< 0. 因此，我们必须有- y-→ 0，我们得出一阶近似值。对于第二个近似值，让我们将（47）的两边除以ln（t），然后重写得到的第一项，得出以下结论：年初至今- y型+年初至今- y-2σtln t→ -,自年月日起- y型+→ y-- y+=-2σp-2u+2σ，我们最终得出y的二阶近似值*（t） 。情况2：u+σ≥ 我们考虑et的情况→ \'\'e∈ (-∞, ∞], 当t转到∞ 沿序列tn→ ∞ （案例et→ -∞ 相似）。

然后，通过φ（z）/z近似（34）中的第一项和（36）中的第二项，并进行一些简化，我们可以将（34）-（36）写成：0=-硒-y+Se-y-2yμσ+ut2uσ+ 1N（dt）φ（dt）ρcσ√tyy公司-ut+σt+1+Se-y型(-u）tρcy+y-ut+σtydt！+硒-y2ρc2μσyftE(-英尺）- σtftE（dt）-yα-σftE(-英尺）。这反过来意味着√2πexp-y型+(-y-ut+σt/2）2σth1-2uσ+ 1N（dt）exp2μσdt√t型-2μσti（r+f）σ√tyy公司-ut+σt→ 现在，让我们取上一个方程两边的对数，得到- y型+(-y-ut+σt）2σt+ln t+ln（y-ut+σt/2）y+lnSσ√2π2ρc！+自然对数1.-2uσ+ 1N（dt）exp2μσdt√t型-2μσt→ 0。（48）注意，我们假设dt→\'\'d∈ (-∞, ∞], 这意味着（48）中的最后一项收敛到0。很明显，- y型+(-y-ut+σt）2σt+ln t+ln（y-ut+σt/2）y+lnSσ√2π2ρc！→ 0，它可以产生与（47）完全相同的表达式，我们按照其中的步骤得到二阶近似值。定理4.8的证明。在下面的引理C.4和C.5中，我们表明y（σ）*∈ [0, -ut]和δ（σ）：=y*（σ） +ut%0，作为σ→ 0。然后，替换y=y*（σ） 使用-ut+δ（σ）in（34）-（36）并使用该δ（σ）→ 0，我们得到φ-δ（σ）+σtσ√t！ρ（r+f）σ√t型→ Seut。取两边的对数，除以ln（1/σ），表示a=ln S+ut+ln t-ln（r+f）+ln2π，我们得到1-δ（σ）2σt ln（1/σ）+σtδ（σ）2σt ln（1/σ）-σt/42σt ln（1/σ）-aln（1/σ）→ 0（49）为σ→ 0和δ→ 0，该表达式的第三项和第四项收敛到0，这表示δ（σ）~ -p2σt ln（1/σ），作为σ→ 为了证明二次近似，将（49）改写为1+δ（σ）√2σt ln（1/σ）c/ln（1/σ）+δ（σ）4c-σt26c-1.-δ(σ)√2σt ln（1/σ）→ 0、自δ（σ）→ 0和σ→ 0，从δ（σ）的一阶近似值来看，上述第二项和第三项收敛到0，而第四项收敛到-1/2. 因此，δ（σ）p2σt ln（1/σ）+1~a2 ln（1/σ），这意味着二阶近似。C支持引理C.1。