扩散极限订货簿中小订单的最优布局

在第2节的设置和假设下，成本函数可以写成公式（1）。证据使用上述等式（1）中引入的符号，我们得到：(R)Cδ，ε（x，t）=E成本×1{Yt>S- x+}+ E成本×1{年初至今≤ S- x+}= E\'St+f-\'\'S年初至今- x+εP年初至今- x+ε+ E成本×1{年初至今≤ S- x+, Et}+ E成本×1{年初至今≤ S- x+, Ect，τj+1>t}+ E成本×1{年初至今≤ S- x+, Ect，τj+1≤ t}= E\'St+f-\'\'S年初至今- x+εP年初至今- x+ε+ (-x个- r） P（年初至今）≤\'\'S- x+ε，Et）+(-x+f+ε）P（(R)Yt≤ S- x+, Ect，τj+1>t）+(-x+f+2ε）P（(R)Yt≤ S- x+, Ect，τj+1≤ t） =E\'St+f-\'\'S年初至今- x+εP年初至今- x+ε+ [(-x个- r） ρ（x，t）+(-x+f+2ε）（1- ρ（x，t））]P（(R)Yt≤\'\'S- x+ε）- εP（(R)Yt≤\'\'S- x+ε，τj+1>t，etc），其中ρ（x，t）=P（Et | Yt≤ S-x+). 在重新排列上述各项后，我们得到等式（1）。引理C.2。设α：=（u- σ/2）/σ和β：=（u+σ/2）/σ，并假设u<0。那么，1+2ασNα√t型-2βσeutNβ√t型> φ(α√t） 2a |u|σ√t、 （50）式中，如果u，a=1≤ - σ/2，如果u>-σ/2.证据让A表示（50）中不等式的左侧，并注意A=N-α√t型- eutNβ√t型+-2uσeutNβ√t型- Nα√t型> N-α√t型- eutNβ√t型,自那时起utN（β√t）- N（α√t） =Zβ√t型-∞eutφ（z）dz-Zα√t型-∞φ（z）dz=z-∞σ√t型eutφv+βtσ√t型- φv+αtσ√t型dv=Z-∞φw+α√t型e-σ√tw公司- 1.dw>0。情形u的不等式≤ - σ/2随后出现，因为(-α√t）- eutN（β√t） >N(-α√t）- N（β√t）≥ min{φ（α√t） ，φ（β√t） }(-α - β)√t=φ（α√t） 2 |u|σ√t、 我们用它的地方-α>β和|α|>β|。对于另一种情况，u>- σ/2，letg（x）=-1.-σαN（αx）+σβeuxN（βx），注意，由于β>0，当u>- σ/2，g（x）=σuφ（αx）+βuxeuxN（βx）≤ 4uφ（αx）。因此，对于某些θ∈ (0,√t） ，g(√t） =g（θ）√t型≤σuφ(αθ)√t型≤σuφ(α√t）√t、 当u>- σ/2.引理C.3。设u<0，并假设ρ=ρ（y，t）在y和t中为常数。设y*（t） 如第4.2条所示。然后，y*（t） /t 9 0，作为t→ ∞.证据

让我们回顾一下（32）中的E（z），以及（33）中的符号dt，et，ftintroductin（44）。首先，让我们考虑一下u+σ<0的情况。注意，当u+σ<0时，（y- ut±σt/2）/√t型→ ∞, 作为t→ ∞, 不考虑y的值≥ 接下来，我们使用近似φ（z）/z和误差函数重写（34）-（36），如下所示：Cyφ（dt）=-硒-yN（dt）/φ（dt）（51）+Se-y-2 |u|σft-2α+σet-2ρcyσtft（52）+Se-y2 |u|σE(-ft）+2α+σE(-et）+2ρcα-σE(-英尺）。（53）请注意，（53）中的误差项收敛到0，而与y>0的值无关。为了便于记法，下面我们只写y=y（t）=y*（t） 。假设y（t）/t→ 0，作为t→ ∞. 然后，很容易看出（52）中的项收敛到0，因为σ√泰-ut±σt=√tσyt- u ±σ→ 0,√tyy公司-ut±σt=√泰泰特- u ±σ→ 对于（51）的RHS，我们将其写成-S√2π出口-年初至今+(-年初至今- u +σ)2σ!!Nt型-年初至今+(-年初至今- u +σ)2σ!.很明显，当y/t→ 0，则（51）的RHS将收敛到-∞. 这是一个矛盾，因为（51）的LHS始终为0。因此，y（t）/t不会在t时收敛到0→ ∞. 现在，让我们考虑另一种情况，当u+σ≥ 在这种情况下，我们现在将（34）-（36）重写如下：Cyφ（dt）=-硒-yN（dt）φ（dt）+Se-y-2yμσ+ut2uσ+ 1N（et）φ（dt）（54）+Se-y-2uσσ√泰-ut+σt+ ρcσ√tyy公司-ut+σt（55）+Se-y-2uσE类(-英尺）- ρc-2uσ+ 1E类(-英尺）。（56）让我们再次假设→ 0，作为t→ ∞. 然后，（55）和（56）收敛到0，而RHSof（54）收敛到-∞ 如果是，则→ 0，我们又有了一个矛盾。引理C.4。假设ρ=ρ（y，t）在y和t中为常数，且u<0。然后，存在σ，因此，对于所有情况，0<σ<σ，Cy> 0表示所有y>-ut.证明。让我们回顾一下（34）-（36）中的一阶导数和（44）中引入的符号dt、et、fti。请注意，当y>-ut，我们可以使用（19）得到以下不等式：Cy> Se公司-yφ（dt）-et公司--et公司+-2uσ-英尺--英尺--et公司（57）+ρ（r+f）φ（dt）2yσ√t（y-ut+σt）- 硒-yN（dt）。

（58）为了证明这个引理，我们将首先证明当y>-ut，存在σ，使得σ<σ时，（58）中的表达式为正，并且存在σ，使得σ<σ时，（57）中的表达式也为正。那么，当σ<min{σ，σ}，yC>0表示所有y>-ut.假设σ<√-2u. 经过一些简化后，不等式（58）>0可以重写为以下内容：σ√t> Se公司-yρ（r+f）N（dt）φ（dt）y-ut+σty，当y>-ut，σt<-ut，σ<ρ（r+f）e-utφp-ut/2/3SNp-ut/2.因此，不等式（58）>0适用于所有σ<σ，其中σ=minp-2u，ρ（r+f）e-ut3Sφp |u| t/2Np |u| t/2!.现在，存在σ，对于σ<σ=> (57)> 0. 请注意，（57）>0可以重写为以下内容：Se-y-et公司--et公司+-2uσ-英尺--英尺--et公司< （r+f）yσ√t（y-ut+σt），对于每一个σ<σ，其中σ=min，均为真p-2u，ρ（r+f）e-ut3Sut(-u - ut+9/4）√-2ut.设σ=min（σ，σ）。对于σ<σ，Cy> 0表示所有y>-ut.引理C.5。在定理4.8的条件下，y*(σ) % -ut为σ→ 0.证明。让我们回忆一下yC在（34）-（36）中给出，符号在（33）中给出，旋转dt，et，fti在（44）中引入，E（z）=N(-z） /φ（z）- 1/z.注意，当σ→ 0，不考虑y的值。如果y>-ut.然而，从引理C.4中，我们知道在小σ下，y>0时yC>0-ut，这意味着y*(σ) ≤ -ut。所以，现在我们只分析那些可以用φ（z）/z很好地近似的项。在这种情况下，我们可以写：Cy=-硒-yN（dt）+φ（dt）Se-y2uσft-2α+σet+ φ（dt）2ρcσ√t型1.-α√tft+ φ（dt）Se-y-2uσE类(-英尺）+2uσ+ 1E类(-et）(59)- φ（dt）ρ（r+f）-2uσ+ 1E类(-ft）（60）现在，我们证明涉及Econverge的项为0。

为此，回想一下E（z）~ -1/z.还有σ→ 0，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设σt<(-ut）/2。由于y>0，y- ut- σt/2>-ut/2。然后，（59）-（60）中的所有项以O（σ）的顺序收敛到0。因此，当σ→ 0,Cy→ - 硒-yN（dt）+σ√tφ（dt）Se-yy+ut+σt（y-ut-σt）（y-ut+σt）（61）+φ（dt）（r+f）σ√tyy公司-ut+σt.（62），如果我们将y替换为-ut到（61）-（62）的RHS，它收敛到∞ asσ→ 0，因为（62）→∞. 这表明在（0，-ut），自limσ起→0yC（0，t）=-S、 让我们把这个最小值写为y*(σ).假设y*（σ） +ut→ δ ∈ （ut，0），作为σ→ 0。然后，对于常数δ，（61）的第一项收敛到-硒-δ+ut，而（61）和（62）中的第二项在O（exp(-1/σ)/σ). 因此，如果δ是固定常数，Cy（y*(σ)) → -硒-δ+ut，这是一个矛盾，因为它应该收敛到0。D关于ρ（x，t）计算和第5D节证明的详细信息。1ρ（x，t）的计算和参数的估计。我们记得ρ（x，t）是投标限价订单置于S级的概率-在第一时间段内，时间0的x在时间t之前执行，此时最佳投标价格处于以下水平-x、 对后一事件发生的条件。如备注2.1（其中的最终符号）所述，ρ（x，t）的合理公式由ρ（x，t）给出：=∞Xi=1Qbx（0）Xj=0fa（i）Ztfτ（s | 0<τ<t）P（Nb，xs=j）αt-s（i，Qbx（0）- j+1）ds。（63）我们在本小节中的目标是指定计算ρ（x，t）的所有元素。在可能的情况下，我们还使用实际数据估计基础参数，在本研究中，这些数据包括2015年4月17日至4月28日（8天）MSFT的一级LOB数据。对于（63）中的密度fτ（s | 0<τ<t），我们考虑了Bachelier和Black Scholes模型。

为了区分这两种模型，我们分别将τBM（τGBM）表示为S级的命中时间- x表示从S开始的BM（分别为GBM）。然后，从（20）中，我们可以推断fτBM（S | 0<τBM<t）=σ√sxφ（αt（x）s）N个(-αt（x））+e-2xμσN（βt（x））, （64）fτGBM（s | 0<τGBM<t）=yσs√sφy+α-sσ√sN-y-α-tσ√t型+ e-2yμσ+yN-y+α-tσ√t型, （65）我们使用等式中给出的符号。（16） 和（33）。回想一下，fa（i）是在最佳出价下降后，最佳询价队列的分布，新的最佳询价队列填补了缺口，将价差缩小到1个刻度。在图9中，我们显示了MSFT数据中fa（i）的样本分布。为了确定（63）中的αt（i，j）和P（Nb，xs=j），我们需要指定订单的未来流量，对于该流量，我们假设任何级别的限制订单的到达、执行和取消都遵循独立的泊松过程，其各自的强度率为λ′、u′、θ′、k。这里，`是eithera还是b，取决于订单是在ask侧还是在bid侧，k=1、2、。与对方的最佳出价或出价相差多少个勾号（因此，θa，1和θb，1是最佳出价和出价的取消率）。为简单起见，我们假设θa，k=θb，k=：θk，对于k=2，3。表1给出了使用MSFT数据估计的到达率λa、λb、θa、1+ua和θb、1+ub。θ`，k的选定值（k=2，3，…）是从[7]借来的。根据上一段中的假设，我们得到p（Nb，kεs=j）=e-θks（θks）jj！，对于0≤ j<Qbkε（0），P（Nb，kεs=Qbkε（0））=∞Xj=Qkε（0）e-θks（θks）jj！，频率0 5 10 15 20 250 1000 2000 3000最佳询问队列大小的频率大小（批次）图9：4月17日至4月28日（8天）MSFT数据中的最佳询问队列容量分布。队列大小的单位是一个批次（100个库存）。式中，Qbkε（0）是S级未完成的投标限额订单数量-时间0时的kε。

最后，我们转向αu（i，`）的计算，即当在最佳ask和bid bidprice下分别有i和`个订单时，LOB的最佳出价在最佳ask之前和时间u之前耗尽的概率。注意，如果σia和σ\'bare分别是当时间0时队列中有i和\'share时，直到最佳ask和BID队列耗尽的时间，那么αu（i，`）=P（σ\'b<σia，σ\'b<u）=ZuP（σ\'b<s）P（σia∈ ds）+P（σ\'b<u）P（σia>u）。（66）在我们的泊松分布下，σia（已在[5]中计算）和σ`的分布如下：gia（s）：=P（σia∈ ds）=isua+θaλa三pλa（θa+ua）se-s（λa+θa+ua）ds，g`b（s）：=P（σ`b∈ ds）=s`-1e级-s（ub+θb）（ub+θb）`ds。（67）因此，我们可以通过数值积分轻松计算（66）。注意，αu（i，`）与ρ（ε，u）相同，它是ρ（0+，t）的代理。此外，ρ（0+），定义为αu（i，`）asu的极限值→ ∞, 可计算为ρ（0+）：=limu→∞αu（i，`）=Z∞P（σ\'b<s）P（σia∈ ds）。（68）ua+θa，1最佳询问队列的删除率19.32λa最佳询问队列的添加率21.78ub+θb，1最佳出价队列的删除率18.68λ最佳出价队列的添加率21.98表1:MSFTdata中最佳询问和最佳出价队列的添加和删除率参数。速率单位为分批，时间单位为1秒。从（67）中，我们还得到了GB（s）=e-s（ub+θb）（ub+θb），gb（0）=ub+θb.D.2命题5.1第5节的证明。我们证明了Bachelier模型的结果。Black-Scholes框架的预测也可以类似地进行。让我们首先注意到，因为我们假设Qbx（0）=0表示足够大的x，ρ（x，t）的形式为：ρ（x，t）=∞Xi=1fa（i）Ztfτ（s | 0<τ<t）αt-s（i，1）ds。

（69）通过xfτ（s | 0<τ<t），我们可以使用积分符号下的莱布尼兹微分规则得到xρ（x，t）=∞Xi=1fa（i）Ztxfτ（s | 0<τ<t）αt-s（i，1）ds=∞Xi=1fa（i）Ztσ√sφx+usσ√sφx+utσ√t型2xσ√t型1.-tsP（τx<t）αt-s（i，1）ds，其中我们使用了（64）中的表达式和（16）中的符号。由于上面的被积函数为负，我们得出结论xρ（x，t）≤ 命题5.2的证明。在命题5.1的证明中，ρ（x，t）采用（69）的形式表示足够大的x。接下来，使用（66）中的符号和公式，uαu（i，`）=P（σ\'b<u）gia（u）+g\'b（u）P（σia>u）- P（σ\'b<u）gia（u）和uαu（i，1）| u=0=gb（0）。因此，对于任何ε>0，存在δ>0，因此，对于s∈ （t-δ、 t），uαu（i，1）| u=s- gb（0）< ε. 根据α（i，1）=0的事实，存在一些θ∈ [0，t]使得αt-s（i，1）=(uαu（i，1）| u=θ）（t-s） 。那么，I：=Rtfτ（s | 0<τ<t）αt-s（i，1）ds为i=Ztfτ（s | 0<τ<t）(uαu（i，1）| u=θ）（t- s） ds，≥ （gb（0）- ε） Ztfτ（s | 0<τ<t）（t- s） ds（70）+Zt-δfτ（s | 0<τ<t）uαu（i，1）| u=θ- gb（0）（t- s） ds。（71）注意，通过（64），（71）中的最终积分以O（xe）的顺序收敛到0-xδ/2σt（t-δ)).因此，有必要显示lim infx的顺序→∞xRtfτ（s | 0<τ<t）（t- s） ds完成证明。By（19），J（x，t）=Rtfτ（s | 0<τ<t）（t- s） ds是这样的，xj（x，t）=xt-x个N个(-αt）- e-2uxσN（βt）(-u)N个(-αt）+e-2xμσN（βt）=xφ（αt）tβt-tαt+x(-u）βt+x(-u）αt+E（x）N个(-αt）+e-2xμσN（βt）, （72）式中，E（x）以O（1/x）的顺序收敛到0，（72）中的分母收敛到2φ（αt）x/（x+ut）（x- ut）。因此，limx→∞xJ（x，t）=limx→∞xφ（αt）σt√t型4(-ut）x（x+ut）（x-ut）2φ（αt）x/（x+ut）（x- ut）=2σt，最终得到lim infx→∞xρ（x，t）≥ gb（0）2σt。在几何布朗运动模型中，ρ（x，t）和|ρ（y，t）之间的唯一区别是使用y代替x和u-使用σ/2代替u。

按照相同的步骤，我们将得到lim infy的相同下界→∞y▄ρ（y，t）。参考文献[1]F.Abergel和A.Jedidi。订单建模的数学方法。《国际理论与应用金融杂志》，16（05）：13500252013。[2] A.Alfonsi、A.Fruth和A.Schied。具有一般形状函数的极限订货书的最优执行策略。《定量金融》，10（2）：143–157，2010年。[3] A.Cartea和S.Jaimungal。低买高卖：高频交易视角。暹罗J.Financ。数学5(1):415–444, 2014.[4] J.A.查韦斯·卡西利亚斯和J.E.菲格罗亚·欧佩斯。一级限时订货簿，具有备用和内存。arXiv预印本arXiv:1407.56842014。[5] R.Cont和A.De Larrard。马尔可夫限价订单市场中的价格动态。《金融数学杂志》（SIAMJournal on Financial Mathematics），4（1）：1–252013年。[6] R.Cont和A.Kukanov。限价订单市场中的最优订单安排。atssrn 2155218，2013年提供。[7] R.Cont、S.Stoikov和R.Talreja。订单动态的随机模型。运营研究，58（3）：549–56320010。[8] U.Gruber和M.Schweizer。广义相关随机游动的扩散极限。应用概率杂志，43（1）：60–732006。[9] F.Guilbaud和H.Pham。具有限额和市场订单的最佳高频交易。《定量金融》，13（1）：79–942013年。[10] X.Guo、A.De Larrard和Z.Ruan。限制订单簿中的最佳位置。数学与金融经济学，2016年。[11] A.Jacquier和H.Liu。大型股票的一级限额指令簿中的最优清算。预印本。可在2017年arXiv:1701.01327【q-fin.TR】上获得。[12] 让·布兰科先生、约尔先生和切斯尼先生。金融市场的数学方法。斯普林格，2009年。[13] C.Maglaras，M.C.和Z.H.《限额订单簿和相关微观结构市场影响模型中的最优执行》。预印本可从ssrn 26108082015获得。[14] E.伦肖和R。

亨德森。相关随机游走。《应用概率杂志》，第403–41414141981页。