混合分数布朗下复合期权和可拓期权的定价

EC给出了到期时间和执行价格为K的可扩展看涨期权的价格，该看涨期权的到期时间可以通过支付额外的溢价a而延长到新的执行价格kb的两倍（St，K，T，K，T，a）=∞Xn=0e-λ′（T-T） （λ′（T- T） ）nn1！hSΦ（a）- Ke公司-r（T-T） Φ（a）i+n∞Xn=0∞Xn=0e-λ′（T-T） （λ′（T- T） ）nn！e-λ′（T-T） （λ′（T- T） ）nn！×hSΦ（b，c，ρ）- Ke公司-r（T-T） Φ（b，c，ρ）io-n∞Xn=0∞Xn=0e-λ′（T-T） （λ′（T- T） ）nn！e-λ′（T-T） （λ′（T- T） ）nn！-hSΦ（a，c，ρ）- Ke公司-r（T-T） Φ（a，c，ρ）io-n∞Xn=0e-λ′（T-T） （λ′（T- T） ）nn！SAe公司-r（T-T） ×hΦ（b）- Φ（a）io，（4.4）式中=lnSM+uJT-T+σJT-TqσJT-T、 a=a-qσJT-Tb=lnSL+uJT-T+σJT-TqσJT-T、 b=b-qσJT-Tc=lnSK+uJT-T+σJT-TqσJT-T、 c=c-qσJT-TΦ（x）是标准的单变量累积正态分布函数，Φ（x，y，ρ）是具有相关系数ρ的标准的二变量累积正态分布函数。推论4.1。如果H=，则资产价格满足默顿跳差方程DST=St（u- λκ）dt+σStdBt+（J- 1） StdNt，0<t≤ T、 ST=S，（4.5）那么，我们的结果与[13]中的发现一致。当λ=0时，资产价格遵循如下所示的MF BM模型St=Strdt+σStdBt+σStdBHt。（4.6）和公式（3.3）简化为扩散情况。结果如下。可扩展和复合选项9推论4.2。具有到期时间和执行价格K的可扩展看涨期权的价格，其到期时间可以通过支付额外的溢价a并写入以下资产等式而延长到新的执行价格kb的两倍。

（4.6）isEC（St，K，T，K，T，A）=SΦ（A）- Ke公司-r（T-T） Φ（a）+SΦ（b，c，ρ）- Ke公司-r（T-T） Φ（b，c，ρ）-hSΦ（a，c，ρ）- Ke公司-r（T-T） Φ（a，c，ρ）i-Ae-r（T-T） hΦ（b）- Φ（a）i，（4.7），其中i=lnSM+r（T- T） +σ（T- T） +σ（T2H- T2H）qσ（T- T） +σ（T2H- T2H），a=a- σqT2H- T2H+T- Tb=lnSL+r（T- T） +σ（T- T） +σ（T2H- T2H）qσ（T- T） +σ（T2H- T2H），b=b- σqT2H- T2H+T- Tc=lnSK+r（T- T） +σ（T- T） +σ（T2H- T2H）qσ（T- T） +σ（T2H- T2H）。c=c- σqT2H- T2H+T- T、 让我们考虑一个具有N个扩展到期时间的可扩展期权，其结果如下推论所示。推论4.3。在时间T到期的可扩展看涨期权的价值，写在一项资产上，该资产的价格由方程（2.2）决定，到期日为T<，…，<TN+1，新走向为K，K。。。，KN+1支付相应的保险费A、A、。。。，AN+1由ecn（S，K，T，T）=N+1Xj=1nhSΦj（a）给出*1j，R*j）- Kjer（Tj-t） Φ（a*2j，R*j） 我-hSΦj（c*1j，R*j）- Kjer（Tj-t） Φ（c*2j，R*j） 我- Ajer（Tj-t） hΦ（b*2j，R*-1j）- Φ（a*2j，R*-1j）io（4.8），其中A=0，Φj（A*1j，R*j） 是j维多元正态积分，其积分上限由j维向量a给出*1jand相关矩阵R*jand定义a*1j=a（M，T- t） ，则，-a（M，T- t）。。。，-a（Mj，Tj- t）.同Φj（c*1j，R*j） 和Φj（b*2j，R*j） 和Define10 SHOKROLLAHIc*1j=b（L，T- t） ，a（M，t- t）。。。，b（Lj-1，Tj-1.- t） ，a（Mj，Tj- t）b*2j=b（L，T- t） ，b（M，t- t）。。。，b（Lj、Tj- t）和Φ（c*1j，R*j） 。R*具有相关系数ρp的jis a j×j对角矩阵-1，pas为pth对角线元素，0和负相关系数ρj-1，j，分别作为第一个和最后一个对角线元素，以及相关系数ρp-1，s（s=p+1，…，j）。

对于其余的元素，我们注意到ρp-1，当s=j和ρp时，sis等于负相关系数ρpjj-1，当NP=1，s=0，…，sis等于零。。。，p- 1，术语Tjand Mj，Ljr分别代表第j个“即时”和之前定义的临界价格。当N增加到整数时，行使机会变得连续，因此近似期权的价值将收敛到可扩展期权的价值极限。因此，值EC，EC，EC。。。形成一个收敛序列，该序列的极限是可扩张的值，即limN→ ∞ECN（S，K，T，T）=EC（S，K，T，T）。为了尽量减少这种计算复杂性的影响，我们使用了两个p点的Richardson外推方法[12]。该技术使用序列的前两个值来获得序列的极限，并得出以下方程式，EC=2EC- EC，（4.9），其中摇头丸使用ECand EC外推限值。数值研究表1提供了当标的资产不支付股息时，可扩展看涨期权的数值结果。第（3）列显示了使用Mertonmodel获得的值，第（4）列显示了使用Gukhal方法得到的结果。C列（5）显示了JMF BM模型的结果，以及使用R ichardsonextrapolation技术得出的ECare和ECare值，如第（6）列所示。通过比较表1中Merton、Gukhal、JMF BM和Richardson列的低到期和高到期情况，我们得出结论，通过这些评估方法获得的看涨期权价格彼此接近。表1：。不同定价模型的结果。

这里，r=0.1，σ=0.1，L=5，M=15，A=0.05，H=0.8，S=12，σJ=0.3，k=-0.004.TK Merton Gukhal JMF BM Richardson1 10 0.1127 0.11143 0.1228 0.13301 11 0.0960 0.0997 0.1075 0.11901 12 0.0812 0.0852 0.0922 0.10311 13 0.0687 0.0707 0.0768 0.08501 14 0.0587 0.0561 0.0615 0.05660.5 10 1.0347 0.7521 0.7799 0.52500.5 11 0.8387 0.6541 0.6783 0.51800.5 12 0.6662 0.556 60 0.5768 0.48750.5 13 0.5412 0.4579 0.4753 0.40940.5 14 0.4598 0.3598 0.3738 0.2871可扩展和复合选项11图1显示了Merton、Guukhal和JMF BM模型的可扩展看涨期权差异的价格，根据主要行使日期和行使价格K.0.10.20.30.40.50.60.70.80.910.20.30.40.50.70.80.91-0.4-0.200.20.40.60.81 T1（年）K1差异JMFBM与Merton模型JMFBM与Gukhal模型图1。我们的JMF BM、Guukhal和Merton模型之间的相对差异。固定参数为r=0.3，σ=0.4，L=。1，M=1.5，A=0.02，H=0.8，S=1.2，σJ=0.05，k=0.4，t=0.1.6。结论混合分数布朗运动是一个强相关的随机过程，跳跃是社会市场中的一个重要组成部分。两者的结合为明显的观察提供了更好的拟合，因为它可以充分描述高频财务回报显示、潜在跳跃、长记忆、波动性聚类、偏度和过度峰度。在本文中，我们使用跳跃混合分数布朗运动来捕捉标的资产价格动态的行为，并推导出复合期权的定价公式。然后，我们将这一结果应用于跳跃混合分数布朗运动环境下可拓期权的估值。给出了可扩展看涨期权的数值结果和一些特例。参考文献【1】A.Ananthanarayanan和E.S.Schwartz，《可收回和可扩展债券：加拿大经验》，《金融杂志》，35（1980），第31-47页。[2] T。

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