混合分数布朗下复合期权和可拓期权的定价

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英文标题：
《Pricing compound and extendible options under mixed fractional Brownian
  motion with jumps》
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作者：
Foad Shokrollahi
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  This study deals with the problem of pricing compound options when the underlying asset follows a mixed fractional Brownian motion with jumps. An analytic formula for compound options is derived under the risk neutral measure. Then, these results are applied to value extendible options. Moreover, some special cases of the formula are discussed and numerical results are provided.
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中文摘要：
本文研究了当标的资产服从带跳跃的混合分数布朗运动时，复合期权的定价问题。在风险中性测度下，推导了复合期权的解析公式。然后，将这些结果应用于价值可扩展选项。此外，还讨论了该公式的一些特殊情况，并给出了数值结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Pricing_compound_and_extendible_options_under_mixed_fractional_Brownian_motion_w.pdf (193.08 KB)

2022-6-1 06:08:42 上传

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关键词：复合期权 Quantitative Applications Differential Probability

Vaasa大学数学与统计系JUMPSFOAD SHOKROLLAHIDepartment of Mathematics AND Statistics，P.O.Box 700，FIN-65101 Vaasa，FINLANDAbstract，混合分数布朗运动下的复合期权和可扩展期权定价。本文研究了当标的资产服从带跳跃的混合分数布朗运动时，复合期权的定价问题。在风险中性测度下，推导了复合期权的解析公式。然后，将这些结果应用于价值可扩展选项。此外，还讨论了该公式的一些特殊情况，并给出了数值结果。1、介绍复合期权为标准期权，其他标准期权为标的资产。复合期权已在企业中广泛使用。当企业资产的总价值被视为风险基础资产时，各种公司证券可被视为与基础资产相关的债权，证券期权被称为复合期权。Geske首次使用复合期权模型对commonstock股票的期权进行估值。Richard【23】扩展了Geske的工作，获得了美式电话价格的封闭式解决方案。Selby和Hodges[24]研究了复合期权的估值。可延期期权是复合期权的一种广义形式，其到期日可由期权持有人选择延期，延期可能需要支付额外的溢价。它们广泛应用于金融领域，如房地产、垃圾债券、行使价格变动的权证和股票抵押贷款，因此许多研究人员采用了期权定价的理论模型。Brennan等人【3】和Anthanaray等人【1】提出了可延长债券的事先估价。

Longstal【19】扩展了他们的工作，为各种可扩展选项开发了一套定价模型。由于这些假设资产价格遵循几何布朗运动的模型，当重要的新信息出现时，它们不太可能转换资产价格的异常振动。默顿（Merton）[20]考虑了突发事件对金融市场资产价格的影响，提出了一个几何布朗运动，电子邮件地址为foad。shokrollahi@uva.fi.Date：2017年8月17日。2010年数学学科分类。91G20；91G80；关键词和短语。可转让期权；混合分数布朗运动；组合选项；跳转进程。2 SHOKROLLAHImatch金融资产价格的异常波动，这被引入到操作定价模型的推导中。基于这一理论，Dias和Rocha[8]考虑了在存在跳跃的情况下，石油特许权下可扩展期权的定价问题。Kou【17】和Cont an d Tankov【7】也在更大的背景下考虑了跳跃差异环境下的期权定价问题。此外，当资产动力学由跳跃扩散过程驱动时，Gukhal【13】导出了可扩展选项的覆冰模型。因此，应用跳跃过程分析复合期权和可扩展期权是一个重要的问题，并为本文提供了动机。上述研究假设汇率的对数收益率是独立的同分布正态随机变量。然而，实证研究表明，与正态分布数据相比，资产市场中的对数回报分布通常显示出过度的峰度，在原点和尾部的概率质量更大，而在底部的概率质量更小。

可以说，金融收益率序列的性质是非正态的、非独立的、非线性的、自相似的、具有重尾的、具有双重相关性和交叉相关性以及波动性聚类的【14、4、15、16、9】。由于分数布朗运动（F BM）有两个重要特征，如自相似性和长期依赖性，因此使用分数布朗运动更适用于金融资产的捕获行为[22、5、27、26、28]。不幸的是，由于F BM既不是马尔可夫过程也不是半鞅，我们无法应用经典随机演算来分析它。为了解决这个问题并考虑长记忆特性，使用混合分数布朗运动（MF BM）来捕捉金融资产的波动是合理的【6，10】。M F BM是布朗运动和F BM过程的线性组合。切里迪托[6]证明了∈ （3/4，1），具有依赖布朗运动和F BM的混合模型等价于具有布朗运动的混合模型，因此它是无套利的。对于H∈ （，1），Mishura and d Valkeila[21]证明，混合模型是无套利的。本文考虑跳跃混合分馏布朗运动（JMF BM）环境下的复合期权问题，以获取长期资产，排除F BM环境中的套利，并获得资产价格的跳跃或不连续分量。然后，我们利用这个结果来评估可扩展期权的价值。我们还提供了具有代表性的数值结果。JMF BMI基于以下假设，即基础资产价格由两部分随机过程产生：（1）aMF BM过程产生小而连续的价格变动，以及（2）泊松过程产生大而不频繁的价格跳跃。

这种由两部分组成的过程在直觉上很有吸引力，因为它与主要信息不经常随机到达的高效市场相一致。本文主要内容如下。在第2节中，我们简要说明了与MF BM相关的一些定义，这些定义将在接下来的章节中使用。第三节分析了价值遵循JMF BM过程的复合期权的定价问题，给出了复合期权的显式定价公式。在第四节中，我们推导了在风险中性测度下，仅具有一个可扩展到期日的组合期权法对可扩展期权定价的分析估值公式，然后将此结果推广到具有N个可扩展到期日的期权的估值。第5节对我们的定价公式进行了模拟研究。此外，本节还对我们的JMF BM模型和传统模型进行了比较。第6节为结论。可扩展和复合选项32。辅助因素在本节中，我们回顾了一些定义和结果，我们需要这些定义和结果来完成本文的其余部分【21、10、28】。定义2.1：在概率空间下，参数、α和H的MF-BM是F-BM和布朗运动的线性组合(Ohm, F、 P）对于任何t∈ R+by：MHt=Bt+αBHt，（2.1），其中Bt是一个布朗运动，bhts是一个独立的F BM，带有赫斯特参数H∈ （0，1），和α是两个实不变量，使得（，α）6=（0，0）。考虑一个无摩擦的连续时间经济，其中信息是连续和不连续到达的。这被建模为价格过程中的连续成分和不连续成分。假设资产不支付任何股息。

价格过程可以描述为这两个组成部分的叠加，可以表示为：dSt=St（u- λκ）dt+σStdBt+σStdBHt+（J- 1） StdNt，0<t≤ T、 ST=S，（2.2），其中u、σ、λ为常数，Bt为标准布朗运动，BHtis为独立的F BM，且具有赫斯特参数H，Ntis为泊松过程，速率λ，J-1是由跳跃和k引起的比例变化~ N（uJ=ln（1+k）-σJ，σJ）。布朗运动Bt、F BM、BHt、泊松过程Nt和振幅J是独立的。使用Ito引理[18]，随机微分方程（2.2）的解isSt=Sexph（r- λk）t+σBt+σBHt-σt-σt2HiJ（n）n（t）。（2.3）式中，对于n，J（n）=Qni=1ji≥ 1，JTI独立且相同分布，J=1；n是参数λt的泊松分布。设xt=lnStS。FromEq。（2.3）轻松获取DXT=r- λk-σ- Hσt2H-1.dt+σdBt+σdBHt+ln（J）dNt。（2.4）考虑一个欧洲看涨期权，其到期日为T，履约价格为K，其价格过程如式（2.2）所示。这个calloption的值由[25]可知，由c（S，K，T）给出- T）=∞Xn=0e-λ′（T-T） （λ′（T- T） ）nn！SΦ（d）- Ker（T-T） Φ（d），（2.5）4 Shokrollahi，其中d=lnSK+rn（T- T） +[σ（T- T） +σ（T2H- T2H）+nσJ）]qσ（T- T） +σ（T2H- T2H）+nσJ，d=d-qσ（T- T） +σ（T2H- T2H）+nσJ，λ′=λ（1+k），rn=r- λk+n ln（1+k）T-TandΦ（.）是累积正态分布。3.

复合期权为了推导跳跃混合分馏市场中的复合期权定价公式，我们做出以下假设。（i） 没有交易成本或税收，所有证券都是完全可分割的；（二）证券交易连续；（iii）不存在无风险套利机会；（iv）短期利率r已知且随时间保持不变；（v） 潜在资产价格受以下随机微分方程控制，考虑一个在到期日和行权价格为K的欧式看涨期权C（K，T）上写的复合看涨期权，当e T<T时。假设CC[C（K，T），K，T]表示该复合期权。当标的资产价值C（S，K，T，T）超过履约价格K时，行使该复合期权。当C（S，K，T，T）<K时，行使复合期权不是最佳选择，因此到期时一文不值。行权与不行权之间存在差异的资产价格由以下关系确定：C（S，K，T，T）=K.（3.1）Let，S*显示可作为等式（3.1）的数值解获得的差值。当在T时间行使复合期权是最佳选择时，期权持有人支付并收到欧式看涨期权C（K，T，T）。反过来，当STEEXCEEDS K超过时，可以在TW执行这一欧洲调用，否则将一文不值。因此，当S>S时，流向复合期权的现金流是Kat时间t的另一个流出*, Tof ST时的净现金流-K当>S时*ST>K，其他州没有。复合期权的价值是这些现金流的预期现值，如下所示：CC[C（K，T），K，T，T]=EThe-r（T-T） （ST- K） 1ST>Ki+EThe-r（T-T）(-K） 1S>S*i=以太网-r（T-T） 埃斯-r（T-T） （ST- K） 1ST>KiS>S*我-埃斯-r（T-T） KS>S*i=以太网-r（T-T） C（S，K，T，T）1S>S*我- 埃斯-r（T-T） KS>S*i（3.2），其中C（S，K，T，T）在等式中给出。

(2.5).可扩展和复合选项5Let，间隔[T，T]和[T，T]中的跳跃次数分别由nand n表示，m=n+n显示间隔[T，T]中的跳跃次数。然后，利用泊松概率，我们有-r（T-T） C（S，K，T，T）1S>S*i=以太网-r（T-T） 埃斯-r（T-T） （ST- K） 1ST>KiS>S*我=∞Xn=0∞Xn=0e-λ′（T-T） （λ′（T- T） ）nn！e-λ′（T-T） （λ′（T- T） ）nn！×以太网-r（T-T） 埃斯-r（T-T） （ST- K） 1ST>KiS>S*|n、 ni公司=∞Xn=0∞Xn=0e-λ′（T-T） （λ′（T- T） ）nn！e-λ′（T-T） （λ′（T- T） ）nn！×以太网-r（T-T） （ST- K） 1ST>KS>S*|n、 n对该期望的评估需要相关正态的两个泊松加权和的联合密度。从这一点来看，我们使用的是对数回报，xt=lnStS，而不是股价。重要的是要知道，对数retur n xt和xt之间的相关性取决于间隔[T，T]和[T，T]中的跳跃次数。在跳跃次数和n的条件下，x具有平均uJT的正态分布-T=（r- λk）（T- T）-σ（T- T）-σ（T2H- T2H）+n[ln（1+k）-σJ]σJT-T=σ（T- T） +σ（T2H- T2H）+nσJ和xT~ N（uJT-T、 σJT-T） 其中uJT-T=（r- λk）（T- T）-σ（T- T）-σ（T2H- T2H）+m[ln（1+k）-σJ]σJT-T=σ（T- T） +σ（T2H- T2H）+mσJ。xT和xT之间的相关系数如下ρ=cov（xT，xT）pvar（xT）×var（xT）。评估公式（3.2）中的第一个期望值-r（T-T） C（S，K，T，T）1S>S*我=∞Xn=0∞Xn=0e-λ′（T-T） （λ′（T- T） ）nn！e-λ′（T-T） （λ′（T- T） ）nn！×hSΦ（a，b，ρ）- Ke公司-r（T-T） Φ（a，b，ρ）i（3.3）6 Shokrollahiwhere=lnSS*+ uJT-T+σJT-TqσJT-T、 a=a-qσJT-Tb=lnSK+uJT-T+σJT-TqσJT-T、 b=b-qσJT-TΦ（x）是标准的单变量累积正态分布函数，Φ（x，y，ρ）是具有相关系数ρ的标准的二变量累积正态分布函数。公式（3.2）中的第二个期望值可以计算为-r（T-T） KS>S*我=∞Xn=0e-λ′（T-T） （λ′（T- T） ）nn！埃斯-r（T-T） KS>S*|ni公司=∞Xn=0e-λ′（T-T） （λ′（T- T） ）nn！Ke公司-r（T-T） Φ（a），（3.4），其中ais定义如上。

然后，获得复合调用选项的以下结果。定理3.1。对于到期日为T，行权为K，标的资产遵循E q.（2.2）中的过程的看涨期权，其到期日为T，行权价格为K的复合看涨期权的价值为n byCC[C（K，T），K，T，T]=n∞Xn=0∞Xn=0e-λ′（T-T） （λ′（T- T） ）nn！e-λ′（T-T） （λ′（T- T） ）nn！×hSΦ（a，b，ρ）- Ke公司-r（T-T） Φ（a，b，ρ）io-∞Xn=0e-λ′（T-T） （λ′（T- T） ）nn！Ke公司-r（T-T） Φ（a），其中a、a、b、b和ρ如前所述。对于股息支付率为q的复合期权，结果与定理4.1相似，只有r替换为r- q4、可扩展期权定价公式基于上一节中的假设，设EC为到期时间为T的可扩展看涨期权的价值。在到期时间T时，可扩展看涨期权持有人可以（1）如果ST<L，则看涨期权到期无效，或（2）行使看涨期权并获得ST- Kif ST>M，或（3）支付额外保费a，以延长对Twitha Kif L新罢工的催缴≤ 装货单≤ M、可扩展和复合期权7，其中STI是时间T的标的资产价格和执行价格，Kis是时间T的执行价格，Longsta ff【19】将L和M称为临界值，其中L<M。如果在到期时间T，该期权的价值大于可扩展价值，新的执行价格为KF，用于延长到期时间T的费用为a，则最好行使；也就是说，圣- K≥ C（ST、K、T- T）- A、 否则，当期权价值大于零时，最好延长期权的到期时间，以防行权；即C（ST，K，T- T）- A>0。此外，期权持有人应在按价值行使和不按价值行使土地之间保持公正，在按价值行使和延伸土地之间保持公正。因此，临界值L和M是M的唯一解- K=C（M，K，T- T）- A和M- K=C（L，K，T- T）- A=0。

有关条件分析，请参见gsta FF【19】和Gukhal【13】中的L。买入期权的价值，C在时间T与到期时间延长toT的比值，作为贴现条件预期收益，由EC（S，K，T，K，T，a）=E给出-r（T-T） （ST- K） 第一个>Mi+以太网-r（T-T）C（ST、K、T- T）- A.L≤装货单≤Mi=以太网-r（T-T） （ST- K） 第一个>Mi+以太网-r（T-T）C（ST、K、T- T）- A.×装货单≥L- 第一个≥Mi、 （4.1）然后，通过买入复合期权的相同方式，我们得到-r（T-T） （ST- K） 第一次>英里=∞Xn=0e-λ′（T-T） （λ′（T- T） ）nn！埃斯-r（T-T） （ST- K） 1ST>M | ni，（4.2）EThe-r（T-T）C（ST、K、T- T）- A.装货单≥L- 第一个≥Mi=以太网-r（T-T） ET公司e-r（T-T） （ST- K） 第一个>K装货单≥L- 第一个≥M我- 埃斯-r（T-T） A装货单≥L- 第一个≥Mi=n∞Xn=0∞Xn=0e-λ′（T-T） （λ′（T- T） ）nn！e-λ′（T-T） （λ′（T- T） ）nn！×ETe-r（T-T） （ST- K） 1ST>KST>L | n，no-n∞Xn=0∞Xn=0e-λ′（T-T） （λ′（T- T） ）nn！e-λ′（T-T） （λ′（T- T） ）nn！×ETe-r（T-T） （ST- K） 1ST>KST>M | n，no-n∞Xn=0e-λ′（T-T） （λ′（T- T） ）nn！ET公司e-r（T-T） A（第一次>L | n- 1ST>M | n）o、 （4.3）8 SHOKROLLAHINow，我们假设资产价格满足等式（2.2）。然后，通过计算等式中的期望值。（4.2）和（4.3），得出以下结果。定理4.1。