Benamou—Brenier鞅：概率观点

我们强调，在目前1- d案例定理3.1明显强于定理1.11。现在，我们证明了引言中首次提到的事实，即- d拉伸布朗运动的传递核是Lipschitz：推论3.2。Letucνbe具有有限二阶矩的线上的概率测度，以及M*从u到ν的唯一拉伸布朗运动。然后是kernelx 7→ π*x： =定律（M*|M*= x） ，具有Lipschitz性质：W（π*x、 π*x）≤ |x个- x |。证据根据定理3.1，M*是每个不可约分量中的（sBm）。假设x<x，并且它们属于同一个组件。从这个组件开始，我们可以写M*t=E[f（B）| Bt]，f增大，B为布朗运动，具有一定的起始规律。选择y，ysuch thatEy[f（B）]=x<x=Ey[f（B）]，观察这意味着y<ysince f正在增加。这反过来意味着，对于以零开始的aBrownian运动B，随机向量（f（B+y），f（B+y））是有序的，并且具有边缘π*X和π*x、 HenceW（π*x、 π*x）≤ E[| f（B+y）- f（B+y）|]=Ey[f（B）]- Ey[f（B）]=x- x、 另一方面，如果x、x不在同一分量中，我们让f和g表示与（sBm）s表示相关的递增函数。如果x<x，则f的范围低于g的范围，我们得出的结论与上面的显示一样。现在，我们开始对d=2的定理3.1进行更微妙的扩展。我们省略了定理3.1的部分，因为它很容易从二维考虑中推导出来（没有太大的影响，也没有额外的假设）。3.2. 预备工作。我们简要地讨论了与任意维上的马尔可夫耦合分解相关的一些方面。稍后，这将主要用于Dimension2。在此之后，我们还提供了一个对下一节非常重要的分析结果。定义3.3。

凸面铺装C是来自Rd的不相交相对开放凸面集的集合。表示SC：=SC∈CC，我们将始终假定u（SC）=1。对于x∈联合国安全理事会 Rd我们用C（x）表示cw中包含x的唯一元素。如果函数x 7→ C（x）是12 J.BACKHOFF-VERAGUAS、M.BEIGLB¨OCK、M.HUESMANN和S.K¨allblad，可以作为从Rd到具有Wijsman拓扑的Rd的所有闭（凸）子集的波兰空间的映射。定义3.4。LetΓ Rd×Rd和π∈ M（u，ν）。我们说，对于u-a.e.x，如果πx（C（x））=1，则凸铺路C是oπ-不变的，如果ri（Γx），则是oΓ-不变的 C（x）表示所有x∈ 项目（Γ）。请注意，凸面铺装层C、C之间的自然顺序由C给出≤uC<==> C（x） C（x）表示u- a、 在这种情况下，我们说C比C细（后者比前者粗）。以下两个定理如[26，22，50]所示。定理3.5（Ghousoub Kim Lim【26】）。给定π∈ M（u，ν）和Γ Rd×Rda鞅支持π，存在一个Γ不变的凸铺砌。我们用Cπ，Γ来表示它。定理3.6（De March Touzi【22】，Obl'oj Siorpaes【50】）。有一个最小的凸面铺砌，表示为Cu，ν，它对所有π都是π不变的∈ M（u，ν）同时。写入Cu，ν={Cu，ν（x）}x∈Rd，函数x 7→ Cu，ν（x）是普遍可测量的。如果我们知道这些凸面铺面重合，这将简化我们的一些证明。对于d=1的情况，确实如此，但对于d=2的情况，这可能会失败。实际上，我们将使用另一种凸面铺装，它融合了上述两种铺装的理念/特性。引理3.7。给定π∈ M（u，ν）有一个最可测量的π不变凸铺砌，我们表示Cπ。这可以通过仔细阅读[22]来建立，并调整其中的论点（当然[22]可以取得更多的成就！）。

我们在下面的附加假设下给出了一个独立的、较短的论点，这也将出现在第3.3节中。假设3.8。对于所有π∈ M（u，ν）和C凸面铺设我们有πx（C（x））=1u- a、 s。=> πx（C（x））=1u- a、 特别是对于这样的C和π，C是π不变的i fπx（C（x））=1u-a、 假设3.8下Lemmma 3.7的证明。受[22]的启发，我们引入了优化问题inf{Ru（dx）G（C（x））：C是一个π-不变的可测凸铺砌}，其中G（C）：=dim（C）+gC（C），gC是aff（C）上的标准高斯测度，即从aff（C）上的dim（C）-维Lebesgue测度获得的。设Cnbe是π不变凸覆盖的优化序列，并设Ohm 是一组u-全度量值，其中πx（Cn（x））=1表示所有n（这里Cn（x）表示Cn的一个元素）。x简介∈ Ohm 相对开集Cπ（x）：=rfx（TCn（x））。我们有∈ Cπ（x）sincex∈TCn（x）。此外，我们还有Cπ：={Cπ（x）：x∈ Ohm} 形成分区，因为已经{TCn（x）：x∈ Ohm} 是一个分区。让我们确定πx（Cπ（x））=1。我们开始假设K凸：ri co suppπx K=> πxrfxK公司= 1.（3.1）我们取K:=TCn（x）。由于Cn（x）是闭合的，凸的且满足πx（Cn（x））=1，因此我们有co suppπx Cn（x）。另一方面，co suppπx不能包含在Cn（x）因为根据假设3.8，我们有πx(Cn（x））=0。根据[52，推论6.5.2]，我们必须得到ri-co-suppπx ri Cn（x）=所有n的Cn（x），因此ri co suppπxTCn（x）=K。由（3.1）我们得到πxrfxK公司= πxCπ（x）= 1根据需要。总之，Cπ是π不变的凸铺路，度量空间（X，d）的所有闭子集集合上的Wijsman拓扑是{dist（X，·）：X生成的弱拓扑∈ 十} ，参见。

[22].回想一下 A.=> rfaA rfaA，这是一个∈ A.<==> 一∈ rfa（A）和rfa（A）=ri A<==> 一∈ ri A.MARTINGALE BENAMOU–BRENIER：一个概率透视图13和自Cπ（x）以来 Cn（x）we findru（dx）G（Cπ（x））≤Ru（dx）G（Cn（x）），由此得到Cπ的最优性。为了完成证明，让我们建立（3.1）。根据鞅性质，我们很容易看到x∈ ri co suppπx。由此，ri co suppπx=rfxri co suppπx rfxK。Henceri co suppπx rfxK的l.h.s.等于co suppπxby【52，定理6.3】，所以（3.1）如下。备注3.9。同样的证明，模明显变化，证明了所有π都存在一个可测凸铺路不变量∈ M（u，ν）同时。然而，这并不能证明存在如[22]中所述的最大扩展鞅耦合。以下是假设3.8的有效标准。引理3.10。假设3.8满足，如果d∈ {1，2}和ν λd.证明。接下来是类似于[26，引理C.1]中的论点。我们省略了细节。定理3.6和假设3.8的一个直接结果是将阿马丁格尔分解为不可约分量。注意与第3.1节中解释的一维情况相似。提案3.11。设Cu，ν={Cu，ν（x）}x∈Rdbe是定理3.6的凸铺路，并假设假设3.8。然后（i）我们可以用u（·K）分解u=Ru（·K）dCu，ν（u）（K），和ν=Rν（·K）dCu，ν（u）（K）cν（·| K）表示cu，ν（u）-a.e.K；（ii）对于任何鞅耦合π∈ M（u，ν）对于Cu，ν（u），我们有π（·| K×K）=π（·| K×Rd）- a、 e。

K、 该常用度量值的第一和第二边缘分别等于u（·| K）和ν（·| K）；（iii）任意鞅耦合π∈ M（u，ν）可以唯一地分解为π=Rπ（·K×K）dCu，ν（u）（K）。证明与[15，附录A.1]一样，但更简单，因为在假设3.8下，我们得到了从两个相邻单元开始的鞅不会继续到达单元边界的交点。因此，我们省略了证据。最后，我们提出了一个技术引理，该引理在证明维度2中的主要结果时非常有用。引理3.12。设η为Rd中的概率测度，具有有限的二阶矩，且F:Rd→ R凸面，使得F（γd）=η。表示V：=a fff（supp（η）），并设P为V上的正交投影。然后，存在凸函数F:V→ R使得γd- a、 s。F=Fo P、 对于所有s>0，函数RD3 b 7→ fs（b）：=RF（b+y）γds（dy）=R~F（Pb+z）P（γds）（dz）∈ Rd具有以下性质：（1）它是完全连续可区分的。（2） 仅限于V，它是一对一。（3） fs（Rd）=coF（Rd）。（4） fs（γd）等价于V受限toco上的m维Lebesgue测度F（Rd），其中m=尺寸（V）。（5） supp（fs（γdt））=一氧化碳F（Rd）是凸的，不依赖于s>0或t>0。设m=dim（co suppπx），假设x∈ （co suppπx）。然后我们可以找到一个（m-1） -支持x的维度超平面，在一个相关的半空间中包含co suppπx。通过鞅性质，我们得到，必然suppπx，然后co suppπxtoo，必须实际包含在超平面本身中。因此dim（co suppπx）≤ m级- 1产生矛盾。14 J.BACKHOFF-VERAGUAS、M.BEIGLB¨OCK、M.HUESMANN和S.K¨ALLBLADProof。γd-a、 美国平等F=FoP、 遵循Brenier定理将P（γd）映射到η中，并观察到（￠F）o P） =P((F）o P） =(F）o P

第（1）点后面是变量的变化和积分符号下的微分。或者，我们可以与经典的反向热方程争论。点（2）、（3）和（5）后面是V中γdin Rdand P（γd）的全支撑性质。如果η是Dirac delta（那么m=0），则点4非常正确。否则必须考虑光滑函数v3v7→fs（v）：=R~F（v+z）~γ（dz），其中▄γ=P（γds），并证明▄fs（▄γ）~ λV | coF（Rd），其中后者表示V上的m维Lebesgue受限于oF（Rd）。自▄γ~ λV，我们通过【56，定理4.8（i）】得到λV-a.e.~fsa的雅可比矩阵是可逆的。通过变量的变换公式，很容易得到▄fs（▄γ） λV，之前对Monge-Amp\'ere方程的观察【56，定理4.8（iii）】得出λV- a、 e.r：d▄fs（▄γ）dλV（r）=det公司（Jfs）-1（右）dγdλV（￠fs）-1（右）fs（V）（r）。（3.2）按第3点计算，~fs（V）=coF（Rd），所以我们得出▄fs（▄γ）~ λV | coF（Rd）因为在后一种情况下，测量密度dfs（γ）dλV | coF（Rd）是a.e.非消失。3.3. 二维情况。我们对d=2的第一个主要结果是对sBm结构的表征，在导言中提供了定理1.11的一个显著强化版本。定理3.13。Letucνbe具有有限二阶矩的rw中的概率度量。假设ν λ、 让M*成为（MBB）的唯一优化器。设置πt=定律（M*, M*t） 对于0<t<1。然后是拉伸布朗运动M*是Cπt的每个细胞上的标准拉伸布朗运动。这一部分的第二个主要结果是，只要我们能够建立关于较粗Cu，ν凸铺砌的sBm，sBm的最优性。我们对该结果的证明依赖于简化假设3.8，如引理3.10所示，在进一步要求ν绝对连续的情况下，该假设在维度2中得到验证。

因此，我们将这个结果放在这里，尽管原则上它在任意维度都是有效的结果。定理3.14。在假设3.8下，如果M是凸面铺砌Cu，ν的标准拉伸布朗运动，则它对于（MBB）是最优的（即，它是sBm）。备注3.15。定理1.10和定理3.14之间的区别如下：第一个结果表明，标准拉伸布朗运动本身是最优的，而第二个陈述允许更多的自由，因为我们可以选择依赖于Cu，ν细胞的拉伸布朗运动定义中的凸函数。因此，这个结果是定理1.10的强化版本。备注3.16。对于维1（d=1），定理3.1建立了标准拉伸布朗运动的存在性，并将其描述为唯一优化器。对于相同的（可数）凸铺路，可以理解存在性和最优性。对于两个维度（d=2），定理3.13和3.14以及引理3.10在假设ν λ、 标准stretchedBrownian运动的存在性和最优性特征。然而，在这种情况下，对于可能不同的凸面铺装，可以理解其存在性和最优性。这些结果的证明推迟到第5节。定理3.13在很大程度上依赖于我们现在建立的、似乎具有独立利益的非对称性原则。这意味着对于Cu，ν（u）-a.e.K，M*至M*∈ K是在命题3.11Benamou-BRENIER鞅：概率观点154中引入的边缘u（·| K）和ν（·| K）之间的拉伸布朗运动。弱最优运输问题的单调性原理仅对于这一部分，我们采用了更一般的设置。设X，Y为波兰空间，c:X×P（Y）→ R∪ {+∞} Borel可测量。

考虑u∈ P（X），ν∈ P（Y）优化问题infπ∈π（u，ν）ZXu（dx）C（x，πx）。（4.1）这是一个弱（即非线性）运输问题，在[29，28]及其参考文献的意义上。我们现在得到了这个问题的“单调性原则”，即一个确定的“零通”必要最优性条件。提案4.1。假设o问题（4.1）由优化器π确定；oC是共同可测量的；ou（dx）-a.e.函数C（x，·）是凸的且下半连续的。然后存在一个Borel集Γ X，其中u（Γ）=1，且以下性质为X，X∈ Γ和mx，mx∈ P（Y）满足mx+mx=πx+πx，然后C（x，πx）+C（x，πx）≤ C（x，mx）+C（x，mx）。证据出租人：=(（x，x），（m，m）∈ X×P（Y）：m+m=πX+πX，和C（X，πX）+C（X，πX）>C（X，m）+C（X，m）），这是一个解析集。根据扬科夫·冯·诺依曼均匀化定理，有一个解析可测函数D：=projX（D）3（x，x）7→ （m（x，x），m（x，x））∈ P（Y），所以（x，x，m（x，x），m（x，x））∈ D、 自（x，x，m，m）∈ D<==> （x，x，m，m）∈ D、 可以证明，我们实际上可以假设（m（x，x），m（x，x））=（m（x，x），m（x，x））。（4.2）当然，集合D也是解析的。因此，通过将（m（·，·），m（·，·））扩展到（x，x）<D，将其设置为（πx，πx），可以保持解析可测性和对称性（4.2）。假设存在Q∈ π（u，u），使得Q（D）>0。我们现在表明，这与π的最优性不符。通过考虑Q+e（Q），其中e（x，x）：=（x，x），我们可以假设Q是对称的。由于我们采取了可测量性预防措施，我们首先定义|π（dx，dy）：=u（dx）RxQx（dx）m（x，x）（dy），（4.3），这是合法的。我们将证明（1）~π∈ π（u，ν），（2）Ru（dx）C（x，πx）>Ru（dx）C（x，πx）。对于（1）：很明显，π的第一个边缘是u。

另一方面，Rxu（dx）~πx（dy）=Rxu（dx）RxQx（dx）m（x，x）（dy）=Rx，xQ（dx，dx）m（x，x）（dy）。最后一个量等于toRx，xQ（dx，dx）m（x，x）（dy），通过Q和（4.2）的对称性。SoRxu（dx）~πx（dy）=Rx，xQ（dx，dx）m（x，x）+m（x，x）（dy）=Rx，xQ（dx，dx）πx+πx（dy）=ν（dy），通过定义m（x，x）和Q。因此π具有第二个边缘ν。对于（2）：通过C（x，·）的凸性，Q和（4.2）的对称性，并通过假设在Q-不可忽略集D上我们有C（x，πx）+C（x，πx）>C（x，m（x，x））+C（x，m（x，x）），16 J.BACKHOFF-VERAGUAS，m.BEIGLB¨OCK，m.HUESMANN，和S.K¨ALLBLADwe获得Rxu（dx）C（x，πx）=Rxu（dx）Cx、 RxQx（dx）m（x，x）≤Rxu（dx）RxQx（dx）Cx、 m（x，x）=Rx，xQ（dx，dx）Cx、 m（x，x）=Rx，xQ（dx，dx）Cx、 m（x，x）+Cx、 m（x，x）<Rx，xQ（dx，dx）C（x，πx）+C（x，πx）=Rxu（dx）C（x，πx）。正如预期的那样，我们反驳了π的最优性。我们得出结论，不存在具有所述性质的测度Q。通过“Kellerer引理”[11，命题2.1]，也适用于分析集，我们得到D包含在形式为N×N的集合中，其中u（N）=0。LettingΓ：=Nc，soΓ×Γ 华盛顿，我们很容易得出结论。现在我们回到本文的主要框架。为了证明第3.3节中的结果，将在以下伪装下关键地使用单调性原则。对于核πx（dy）和||u（d|x）=（δx（d|x）+δx（d|x）），我们写πx（dy）|u（d|x）=（δxπx+δxπx）。推论4.2。设π为（WOT）的最佳值。然后存在Γ rD，u（Γ）=1，如果x，x∈ Γ，则测度δxπx+δxπxis最优，用于INFMean（mx）=x，mean（mx）=x（mx+mx）/2=（πx+πx）/2nW（mx，γd）+W（mx，γd）o.（4.4）证明。考虑命题4.1，如果平均值（m）=X和+∞ 否则C（x，·）是凸的和下半连续的。取Γ为命题4.1给出的u-全集，结果如下。

观察问题（4.4）与（WOT）具有相同的类型，具有初始边际δx+δx和终端边际πx+πx。如定理2.2和引理2.4所示，（4.4）具有一个连续的时间模拟，它遵循动态规划原理，并且优化器是一个强马尔可夫鞅。这一事实将在下一部分中重复使用。备注4.3。当然，在本节中，对于一般的n元组（而不是对）有不同版本的结果。因为我们只使用成对的版本，所以我们没有以最一般的形式陈述结果（参见[27，5]）。5、待定证明5.1。定理1.10和3.14的证明。定理1.10的证明。让A：Rd→ Rdbe单位为L（u）和ψ，ψ：Rd→ R是共轭凸函数。我们从证明WT开始≤Rνdν-Rx·A（x）du+Ru（dx）Rγ（A（x））（db）ψ（b），（5.1），其中γ（A）：=δA* γd.首先观察SUPQ∈π（π，γ）Rq（dm，db）m·b=supq∈π（π，γ（a））Rq（dm，db）m·[b-a] 。BENAMOU-BRENIER鞅：概率观点17让我们写∑：={{πx}x：平均值（πx）=x和ru（dx）πx（dy）=ν（dy）}。从这里开始，WT=sup{πx}x∈∑Zu（dx）supq∈π（πx，γ（A（x）））Zq（dm，db）m·[b- A（x）]=sup{πx}x∈∑Zu（dx）-Zπx（dm）m·A（x）+supq∈π（πx，γ（A（x）））Zq（dm，db）m·b= sup{πx}x∈∑Zu（dx）-x·A（x）+supq∈π（πx，γ（A（x）））Zq（dm，db）m·b≤ -Zx·A（x）du+sup{πx}x∈∑Zu（dx）supq∈π（πx，γ（A（x）））Zq（dm，db）[Д（m）+ψ（b）]=-Zx·A（x）du+ZДdν+Zu（dx）Zγ（A（x））（db）ψ（b）通过共轭关系m·b≤ ψ（m）+ψ（b）和∑的定义性质。因此，（5.1）如下。现在让M是定义1.8和方程（1.9）表示法中从u到ν的标准拉伸布朗运动。根据经典的凸分析参数或最优输运理论，存在Д、ψ凸共轭函数，使得λd-a.e。