Benamou—Brenier鞅：概率观点

其他证明基于非平凡起始定律的Skorokhod问题的解决方案，参见【45，14】。拉伸布朗运动产生了一种新的Lipschitz核结构：给定概率u，ν，u实线上的cν和写M*对于从u到ν的sBm，则为定律（M*|M*)是一个Lipschitz内核。我们在下面的推论3.2中提供了论点。凯勒定理能否推广到Rd，d上的边际测度≥ 2保持打开状态。虽然所有先前已知的用于证明凯勒定理的核构造本质上都局限于维数d=1，但上述方法似乎更容易推广。我们打算在今后的工作中进一步探讨这个问题。1.4.6. 几乎连续的差异/局部波动模型。假设（ut）t∈[0,1]（其中ut，t∈ [0，1]是实线上的概率）是孔雀，因此t 7→ u在弱拓扑中是连续的。Lowther[45]证明了适当的连续性条件使得Keller定理中出现的Markov鞅唯一。用他的话来说，有一个独特的“几乎连续”鞅微分Mact~ ut，t∈ [0, 1].在进一步的规则性条件下，Macis正是Dupire的局部波动模型。6 J.BACKHOFF-VERAGUAS、M.BEIGLB¨OCK、M.HUESMANN和S.K¨allbladstrected Brownian运动给出了Mac的一个简单近似方案。写出满足每个k的马尔可夫鞅的mn∈ {1，…，n}，（Mnt）t∈[（k-1） /n，k/n]是u（k）之间的拉伸布朗运动-1） /nanduk/n。MN是一个连续的差异，根据Lowther的[45，46]，MAC=limn是很简单的→∞Mn，（1.11），其中极限是有限维分布的收敛性（参见[14]）。1.4.7. 列维过程。

本文中的许多论点仅依赖于布朗运动增量的独立性和平稳性。因此，一个类似于（MBB）但基于参考L'evy过程的问题应该可以想象地表现出与我们在布朗情况下发现的类似的性质。在这个方向上，确定（1.11）中描述的近似程序的结果可能是一个有趣的问题。1.4.8. 双重问题，相关工作。Tan和Touzi[55]从一般角度研究了类似于（MBB）的优化问题，特别是建立了此类问题的对偶理论。【35】中也强调了双重观点，这与目前的工作是平行的。在其他结果中，[35]得出了一个PDE，该PDE为优化措施流（MBB）或相关成本标准创造了充足的条件。1.5. 文章概要：在第2节中，我们介绍优化问题的离散时间变量。我们还证明了导言中所述的一些多维结果，并提供了sBm的进一步性质（MBB的动态规划原理，sBm的马尔可夫性质）。在第3节中，我们陈述了关于sBm在维度1和维度2的结构的主要结果。在第4节中，我们提出了弱输运问题的单调性原则，这对于我们在维2中的分析至关重要，但也可能是独立的。在第5节中，我们总结了主要结果的证明。最后，在第6节中，我们进一步介绍了鞅律之间（因果）最优运输问题的sBm和sBm的最优性性质。1.6. 注：集合X上的概率度量集将用P（X）表示。对于ρ，ρ∈ P（X）我们为ρ和ρ的所有耦合集写∏（ρ，ρ），即在乘积空间上的所有测量值均为ρ和ρ。

两个概率度量u，ν∈ P（Rd）称为凸序，短u对于所有凸实值函数，cνi ff保持≤Rνdν。在本文中，我们fixu，ν∈ P（Rd），假设ucν和这两个度量值都有单位秒矩。我们用M（u，ν）表示所有鞅耦合的集合，这些鞅耦合的边值为u和ν（根据Strassen定理[54]），即M（u，ν）：={π∈ P（Rd×Rd）：Eπ[（y- x） h（x）]=0表示所有h:Rd→ R Borel有界}。对于Rd×Rdwe上的一般度量π，用（πx）x表示∈rD条件转移核给定第一个坐标或等效于其分解w.r.t.第一个边缘。对于ρ∈ P（X）和可测映射f:X→ Y我们写f（ρ）=ρo f-1对于f下ρ的推进。对于集合a Rdwe表示为a fff（a）包含它的最小a ffne向量空间，dim（a）a fff（a）的维数，ri（a）a的相对内部（即a的内部相对于a fff（a）的相对拓扑，继承自Rd中的常见拓扑），以及A：=A\\r i（A）相对边界。用co（A）和co（A）分别表示A的凸包和闭凸包。A处A的相对面由rfa（A）={y定义∈ A：（A）- ε（y- a） ，y+ε（y- a） （） A、 一些ε>0}。对于集合Γ Rd×Rdwe表示Γx：={y：（x，y）∈ Γ}和proj（Γ）Γ在第一个坐标上的投影。给定π∈ M（u，ν）我们说 如果π（Γ）=1和x，则Rd×Rdis是π的鞅支持∈ ri（Γx）表示u-a.e.x。最后，我们用λd，γd，γdtresp表示。勒贝格、标准高斯和高斯度量在Rd中使用协方差矩阵t Id，并保留符号* 用于卷积。BENAMOU-BRENIER鞅：概率观点72。任意维度的优化和辅助结果我们首先以（稍微）更精确的形式重新表述我们的主要优化问题。MT：=MT（u，ν）：=supMt=M+RtσsdBs，M~u，M~νE“Ztr（σt）dt#。

（2.1）这里，上确界接管了所有过滤概率空间的类(Ohm, F、 P），具有σan Rd×d值F-渐进过程和B d维F-布朗运动，因此M是鞅。事实上，作为定理2.2的一个特殊结果，基本概率空间的选择是不相关的，前提是(Ohm, F、 P）足够丰富，可以支持具有连续分布的F-可测随机变量。根据Doob的鞅表示定理（参见[38，定理4.2]），如果我们使用绝对连续的交叉变差矩阵对从u到ν的所有连续d维局部鞅进行优化，则上述上确界是相同的（然后用所述矩阵的Radon-Nikodym密度根的轨迹代替成本）。我们还将对上述问题的“静态”版本感兴趣，正如BenamouBrenier公式与具有二次成本的静态最优运输问题相关联WT：=WT（u，ν）：=sup{πx}x，mean（πx）=xRu（dx）πx（dy）=ν（dy）Zu（dx）supq∈π（πx，γd）Zq（dm，db）m·b。（WOT）标签（WOT）反映了这是一个弱最优运输问题的事实（成本函数在优化变量中是非线性的）。备注2.1。完成平方英寸（WOT）yields1+Z | y | dν- 2 WT=inf{πx}x，平均值（πx）=xRu（dx）πx（dy）=ν（dy）Zu（dx）W（πx，γd），（2.2），其中是P（Rd）上通常的LWasserstein距离。（2.2）的r.h.s.显然是Gozlan等人【29，28】设定的Awak运输问题。我们首先建立迄今为止所介绍的静态和动态问题之间的联系，此外，还建立了两种情况下优化器的唯一性。作为推论，这产生了导言中所述的定理1.5。定理2.2。

静态和动态问题（WOT）和（MBB）是等效的。更准确地说，（1）WT=MT<∞,（2） （WOT）具有唯一的优化器π*;（3） （MBB）具有唯一的in-law optimizer M*;(4) π*= 法律（M*, M*) 和M*= G（π*) 对于某些函数G，即M*可以由π明确构造*.证据设M对（MBB）是可行的。利用It^o公式和Mwe-haveE的鞅性质Rtr（σt）dt= E[米·B- M·B）=E【M·（B）】- B） ]=E[E[M·（B- B） | M]]。设qx=定律（M，B- B | M=x）我们发现qx∈ π（πx，γd）表示πx=定律（M | M=x）和Rtr（σt）dt=Ru（dx）Rqx（dm，db）m·b。由此我们很容易得出WT≥ MT。现在让π对（WOT）是可行的。对于每个x，我们可以找到Fx（·）凸面，以便Fx（γd）=πx。我们现在定义Mxt：=E[Fx（B）| FBt]，对于给定的标准布朗运动，使用布朗过滤FB。潜在地扩大我们的概率空间，我们可以假设存在一个与布朗运动无关的随机变量X，B8 J.BACKHOFF-VERAGUAS，M.BEIGLB¨OCK，M.HUESMANN和S.K¨ALLBLADwith X~ u. 我们用F表示过滤（在潜在的更大概率空间上）。由于Mx=Ryπx（dy）=x和ru（dx）πx（dy）=ν（dy），我们得出结论{MXt}t∈[0,1]是从u到ν的连续鞅。按构造ru（dx）supq∈π（πx，γd）Rq（dm，db）m·b=Ru（dx）Rγd（db）b·Fx（b）=EhEhB·MX | Xii，最后一项与前面一样等于E【Rtr（σt）dt】（σ可以很容易地从Fx）。这证明了WT≤ MT，因此WT=MT。完整性∞ > WT从M·b开始≤ |m |+| b |和具有有限二阶矩的ν和γ；请参阅（WOT）。为了证明（WOT）已达到，让我们用（πn）n表示∈N（其中πN（dx，dy）=πnx（dy）u（dy））优化序列。集∏（u，ν）在P（Rd×Rd）中是弱紧的。此外，凸子集M（u，ν）是弱闭的（因此是弱紧的），例如[56，定理7,12（iv）]。

通过[6，定理3.7]，我们得到了可测核x 7的存在性→ πx∈ P（Rd）和一个子序列，仍然用（πn）n表示，这样在u-满setNPn上≤Nπnx（dy）→ πx（dy），关于P（Rd）中的弱收敛。特别是RNPN≤NπN→ P（Rd×Rd）中的弱拓扑中的π，其中π（dx，dy）：=u（dx）πx（dy）。因为M（u，ν）是闭合的，所以我们有π∈ M（u，ν）。最后，WT=limnRu（dx）supq∈π（πnx，γd）Rq（dm，db）m·b=limNRu（dx）NPn≤Nsupq公司∈π（πnx，γd）Rq（dm，db）m·b≤ limNRu（dx）supq∈∏（NPn≤Nπnx，γd）Rq（dm，db）m·b≤Ru（dx）lim supNsupq∈∏（NPn≤Nπnx，γd）Rq（dm，db）m·b≤Ru（dx）supq∈π（πx，γd）Rq（dm，db）m·b≤ 重量。第一个不等式由η7的凹度决定→ H（η）：=supq∈π（η，γd）Rq（dm，db）m·b w.r.t.测度的凸组合。第二个不等式是Fatou引理，注意到被积函数在L（u）内有界（该界等于u和γ的二阶矩之和）。第三个不等式是平均核在u-全集上的弱收敛性和H（·）的上半连续性。为了唯一性，必须注意H（·）实际上是严格凹的，这是Brenier定理的一个简单结果。因此，得到了（WOT），我们用π表示唯一优化器*.取π*我们可以构建一个优化器M*对于（MBB），如证明的第一部分所示（两个问题的值一致）。我们最终确定了（MBB）优化器的唯一性。设M为任何此类优化器。根据前面的考虑，我们推断（~M，~M）定律是唯一优化器π*of（WOT）。在{M=x}上的条件，因此我们有▄M连接δxtoπ*x、 因此，在这些边缘之间，以{M=x}为条件的u（dx）-a.s.~M是最佳的。实际上，supNt=x+RtσsdBs，N~π*xE公司Rtr（σt）dt= 谱仪半定量分析∈Π(π*x、 γd）Rq（dm，db）m·b，（2.3）根据迄今为止获得的结果，因为如果▄m以▄m=x▄为条件，对l.h.s.而言不是最佳的。它不能提供MT=WT的等式。

因此，有必要证明（2.3）的l.h.s.是唯一实现的。但任何具有波动率σsatifies[Rtr（σt）dt]=E[NB]的候选鞅N（因为这里我们可以假设B=0）。因此，Brenier的理论表明▄M=对于凸函数Fx，Fx（B）在{M=x}上。自优化交通地图fx是唯一的，鞅性质唯一地决定了▄M的定律，我们最终得到▄M=M*在法律上。备注2.3。定理2.2的证明展示了如何通过以下过程为（MBB）构建优化器，使语句M*= G（π*) 在定理2.2（2）中，精确：（1）找到唯一优化器π*of（WOT）。鞅BENAMOU–BRENIER：概率观点9（2）发现凸函数fxFx（γd）=π*x、 （3）定义Mxt：=E[Fx（B）| Bt]=RFx（y+Bt）γd1-t（dy）。（4） 取X~ u与B无关，设Mt：=MXt。特别是，这证明了导言中的定理1.11。现在，我们建立优化器M的进一步属性*of（MBB），其在任何数量的尺寸中都同样适用。其中前两项对于证明尚未得出的结果很重要，即（MBB）遵循动态规划原则，并且*是一个强马尔可夫鞅。最终财产，即*是其边缘之间的“最优恒速”插值，对于将我们的鞅解释为经典输运中位移插值的类似物至关重要，特别是在导言中证明了定理1.7。对于停止时间0≤ τ ≤ T我们定义（τ，T，u，ν）：=supMr=X+RrτσudBu，τ≤r≤德克萨斯州~u，MT~νE“ZTτtr（σu）du#），（2.4），使MT=V（0，1，u，ν）。引理2.4（动态规划原理）。对于每个停止时间0≤ τ ≤ 1V（0，1，u，ν）=supMs=M+RsσrdBr0≤s≤τ、 M级~unEhRτtr（σr）dri+V（τ，1，law（Mτ），ν）o，（2.5），符合以下约定： = -∞.

特别是如果M*对于V（0，1，u，ν），则：（1）M*|[τ，1]对于V（τ，1，定律（M））是最优的*τ） ，ν），（2）米*|[0，τ]是V（0，τ，u，law（M）的最佳值*t） ）（3）A.s.我们有法律（M*|M*s、 s≤ τ） =定律（M*|M*τ).证据显然，（2.5）的l.h.s.小于（2.5）的r.h.s。现在就拿r.h.s.的MFeasibleforthe r.h.s.（使其误适应过滤{Fs∧τ} s≥0，B是与之相适应的[0，τ]上的布朗运动，dM=σ（1）dB）。设Mbe对V（τ，1，律（Mτ），ν）为最优。通过Remark2.3，我们可以从起始分布Mτ和该随机变量的过滤以及与F无关的布朗运动W（以及Mτ的so）来构建mf，因此dM=σ（2）dW。然后，我们在[0，1]上建立一个连续鞅M，将其设置为Mon[0，τ]和Mon（τ，1），很容易得到ehrτtr（σ（1）r）dri+V（τ，law（Mτ），ν）=ERτtr（σ（1）R）dr+Rτtr（σ（2）R）dr.观察Bs=1[0，τ]（s）Bs+1（τ，1]（s）[Bτ+Ws- Wτ]是过滤Fand F的布朗运动，dM=（1[0，τ]（s）σ（1）s+1（τ，1]（s）σ（2）s）dB，然后是。h、 上面的s是M作为一个鞅的代价，从u开始，到ν结束，和V（0，1，u，ν）一样小。让M*对于V（0，1，u，ν）是最佳的。使用（2.5）显示点（1）-（2）很简单。但由此得出M*|[0，τ]是（2.5）的r.h.s.的最佳值。这一点（1）和上一段中的参数显示了如何将M缝合在一起*|[0，τ]和M*|[τ，1]为V（0，1，u，ν）生成优化器M。但这必须与M一致*, 唯一性。另一方面，通过M*τ与独立于{M]的布朗运动*s： s≤ τ} ，so定律（M | M*s、 s≤ τ） =定律（M | M*τ） 我们得出结论。提案2.5。让M*作为（MBB）的优化器并设置[u，ν]Mt：=定律（M*t） 。然后是法律（M*, M*t） 对于边缘u和[u，ν]Mt之间的（WOT）是最优的。同样，相同边缘之间的（MBB）的优化器是时变鞅s∈10 J.BACKHOFF-VERAGUAS，M.BEIGLB¨OCK，M。

HUESMANN和S.K¨ALLBLAD[0，1]7→ M*最后，对于0≤ r≤ t型≤ 1，我们有WT（[u，ν]Mr，[u，ν]Mt）=Mt（[u，ν]Mr，[u，ν]Mt）=√t型- r MT（u，ν）=√t型- r重量（u，ν）。（2.6）证明。我们使用备注2.3中的符号，并写出M*t=MXt=fXt（Bt），其中fXt（·）：=RFx（b+·）γd1-t（db）。因为[u，ν]Mt=fXt(√tB），不难看出*s： =E[fXt(√tB）| FBs]=fXst(√tBs），是（MBB）的优化器，从uat s=0到[u，ν]Mtat s=1。当然N*与时变鞅s 7重合（inlaw）→ M*通过定理2.2，我们得到了定律（M）的最优性*, M*t） 。接下来我们注意到J（fXs）（Bs）是一个矩阵值鞅，其中js代表雅可比矩阵，这可以从卷积结构或PDE参数中很容易看出。因此E[J（fXs）（Bs）]=E[J（fXst）(√tBs）]。识别N的“σ”*和M*我们观察到DN*s=√tJ（fXst）(√tBs）dBs、dM*s=J（fXs）（Bs）dBs，根据It^o公式。我们将所有发现放在一起R√tJ（fXst）(√tBs）ds=√tREhJ（fXst）(√tBs）ID=√tREhJ（fXs）（Bs）ID=√tE公司RJ（fXs）（Bs）ds,同样，通过定理2.2，我们得到Mt（[u，ν]M，[u，ν]Mt）=√t MT（u，ν）。（2.6）的一般情况如下所示。因为命题2.5表明*, M*t） 对于（WOT）在其边缘之间是最优的，引理2.4的点（3）立即意味着推论2.6。唯一的优化器M*of（MBB）具有很强的马尔可夫性。备注2.7。恒等式（2.6），至少对于连续时间问题，已在更一般的设置下，通过缩放参数在[35，备注4.1]中获得。（2.6）的解释很清楚：我们的最优鞅是一个等速测地线，而测地线的距离是通过成本函数的平方来测量的。3、维度1和维度2的主要结果在本节中，我们研究了前一节中建立的唯一优化器（MBB）的内部结构特性。

在附加假设3.8下，我们得到了维度1的完整描述，维度2的完整描述和一般维度的部分描述。3.1. 一维情形。Letucν是具有单位秒矩的线上的概率度量。对于R和x上的度量α∈ R我们写uα（x）：=R | x- y | dα（y）。凸序关系ucν等于uu≤ uν。我们从[15，附录A.1]中回忆起，“不可约成分（u，ν）”由（唯一的）开放不相交区间{Ik}k族确定∈n联合等于开放集{uu<uν}：=nx∈ R:R | x- y | d（u- ν） （y），0°。然后可以分解u=η+Pkukandν=η+Pkνk，其中uk=u| Ik，Ik={uuk<uνk}和νk（Ik）=uk（Ik），而η集中在r\\SkIk上。一个有用的直接结果是，从u到ν的每个鞅耦合（即鞅BENAMOU–BRENIER：概率观点11π∈ M（u，ν））完全由其在集合Ik×Ik上的外观来表征。限制条件πk：=π| Ik×Ik=π| Ik×罕见的仍然鞅耦合（在这个意义上，对于uk-a.a.x，它们各自的崩解满足y（πk）x（y）=x），但总质量为uk（Ik），边缘为uk，νk。我们现在可以陈述d=1的主要结果，表征拉伸布朗运动的结构。定理3.1。Letucνbe具有有限二阶矩的线上的概率测度。候选鞅M是（MBB）的优化器当且仅当它是（u，ν）的每个不可约分量（uk，νk）上的标准拉伸布朗运动。特别地，拉伸布朗运动（sBm）是每个可约分量中的标准拉伸布朗运动（sBm）。让我们解释一下这里使用的术语。说M是（u，ν）的不可约分量上的sBm，具体地说，意味着在M上有条件∈ Ik，M是从uk（Ik）ukt到uk（Ik）νk的sBm。