Benamou—Brenier鞅：概率观点

（γd-a.e.）F（b）·b=Д(F（b））+ψ（b）。我们还选择A（x）=f-1（x），由引理3.12在supp（u）上定义。定义u~ M=f（B）~ f（α），soRx·A（x）du（x）=Rx·A（x）d f（α）（x）=Rf（x）·x dα（x）=E【f（B）B】=E【M·B】。另一方面，Rνdν+Ru（dx）Rγ（A（x））（db）ψ（b）=E[Д（M）]+RA（u）（dx）Rγ（x）（db）ψ（b）=E[Д（M）]+RA（u）（dx）E[ψ（b）| b=x]=E[ψ（b）| b=x]]，=E[ψ（M）+ψ（b）]，因为A（u）=α=定律（b）。因此，（5.1）的r.h.s.在这种情况下变为[Д（M）+ψ（B）- M·B]=E[(F（B））+ψ（B）- M·B]=E[F（B）·B- M·B）=E【M·B】- M·B]=ERtr（σt）dt.因此，定理2.2暗示了M的最优性。我们现在在假设3.8下工作，仍然在任意维d中。定理3.14的证明。我们从命题3.11中观察到，优化问题（WOT）可以沿着Cu，ν的单元分解/分解。因此，对于第一和第二边缘分别为u（·| K）和ν（·| K）的相应传输问题，最优值必须仅适用于Cu、ν（u）-a.e.K。这将论证简化为定理1.10的前一种情况，我们得出结论。5.2。定理3.13的证明。虽然这最终是一个二维结果，但对于这些论点，除非我们明确表示，否则我们不会将维度d固定为2。设M是（MBB）的唯一优化器，我们在其中删除上标* 为了简单起见。根据定理2.2，这个连续时间鞅与唯一的两步鞅π优化（WOT）相关联。允许Fxbe是将γdto推到πx的最优输运映射。通过备注2.3，我们知道在M=x的条件下，鞅M由mxt：=fxt（Bt）给出，其中fxt（·）：=RFx（b+·）γd1-t（db）。（5.2）18 J.BACKHOFF-VERAGUAS、M.BEIGLB¨OCK、M.HUESMANN和S.K¨ALLBLADWe fix 0<t<1。根据引理3.12，我们发现Bt=（fxt）-1（Mxt）。我们表示πx，y：=定律（M | M=x，Mt=y）=Fx（δ（fxt）-1（y）* γd1-t） 。

（5.3）重要约定：对于本节的其余部分，我们约定x、y、zdenote分别为随机变量M、Mt、mr的可能值。引理5.1。设g是凸函数的唯一梯度，使得g（γd1-t） =πx，y。然后Fx（·）=g(-（fxt）-1（y）+·）。特别地fx由g的平移家族唯一确定，我们用类型（πx，y）表示：={a 7→ g（a）-r） ：r∈ Rd}。证据对于r∈ Rdwrite gr（·）=g（·）- r） 。那么，我们有πx，y=g（γd1-t） =g（fxt）-1（y）（δ（fxt）-1（y）*γd1-t） 。因此，两者FX和g（fxt）-1（y）向前推δ（fxt）-1（y）* γd1-tintoπx，y和两者都是凸函数的梯度。根据Brenier定理中的唯一性结果，它们是相等的。因此知道FXG确定模转换。相反，已知类型（πx，y）（即g的平移）决定fx在找到向量rsuch thatg（r+a）γd1时-t（da）=y。设πt：=定律（M，Mt）（5.4），考虑C：={C（x）}x：=Cπt，引理3.7的最小πt-不变可测凸铺砌。我们需要证明，在C的每个单元上，M是一个标准的拉伸布朗运动，即在每个单元C（x）上，我们需要找到一个凸函数F=FC（x），这样mx=F（（F）-1（x）+B），（5.5），其中fand F如（5.2）所示相关。为此，我们引入cea（x）：=类型（πx）={a 7→ 外汇（a- r） ：r∈ Rd}我们需要证明，在每个单元格上，A（x）是常数。我们首先建立一个初步结果。引理5.2。如果A（x）在C的每个细胞中都是常数，那么M是每个细胞上的标准拉伸布朗运动。证据如引理5.1所示。修复任意x∈ C（x）。那么，我们有Fx（·）=Fx（r（x）+·）为A（x）=A（x）。背景F：=Fx证明了这一说法。为了利用前面的引理，我们将研究[0，t]和[t，1]中鞅M的行为。

设▄π（dy，dz）：=argsup V（t，1，law（Mt），ν），其中▄π被理解为V（t，1，law（Mt），ν）的唯一优化器的初始和终端边缘的耦合。对于（5.4）中的πtf，我们用（πty）y表示其解体w.r.t.第二个边缘。回顾（5.3）中的πx，yf。引理5.3。对于定律（Mt）-a.e.y和πty-a.e.x，我们有πx，y（dz）=πy（dz）。证据通过引理2.4（1），我们必须有∧π=定律（Mt，M）。因此，πy=定律（M | Mt=y）。另一方面，πx，y=定律（M | Mt=y，M=x），因此通过引理2.4，我们得到πx，y（dz）=πy（dz），对于定律（Mt）-a.e.y和πty-a.e.x。前面的引理表明πx，yin事实的类型只取决于y。事实上，同样的情况也适用于x：鞅BENAMOU–BRENIER：概率观点19引理5.4。对于u-a.e.x和πtx-a.e.y，我们有类型（πx，y）=a（x）。证据引理5.1，如果g∈ 类型（πx，y），然后fx是g的平移（平移可能取决于x，y）。但这反过来意味着g是外汇，即∈ A（x）。颠倒步骤可以得到相等的结果。我们完成了定理3.13的证明。简而言之，关键是要处理引理5.3-5.4中的空集合。只是从现在开始，我们假设d=2。定理3.13的证明。引理5.4证明了对于πt-a.e.（x，y），类型（πx，y）=a（x）。另一方面，引理5.3意味着对于πt-a.e.（x，y），类型（πx，y）=D（y），其中D（y）是所有πx的常见几乎确定类型，y可以从y获得。通过Fubini，我们得到πt（{（x，y）：a（x）=D（y）}）=1。我们想用这个来证明A（·）在Cπt的细胞上是常数。我们首先证明这个公式：={ri supp（πtx）}x∈通过（5.2）和引理3.12（v），我们得到supp（πtx）=supp（law（Mt | M=x））=coFx（Rd）是凸的。

在引理3.7的证明的最后部分，鞅性质隐含X∈ ri-co-suppπtx=ri-suppπtx，根据[52，定理6.3]，我们知道ri-suppπtx=suppπtx。因此，要证明CTI是一个候选的πt-不变凸铺砌，需要证明CTA的细胞成对不相交或相等。根据下面的命题5.5，有一整套初始位置，其性质是，如果x，x满足ri suppπtxTri suppπtx，, 然后A（x）=A（x），即πx和πxcoincide的类型。这意味着FxandFxare互相翻译，意味着Fx（Rd）=co外汇（Rd）。从上一段可以看出，这显示了supp（πtx）=supp（πtx），尤其是ri suppπtx=ri suppπtx。这一笔画证明了CTI是一个（πt不变）凸铺砌，并且a（·）在其单元格上是常数。由于Cπ比Ct更精确，这很好地证明了A（·）在Cπtas细胞中是常数，我们用引理5.2得出结论下面的关键命题5.5依赖于命题4.1的“单调性原则”，以及更具体的推论4.2。对于本节的其余部分，设Γ为u-全套推论4.2。提案5.5。有一个u-全套S Γ具有以下性质：如果x，x∈ S satisfyri suppπtxTri suppπtx，, 那么A（x）=A（x）。证据步骤1：根据下面的引理5.6，对于x，x∈ 我们有dim ri suppπtx=dim ri suppπtx=dimri suppπtx∩ ri suppπtx=>πtx（ri suppπtx∩ ri suppπtx∩ {πx，y，πx，y}）=πtx（ri suppπtx∩ ri suppπtx∩ {πx，y，πx，y}）=0。（5.6）现在的目标是证明对于成对的x，x∈ Γ（5.6）的l.h.s.有效。正如我们将在证明的最后一步中看到的，r.h.s。

of（5.6）是对动态编程原理的加强，它允许更有效地处理引理5.3和5.4中的空集。步骤2：通过引理5.7，我们知道如果x，x∈ Γ，则dim ri suppπtx=dim ri suppπtx=1和ri suppπtxTri suppπtx，=> 暗淡的ri suppπtx∩ ri suppπtx= 步骤3：通过引理5.8，我们得到x，x∈ Γdim ri suppπtx=1和ri suppπtx={x}=> x<ri suppπtx。步骤4：通过引理5.9，我们得到了x，x∈ Γdim ri suppπtx=2和dim ri suppπtx=1=> ri suppπtxTri suppπtx= .20 J.BACKHOFF-VERAGUAS、M.BEIGLB¨OCK、M.HUESMANN和S.K¨ALLBLADStep 5：通过引理5.10，族Ct：={ri suppπtx:x∈ Γ，dim ri suppπtx=2}由成对的不相交集或相等集组成。由于这些是开放集，因此只能计算许多不同的此类集（即| Ct |=| N |）。如果是C∈ Ctis使得u（{x:ri suppπtx=C}）=0，然后我们从凸面铺设中丢弃这个集C。所以我们可以假设，对于C∈ cTu（{x:ri suppπtx=C}）>0。引理5.10集合{x∈ C:ri suppπtx={x}}在假设ν下为u-null λ. 因此，对于可数个C中的每一个∈ CTwe可以丢弃u-null集，这样在Γ的一个可能更小但仍然是u-完整的子集上，为了简单起见，我们一直调用Γ，我们有x，x∈ Γ，dim ri suppπtx=2和{x}=ri suppπtx=> x<ri suppπtx。最后一步：通过步骤3、4和5，我们可以假设，对于x，xin au全集，我们有ri suppπtxTri suppπtx， => dim ri suppπtx=dim ri suppπtx。在这种情况下，如果r.h.s.中的公共尺寸等于1，则通过步骤2，l.h.s.中的交点尺寸也等于1。另一方面，如果r.h.s.中的commondimension为2，则相交的维数自动为2（作为r中的一个开放凸集）。在任何情况下，都可以将d（x，x）称为这个公共维度。

我们将自己设置为（5.6），因此在步骤1中，我们必须具有I：=ri suppπtx∩ri suppπtxπtx（I∩ {πx，y，πx，y}）=πtx（I∩ {πx，y，πx，y}）=0。（5.7）可能会丢弃另一个u-空集，我们通过引理5.4知道，在u-全集上 对于集Y，Y的πtx（Y）=πtx（Y）=1，它保持该类型（πx，Y）=A（x），y∈ Y、 类型（πx，Y）=A（x），y∈ Y、 根据引理3.12，πtxis等价于d（x，x）维开集ri suppπtx上的d（x，x）维Lebesgue测度。由于ri suppπtxTri suppπtxis是d（x，x）维开子集，因此它也是正的d（x，x）-Lebesgue测度。那么它也是正πtx测度。因此，ri suppπtxTri suppπtxTY具有正的πtx测度和正的d（x，x）-Lebesguemeasure。但同样地，引理3.12，这个集合必须有正的πtx测度。我们得出结论，它同样具有正的πtx测度。对称参数表明，同一集合具有正πtx测度。但在（5.7）中，集合{y：πx，y=πx，y}在I中是πtx full。因此，它具有正的πtx测度，并且同样具有正的πtx测度。特别地，y{y：πx，y=πx，y}TY，,在这个交点上取y，我们得到（x）=type（πx，y）=type（πx，y）=A（x）。引理5.6。我们有（x，x）：dim ri suppπtx=dim ri suppπtx=dimri suppπtxTri suppπtx,和πtxri suppπtxTri suppπtxT{πx，y，πx，y}> 0或πtxri suppπtxTri suppπtxT{πx，y，πx，y}> 0T（Γ×Γ）=.证据取x，x∈ Γ. 根据推论4.2，两步鞅δxπx+δxπxis对于（4.4）是最优的。考虑它的连续时间模拟，即从x equalsmx开始到x equals Mx开始的鞅（参见（5.2）），两个起点的概率相等。我们用M（x，x）表示这个连续时间鞅。通过构造，定律（M（x，x）t | M（x，x）=x）=πtx，同样适用于x。

类似地，定律（M（x，x）| M（x，x）=x，M（x，x）t=y）=πx，xin而不是x也是如此。通过δxπx+δxπx的最优性，M（x，x）对于实际情况是最优的，情况d（x，x）=2由引理5.10解决，但我们倾向于给出一个一般参数。BENAMOU–BRENIER鞅：概率观点21（4.4）的连续时间模拟，然后通过动态规划（引理2.4），我们得到了Y，Y，Y=定律（M（x，x）| M（x，x）t=Y）∈ Y，其中πtx（Y）=1，πx，Y=定律（M（x，x）| M（x，x）t=Y）∈ Yπtx（Y）=1。重要的一点是，这在M（x，x）中是“逐点的”∈ {x，x}。现在进一步假设dim ri suppπtx=dim ri suppπtx=dimri suppπtxTri suppπtx,把d（x，x）称为这个公共维。通过引理3.12，我们得到了πtx和πtxrestrictedto ri suppπtxTri suppπtxare等价于d（x，x）-维勒贝格测度限制到同一集合。我们写：=ri suppπtxTri suppπtx。YTI在I中必然是πtx full，因此在I中也是πtx full。但是ytyty在I中也是πtx full。将x，x的角色颠倒过来，这个集合在I中也必须是πtx full。我们得出结论πtx（I \\（YTY））=πtx（I \\（YTY））=0。但在y上，我们有πx，y=定律（M（x，x）| M（x，x）t=y）=πx，y，所以πtx（IT{πx，y，πx，y}）=πtx（IT{πx，y，πx，y}）=0。证据到此结束。引理5.7。PutV：={（x，x）：ri suppπtx和ri suppπtx的维数为1，并在一个单态中相交}。那么，V∩ (Γ × Γ) = .证据我们使用与引理5.6证明中相同的符号，并假设（x，x）∈ 五、 通过构造，定律（M（x，x）t | M（x，x）=x）=πtx，对于x也是如此。因此，M（x，x）t条件是从x开始，或从x开始，分别位于与一个点p完全相交的线段中∈ R、 根据引理3.12，这些鞅的路径（限于[0，t]中的时间）演化为不同的“时空”条带，只沿直线L相交：={（p，s）：s≥ 0}.设τ：=inf{s：（M（x，x）s，s）∈ 五十} 。因此，在不可忽略的集合上，0<τ<t。

以M（x，x）为起点的τ定律等价于勒贝格测度（0，1）。原因是，这对于一维布朗运动是正确的，感谢引理3.12，条件是从x开始的鞅M（x，x），是在连续严格递增的时间变化之后的一维布朗运动。因此对于任何集合 （0，1）对于正Lebesgue测度，我们有P（τ∈ ET（0，t）| M（x，x）=x）>0和p（τ∈ ET（0，t）| M（x，x）=x）>0。因此，我们观察到，M（x，x）t定律推导出{M（x，x）s:s≤ τ ∧t} 与M（x，x）t定律不同于M（x，x）τ∧t、 实际上，当τ<t（等于M（x，x）τ时∧t=p）和τ∈ E、 我们不能肯定地说，鞅将在上述哪个条带中继续演化。相反，通过观察{M（x，x）s:s≤ τ ∧ t} 关于{τ<t}t{τ∈ E} ，这样的条带是完全确定的。因此M（x，x）不具有强马尔可夫性。但是，根据推论2.6，它不能在其边缘之间是最优的，因此（4.4）的δxπx+δxπx也不能是最优的。我们通过推论4.2得出结论，（x，x）<Γ×Γ。引理5.8。我们有{（x，x）：dim ri suppπtx=1，ri suppπtx=x，x∈ ri suppπtx}T（Γ×Γ）=. （5.8）证明。证明与引理5.7非常相似。设（x，x）属于（5.8）中最左边的集。使用相同的表示法，M（x，x）是一个鞅，如果从x开始，它在一个时空行程中演化，否则它是一个等于x的常数。我们表示τ{（x，s）：s的第一个命中时间≥ 0}. 由于鞅存在于条带中，因此τ<t的概率严格大于1/2。M（x，x）的强马尔可夫性在τ处被破坏∧t、 从过去的知识到τ∧t揭示了鞅是否恒常22 J.BACKHOFF-VERAGUAS，M.BEIGLB¨OCK，M.HUESMANN，以及S.K¨ALLBLADor，此后不会。如前所述，根据推论2.6和推论4.2，M（x，x）不可能是最优的且（x，x）<Γ×Γ。

引理5.9。我们有{（x，x）：dim ri suppπtx=2，dim ri suppπtx=1，ri suppπtxTri suppπtx，}T（Γ×Γ）=.证据与前面的证明一样，我们将τ=inf{s:M（x，x）s与M（x，x）s联系起来∈ ri suppπtx}。把（x，x）放在最左边的一组中，这很乏味，但不难看出那条定律（M（x，x）τ，τ）|τ≤ t、 M（x，x）=x, 和法律（M（x，x）U，U）| M（x，x）=x,等价于ri suppπtx×[0，t]上的Lebesgue测度，其中U均匀分布在[0，t]上，且与一切无关。问题是，有一个共同的“时空”集合E由上述两条定律负责。但是M（x，x）t的行为条件是在过去的τ之前∧ t很大程度上取决于它的起始位置（例如，它是在一维还是二维集合中演化），而如果我们知道（M（x，x）τ，τ）∈ 这并没有揭示出鞅将继续旋转的集合的维数。这与强马尔可夫性质相矛盾，我们的结论与之前一样。引理5.10。家族ct：={ri suppπtx:x∈ Γ，dim ri suppπtx=2}，由成对不相交或相等的开放集组成。假设ν λ、 我们有∈ Ctandu（{x：ri suppπtx=C}）>0=> u（{x∈ C:ri suppπtx={x}}）=0。证据设∧由所有（x，x）组成，使得{dim ri suppπtx=2=dim ri suppπtx，ri suppπtx，ri suppπtx，ri suppπtx，ri suppπtx，}.如前所述，我们可以证明∧不能与Γ×Γ相交。为了避免重复竞争，我们并没有给出论证，但我们提到，与其与强马尔可夫性质相矛盾，不如与正则马尔可夫性质相矛盾。我们总结第一个断言。现在让C∈ cT使u（{x:ri suppπtx=C}）>0，K：={x∈ C:ri suppπtx={x}}，假设u（K）>0。我们认为K是一个不可忽略的点云，鞅M在其中保持不变。自M起∈ K=> M∈ K、 假设v（K）>0，λ（K）>0。

因此{Mt∈ K} 是不可忽略的，无论M是从K开始还是从时间零点的{x:ri suppπtx=C}开始（在后一种情况下，由引理3.12）。由于这两组初始条件都是不可忽略的，因此我们与M的正则Markovproperty相矛盾∈ K} 在时间零点为K或{x:ri suppπtx=C}时，M在t之后的行为与开始条件截然不同。这与M的最优性相矛盾，我们得出u（K）=0的结论。进一步的最优性性质let T：={0=T≤ t型≤ ··· ≤ 田纳西州-1.≤ tn=1} [0，1]是一个有限的子网格。假设M是从u到ν的标准拉伸布朗运动，那么对于从某个分布α开始的布朗运动，Mt=ft（Bt）；见（1.9）。然后Mt=f（Bt），Mt=f（Bt），Mtn=fn（Btn）。表示νT：=定律（Mt，Mt，…，Mtn），ν在T中的时间指数上的投影，γT：=定律（Bt，Bt，…，Btn）。最后，考虑自适应映射n+13（b，…，bn）7→ fT（b，…，bn）：=（f（b），f（b），fn（bn））∈ [研究]n+1。因此，ft（γT）=νT。fti的每个分量都在增加，因为它是凸函数的梯度。这样的贴图是“递增三角变换”的一个示例，如【17】所示。它也可以从递增性w.r.t.词典编纂顺序的角度来理解，例如νThas aMARTINGALE BENAMOU–BRENIER：概率视角23密度。从某种意义上来说，在[4]中有适当的解释，fTsendsγTintoνTin是一个规范的方面。最佳方式：参见尊重。命题5.6及其推论2.10。由于无论子网格T如何，这都是正确的，因此我们有权将M视为布朗运动的自适应增量重排，变成具有给定初始最终定律的鞅。