Benamou—Brenier鞅：概率观点

此外，上述这种重排的规范/最优特征应转化为上一节中获得的M的最优性，反之亦然。现在，我们将此启发式变得严格。问题（MBB）相当于infmt=M+RtσsdBs，M~u，M~νE[tr hM- Bi]，（6.1）自E【tr hM】- Bi】=E【tr hMi】+E【tr hBi】- 2E类Rtr（σt）dt, r.h.s.中的前两个量不取决于混凝土耦合（M，B）。这也证明了对于（6.1）而言，B的起始位置无关。我们现在想建立一个符合（6.1）的随机过程定律之间的输运问题。为了便于标记，我们表示Ohm := C（[0，1]；Rd）。定义6.1。P和Q之间的因果耦合是概率测度πOhm × Ohm第一和第二边缘分别为P和Q，并满足附加属性t，A.∈ 英尺：(Ohm 3 x 7→ πx（A）∈ [0，1]）是（P，Ft）-可测量的，（6.2），其中F是P-完成的正则过滤，πxis是πw.r.t的正则条件概率。第一个边际。我们将∏c（P，Q）表示为所有此类π的集合。我们还表示∏bc（P，Q）={π∈ πc（P，Q）：e（π）∈ πc（Q，P）}对于e（x，y）=（y，x），双音频耦合的集合。有关这一定义的更多信息，请参阅[42、4、1、3]。在下面的内容中，我们为中的泛型元素编写（ω，’ω）Ohm × Ohm.引理6.2。设P和Q为鞅定律，π∈ πbc（P，Q）。然后启动canonicalprocessOhm × Ohm 是其自身过滤中的π-鞅。证据我们可以很容易地看到，在π下，我们有{ωs:0≤ s≤ t} 是π-条件独立于{ωs:0≤ s≤ 1} 给定{ωs:0≤ s≤ t} ，{ωs:0≤ s≤ t} π-条件独立于{ωs:0≤ s≤ 1} 给定{ωs:0≤ s≤ t} ，通过双因果关系。对于T>T，上述第一个性质意味着π[ωT |{ωs，\'-ωs，s≤ t} ]=Eπ[ωt |{ωs，s≤ t} ]=EP[ωt |{ωs，s≤ t} ]=ωt。第二个性质类似地表示Eπ[(R)ωt |{ωs，(R)ωs，s≤ t} ]=ωt，因此我们得出结论。

让我们用W维纳测度（从零开始）表示Ohm. 下一个引理建立了标准拉伸布朗运动和当前因果转移设置之间的关键联系。引理6.3。设M是从u到ν的标准拉伸布朗运动，Mt=M+RtσsdBs。Thenlaw（B- B、 M）∈ ∏bc（W，定律（M））。更一般地说，如果M是拉伸布朗运动，B如备注2.3所示，则相同的结论成立。证据设M是从u到ν的标准拉伸布朗运动。根据引理3.12，存在一个正交投影P，使得Mt=▄ft（▄Bt），其中▄Bt=PBt。通过相同的结果，M和B的过滤是一致的。这表明耦合定律（B- B、 M）是从W到法则（M）的因果关系。对于反向因果关系，必须观察{Bt+h-Bt:h≥ 0}独立于{Bs:s≤ t} ，特别是给定{Ms:s≤ t} 我们有{Bs-B： s≤t} 和{Ms:s≤ 1} 都是独立的。MA拉伸布朗运动的情况类似，在对后一个随机变量进行条件处理后，B独立于Mand。24 J.BACKHOFF-VERAGUAS、M.BEIGLB¨OCK、M.HUESMANN和S.K¨ALLBLADWe现在可以将这些片段放在一起，以获得轨迹定律意义下（标准）拉伸布朗运动的最优性。让我们定义一个划分Pnof[0，1]的定义序列，以确定usualmanner中C（[0，1]；Rd）上路径的二次变化h·i，即ω7→ hωii，j：=limn→∞Xtm公司∈Pn（ωitm+1- ωitm）（ωjtm+1- ωjtm），当存在极限时，否则+∞. 然后我们考虑∈Mc（u，ν）π∈πbc（W，Q）Eπ[tr hω- ωi），（6.3），其中Mc（u，ν）表示由[0，1]开始于u，结束于ν的连续鞅定律集。提案6.4。问题（6.1）和（6.3）是等效的。特别是，让M*是前者的最佳化者，即拉伸布朗运动。然后Q*:= 法律（M*) 是后者的最佳选择。证据设Q，π对（6.3）是可行的。

SinceEπ[trhω- ωi=EW[tr hωi]+EQ[tr hωi]- 2Eπ[tr hω，\'ωi]=EW[|ω|- |ω|]+等式[|(R)ω|- |ω|] - 2Eπ[trhω，ωi]，我们可以在（6.3）中等价地最大化Eπ[trhω，ωi]，而不是最小化Eπ[trhω-ωi）。然而，根据引理6.2，根据乘积公式，正则过程是π-鞅soEπ[tr hω，\'ωi]=Eπ[ω·ω]=Eπ[Eπ[ω·ω|ω]]，在π下为ω=0。表示πx=lawQ（‘ω|’’ω=x）和qx=lawπ（‘ω，ω）|’’ω=x），我们得到了qxisπx的第一个边缘和第二个边缘是γd。实际上，通过双因果π- 定律（ω|ω，’ω）=π- 定律（ω|ω）=γd，特别是π- 定律（ω|ω）=γd。因此π[tr hω，\'ωi]=Zu（dx）Zqx（dm，db）m·b≤Zu（dx）supq∈π（πx，γd）Zq（dm，db）m·b.（6.4）根据定理2.2，我们得出结论，（6.1）的值大于或等于（6.3）。让M*成为（6.1）的优化器（相当于（MBB））。备注2.3 M*当在核πx上最大化时，正是通过达到（6.4）的r.h.s.来构建的。通过表6.3的最后部分，我们可以构建一个双音频耦合π，以便在（6.4）中我们具有相等性。这证明了问题（6.1）和（6.3）具有相同的值，并且定律（M*) 是后者的最佳选择。备注6.5。根据文献[4]，问题（6.3）的离散时间版本会表明，将高斯随机游动发送到鞅中的最佳方式是通过Knothe-Rosenblatt重排（其边缘之间唯一的递增双尾三角变换）。这与本部分的第一段是一致的（一旦我们切换到增量bi-bi公司-1). 通过命题6.4，我们知道stretchedBrownian运动得到了问题（6.3）。

因此，可以将拉伸布朗运动描述为布朗运动的典型/最优Knothe-Rosenblatt重排，具有规定的初始和最终边缘。致谢我们感谢达里奥·特雷维桑在项目开始时激发了讨论。BENAMOU–BRENIER鞅：概率观点25参考文献[1]B.Acciaio，J.Backho ff-Veraguas和A.Zalashko。因果最优运输及其与扩大过滤和连续时间随机优化的联系。arXiv:1611.02610，2016年。[2] 安布罗西奥和吉利。最佳运输用户指南。在《网络流量建模与优化》中，数学课堂讲稿第2062卷。，第1-155页。施普林格，海德堡，2013年。[3] J.Backho ff-Veraguas、M.Beiglb¨ock、M.Eder和A.Pichler。加工距离的优良特性。arXiv:1701.039552017。[4] J.Backho ff-Veraguas、M.Beiglb¨ock、Y.Lin和A.Zalashko。离散时间因果迁移及其应用。《暹罗优化杂志》，27（4）：2528–25622017。[5] J.Backho Off-Veraguas、M.Beiglb¨ock和G.Pammer。弱运输成本的存在性和周期单调性。arXiv:1809.0589320018年。[6] E.巴尔德。青年测量理论及其在经济学中的应用讲座。撕裂Istit公司。小地毯的里雅斯特大学，31（增刊1）：1-692000年。测量理论和真实分析研讨会（意大利语）（Grado，1997年）。[7] R.低音。通过随机积分嵌入Skorokhod。Jacques Az’ema和Marc Yor，编辑，S’eminairede Probabilit’S XVII 1981/82，数学课堂讲稿第986号，第221-224页。1983年【8】M.Beiglb¨ock、A.Cox和M.Huesmann。最佳传输和Skorokhod嵌入。发明数学208(2):327–400, 2017.[9] M.Beiglb¨ock、A.Cox、M.Huesmann和S.Kallblad。测度值鞅与skorokhod嵌入问题basstype解的最优性。arXiv:1708.070712017。[10] M。

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