Benamou—Brenier鞅：概率观点

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英文标题：
《Martingale Benamou--Brenier: a probabilistic perspective》
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作者：
Julio Backhoff-Veraguas, Mathias Beiglb\\\"ock, Martin Huesmann, Sigrid
  K\\\"allblad
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In classical optimal transport, the contributions of Benamou-Brenier and McCann regarding the time-dependent version of the problem are cornerstones of the field and form the basis for a variety of applications in other mathematical areas.   We suggest a Benamou-Brenier type formulation of the martingale transport problem for given $d$-dimensional distributions $\\mu, \\nu $ in convex order. The unique solution $M^*=(M_t^*)_{t\\in [0,1]}$ of this problem turns out to be a Markov-martingale which has several notable properties: In a specific sense it mimics the movement of a Brownian particle as closely as possible subject to the conditions $M^*_0\\sim\\mu, M^*_1\\sim \\nu$. Similar to McCann\'s displacement-interpolation, $M^*$ provides a time-consistent interpolation between $\\mu$ and $\\nu$. For particular choices of the initial and terminal law, $M^*$ recovers archetypical martingales such as Brownian motion, geometric Brownian motion, and the Bass martingale. Furthermore, it yields a natural approximation to the local vol model and a new approach to Kellerer\'s theorem.   This article is parallel to the work of Huesmann-Trevisan, who consider a related class of problems from a PDE-oriented perspective.
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中文摘要：
在经典的最优运输中，贝纳莫·布雷尼尔（BenamouBrenier）和麦肯（McCann）对该问题的时间相关版本的贡献是该领域的基石，并为其他数学领域的各种应用奠定了基础。对于给定的凸序$d$维分布，我们提出了鞅输运问题的Benamou-Brenier型公式。这个问题的唯一解$M ^*=（M\\u t ^*）{t\\in[0,1]}$是一个马尔可夫鞅，它有几个显著的性质：在特定意义上，它尽可能地模仿布朗粒子的运动，受条件$M ^*\\u 0\\sim\\mu，M ^*\\u 1\\sim\\nu$的约束。与McCann的位移插值类似，M ^*$提供了$\\ mu$和$\\ nu$之间的时间一致性插值。对于初始定律和终端定律的特殊选择，$M ^*$恢复了原型鞅，如布朗运动、几何布朗运动和Bass鞅。此外，它还为局部vol模型提供了一种自然近似，并为Kellerer定理提供了一种新的方法。本文与Huesmann Trevisan的工作平行，他从面向PDE的角度考虑了一类相关的问题。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Classical Analysis and ODEs        经典分析与颂歌
分类描述：Special functions, orthogonal polynomials, harmonic analysis, ODE\'s, differential relations, calculus of variations, approximations, expansions, asymptotics
特殊函数、正交多项式、调和分析、Ode、微分关系、变分法、逼近、展开、渐近
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：AMO bre Ben ENA ENI

BENAMOU-BRENIER鞅：概率观点。BACKHOFF-VERAGUAS、M.BEIGLB¨OCK、M.HUESMANN和S.K¨ALLBLADAbstract。在经典的最优运输中，Benamou–Brenier和McCann关于该问题的时间依赖性版本的贡献是该领域的基石，并为其他数学领域的各种应用奠定了基础。对于给定的d维分布u，ν，我们提出了鞅输运问题的Benamou-Brenier型公式。唯一的解决方案M*=（M）*t） t型∈这个问题的[0,1]被证明是一个马尔可夫鞅，它有几个显著的性质：在特定意义上，它尽可能接近地模仿布朗粒子的运动，受条件M的影响*~ u，M*~ ν. 类似于McCann的位移插值，M*在u和ν之间提供时间一致的插值。对于初始和终止定律的特殊原因，M*恢复原型鞅，如布朗运动、几何布朗运动和Bass鞅。此外，它还简化了对局部vol模型的自然逼近和对Kellerer定理的一种新方法。本文与HuesmannTrevisan的工作平行，他从面向PDE的角度考虑了一类相关的问题。关键词：最优运输，鞅，弱运输问题，Brenier定理，Benamou Brenier，循环单调性，因果运输，Knothe-Rosenblatt耦合，Schr¨odinger问题。数学学科分类（2010）：小学60G42、60G44；次级91G20.1。简介最佳运输作为一个数学领域的根源可以追溯到Monge[48]和Kantorovich[37]，他们建立了其现代公式。贝纳莫、布雷尼尔和麦肯（19、20、16、47）的开创性成果是其在过去几十年急剧发展的重要诱因。

今天，该领域因其在数学物理和PDE理论、几何和泛函不等式等领域的突出应用而闻名。我们参考[56，57，2，53]对该理论进行了全面的阐述。最近，人们还对运输计划必须满足附加鞅约束的最优运输问题感兴趣。这类问题自然出现在反金融中，但也具有独立的数学意义，例如，它们对鞅不等式的研究（参见[18，31，51]）和斯科罗霍德嵌入问题[8，36]有重要影响。研究此类问题的早期论文包括[34，13，55，24，23，21]，这个主题通常被称为鞅最优输运。鉴于Benamou、Brenier和McCann关于平方欧几里德距离的最优传输、相关的连续时间传输问题和McCann位移插值的开创性结果所起的核心作用，在鞅背景下寻找类似概念也很有趣。虽然[15，32]提出了Brenier单调输运映射的鞅版本，但我们的出发点是Benamou Brenier连续时间输运问题，我们在此重申该问题，以便与我们随后将考虑的鞅类似物进行比较。1.1. Benamou-Brenier运输问题和概率项中的McCann插值。鉴于我们随后给出的结果的概率性质，isMB非常感谢FWF拨款Y00782的支持。MH通过CRC 1060获得了德国中日韩研究所的部分支持。应急效应数学和豪斯道夫数学中心以及MH通过VRG17-005.2 J.BACKHOFF-VERAGUAS、M.BEIGLB¨OCK、M.HUESMANN和S.项目获得了维也纳科学技术基金（WWTF）的部分资助。

用概率语言（probabilisticlanguage）可以方便地回忆一些经典概念和最优传输的结果。给定d维分布空间P（Rd）中的概率u，ν，具有有限的二阶矩系数t（u，ν）：=infXt=X+Rtvsds，X~u，X~νE“Z | vt | dt#。（BB）然后通过【19】我们得到定理1.1。设u，ν∈ P（Rd），并假设u与Lebesgue测度绝对连续。然后（BB）有一个唯一的优化器X*.备注1.2。在定理1.1（和下面类似）中，（BB）的解是唯一的，因为路径空间C（[0，1]）上存在唯一的概率测度，因此规范/恒等过程优化（BB）。在概率方面，McCann的位移插值可由[u，ν]t定义：=定律（X*t） 其中t∈ [0，1]和u，ν，X*如定理1.1所示。定理1.3。Letu，ν∈ P（Rd），并假设u与Lebesgue测度绝对连续。设s，t，λ∈ [0，1]，s<t。然后[u，ν]s，[u，ν]tλ= [u, ν](1-λ） s+λt.（1.1）此外（t- s） T1/2（u，ν）=T1/2（[u，ν]s，[u，ν]t）。（1.2）最后，通过凸函数的梯度给出（BB）的优化器。更准确地说，通过【16】，我们得到了定理1.4。假设u相对于Lebesgue度量值和u，ν是绝对连续的∈ P（Rd）。候选进程X，X~ u，X~ ν是一个优化器，当且仅当ifX=f（X），其中f是凸函数的梯度ν：Rn→ R和所有粒子以恒定速度移动，即Xt=tX+（1- t） X=X+t（X- 十） 。1.2. 鞅对应。Letu，ν∈ P（Rd）为凸序（表示为u对于Rd上的布朗运动，我们考虑优化问题mt（u，ν）：=supMt=M+RtσsdBsM~u，M~νE“Ztr（σt）dt#，（MBB）另见下文（2.1）。我们有定理1.5。假设u，ν∈ P（Rd）满足ucν。然后（MBB）有一个optimizerM*这在法律上是独一无二的。从表面上看，优化问题（BB）和（MBB）看起来相当不同。

然而，不难看出，这两个问题都相当于优化问题，它们之间的关系更为明显。在下面的第6节中，我们确定*= argminX~u，X~νW（X，恒速粒子），（1.3）M*= 阿格明姆~u，M~νWc（M，常数波动率鞅），（1.4），其中Wdenotes Wasserstein距离相对于平方Cameron-Martin范数，而Wc表示一个适应的或因果的类似物（用Lasalle[42]的术语），详见第6节。（1.4）中的重新表述允许以下解释：M*其演化过程是否尽可能地遵循布朗粒子的运动，并受边缘条件M的约束~ u，M~ ν. 这在以下定义中激励了名称。因果运输计划以与经典Kantorovich运输计划趋势图相同的方式概括适应过程。BENAMOU-BRENIER鞅：概率观点3定义1.6。Letu，ν，M*如定理1.5所示。然后我们叫M*拉伸布朗运动（sBm）从u到ν。我们将鞅位移插值定义为[u，ν]Mt：=定律M*t、 （1.5）对于t∈ [0, 1].与定理1.3类似，我们有定理1.7。假设u，ν∈ P（Rd）满足ucν。设s，t，λ∈ [0，1]，s<t。然后h[u，ν]Ms，[u，ν]MtiMλ=[u，ν]M（1-λ） s+λt.（1.6）此外（t- s） MT（u，ν）=MT（[u，ν]Ms，[u，ν]MT）。(1.7)1.3. 拉伸布朗运动的结构。在经典的Benamou–Brenier输运问题的解中，粒子以恒定速度沿直线运动。相反，我们将看到，在sBm的情况下，单个粒子的运动模仿布朗运动。

广义地说，这些粒子的“方向”将由一个映射来决定，该映射是一个凸函数的梯度，这与经典情况类似。为简单起见，我们首先考虑u，ν，ucν是实线上的概率，u集中在一个点上，即u=δmW，其中m是ν的中心。事实证明，在这种情况下，sBm M M*正是具有终端分布ν的“Bass鞅”[7]（或“Brownian鞅”）。我们简要回顾其结构：选择f:R→ R递增，使f（γ）=ν，其中γ是R上的标准高斯分布。然后设置为t∈ [0，1]Mt：=E[f（B）| Ft]=E[f（B）| Bt]=Ft（Bt），（1.8），其中B=（Bt）t∈[0,1]表示从B开始的布朗运动~ δ、 （Ft）t∈[0,1]布朗过滤和ft（b）：=Rf（b+y）dγ1-t（y），γs~ N（0，s）。很明显，M是一个连续的马尔可夫鞅，使得M~ δm，m~ ν. 作为下面结果的一个特殊结果，我们将看到M是一个拉伸布朗运动。为了说明一般多维情况下的结果，我们需要考虑Bass构造的扩展。让F：Rd→ R为凸函数，且setft（b）=RF（b+y）γd1-t（dy），（1.9），其中γds表示具有协方差矩阵s Id的中心d维高斯。如果bde注意到d维布朗运动始于B~ α、 我们有[F（B）| Ft]=Ft（Bt），t∈ [0, 1]. （1.10）定义1.8。如果Rd上存在概率测度α和凸函数F:Rd，则连续Rd值鞅M是从u到ν的标准拉伸布朗运动（sBm）→ R带F（α* γd）=ν，使得mt=E[F（B）| Ft]和M~ u，其中B是带B的布朗运动~ α.注意，对于α，ν∈ P（Rd）存在一个凸函数FF（α*γd）=ν和Fisα* γd-唯一到一个加性常数。（这是Brenier定理的结果，参见例如定理1.1或[56，定理2.12]。）备注1.9。

布朗运动和几何布朗运动都是标准拉伸布朗运动的例子。我们有以下结果4 J.BACKHOFF-VERAGUAS、M.BEIGLB¨OCK、M.HUESMANN和S.K¨ALLBLADTheorem 1.10。Letu，ν∈ 带u的P（Rd）cν。如果M是从u到ν的标准拉伸布朗运动，则M是（MBB）的优化器，即M是从u到ν的拉伸布朗运动。定理1.11。Letu，ν∈ 带u的P（Rd）cν。让M*是从u到ν的拉伸布朗运动，即（MBB）的优化器。写入M*,xf对于以M=x为开始条件的鞅M，然后对于u-a.a.x∈ Rd鞅M*,xis是标准的拉伸布朗运动。作为这些结果的一个特殊结果，如果u集中在一个点上，则sBm和sBm的概念是一致的。然而，一般来说，sBm和sBm之间的关系更为复杂：鞅输运问题的一个显著复杂性是由这样一个事实引起的，即松散地说，空间的某些区域彼此不通信。考虑一下u，ν是实线分布的特殊情况。在这种情况下，鞅输运问题可以分解为可数个“最小”分量，在每个分量上，问题的行为与经典输运问题非常相似。我们请读者参考第3.1节的详细定义，在此阶段仅提供一个示例。示例1.12。设u：=1/2（λ|[-3.-2]+ λ|[2,3]), ν := 1/6(λ|[-4.-1]+ λ|[1,4]). 然后任意鞅M，M~ u，M~ ν将满足以下条件：如果M>0，则M>0和ifM≤ 0然后M≤ 0.即。

正面和负面的hal fline不“沟通”，鞅传输问题应该分别在空间的这两个部分上考虑。如果该对（u，ν）分解为多个最小成分，如前一示例中所示，则u到ν之间不存在sBm。然而，对于一维情况，我们将建立以下内容：鞅是一个sBm当且仅当它在每个最小分量上的行为类似于sBm时，见定理3.1。值得注意的是，对于维度d而言，非通信区域带来的挑战似乎更加复杂≥ 2、参见Ghoussoub–Kim–Lim【44】、DeMarch–Touzi【22】和Obl'oj–Siorpaes【50】的深刻贡献。特别是，如何将鞅输运问题分解为不同的部分，以模拟一维情形中最小分量的行为，还没有完全理解。下面我们将特别强调d=2的情况，在额外的正则性假设下，ν是绝对连续的。这个例子似乎特别有趣，因为它可以识别问题的几何结构，同时避免更高维度中存在的非最小性的更复杂影响。根据[22，50]的结果和一个特殊的“单调性原则”，我们将能够在二维情况下更大程度地恢复主要的一维结果（定理3.1），请参见下面的第3.2-3.3节，特别是其中的定理3.13。我们推测，sBm的类似结构特征可以在一般维度上建立，有待未来朝着[22，50]的方向发展。1.4. 进一步说明。1.4.1. 离散时间版本和单调性原则。经典的Benamou–Breniertransport公式立即简化为常见的离散时间运输问题，即平方距离成本。

类似地，鞅版本（MBB）可以重新表述为离散时间问题，更准确地说，是[29]意义上的弱输运问题。（MBB）的离散时间重新格式在推导我们的主要结果中起着重要作用。为了分析离散问题，我们引入了弱输运问题的“单调性原理”。这种方法的起源是用c-循环单调性描述最优运输计划。在优化运输方面，Gangbo–McCann已经认识到这一概念的潜力【25】。最近，这种想法的变体被证明在许多相关情况下是有用的，参见[41、12、58、30、15、8，鞅BENAMOU–BRENIER：概率观点549、10]。有鉴于此，弱运输问题的单调性原则本身似乎也有可能引起人们的兴趣（参见我们第一次发布这篇文章后出现的[27，5]）。1.4.2. 薛定谔问题。我们的变分问题（MBB）让人想起著名的Schr¨odinger问题，在该问题中，我们的想法是在具有固定初始值和最终边缘的路径测度上最小化关于维纳测度（或其他马尔可夫定律）的相对熵。我们参考了调查【43】及其参考文献。在这些相似性中，让我们提到Schr¨odinger问题的解决方案是唯一的，并且是aMarkov定律，此外，该问题还有一个类似于传输的离散时间重新公式，这是动态路径空间版本的基础。另一方面，（MBB）和Schr¨odinger问题在概率变分问题的对立端有着特殊的意义，我们优化了“波动保持不变”，而后者优化了“波动保持不变”1.4.3. Bass鞅和Skorokhod嵌入。

Bass[7]使用Bass鞅（1.8）来解决Skorokhod嵌入问题。霍布森询问是否存在与这种构造相关的自然最优性，以及是否可以给出一个具有非平凡起始定律的版本。（MBB）产生了Bass构造的最优性，拉伸布朗运动产生了一种具有非平凡起始律的Bass嵌入。值得注意的是，在[9]中首次获得了Bass鞅在最优性方面的特征，该文中考虑的变分问题指的是测度值鞅，与（MBB）中考虑的变分问题有很大不同。1.4.4. 几何布朗运动。从以上结果可以清楚地看出，布朗运动是（在适当的时间尺度下）任何边缘之间的sBm。事实上，对于常数和时间无关的σ，布朗鞅dMt=σdbt也是如此。我们发现，值得注意的是，这同样适用于几何布朗运动。1.4.5. Kellerer定理和Lipschitz核。Kellerer定理[40]指出，如果分布族（ut）t∈[0,1]在实线满意度上≤ t型=> uscut，存在aMarkovian鞅（Xt）t∈R+与定律（Xt）=ut每t。按当代术语（见[33]），（ut）t∈R+被称为孔雀和（Xt）t∈R+是与此孔雀相关的马尔可夫鞅。建立凯勒定理技术上最复杂的部分是证明对于ucν存在一个鞅转移核P，它具有以下lipschitz性质：一个核P:x 7→ πx，ν（dy）=Ru（dx）πx（dy）称为Lipschitz（或更准确地说是1-Lipschitz），如果W（πx，πx）≤ |x个- x |对于所有x，x.Kellerer对Lipschitz核存在性的证明不是建设性的，并且使用了Choquet定理。