通过显式解模拟方法计算GMWBs的VIX相关费用

另一方面，与波动率指数挂钩的费用似乎对定价过低的合同的净负债有减少的影响。与波动率挂钩的费用在使净负债对波动率变化更为稳健方面的效力取决于股票回报与波动率之间的负相关性。因此，当这种相关性较弱时，评估波动率指数挂钩费用的影响是相关的。图4显示了不同公平费用结构的净负债（m∈ {0，0.1，0.2，0.3}）当ρ=-0.3，表明与波动率指数挂钩的费用仍然可以降低净负债对即期波动率变化的敏感性。例如，定价过低可能是由于使用了不同的定价标准，或者是由于重新校准了定价模型。22 M.KOURITZIN和A.MACKAY0.00 0.05 0.10 0.15 0.200.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0v0净负债oom=0m=0.1m=0.2m=0.3（A）定价合理的担保0.00 0.05 0.10 0.15 0.200.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2 v0净负债oom=0m=0.1m=0.2m=0.3（b）定价过低的担保图3。t=0时的净负债，作为V.0.00 0.05 0.10 0.15 0.20的函数-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2V0净负债oom=0m=0.1m=0.2m=0.3图4。t=0时的净负债作为V的函数，ρ=-0.3.4.3.1. 不同的提取率。蒙特卡罗模拟使建模具有极大的灵活性。特别是，在我们的框架内，退出率不需要保持不变。在本节中，我们评估了与波动率指数挂钩的费用对GMWBpolicy净负债的影响，因为它是在假设时变提款的情况下计算的。

我们考虑与前一节中相同的合同（即，我们使用F=100）和以下提取假设（也总结在表3中）：通过显式解决方案模拟方法23（1）递延提取GMWBS的VIX相关费用：负债是在假设在合同的前5年不会发生提取的情况下计算的，之后，将按原保险费的10%的年利率提款。也就是说，对于0 6 t<5，我们将wt=0，对于5 6 t<15，我们将wt=10。（2） 增加提取：在此假设下，前两年的年提取率为初始保费的5%，之后在第三年增加至6%，随后每三年增加1%。因此，在第12年年初，利率达到9%，14年后，担保将全部撤销。（3） 减少取款：这种取款模式假设在前三年内，取款率为初始保费的9%，然后每三年减少1%，直到14年后担保到期。因此，在合同的最后两年，假设以初始保费的5%的年利率进行提款。表3：。提取率假设1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 wt（递延）0 0 0 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 wt（增加）5 6 6 7 7 8 8 8 9 9 0 wt（减少）9 9 9 8 8 8 7 6 6 6 5这些提取假设是为了评估提取模式对公允波动率相关费用结构和由此产生的负债的影响。第一种假设，即提款延迟数年，可以表示投保人购买保单的目的是在以后开始提款的情况。

事实上，在这种情况下，可提取的担保金额（通常是初始保费的金额）通常会在第一年增加，而在第一年中，不会发生提取。增加和减少提款不是定价目的的典型假设。此处使用它们来说明我们框架的灵活性，并测试我们在VIX关联费用与不同提款模式之间的结果的稳健性。我们的案例研究是现实的简化版本。例如，我们忽略了通常适用于高于允许的最大年利率的提款的处罚。图5显示了使用上述三种提取假设计算的GMWB合同的净负债。在所有情况下，费用参数c和m都是公平的，因此费用结构是公平的，即当V=0.04时，净负债为零。图5显示，与波动率挂钩的费用降低了净负债对波动率的敏感性。也就是说，净负债的斜率随着VDE的减少而显著减小，特别是对于延期提款的情况。当提款被推迟时，最初的高价值将导致更高的费用收入，而第一年没有提款则会使账户价值累积。因此，与t=0时开始提款的情况相比，在撤销担保之前完成账户的概率降低。当Vis远大于0.04（用于计算公平费用的值）时，延期提款的影响当然更为明显。对于V≈ 0.04，公平费用结构已经考虑到在提款开始之前收到一定水平的费用收入（与市场价值挂钩）。24 M.KOURITZIN和A。

MACKAY0.00 0.05 0.10 0.15 0.200.0 0.2 0.4 0.6 0.8v0净负债oom=0m=0.1m=0.2m=0.3（a）延期提款0.00 0.05 0.10 0.15 0.20-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0V0净负债oom=0m=0.1m=0.2m=0.3（b）增加提款0.00 0.05 0.10 0.15 0.20-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0v0净负债oom=0m=0.1m=0.2m=0.3（c）减少提款图5。t=0时的净负债是V的函数。提款减少似乎阻碍了与波动率指数挂钩的费用降低高价值V的影响的能力。事实上，当市场波动且回报率较低时，高初始提款将增加VA账户在等于初始保费的金额被提取之前清空的可能性。在这种情况下，收入的收取时间也较短，因此与波动率指数挂钩的费率对净负债的影响较小。通过显式解决方案模拟方法计算GMWBS的VIX相关费用254.4。净损失。我们的最后一个数字示例集中于波动率指数挂钩费用对期初∧W（0，F，V）贴现未来损失（或初始净损失）分布的影响，定义见（19）。初始净损失的分布，尤其是其尾部行为，是风险管理和风险资本确定的重要组成部分（参见Feng和Vecer（2017））。在本节中，我们使用表1中给出的市场参数，并考虑与第4.2节中相同的合同，除非另有说明。对于easeof表示法，我们写∧W（0，F，V）=∧W。在本节中，我们对初始损耗的真实分布（P-测度）感兴趣。因此，我们使用（14）中描述的P度量动态模拟账户价值和即期波动率的路径。为此，我们设置ηS=0.6667，ηV=-2和ηJ=1.1414×10-3.

注意，我们没有区分跳跃强度风险和跳跃大小风险，让δ*= δ. 虽然表1的风险中性参数取自Kokholm和Stisen（2015），但额外的P测量参数值是任意选择的，仅用于说明目的。它们产生了一个依赖于Vt的P测量漂移，当Vt=0.04时，该漂移等于0.0672。实际测量下VT的长期平均值为ν*= 0.037.表4给出了不同级别V的固定费用和波动率指数挂钩费用结构（m=0.3）的P衡量预期、P衡量方差和CTE ata 90%置信水平。由于公平费用是使用V=0.04计算的，表中的结果说明了市场波动性暂时下降（V=0.02）和暂时增加（V=0.08）对净初始损失∧W的影响。对于固定的，与固定费率相比，波动率挂钩的费用降低了预期收益，但导致∧W方差显著下降。同样，即使∧分布的平均值与M成反比，其CT E90%保持相对稳定。因此，与波动率挂钩的费用结构将初始损失的右尾移向预期初始损失。表4还包含蒙特卡罗估计值的标准偏差（每个估计值下面的括号中），使用50个估计值计算得出，每个估计值的N=5×10模拟。考虑到账户价值是在15年的时间内计算出来的，因此获得的准确度非常令人满意。

在这种情况下，离散化误差（源自积分的离散化）累积并影响估计的方差。Kouritzin（2018）进一步讨论了通过显式加权模拟方法获得的蒙特卡罗估计的准确性，这也表明该算法优于其他模拟方法。Feng和Vecer（2017）还计算了GMWB损失分布的尾部风险度量。他们认为，在一个由几何布朗运动驱动的市场中，固定费率是不符合市场数据的。因此，比较他们的结果和我们的结果更难。尽管如此，我们观察到，他们在与我们类似的合同中获得的CT E90%（尽管附加费较低，管理费较高）在类似范围内。事实上，他们计算出初始保费的90%，而我们的接近40%。这可以用我们模型中随机波动和跳跃的存在来解释。众所周知，这些特征显著加厚了回报分布的左尾，从而导致高损失的可能性增加。26 M.KOURITZIN和A.MACKAYTable 4。净初始损失∧的预期、方差和CTE（对于波动率指数挂钩费用，m=0.3）。固定费用VIX链接feeV0.02 0.04 0.08 0.02 0.04 0.08EP[λW]-5.87-5.95-6.10-4.57-4.65-4.84（0.0329）（0.0313）（0.0334）（0.0288）（0.0304）（0.0297）V arP[λW]751.10 768.01 801.90 683.79 698.32 727.65（1.2803）（1.1935）（1.3072）（1.0334）（1.0259）（1.3072）CTE90%（λW）39.53 39.91 40.70 39.57 39.90 40.55（0.0517）（0.0493）（0.0526）（0.0406）（0.0406）（0 0.0516）表4的结果取决于我们选择的P测量参数。

为了检查我们的结果对波动性风险溢价的敏感性，我们现在设置ηV=-0.5，并重新计算P-衡量预期和方差，以及在90%置信水平下，针对不同V水平的已执行EE和与VIX挂钩的费用结构（m=0.3）的CTE。结果及其标准偏差如表5所示，当波动性风险溢价的绝对值较低时，说明与波动性指数挂钩的费用结构对初始净损失的影响。在这种情况下，与波动率挂钩的费用会导致略高的预期损失，而方差较小。然而，与ηV=-2、表5。净初始损失∧，ηV=-0.5（对于波动率指数挂钩费用，m=0.3）。固定费用VIX链接feeV0.02 0.04 0.08 0.02 0.04 0.08EP[λW]-7.61-7.72-7.97-7.07-7.22-7.54（0.03778）（0.0325）（0.0426）（0.0397）（0.0337）（0.042）V arP[λW]935.40 959.67 1008.11 898.51 920.39 965.25（1.4652）（1.7710）（1.7123）（1.2111）（1.4837）（1.7877）CTE90%（λW）42.59 43.08 44.00 42.20 42.57 43.36（0.0535）（0.0501）（0.0626）（0.0488）（0.0449（0.0569）5。结论在本文中，我们将Insui et al.（2017）提出的VA与GMAB乘客的VIX相关费用结构分析扩展到与GMWB的合同。我们的市场模型包括随机波动性和指数值的跳跃。我们使用蒙特卡罗模拟计算了与合同相关的净负债和净初始损失。Oursimulation方法基于VA账户价值的显式弱解。通过显式解决方案模拟方法27我们表明，将VA费率与费用结构联系起来有助于降低净负债对市场波动性临时变化的敏感性。

我们预计，这种费用结构可以通过减少对冲数量（即净负债）的变化来提高对冲策略的效率。我们还表明，与波动率挂钩的费用结构可以减少市场波动性的暂时变化对初始净亏损分布尾部的影响。这可以转化为对现货市场波动不太敏感的资本要求。在本文中，我们只考虑（可能是时变的）确定性保单持有人撤回行为。未来的研究还可以考虑VIX linkedfee结构对失效和退出激励的影响。未来工作的另一个来源将是扩展存在明确解决方案的模型类别，首先使用现有技术，然后将技术扩展到更一般（且效率略低）的表示。这些扩展模型可能包括双重随机积分。参考sAndersen，T.G.，Benzoni，L.，和Lund，J.（2002）。连续时间股票收益模型的实证研究。《金融杂志》，57（3）：1239-1284。贝茨，D.S.（2000）。标普500指数期货期权市场1987年后崩盘的担忧。《计量经济学杂志》，94（1）：181–238。Bauer，D.、Kling，A.和Russ，J.（2008）。一个通用的定价框架，用于保证可变年金的最小收益。ASTIN公告，38（2）：621–651。Bernard，C.、Cui，Z.和Vandu Offel，S.（2017年）。可变定期保费对可变年金担保的影响。《北美精算杂志》，21（1）：63–86。Bernard，C.、Hardy，M.和MacKay，A.（2014年）。可变年金担保的州相关费用。ASTIN公告，44（3）：559–585。Bernard，C.、Kolkiewicz，A.和Tang，J.（2016）。可变年金，费用与波动率挂钩。工作文件，可访问http://egrie2016。ucy。ac.cy/wp内容/上传/2016/09/16\\uBernard\\2016-06-13-初步。

pdf。Carr，P.和Wu，L.（2008）。差异风险溢价。《金融研究回顾》，22（3）：1311–1341。CBOE（2013a）。可变年金VIX——第一部分：技术报告，芝加哥期权交易所。可获得的athttp://images.info.standardandpoors.com/Web/StandardandPoors/VIX%20for%20VAs.pdf.CBOE（2013b）。可变年金VIX-第二部分。芝加哥期权交易所技术报告。可获得的athttp://www.nexusrisk.com/docs/whitepapers/VIX_FEE_WP-New.pdf.Chen，Z.、Vetzal，K.和Forsyth，P.A.（2008）。建模参数对GMWB担保价值的影响。保险：数学与经济学，43（1）：165–173。Chi，Y.和Lin，X.S.（2012）。灵活保费可变年金是否定价过低？ASTIN公告，42（02）：559–574。Cui，Z.、Feng，R.和MacKay，A.（2017年）。Heston型随机波动率模型下具有波动率挂钩结构的可变年金。《北美精算杂志》，第1-26.28页，M.KOURITZIN和A.MACKAYDai，M.，Kuen-Kwok，Y.，和Zong，J.（2008）。可变年金的最低保证提取收益。数学金融，18（4）：595–611。Delong，L.（2014）。具有国家相关费用的可变年金的定价和对冲。保险：数学与经济学，58:24–33。Duan，J.-C.和Yeh，C.-Y.（2010）。波动率指数隐含的跳跃和波动风险溢价。《经济动力与控制杂志》，34（11）：2232-2244。Ethier，S.N.和Kurtz，T.G.（1986年）。马尔可夫过程：特征化与共收敛，第282卷。约翰·威利父子公司。Feng，R.（2014）。通过PDE方法对保证最低到期收益的风险度量进行比较研究。《北美精算杂志》，18（4）：445–461。Feng，R.和Vecer，J.（2017）。保证最低提取额的风险资本《定量金融》，17（3）：471–478。Hardy，M.（2003）。

《投资担保：股权链接人寿保险的建模和风险管理》，第215卷。约翰·威利父子公司。Heston，S.（1993年）。随机波动率期权的闭式解及其在债券和货币期权中的应用。金融研究回顾，6（2）：327–343。Kokholm，T.和Stisen，M.（2015）。随机波动率和跳跃模型下VIX和SPX期权的联合定价。《风险金融杂志》，16（1）：27–48。Kouritzin，M.和Remillard，B.（2016）。关于It差异的明确解决方案。工作纸，arXiv:1608.05362。Kouritzin，M.A.（2017a）。分支粒子价格与赫斯顿示例。工作纸。Kouritzin，M.A.（2017b）。剩余分支粒子滤波器的收敛速度。数学分析与应用杂志，449（2）：1053–1093。Kouritzin，M.A.（2017c）。残余和层状分支颗粒过滤器。计算统计与数据分析，111:145–165。Kouritzin，M.A.（2018年）。路径相关期权定价的显式Heston解和随机近似。《国际理论与应用金融杂志》，21（1）：1–45。Kouritzin，M.A.、Newton，F.和Wu，B.（2013）。随机现场验证码生成。IEEE图像处理学报，2（22）：1656–1666。Kouritzin，M.A.、Newton，F.和Wu，B.（2014）。模拟和分类的图论方法。计算统计与数据分析，70:281–294。Kouritzin，M.A.、Newton，F.和Wu，B.（2017）。一种用于模拟相关随机场及其特性的灵活、实时算法。《数学与统计杂志》，13（3）：197-208。Lian，G.-H.和Zhu，S.-P.（2013）。具有随机波动和随机跳跃的vix期权定价。《经济与金融决策》，第1-18页。Lin，Y.-N.（2007）。波动率指数期货定价：综合实物和风险中性概率指标的证据。