通过显式解模拟方法计算GMWBs的VIX相关费用

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英文标题：
《VIX-linked fees for GMWBs via Explicit Solution Simulation Methods》
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作者：
Michael A. Kouritzin and Anne MacKay
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In a market with stochastic volatility and jumps, we consider a VIX-linked fee structure for variable annuity contracts with guaranteed minimum withdrawal benefits (GMWB). Our goal is to assess the effectiveness of the VIX-linked fee structure in decreasing the sensitivity of the insurer\'s liability to volatility risk. Since the GMWB payoff is highly path-dependent, it is particularly sensitive to volatility risk, and can also be challenging to price, especially in the presence of the VIX-linked fee. In this paper, we present an explicit weak solution for the value of the VA account and use it in Monte Carlo simulations to value the GMWB guarantee. Numerical examples are provided to analyze the impact of the VIX-linked fee on the sensitivity of the liability to changes in market volatility.
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中文摘要：
在一个具有随机波动和跳跃的市场中，我们考虑了一个与波动率挂钩的费用结构，该结构适用于具有保证最低提取收益（GMWB）的可变年金合同。我们的目标是评估与波动率挂钩的费用结构在降低保险人责任对波动率风险的敏感性方面的有效性。由于GMWB的回报具有高度的路径依赖性，因此它对波动性风险特别敏感，也可能对价格构成挑战，尤其是在存在波动率挂钩费用的情况下。在本文中，我们给出了VA账户价值的显式弱解，并在蒙特卡罗模拟中使用它来评估GMWB担保。通过数值例子分析了与波动率指数挂钩的费用对负债对市场波动变化敏感性的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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关键词：VIX WBS Quantitative Applications Sensitivity

通过显式解决方案模拟方法计算GMWBS的VIX-Linked费用Chael A.KOURITZIN和ANNE MACKAYAbstract。在一个随机波动和跳跃的市场中，我们考虑VIX链接的基金结构（见Cui et al.（2017）），用于具有保证最低提取福利（GMWB）的可变年金合同。我们的目标是评估VIXlinked费用结构在降低保险人责任对波动风险的敏感性方面的有效性。由于GMWB支付具有高度的路径依赖性，因此它对vola tilityrisk特别敏感，并且对价格也具有挑战性，尤其是在VIX linkedfee存在的情况下。在本文中，继Kouritzin（2018）之后，我们提出了VA账户价值的显式弱解，并在蒙特卡罗模拟中使用它来评估GMWBGuarrance。通过数值例子分析了与波动率挂钩的FEE对负债对市场波动变化敏感性的影响。关键词。可变年金，随机微分方程，显式解，蒙特卡罗模拟，赫斯顿模型。1、简介保险公司和其他提供股票挂钩保险产品的金融机构面临不同的金融、人口和行为风险。特别是，可变年金（VA）中的担保与金融市场的表现相关，并且取决于投保人的生存。投保人的退保、失效和退保行为也会对保险人的收入、责任和风险产生重大影响。

为了减少人寿保险人面临的市场波动风险，芝加哥期权交易所（CBOE）建议将VA保险费率与VIX指数挂钩（CBOE，2013a，b），VIX指数被视为短期市场波动的代表。波动性风险对使用市场交易衍生品对冲VA负债的保险公司有重大影响。VA担保通常有一个很长的期限，可以延长超过二十年，而市场交易的期权通常不会超过一年的期限。因此，VA担保的复制投资组合由需要频繁刷新的短期工具组成。高市场波动性会增加期权价格，从而影响保险公司对冲策略的成本和效率。可变年金的风险管理也可能因以下事实而变得复杂：嵌入的担保是通过保险费进行融资的，保险费通常是基础VA账户的百分之六十。这些费用的提取减少了账户的实际回报，就像共同基金中的管理费一样。固定费用结构造成费用收入与嵌入日期相关负债之间的差异：2018年4月13日。支持这项工作的部分资金由NSERC发现拨款提供。2 M.KOURITZIN和A.MackayGuaranture。事实上，当VA账户价值下降时，费用收入减少，但这种adrop增加了担保的价值。由于股票回报和市场波动倾向于负相关（所谓的杠杆效应），将费率与VIXindex挂钩有助于重新调整费用收入和负债。Cui等人（2017）分析了与波动率挂钩的费用结构，他们共同描述了可变年金账户价值和波动率指数的动态。

利用基于特征函数反演的技术，作者计算了当市场遵循Hestonmodel（Heston（1993））时，与担保最低累积收益（GMAB）相关的净负债。他们表明，与波动率指数挂钩的费用实际上有效地降低了净负债对市场波动性暂时变化的敏感性。换言之，当使用与波动率挂钩的费率时，市场波动性增加对净负债的影响不如通过固定费率为GMAB融资时那么显著。Bernard等人（2016年）也研究了类似的波动率指数相关费用，他们使用高斯copula将波动率指数与标准普尔500指数联系起来。最近，人们对采用依赖市场的费用结构（包括波动率指数挂钩的费用）为VA担保提供资金产生了兴趣。例如，Bernard等人（2014年）建议仅在账户价值低于某个阈值时支付费用。MacKay et al.（2017）从退保激励行为的角度分析了这种费用结构，Zhou和Wu（2015）从费用扣减期的角度分析了这种费用结构，并在Delong（2014）中扩展到更一般的市场模型。迄今为止，在学术文献中，依赖市场的费用仅适用于累积收益。在本文中，我们重点关注保证最低提取收益（GMWB）。作为初始保费的交换，无论市场表现如何，GMWB都会保证投保人在给定的年限内获得最低收入。此类担保产生的支付具有路径依赖性特征，相关负债的分析形式并不总是可能的，尤其是在包含随机波动和跳跃的市场模型中。研究GMWB时，通常假设确定性提款或“最优”（即保险公司的最坏情况）提款。

关于第一个假设的示例，请参见Milevsky和Salisbury（2006）、Bauer等人（2008）和Feng和Vecer（2017）。Chen等人（2008）、Dai等人（2008）以及Luo和Shevchenko（2015）都是考虑最佳退出的文章的例子。在所有情况下，保险费率均假定为固定费率。本文件更接近第一类，但我们提出的框架可以同时考虑确定性和适应性提款。这使我们能够关注波动性风险。关于波动率指数挂钩费用对最优保单持有人行为的影响的分析将留待将来进行。在本文中，我们考虑了一个具有随机波动和跳跃的市场，对于该市场，我们使用蒙特卡罗模拟来评估与波动率挂钩的费用结构对GMWB的净负债和经济资本的影响。更准确地说，我们表明，与波动率挂钩的费用结构降低了净负债对市场波动变化的敏感性。我们使用基于描述VA账户价值的随机微分方程（SDE）显式（弱）解的模拟方法。该方法首次在Kouritzin（2018）中介绍，并基于Kouritzin和Remillard（2016）的结果。由于其来源于精确解，而非即期波动率的转移密度，因此通过显式解模拟方法3，GMWBS的VIX相关费用我们的方法非常灵活，可以扩展到此处所述方法之外的应用。它还避免了Euler或Milstein离散化带来的问题，如收敛速度低和模拟产生负波动的可能性。非线性随机微分方程的显式解很少。然而，当它们出现并具有简单的形式时，它们可能是最有用的。有两种类型的显式解决方案：强解决方案和弱解决方案。

强解决方案适用于驱动过程，它们的显式表示（如果有）将仅限于这些驱动过程。显式弱解涉及额外的随机性，这在随机微分方程中没有表现出来，但如果这种额外的随机性不消耗大量计算时间来产生，或者如果它可以产生，那么它与强解同样有用。Kouritzin（2018）表明，Heston模型具有明确的弱解，这些弱解是通过将强解投影到Kouritzin和Remillard（2016）研究的高维随机微分方程得到的。这种赫斯顿弱解可以用于在不同时间恢复已知的边际（和未知的联合）分布，但更重要的是，它给出了一个无近似的公式来进行模拟。在此，我们将表明，用于描述VAaccount值的广义Heston模型也会产生弱解。此外，将在附录中解释，弱解的额外随机性可以模拟为任意。本文的主要贡献有两个方面。首先，我们扩展了Cui等人（2017）的工作，将VIX相关费用应用于GMWB，并将跳跃添加到indexvalue过程中。在这种情况下，我们表明，当费率是波动率指数的函数时，与GMWBrider相关的净负债对市场波动的变化不太敏感。因此，Cui et al.（2017）关于随机波动性市场中GMAB的结论可以扩展到更一般市场模型中的GMWBs。在本文中，我们还得到了一个带跳跃的扩展Heston市场模型中variableannuity帐户值的显式弱解，并利用它提出了一种新的模拟方法。

我们提供了模拟算法的详细信息，并建议基于分支粒子进行修改，以提高算法的性能。虽然扩展的赫斯顿式SDE的解决方案是新的，但模拟算法基于Kouritzin（2018）和Kouritzin（2017a）中提出的思想。本文的其余部分如下。在第2节中，我们确定了我们工作的财务环境，并介绍了GMWB合同和估值框架。第3节包含了主要的理论结果和模拟方法。该方法用于在第4节中给出数值示例，第5节列出了结论。附录中提供了更多涉及的证明以及详细的模拟算法。2、财务模型和可变年金合同2.1。可变年金账户。我们考虑将variableannuity（VA）账户投资于跟踪股票指数的单一基金的简化情况。在本文中，正如CBOE（2013a，b）和Cui等人（2017）所述，我们假设该指数为标准普尔500指数。让T∈ (0, ∞) 是模型的最终时间。例如，它可以表示最后一次支付VA合同产生的现金流的时间；除此之外，无需进行财务建模4 M.KOURITZIN和A.MACKAYmodeling。在本文中，我们使用以下符号：o{St}06t6是股票指数的值；o{Ft}06T6是可变年金账户的值。2.1.1. 股票指数。我们考虑一个概率空间(Ohm, F、 F，P），其中P表示真实世界（客观）度量。我们使用包含随机波动率和跳跃的模型对指数价格过程进行建模（参见Bates（2000）、Andersen et al.（2002）和Pan（2002）），我们将其称为随机波动率和跳跃（SVJ）模型。

因此，我们假设{St}06t6Thas是以下P测度动力学：dStVt公司=（r+ηSVt- λ*δ*)Stν- *及物动词dt+p1- ρStVtρStVtSt-0κVt！数据库*tdβ*tdX公司*t型（1） 对于0 6 t 6 t，S=S>0，V=V>0，ν>0，*> 0，κ>0和-1 6 ρ 6 1. 我们让r>0和ηS>0分别表示无风险利率和股权风险溢价。B*tandβ*皮重P-布朗运动和X*t=PN*ti=1J*iis是一个复合泊松过程，具有{N*t、 t＞0}强度λ的泊松过程*. 对于i=1，∞, 我们让J*i=eY*我- 1，其中每个Y*ifollows a Normal distribution with mean（log（1+δ*) -χ） 方差χ。我们假设B*t、 β*t、 N个*串联Y*i、 i=1，∞ 相互独立。从J的定义*i、 因此E[J*i] =δ*, 跳跃的幅度*iis大于-1、这样可以确保价格过程在跳跃发生时不会达到0。备注2.1。上述模型通常用相关的P-布朗运动seb来表示*坦德β*t、 带heB*,eβ*it=ρt:dStVt公司=（r+ηSVt- λ*δ*)Stν- *及物动词dt+StVt0 St-0κVt！黛布*tdeβ*tdX公司*t型. （2） 表示法（1）和（2）是等效的，使用（1）有助于解释指数价格的随机性和效用过程的随机性之间的依赖关系。随机波动率和跳跃的引入使得上述市场不完整，因此存在许多等价的局部鞅测度。在这项工作中，我们遵循Duan和Yeh（2010）对风险市场价格的规定。特别是，我们用ηV表示波动性的市场价格，并使用复合参数φ和φ*确定跳跃风险的市场价格。我们定义φ=λδ - 对数（1+δ）+χ, (3)φ*= λ*δ*- 对数（1+δ*) +χ设ηJ=φ-φ*成为跳跃风险溢价。

因此，在每种测量下，跳跃过程可能具有不同的强度和跳跃的平均大小（有关更多详细信息，请参阅Duan和YehVIX通过显式解模拟方法5（2010）为GMWBS支付的链接费用的第3节）。在这些假设下，股票指数的动态和波动过程在风险中性度量下保持类似的形式，但有不同的参数。因此，在定价风险中性度量Q下，我们已经StVt公司=（r）- Δλ）Stν- 及物动词dt+p1- ρStVtρStVtSt-0κVt！dBtdβtdXt, （4） 式中，r是无风险利率 = *+ ηV.bt和βt，由bt=B给出*t+κηS+ρηVκp（1- ρ） ZtVsds，βt=β*t+ηVκZtVsds是Q-布朗运动。Xt=PNti=1Jiwith{Nt，t>0}是强度λ的泊松过程，对于i=1。，Ji=eYi- 1，各i均为正态分布，平均值（log（1+δ））-χ） 方差χ。我们还有Bt，βt，Nt和{Yi}∞i=1相互依赖。备注2.2。上述SVJ模型包括Heston（1993）模型，Cui等人（2017）将该模型作为特例，在相似的背景下使用。为了在Heston模型中获得结果，必须将过程中与复合泊松相关的参数设置为0.2.1.2。可变年金费用表。从VA账户支付的费率由两部分组成。第一部分是投资管理费。支付给管理基础投资基金的第三方。这部分费用不会退还给提供财务担保的保险人。费用的第二部分称为租金，或附加费。它将支付给保险人并支付财务担保或附加条款的费用。我们假设投资管理费是固定的，我们用q表示。只有由ct表示的附加费才会与波动率指数挂钩。我们用γt表示时间t的应付总费率，并将其定义为两种费用的总和：γt=q+ct。

（5） 在本文中，我们考虑了附加费与波动率指数挂钩的情况。波动率指数的目的是衡量市场对标准普尔500指数（SPX）期权价格30天波动率的预期。CBOE将VIX计算为SPX看涨期权的加权平均值，并在大范围的罢工中卖出价格。正如Kokholm和Stisen（2015）所述，在价格过程的某些假设下，波动率指数的平方可以表示为对数合同风险中性预期的函数。这些假设包括价格过程的连续性，这在我们的设置中并不令人满意，因此，我们得到了VIX时间t的平方，VIX由VIXT=(R)τEQt给出日志St+？τ？S？τt+ ，6 M.KOURITZIN和A.MACKAYwith？τ=30/365，其中EQt[·]是等式[·| Ft]的缩写符号，？S？τt=Ster？τ表示股票指数远期合约的价格，而？是由于价格过程中出现跳跃而产生的错误术语。错误术语还解释了期权只能在一定数量的罢工中交易的事实。如Carr和Wu（2008）所示（另见Kokholm和Stisen（2015）），在我们考虑的SVJ模型中，该误差项可以忽略不计。接下来，我们将忽略它并使用：VIXt=(R)τEQt日志St+？τ？S？τt. （6） 这种假设在VIX衍生品文献中很常见（例如，见Lin（2007）、Lian和Zhu（2013）以及Kokholm和Stisen（2015））。在SVJ模型中，对数合约的风险中性预期可以写成当前瞬时波动率Vt的一个函数：(R)τEQt日志St+？τ？S？τt= A+BVt，（7）式中=ν(τ - 1+e-τ)？τ+2φ，B=1- e-τ带φ的τ（8），如（3）所述。因此，从（6）中，时间t时的VIX指数的平方可以写为VtVIXt=a+BVt的函数。