通过显式解模拟方法计算GMWBs的VIX相关费用

事实上，利用序贯蒙特卡罗的思想，可以将负相关引入该重采样步骤，有助于减少总体（采样误差）方差，同时改善单个粒子。这些分支技术包含在附录B.3.2中给出的算法中。VA帐户值的显式弱解。为了给GMWB产品定价，我们回顾了第2.1.3节：d中提出的广义SVJ模型（13）FtVt=u英尺- αVtFt- wtν- 及物动词dt+p1- ρFtVtρFtVtFt-0κVt！dBtdβtdXt, （22）对于Ft>0，对于Ft6 0，dFt=0。特别是，在（4）中介绍的SVJ模型上，顶部方程漂移有两个附加项。我们将证明广义模型（22）也存在显式弱解，并且它们可以有效地用于GMWB产品的定价。3.2.1. 初步lemm组件。我们首先处理附加漂移项wt.引理3.1。支持{（Gt，Vt），t>0}求解GtVt公司=uGt- αVtGtν- 及物动词dt+p1- ρGtVtρGtVtGt-0κVt！dBtdβtdXt（23）对于所有t，G=1且Gt>0。然后，{（Ft，Vt），t>0}解（22），其中Ft=FGt公司-ZTGTGSWDSt<τ时，Ft=0，t>τ时，τ=inf{t>0:Ft=0}。注意，G是一个随机指数，P（Gt>0t型∈ [0，T]）=1。证据然后，对Ft>0的部分进行积分，dFt=（dGt）F-ZtwsGsds- WTDT然后（22）接（23）。注意，Ft=0时吸收的FTI。14 M.KOURITZIN和A.MACKAYNext，对于所有t 6 t，我们通过从G:d中移除跳跃部分来定义过程HHtVt公司=uHt- αVtHtν- 及物动词dt+p1- ρHtVtρHtVt0κVt！dBtdβt, （24）H=G。请注意，H是Cui等人（2017）在保证最小累积收益的上下文中使用的修改后的Heston核。现在我们可以写下t=Gt-h（u- αVt）dt+p1- ρVtdBt+ρVtdβt+dXtidHt=Hth（u- αVt）dt+p1- ρVtdBt+ρVtdβti，这意味着Gt和Ht是具有（唯一）解的随机指数。

因此，可以通过下面的简单引理从H得到G。引理3.2。允许Xs=Xs- Xs型-, 将{Gt}t6和{Ht}t6tb定义为（23）和（24）。然后，Gt=HtYs6t（1+Xs）。证据设Mt=Qs6t（1+Xs），这是一个纯跳跃过程，因此所有t 6 t的二次变化[H，M]t=0 a.s，且dMt=Mt-dXt。因此，通过部件集成，d（HtMt）=Ht-dMt+Mt-dHt=Ht-Mt公司-hdXt+（u- αVt）dt+p1- ρVtdBt+ρVtdβti。结果如下，因为G=HM。对于t<τ，对于（17）中定义的τ，我们可以写eft=HtFYs6t（1+Xs）-Rt！∨ 0，Rt=ZtwuHuYu<s6t（1+Xs）du，其中H是显式修改的赫斯顿模型解，如下所示。3.2.2. 理论结果。为了弱解{（Ht，Vt），t>0}，我们=4νκ+∨ 1，νκ=nκ，uκ=u+ρκ（νκ- ν) .现在，修改后的Heston内核（24）有一个明确的弱解，无论是在ifCondition（C）保持所有时间，还是在波动性下降太低之前。定理3.1。Letε∈ （0，1），T>0，{W，…，Wn，B}与过滤概率空间的标准布朗运动无关(Ohm, F、 {F}t∈[0，T]，Q），Vbe通过显式解决方案模拟方法给出GMWBS的九个链接费用，15个随机变量，V>ε，Ht=expp1级-ρZtVsdBs+hu-νρκit+ρκ-- αZtVsds+ρκ（Vt-五）（25）Vt=nXi=1（Yit），ηε=inf{t：Vt6ε}和（26）Lt=expν - νκκln（Vt）-ln（V）+Ztκ- νκ- ν2Vs+ ds公司, （27）其中Yit=κRte-（t-u） dWiu+e-如果i=1，2。。。，n、 定义βt=nXi=1ZtYiuqPnj=1（Yju）dWiu+Zt∧ηεν - νκVsds和（28）bQ（A）=E[1ALT∧ηε] A.∈ FT.（29）那么，ηε是停止时间a和Lt∧ηε是关于Q的Lr鞅，对于任何r>0。此外，（B，β）是独立的标准布朗运动和HtVt公司=(u - αVt）Htν- 及物动词dt+p1- ρHtVtρHtVt0κVt！dBtdβt, t 6ηε(uκ- αVt）Htνκ- 及物动词dt+p1- ρHtVtρHtVt0κVt！dBtdβt, t>ηε（30）在[0，t]上相对于tobQ。证据

我们只是在这里提供猜测和检查风格证明，并将对Kouritzin（2018）动机证明所需的更改放在附录中。{Yi}ni=1是独立的rnstein-Uhlenbeck过程，满足动态=-Yitdt+κdWitso根据it^o的公式，Vt=Pni=1（Yit）满足度dvt=2nXi=1Yitdtyit+nκdt=（νκ- Vt）dt+κVtdbβt（31），Q-布朗运动bβt=nXi=1ZtYiuqPnj=1（Yju）dWiu。（32）16 M.KOURITZIN和A.Mackay此外，使用事实u-νρκ= uκ-νκρκ和It^o公式，一个求出（25）满足度DHT=Ht的右侧p1级-ρVtdBt+huκ-νκρκidt+ρκ-- αVtdt+ρκdVt（33）+Ht(1-ρ） Vtdt+ρκVtdt= (uκ- αVt）Htdt+p1- ρHtVtdBt+ρHtVtdbβtby（31）和事实B和Bβ是独立的。我们已经恢复了（30）中的下方程。上面的方程和开关由Girsanov测度得到→bQ，在（29）中定义，它使得β，在（28）中定义，是一个独立于B的布朗运动。考虑到这一点，我们用It^o公式和（31）thatln（Vt）来确定- ln（V）=Ztνκ- VsVsds+ZtκVsdbβs-ZtκVsdsso，使用（25），（27）相当于toLt=exp（Ztν- νκVsdbβs-Zt |ν- νκ|κVSD）。（34）那么，继Kouritzin（2018）之后，可以很容易地证明E“LηεTf（Htn+1，Vtn+1）- f（Htn、Vtn）-Ztn+1tnAuf（Hu，Vu）dunYk=1hk（Htk，Vtk）#=0对于所有0 6 t<t<···<tn<tn+1，f∈ S（R）（快速递减函数）和H。。。，hn公司∈ B（R）（有界的，可测量的），其中uf（τ，v）=[（u- αv）ττf（τ，v）+（ν- 五）vf（τ，v）]1[0，ηε]（u）+[（μκ- αv）ττf（τ，v）+（νκ- 五）vf（τ，v）]1[ηε，T]（u）+τvτf（τ，v）+ρκvτf（τ，v）+κvf（τ，v）。（我们分别使用τ，v作为H，v的状态变量。）现在，Ethier和Kurtz（1986）第174页的论证（H，V）满足了关于tobQ的Au鞅问题。解（25）-（28）对于y{Yi}ni=1，pni=1（Yi）=V是有效的。当条件（C）为真时，Lt=1，并且Lt和ηε都是多余的。

该解是根据原始风险中性概率Q构造的，并满足（30）中的上方程，直到T。否则，在ηε之前，解决方案满足所需的赫斯顿模型，即直到波动率下降太低（或我们达到最终的“模拟时间”T），然后回落到（30）下半部分给出的最接近的显式备选方案。在这种情况下，解决方案与制造概率Bq有关。通过显式解决方案模拟方法计算GMWBS的VIX相关费用173.3。VA账户的加权显式模拟。现在，我们使用Theorem3.1生成一个有效的算法来模拟VA账户的价值和波动过程。然后将使用该算法对GMWB进行定价。该算法还可用于对（13）所述VA账户上的其他类型的担保定价，如Cui等人（2017）分析的GMAB，或使用flexiblePremium对VA账户建模。定义常量A=p1- ρ、 b=u-νρκ，c=ρκ-- α、 d=ρκ，e=ν- νκ，f=eκ- ν - νκ，我们发现（25）和（27）可以重写为asHtk=Htk-1expaZtktk公司-1VsdBs+b（tk- tk公司-1） +cZtktk-1Vsds+d（Vtk-Vtk公司-1)（35）Ltk=Ltk-1exp（e自然对数VtkVtk-1.+ （塔卡- tk公司-1)+ fZtktk公司-1VSD）。（36）（35）中的随机积分是条件（给定V）高斯积分，因为V和B是独立的，所以模拟只是一个方差为aRtktk的中心正态随机变量-1VSD。即使权重（36）也避免了随机积分。计算两个确定性积分有多种选择。例如，使用梯形规则wehaveZtktk-1VSD≈2M（Vtk-1+Vtk+2M-1Xl=1Vtk-lMh），h=tk- tk公司-1和一个类似的公式forRtktk-1VSD。附录B中详细给出了加权模拟算法。请注意，当ν=nκ时，显式解不需要权重Lt。在这种情况下，不应模拟Lt和ηε。

这种简化算法被称为显式模拟算法，而源自定理3.1的一般算法（见附录B）是加权模拟算法。当ν- νκ6=0时，加权模拟算法也可以通过对模拟粒子进行随机重采样或分支来改进。如有必要，在每个时间步，粒子都会单独分支。从给定路径重新采样的概率基于相关的似然Lt。不同的分支算法在Couritzin（2017a）中介绍。这些算法最初是在Kouritzin（2017c）的顺序蒙特卡罗方法的背景下开发的，并在Kouritzin（2017b）中进行了分析。这里，为了获得最佳性能，我们使用有效粒子分支算法，我们在附录B的子程序A2中详细介绍了该算法。备注3.1。为了理解在波动率在算法A1中变得太小之前停止（ηε）的必要性，我们考虑波动率Vt=0的情况。然后，（封闭的、明确的和一般的）波动率方程变为确定性的dVt=νκdt，dVt=νdt，18 M.KOURITZIN和a.Mackaya，这显然是一个解决方案。当νκ6=ν时，这使得模型分布彼此奇异。加权或分支模拟算法可用于计算GMWB的初始净负债∏W（0，F，V），由（20）给出。利用引理3.1和3.2获得可变年金账户价值。我们定义了附加变量Ct和WtbyCt=Zt∧τe-rucuFudu（37）和wt=Ztτe-ruwudu（38）分别跟踪支付至t的折扣总费用和支付至t的折扣总GMWB付款。然后使用加权蒙特卡罗估计值获得净负债。

在模拟了所有值{（CjT，WjT，LjT）}Nj=1后，净负债的蒙特卡罗估计值由b∏W（0，F，V）=NNXj=1（WjT）给出- CjT）LjT。该程序的详细信息见附录B.4。数值结果在本节中，我们使用第3.3节中介绍的模拟算法来分析波动率指数挂钩费用在降低净负债敏感性和GMWB净初始损失方面的有效性。我们首先在VIX linkedfee结构的背景下探讨公平费用。然后，我们评估了费用结构对净负债和净损失分布的影响。4.1. 市场参数。虽然公平费用和净负债的计算只需要在风险中性措施Q下进行校准，但应在实际措施P下获得净损失的分布。文献中很少对SVJ模型进行P和Q测量的校准，当我们要求它们使用相对较新的数据时更是如此。当它们存在时，它们并不总是适合我们的目的。例如，Duan和Yeh（2010）的参数导致了一个随机波动过程，在Q-测度下不再是均值回复。由于SVJ模型对这两种指标的同时校准超出了本文的范围，我们选择使用Kokholm和Stisen（2015）获得的风险中性参数。为了计算净损失的分布，通过为不同的风险溢价选择合理的值来获得P度量参数。除非另有说明，否则我们在整个数值示例中使用的参数如表1所示。Kokholm和Stisen（2015）于2012年5月16日利用SPXoption数据获得了这些数据。注意，我们将ν的值（即原始纸张符号中的κθ）从0.1773修改为0.18，以确保条件（C）成立。

这种修改加快了我们的计算速度，而不会对我们的结果产生重大影响。此外，我们将无风险利率设定为r=0.02。通过显式解决方案模拟方法19表1计算GMWBS的VIX相关费用。SVJ模型参数，根据Kokholm和Stisen（2015）修改（2012年5月26日根据SPX期权数据校准）ν κVρλδχ0.18 2.86 0.6 0.04-0.96 0.21-0.1252 0.184.2。公平费率。为了说明与波动率挂钩的费用结构的影响，在本节中，我们考虑与GMWB附加条款签订VA合同，初始保费F=100。我们假设投保人每年最多可以提取初始账户价值的7%，并且合同的定价假设最大金额是每年连续提取（即wt=7）。我们首先研究了（37）和（38）中定义的不同费用结构（“c，m”）对预期折扣总费用c和预期折扣支出WT的影响。我们考虑m∈ {0、0.1、0.2、0.3}和'c∈ [0.005, 0.035]. 对于每个费用结构（(R)c，m），使用第3.3节中介绍的显式模拟方法计算CtandWt，n=2×10模拟路径，时间步长h=1/250。图1显示了（37）和（38）中定义的不同m水平的预期贴现总费用和支出，作为“c”的函数。对于固定m，研究的所有四个m值的总费用和支出均以“c”为单位增加。很明显，总费用应以“c”为单位增加，因为总费用率是“c”和另一个正值的总和，即VIX乘以m的平方。总支出也随着“c”的增加而增加，因为增加的费用率直接减少了VA账户的净回报，所以更高的费用率会导致基金更快的耗尽。

因此，平均而言，当“c”增加时，FT0的首次命中时间将变小，担保将在更长的时间内支付，从而导致更高的平均总支付。如第2.2节所述，公平的费用结构*, m级*) 在风险中性措施下，保险公司的预期支出等于预期费用收入。使用公平费率分析波动率指数相关费用的影响，使我们能够比较不同类型的费用结构。例如，通过让“c”在合同开始时的净负债为零，我们可以评估设置不同水平的乘数的效果。通过确保所有考虑的费用结构都是公平的，我们消除了初始责任对结果的影响。我们还将放宽公平费用结构的假设，在后面的章节中分析波动率指数挂钩费用对定价过低产品的影响。获得公平的费用结构（(R)c*, m级*), 我们将乘数m乘以0、0.1、0.2和0.3。对于m的每一个值，我们求出满足（15）的相应“c”。请注意，当NM=0时，费率是恒定的，而不是取决于VIX指数的值。使用m=0，我们可以将波动率挂钩的费用结构与固定费用结构进行比较，固定费用结构通常在行业中使用。对于给定的乘数m，净负债使用第3.3节中介绍的显式模拟方法计算，N=200000条模拟路径，时间步长h=1/250。在间隔“c”上∈ [0.005，0.035]，图2显示净负债在c中严格减少，对于考虑的所有四个m值，有可能找到c，从而使费用结构公平。与Cui等人（2017）对GMAB的发现类似，乘数m越高，公平c越低*. 事实上，当VIX将20 M.KOURITZIN和A。

MACKAY0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.510 15 20 25 30 C（单位%）预计总费用E【CT】（\\$）OOM=0.1m=0.2m=0.3（a）预计贴现费用0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.518 20 22 24 C（单位%）预计总支出E【WT】（\\$）OOM=0.1m=0.2m=0.3（b）预计贴现支出图1。预期贴现费用c和预期贴现支出W作为不同乘数m.0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5的基础费用c的函数-4.-2 0 2 6 C（in%）∏（0，F0，V0）OOM=0m=0.1m=0.2m=0.3图2。净负债是不同乘数m水平的基础费用c的函数。费率越高，剩余的固定部分可以越低，以覆盖相同的财务担保。本节其余部分使用的公平费率如表2所示。通过显式解决方案模拟方法计算GMWBS的VIX相关费用21表2。GMWB合同的公平费率，F=100，wt=7，q=0.0075。m级*0.1 0.2 0.3摄氏度*（in%）2.4650 1.9859 1.5275 1.03004.3。净负债。正如CBOE（2013a）所述，VIX linkedfee的目标之一是降低净负债对市场波动变化的敏感性。事实上，在高波动期，未来支出的预期价值往往会上升。当费用设定为固定利率时，由于杠杆效应，预期费用收入保持在相同水平，甚至可能下降。因此，当前波动性的增加将导致净负债的增加。这种变化会导致更高的对冲成本，并可能影响资本要求。就GMAB而言，Cui等人（2017）表明，与波动率挂钩的费用有助于减少高波动性对净负债的影响。在GMWB的情况下，预期类似的影响是合理的。

如果在账户耗尽之前波动性增加，我们可以预期较低的回报，这将加速账户的耗尽，并增加未来支出的预期价值。在费率不变的情况下，波动性的上升会推高净负债。然而，在与波动率挂钩的费用结构下，预期未来收入也会上升，从而减少波动对净负债的总体影响。为了说明费用结构的影响，我们考虑了与第4.2节相同的合同，并计算了（21）中针对不同价值的净负债。我们对市场波动性暂时增加对净负债价值的影响不感兴趣。降低净负债对市场波动性暂时性变化的敏感性将有助于平抑支付对冲的价值，从而提高保险公司对冲策略的效率。在图3中，我们给出了V不同价值在合同开始时的净负债。本节中给出的结果是使用N=5×10得出的。在图3（a）中，假设合同价格合理，使用表2中给出的价格，得出结果。图3（b）中的结果反映了定价过低的合同；对于m∈{0，0.1，0.2，0.3}，相应的基本费用'c设置为，在初始参数（表1）下，期初净负债等于1。图3中的两个图表都表明，当费用与波动率指数挂钩时（m>0），Vincreases对净负债的影响较小。m值越高，影响越明显。换言之，与波动率指数挂钩的费率比例越大，有助于减少当前波动率增加的影响。