通过显式解模拟方法计算GMWBs的VIX相关费用

期货市场杂志，27（12）：1175–1217。Luo，X.和Shevchenko，P.V.（2015）。通过随机控制优化，评估具有最低保证提款和死亡福利的可变年金。《保险：数学与经济学》，62:5-15。通过显式解决方案模拟方法计算GMWBS的VIX相关费用29MacKay，A.、Augustyniak，M.、Bernard，C.和Hardy，M.R.（2017）。股票挂钩寿险保单持有人行为的风险管理。《风险与保险杂志》，84（2）：661–690。Milevsky，M.A.和Salisbury，T.S.（2006）。保证最低提取福利的财务评估。保险：数学和经济学，38（1）：21–38。Pan，J.（2002年）。期权隐含的跳跃风险溢价：来自综合时间序列研究的证据。《金融经济学杂志》，63（1）：3–50。Zhou，J.和Wu，L.（2015）。在国家相关费用结构下扣除可变年金费用的时间。保险：数学与经济学，61:125–134。附录A.定理3.1证明的更多详细信息定理3.1的证明基本上是检查给定解是否正确。然而，在Kouritzin（2018）中引入的显式弱Heston解以更系统的方式被发现，新的显式解更可能通过Kouritzin（2018）中的方法而不是通过猜测和检查找到。因此，重要的是解释本文使用的更通用的解决方案如何与Kouritzin（2018）的开发相关，这是本附录的重点。为简单起见，我们将自己限制为casen=2。首先，它遵循it^o公式和Bβ，B的独立性，即Ht=Hcthi和VTsatisfydHttvt=uκHt- αVtHtνκ- 及物动词！dt+p1- ρHtVtρHtVt0κVt！dBtdbβt！，（39）在我们分割Hit的地方，HTV的一部分独立于V，o ff dHctVt=(u - αVt）Hctν- 及物动词！dt+ρHctVtκVt！dbβt，（40）命中=经验p1级- ρZtVsdBs-1.- ρZtVsds.

（41）现在，回想一下W，Ware独立标准布朗运动，集合σ（y，z，τ）=κκρτyρτz（42）并定义新的sde格式：dYtZtHct公司=-年初至今-Zt（μκ- α（Yt+Zt））Hctdt+σ（Yt，Zt，Hct）“dWtdWt#。（43）30 M.KOURITZIN和A.MACKAY（Y，Z在定理3.1的陈述中扮演Y，Yin的角色。）此解决方案可以写成：dYtZtHct公司=- 年初至今- Zt（μκ- αVt）Hctdt公司+κZt√Yt+ZtκYt√Yt+Zt-κYt√Yt+ZtκZt√Yt+Zt0ρHctVt“dWtdbβt#，，（44），其中“dWtdbβt#=Zt公司√Yt+Zt-年初至今√Yt+ZtYt√Yt+ZtZt√Yt+Zt“dWtdWt#。（45）现在，（43）也可以用Fisk-Stratonovich积分来写：dYtZtHct公司= h（Yt，Zt，Hct）dt+σ（Yt，Zt，Hct）o“dWtdWt#，，（46），其中h是Fisk Stratonovich漂移：h（y，z，τ）=-y-zuτ-κρτ- τ（ρ+α）（y+z）. （47）现在，很容易验证σ为（42）的列满足σiσj=Kouritzin和Remillard（2016）的σjσiso定理2可用于构造C-差同胚∧onR×R×（0，∞) 将（46）的局部解与局部解联系起来Yt、Zt、bHct′简化方程D的YtZtbHct公司=bh（Yt、Zt、bHct）dt+1 00 10 0d“WTWTWT#带BH=∧ho Λ-1（48）通孔（Yt，Zt，Hct）′=∧-1.Yt、Zt、bHct′. 此外，差同态可以选择为∧=∧o∧带ΛσoΛ-1=e，和(ΛoΛ)σo(Λ-1.oΛ-1） =e，意味着它只取决于σ。因此，∧与Kouritzin（2018）中的相同：∧（x）=κxκxxexp-ρκ（x+x）, Λ-1（x）=κxκxxexpρκ（x+x）, （49）和∧（y）=κ0 0κ-2ρκyyep（ρκ（y+y））-2ρκyyexp（ρκ（y+y））exp（ρκ（y+y））（50）通过显式解模拟方法31sobh（x）计算GMWBS的VIX相关费用。=(∧）ho Λ-1（x）满意度BH（x）=-x个-xxhu-κρ+hκρ-κ（ρ+2α）i{x+x}i. （51）解决方案Yt、Zt、bHct′in（48）为：Yt=Rte-（t-u） dWu+e-tY，Zt=Rte-（t-u） dWu+e-tZ（Y+Z=κV），BHCT=bHcexphu-κρit+κρ-κ(ρ+ 2α)ZtnYs+Zsods.

（52）此外，它后面是（49）和（Yt，Zt，Hct）′=∧-1.Yt、Zt、bHct′THTHHCT=bHctexpρκ（Yt+Zt）=bHctexp公司ρκ（Yt+Zt）=bHctexp公司ρκVt（53）然后是（52），（53），（49）和替换，即hcthc=exphu-κρit+κρ-κ(ρ+ 2α)ZtnYs+Zsods+ρκ（Vt- 五）（54）=经验hu-κρit+ρκ-ρ- αZtVsds+ρκ（Vt- 五）.然后将Ht=HctHitwith与Hifrom（41）相乘，得到所需的形式。附录B.仿真算法在本节中，我们介绍了第3.3节中讨论的详细仿真算法。首先，定义两个常数σ=σh=κs1非常方便- e-h4级ψ=ψh=e-h、 这将在算法中使用。请注意，所有算法都将与市场和VA合同相关的参数作为输入。为了简化表示，我们省略了将它们作为算法的输入。子程序A1从（Htk）生成（bHtk、bVtk、bLtk-1，Vtk-1，Ltk-1） 使用第3节中推导的加权模拟方法。请注意，{ηjε}Nj=1在第一次使用之前都会被设置为T，如算法A（以下）。请注意，子程序A1的随机变量Zi和Zjin第5行和第10行不依赖于H、L和Y等输入，因此可以对其进行先验计算，只需实时查找即可。完成此操作后，速度会显著提高。当条件（C）不满足时，子程序A2通常与子程序A1一起使用，以提高结果的精度。在该算法中，Ijtk-1是跟踪JTH模拟粒子祖先的向量。通过向向量添加元素，在第12行和第24行中对其进行更新。请注意，该算法非常简单32 M.KOURITZIN和A。

MACKAYSubroutine A1加权模拟-一步1：程序加权模拟（{Hjtk-1，Ljtk-1，ηjε}Ntk-1j=1，{Yj，itk-1} Ntk公司-1，nj，i=1，h，Ntk-1） 2：对于j=1至Ntk-1do3：bVjtk=04：对于i=1到n do5：生成（0，1）-正规Zi6：bYj，itk=ψYj，itk-1+σZi7:bVjtk=bVjtk+（bYj，itk-1） 8：结束9：IntVj=hVjtk公司-1+bVjtk10： 生成（0，1）-正常Zj11:bHjtk=Hjtk-1扩展（IntVj）Zj+bh+cIntVj+dbVjtk公司- Vjtk公司-1.o12:if tk6ηjεthen13:if（Vjtk-1.∧bVjtk）>εthen14:bLjtk=Ljtk-1expe日志bVjtkVjtk-1.+ h类+fh公司Vjtk公司-1.-bVjtk公司15： else16：bηjε=tk-117：结束if18：结束if19：结束for20：结束过程以便于演示；变量ηε和{Yitk}ni=1也需要与（Htk、Vtk、Ltk）一起携带。在子程序A2中，q、q>0是控制重采样量的参数，应根据使用的其他参数进行调整。有关算法的更多详细信息，读者可以参考Kouritzin（2017a）以及Kouritzin（2017b，c），了解这些特定分支方法的更多背景。算法A通过调用子程序A1和A2模拟（Ht、Vt、Lt）Tt=0的路径。模拟{（Hjtk，Vjtk，Ljtk）}Ntk，Kj，k=1，k=Th公司, {IjtK}NtKj=1，将是一个（NtK×K）矩阵，跟踪模拟值{（HjtK，VjtK）}NtKj=1的祖先。接下来，我们写{IjtK}NtKj=1=ItK，并用ItK | k表示其kth列。此矩阵将在原始B1和算法B中使用，以跟踪历史路径。算法B用于计算与第2.4节所述GMWB相关的净负债。该算法将算法A生成的路径以及包含每个时段提取率的向量w作为输入。可以在第12行和第14行中使用更精确的积分近似值来改进算法的性能。

只需稍加修改，算法B也可用于计算2.3中给出的风险度量。通过显式解决方案模拟方法33 GMWBS的VIX链接费用子程序A2分支-一步一：过程分支（{（bHjtk，bVjtk，bLjtk，ηjε}Ntk-1j=1，{Ijtk-1} Ntk公司-1j=1，Ntk-1，q，q）2:Atk=Ntk-1个NTK-1j=1bLjtk3：rtk=exp（qNtk公司-1个NTK-1m=1logbLmtk公司-Ntk公司-1PNtkm=1logbLmtkq） 4：设置l=05：对于m=1至Ntk-1do6：ifbLmtk/∈Atkrtk，Atkrtk然后7：（bHm-ltk，bVm-土地管理局ltk-ltk）=（bHmtk、bVmtk、bLmtk）8：bIm-ltk=Imtk-19： else10：l=l+111：（Hltk、Vltk、Lltk）=（bHmtk、bVmtk、bLmtk）12：Iltk=（Imtk-1，l）13：结束if14：结束for15：Ntk=l16：对于m=1至（Ntk-1.- l） do17：Generatehm-1 NTK-1.-l、 mNtk公司-1.-li统一Wm+ltk18：结束19：{Umtk=Wp（m）tk}Ntk-1.-lm=1，对于p，{l+1，…，Ntk的随机置换-1} 20：对于m=l+1至Ntk-1do21:Nmtk=土地管理局-1塔克 + 1（UktkbLm-1塔克-土地管理局-1塔克!)22：对于j=1至Nmtkdo23：HNtk+jtk、VNtk+jtk、LNtk+jtk=bHm公司-ltk，bVm-ltk，Atk24:INtk+jtk=bIm公司-ltk，Ntk+125：结束时间26：Ntk=Ntk+Nmtk27：结束时间28：结束程序加拿大埃德蒙顿艾伯塔大学数学和统计科学系T6G 2G1E邮件地址：michaelk@ualberta.caURL: http://www.math.ualberta.ca/Kouritzin_M.htmlDepartment加拿大魁北克蒙特利尔大学数学系H3C 3P8电子邮箱：mackay。anne@uqam.ca34M.KOURITZIN和A。

MACKAYAlgorithm（Ht，Vt，Lt）Tt=01的路径模拟：程序模拟连续路径（S，V，N，h，T）2：{（Hj，Vj，Lj，ηjε，Ij）=（S，V，1，T，1）}Nj=1，{Yi，j=q（Vn）}N，Nj，i=13：K=Th公司4： {Ij}Nj=1=5： 对于k=1到k do6：模拟{（bHjtk，bVjtk，bLjtk）}Ntk-1j=1使用子程序A1.7：分支粒子以获得{（Hjtk，Vjtk，Ljtk，ηjε，Ijtk）}Ntkj=1使用子程序A2.8：结束9：结束程序继续B1添加跳跃-一步1：程序跳跃（Hjtk-1、Gjtk-1，Hjtk）2:Gjtk=Gjtk-1Hjtk/Hjtk-13： 生成a（λh）-泊松M4：对于i=1到M do5：生成a对数（1+δ）-χ, χ-正常Yi6：Gjtk=GjtkeYi7：end for8：end procedureVIX通过显式解决方案模拟方法计算GMWBS的链接费用35算法B净负债计算1：程序GMWB（{（Gjtk，Vjtk）}Ntk，Kj，k=1,0，{（LjtK，IjtK）}NtKj=1）2：{（Gj，Fj，Rj，Cj，Wj）=（1，F，0，0）}Nj=13：k=Th公司4： 净负债=05:k=1至k do6:D=7： 对于l=1到NtKdo8：如果IltK | k/∈ D然后9:j=IltK | k-1，m=IltK | k10：如果Fjtk-1> 0然后11：生成Gmtkusing子例程B112：Rmtk=Rjtk-1+小时wtk公司-1Gjtk-1+wtkGmtk13： Fmtk=最大值Gmtk[1- Rmtk]，014： Cmtk=Cjtk-1+he-rhtk[（α-q+αVjtk-1） Fjtk公司-1erh+（α-q+αVmtk）Fmtk]15：Wmtk=016：else17：Cmtk=Cjtk-118：Wmtk=Wjtk-1+he-rhtk公司wtk公司-1右侧+wtk19： 结束if20:D=D∪ IltK | k21：如果k=k，则22：净负债=l-1网络责任+1（WmtK- CmtK）LmtK23：结束if24：结束if25：结束for26：结束for27：结束程序