通过显式解模拟方法计算GMWBs的VIX相关费用

（9） 将费率与波动率指数挂钩的主要目的是重新调整VA担保的价值与费用收入，以降低净负债对波动率变化的敏感性。由于VA担保通常在波动率较高时更有价值，我们寻求在费用收入和VIX之间实现正相关。因此，我们将费用设为VIX的平方的线性函数：ct：=？c+Mvixt10，（10），其中m>0是“乘数”，而？c>0是“基本费率”。根据VIX平方的定义，所有t和Vt的ct>0。可以根据瞬时波动率重新写入总费率γtin。通过将（8）、（9）和（10）代入（5），我们得到了γt=α+αVt，（11），其中α=q+(R)c+mντ - 1+e-ττ+ 2φ，α=m（1- e-τ)/(其中φ如（3）所定义。通过显式解模拟方法72.1.3计算GMWBS的VIX相关费用。可变年金账户。我们在这里介绍的可变年金账户是Cui等人（2017）使用的账户的通用化。除了总费用外，我们还考虑了另一种现金流，即保单持有人的提款。这使我们能够为VA保单定价，并附带保证最低提取福利（GMWB）附加条款，该附加条款允许投保人进行提取（最高可达预先确定的年度金额），直到提取的金额等于初始投资。时间t的提取率表示为wt>0。因此，对于0 6 t 6 t和Ft>0，可变年金账户根据ODFTFT=dStSt演变- γtdt-wtFtdt，（12），F=P，初始保费金额。使用（12）中的（4）和（11），我们得到，forFt>0，dFtVt=u英尺- αVtFt- wtν- 及物动词dt+p1- ρFtVtρFtVtFt-0κVt！dBtdβtdXt, （13） 对于0 6 t 6 t，其中u=r- δλ - α. 注意，由于取款wt，FTA可能达到0（但不是在跳转时间）。

在这种情况下，我们假设process在0处被吸收，并且没有变为负值。因此，对于Ft6 0，dFt=0。为了进行风险管理，了解（目标）P度量下的会计价值动态是很重要的。利用（1）和（12），我们得到FtVt=u*英尺- α*VtFt公司- wtν- *及物动词dt+p1- ρFtVtρFtVtFt-0κVt！数据库*tdβ*tdX公司*t型, （14） 带u*= r- δ*λ*- α, α*= α - η砂B*t、 β*坦德X*（1）中的助教。备注2.3。此设置还可用于为其他类型的VA帐户建模。如上所述，对于所有t，le tting wt=0∈ [0，T]，通过将跳跃参数设置为0，我们恢复了Cui等人（2017）提出的框架。通过让WTA为负值，我们可以用它来代表投资者在VA账户中的存款。这种类型的存款被称为浮动保费，Chi和Lin（2012）以及Bernard等人（2017）对此进行了讨论。虽然我们在此不重点讨论这些问题，但本文中给出的结果可以很容易地用于具有流动性保费的VAs的价格担保。2.2. 为可变年金担保人定价。在本节中，我们考虑一个期限为T的一般可变年金合同。财务担保的任何付款将在此之前支付。我方表示在时间t，0 6 t 6 t的担保付款，并假设e“ZTДt（F）dt#< ∞.一些GMWB车手可以包括其他功能，以增加可用于取款的总装载量。我们在论文中没有考虑这些问题。8 M.KOURITZIN和A.MACKAYNote指出，Дt（F）可以取决于时间t之前F的完整路径，而不仅仅取决于其在t，Ft处的值。

在下一节中，我们将说明我们感兴趣的具体担保，但首先，我们定义了感兴趣的概念和数量。我们用τx表示t=0时代表保单持有人未来寿命的随机变量x，并且我们假设τxis独立于金融市场。定义2.1（折现未来损失）。时间t，0 6 t 6 t的贴现未来损失由∧（t，F，V）确定，并由∧（t，F，V）=ZTte得出-r（u-t） νu（F）1{τx>u}du-中兴通讯-r（u-t） cuFu{τx>u}du。贴现未来损失是一个随机变量，代表给定担保下保险人未来流出和流入之间的差异。如果投保人在T之前死亡，这两种现金流都会停止。重要的是要注意，向被保险人收取的费用收入会考虑附加费CTI，因为费用QI的投资管理部分会支付给第三方。为了简化表示法，将∧（t，F，V）缩短为∧tw，但此表示法不会引起混淆。定义2.2（净负债）。与{νt}06t6t描述的财务担保相关的时间t，0 6 t 6 t的净li能力由∏（t，Ft，Vt）表示，并由∏（t，Ft，Vt）=等式[λt | Ft]给出。因此，净负债是折现未来损失的风险中性预期。定义2.3（公平费用）。向量（(R)c*, m级*) 如果其满意度∏（0，F，V；(R)c，m）=0，则称为公平费用结构（或公平费用）。（15） 在上述等式中，我们将参数“c和m”添加到0处的净负债符号中，以突出其对费用结构的依赖性（10）。根据定义2.3，如果保险人对投保人的预期贴现支出等于预期贴现费用收入，则aVA合同的定价是公平的。对于给定的合同，公平费用通常不是唯一的。一个以上的向量（(R)c，m）可以满足（15）；有关示例，请参见第4节。

为了找到一个公平的费用结构，一方通常会计算“c”或“m”，并使用（15）为另一方求解。备注2.4。在GMWB文献中表达公平费用条件的一种常见方法是设置费用，使VA账户的初始值F等于合同总付款的风险中性预期值。米列夫斯基（Milevsky）和索尔兹伯里（Salisbury）（2006）表明，这一总支出可以表示为定期年金和VA子账户价值的总和，由此产生的公平费用条件为F=中兴通讯-rtwtdt+等式-rTFT]。自那以后，这种特殊形式的公平费用条件被广泛用于GMWB合同的定价，因为它简化了计算中涉及的数量。在我们的背景下，增加非零第三方管理费q打破了米列夫斯基和索尔兹伯里（2006）提出的公平费用条件的等效性。事实上，通过显式解模拟方法9FTA的定义和可选停止定理，使用GMWBS的VIX关联费用，可以证明公平费用条件（15）等效于toF=中兴通讯-rtwtdt+等式-rTFT]+均衡Zτqe-rtFtdt. （16） （16）右侧的附加条款是严格路径依赖的，因此减少了公平费用条件替代形式的利益。此外，由于（15）和（16）是等效的，它们不能一起用于确定唯一的公平费用结构（(R)c*, m级*).使用（5）和（11），未来附加费收入的风险中性现值可以写为Qt中兴通讯-r（u-t） Fucu{τx>u}du=(α- q） EQt中兴通讯-r（u-t） Fu{τx>u}du+ αEQt中兴通讯-r（u-t） VuFu{τx>u}du.在下一节中，我们将介绍我们寻求定价的具体担保。2.3. 可变年金担保的风险管理。保险人和监管机构有兴趣评估贴现未来损失∧t的分布。

特别是，如Feng（2014）所述，初始损失∧分布的尾部风险度量可用于确定准备金和风险资本。在本文中，我们将风险度量应用于∧的分布，以研究与波动率指数挂钩的费用在降低风险资本对市场波动变化的敏感性方面的效果。保险业中最流行的两种尾部风险度量是风险价值（VaR）和条件尾部期望（CTE），我们在本节中回顾了这两种方法。定义2.4（风险价值）。Le t∧是一个R值随机变量，让ζ表示（0，1）中的置信水平。由V aRζ（λ）表示的ζ级风险值定义为∈ R:P（λ6 y）>ζ}。当∧的分布函数连续时，ζ级的风险值仅为分布的ζ-分位数。定义2.5（条件尾部预期）。设∧为R值随机变量，设ζ为（0，1）中的置信度。如果∧的分布函数是连续的，则用CT Eζ（λ）表示的条件尾部期望被定义为teζ（λ）=EP[λ∧>V aRζ（λ）]。在我们的市场模型中，∧t的分布对于所有0 6 t 6 t是连续的。因此，不限制将CTE的定义限制在连续分销情况下。备注2.5。在可变年金的背景下，此处提出的风险度量应根据现实世界的概率度量进行计算，因为其目的是风险管理，而不是定价。Hardy（2003）第9章提供了关于可变年金中风险度量使用的更多详细信息。10 M.KOURITZIN和A.MACKAY2.4。保证最低提款收益。

担保最低支取限额（GMWB）赋予投保人以最大给定利率（此处用“w”表示）从VA账户支取的权利，直到初始保费全额支取为止，无论当前账户价值如何。也就是说，如果账户价值在提款总额达到F之前达到0，投保人仍然可以提款，保险人需要为其提供资金。这里，我们认为T是担保的到期日，我们将其定义为等于初始保费的金额被提取的时间，因此T=inft>0:Ztwsds=F.如果我们假设提款是以最大年利率\'w进行的，那么我们有t=F/\'w。在本文中，我们将考虑不一定恒定的确定性提款率。账户耗尽后的担保提款代表GMWB附加条款的支付。如果VA账户跟踪的指数表现良好，则可能账户值在T处仍为正值。在这种情况下，GMWB附加条款的支付等于0。设τ为停止时间，表示VA账户值达到0：τ=：inf{t>0：Ft=0}的时刻。（17） 然后τ=：τ∧ T是触发GMWB骑手的时间。如果合同到期时账户价值仍为正值，则τ=T。此后，为了关注财务风险，我们还假设（τx>T）=1。换言之，假设投保人至少在合同到期之前存续，并且对于任何t 6 t，1{τx>t}=1。然后，GMWB的支付函数φW（F）可以写为φWt（F）=（0，t<τ，Wt，t>τ。（18）我们表示与GMWB附加条款相关的贴现未来损失，时间t为∧W（t，F，V），尽可能缩短为∧Wt。

使用（18）和定义2.1，我们得到∧W（t，F，V）=（RTτe-r（u-t） 武都-RTte公司-r（u-t） cuFudu，英尺>0，RTte-r（u-t） 武都-RTte公司-r（u-t） cuFudu，Ft=0。（19） 从（19）中可以观察到，右侧第一项中的随机性仅来自τ，即VA账户耗尽的时间，因为我们通过显式解决方案模拟方法11命题2.1为GMWBS提供了确定的提款率wt.VIX相关费用。时间t，与GMWB附加条款相关的净负债∏W（t，F，V）由∏W（t，Ft，Vt）=EQt得出∧Wt=EQthRTτe-r（u-t） 五堆- EQtRτte-r（u-t） 库夫杜, 英尺>0，Eqthrte-r（u-t） 五队，英尺=0。（20） 证明。根据定义2.2得出的结果，采用风险中性预期（19）。然后，由于过程F在0处被吸收，我们得到了eqt中兴通讯-r（u-t） 库夫杜= EQt中兴通讯-r（u-t） cuFu{τ>u}du= EQtZτte-r（u-t） 库夫杜. （21）当Ft>0，且eqthrte-r（u-t） 当Ft=0时，cuFudui=0。本文的主要目的是研究当附加费CTI与波动率指数（m>0）相关时，净负债∏W（t，Ft，Vt）和∧W的分布。从（19）和（20）中可以清楚地看出，由于停车时间τ和骑手费用ct，这些数量具有强烈的路径依赖性。因此，Cui等人（2017）中给出的分析表达式不一定可用，尤其是当提取率WT不恒定时。因此，我们使用Kouritzin（2018）开发的模拟方法，通过模拟VA账户过程，估计∧Wand计算∏W（t，Ft，Vt）分布的风险度量。在下一节中，我们将展示如何根据我们的设置调整此方法。3、模拟可变年金账户在本节中，我们鼓励使用显式弱解来提高蒙特卡罗方法的效率，并给出了（13）和（14）的弱解。

我们将展示该解决方案如何用于构建有效的模拟算法，该算法将用于计算（20）中定义的净负债。在下一节中，将使用该算法评估波动率指数挂钩费用在降低净损失风险方面的效率。3.1. 蒙特卡罗模拟中使用的实验弱解。蒙特卡罗方法由于其通用性和简单性，在保险定价和风险评估中很受欢迎。它们适用于几乎任何型号，可以在几乎任何计算机系统上快速实现。它们的并行性也很好。它们最大的缺点是执行速度，尤其是在多维或其他复杂模型上。这种沉重的计算负担有两个基本原因，即需要平均掉多余的样本和需要精确的样本。尽管如此，减轻这一负担的研究仍令人鼓舞。过多的采样噪声是由于用经验度量代替真实概率度量而产生的。传统上，这是通过使用大量独立样本并依赖大数定律来处理的。然而，在一个随机模型上，要获得相当高的精度所需的样本数量可能非常大，从而造成巨大的计算负担。弥补这个问题的一个好方法是使用负12 M.KOURITZIN和A.MACKAYcorrelated样本，这减少了估计中的方差，并允许使用更少的样本获得相同的精度。在我们的模型中，很容易将负相关性引入驱动过程。然而，尚不清楚这将如何影响样本之间的相关性。因此，首选更直接和独立于模型的方法。因此，我们有兴趣采用Kouritzin等人（2013、2014、2017）的快速模拟现场方法。

这些算法采用样本之间的边际（条件）分布和所需相关性，并为所有样本生成联合分布，这仍然很容易在一次过程中模拟。联合分布是具有给定边际分布和相关性的众多分布之一。它们可以用封闭形式表示。然而，这些方法还需要推广到连续随机变量，并进一步探索。此外，可以以不同的方式引入一定程度的负相关，同时提高样本精度，如下所述，以及inKouritzin（2017a，c）所述。因此，首先调查准确的样本是有意义的。通常，对于一般市场模型，必须使用流行的Euler或Milstein方法生成近似的分离模型样本。这里，一个绘制新的随机变量并在每个离散化的时间点执行计算。离散度必须非常精确，以满足精度要求，否则所谓的离散度偏差将很大。因此，除非找到替代的模拟方法，否则每个样本的计算负担很大。本文使用的有前途的替代模拟方法基于我们模型的显式弱解。激励思想如下。线性SDE的解（如Ornstein-Uhlenbeck过程）可以进行简单的模拟，一个SDE解的时间依赖性差同态通常会产生另一个可能更复杂的SDE解。此外，复杂SDE的弱解有时可以通过将高维强解投影到低维上得到。综上所述，我们进一步推进了Kouritzin（2018）的工作，其中表明显式弱解模拟方法在速度和精度方面都优于Euler或Milstein方法。

在第3.2节中，我们证明了（4）形式的非线性随机波动率跳跃SDE也可以用显式弱解表示，其形式非常便于模拟。详情如下，但我们在wt的情况下鼓励这样做≡ 0现在。首先，对于某些n，当ν=nκ∈ N我们在第3.3节中表明（S，V）的解为：形式st=φtZtVsdBs、ZtVsds、VtYs6t（1+Xs）Vt=nXi=1Yit公司,其中φ是一些已知函数，{Yi}ni=1与β和（B，β，X）相关的Ornstein-Uhlenbeck过程是SDE的驱动过程。现在，可以用高斯方法（精确地在任何时间）模拟VT。RTVSDBS有条件地（在V上）为零均值高斯分布，并且可以使用其VarianCertVSD进行模拟（精确且简单）。X只是泊松跳跃。因此，除了使用辛普森规则或其他数值积分方法来计算积分tVSD外，通过显式解模拟方法13，可以模拟所有GMWBS，而无需任何近似或离散化VIX相关费用。在这种情况下，对于任何n，ν6=nκ∈ N、 我们将度量值改为，对于某些N，ν=Nκ∈ N使用Girsanov定理。我们在第3.3节中表明，测量值变化所用的可能性可以很容易地模拟（有条件地，即在V之后），而无需辛普森规则以外的近似值。在本文中的技术可以称为一种方法之前，还有大量工作要做。首先，当ν6=νκ时，模拟样本与期望样本不相同，并且使用似然LTI进行校正。然而，样本可能性通常会相互偏离，并且大多数样本在足够长的时间内变得无用。纠正这种情况的方法是，当可能性差异太大时，重新采样、交互或分支样本。