Wasserstein对凸序概率测度的抽样

[1, 2]).我们有：uR=νJ（R）≥ infR：uR=νZRxu（dx）-ZRmR（x）u（dx）=ZRxu（dx）-ZRyν（dy）= 1、对于λ∈ [0，1]，Rλ（x，dy）=（1- λ） δ1+x（dy）+λδ2-x（dy）为uRλ=ν，mRλ（x）=（1+λ）+（1-2λ）x和mRλ#u是[（1+λ）上的统一定律∧(2 -λ), (1 + λ) ∨(2 -λ)].使用该mRλ（x）≥ 1代表x∈ （0，1）对于第一个等式，我们有w（u，mRλ#u）≤ J（Rλ）=Z1+λ- 2λxdx=1=infη∈P（ν）W（u，η）。因此，所有核Rλ和推进测度mRλ#u都是最优的。示例2.3。Letu≤cxν和%≥ 1、我们假设ν∈ P%，这意味着u∈ P%。对于α∈ Rd，设uα为ux 7的图像→ x+α。然后，对于任何核R，使得凸阶概率测度的采样7uαR=ν，ZRd | x- mR（x）|%uα（dx）≥ZRdx公司- mR（x）uα（dx）%=ZRdxuα（dx）-ZRdyν（dy）%=ZRdxuα（dx）-ZRdxu（dx）%= |α|%.当R（x，dy）=Q（x）时，得到了该下界-α、 dy），其中Q是任意鞅核，uQ=ν，因为mR（x）=x-α用于此选择。因此，对于%>1，（uα）%P（ν）=u。让我们观察一下，如果u，ν∈ P%（Rd）%>1，那么我们有u，ν∈ 任何%∈ (1, %). 通常，如下一示例中所示，u%P（ν）与u%P（ν）不同。示例2.4。设d=2，u=δ（1,0）+δ（0，a）用一个∈ R和ν=δ(1,0)+ δ(-1,0).对于%>1，因为根据定理2.1，u%P（ν）是u通过一些传输映射的图像，u%P（ν）≤cxν，一个有u%P（ν）=δ（x%，0）+δ(-x%，0）对于某些x%∈ [0, 1]. 对于x∈ [0，1]，因为（x，0）和（0，a）之间的距离(-x、 0）和（0，a）相等，而（x，0）更接近（1，0）比(-x、 0），其中一个具有2W%%（u，δ（x，0）+δ(-x、 0）) = (1-x） %+（a+x）%/2。因为x 7是唯一的最小值→ (1 - x） [0，1]上的+（a+x）是，一个有x=和uP（ν）=δ(1/2,0)+ δ(-1/2,0).

因为x 7是唯一的最小值→ (1 - x） [0，1]上的+（5+x）3/2表示∈ {-√5.√5} ，其中一个具有x=和uP（ν）=δ(1/4,0)+ δ(-1/4,0).然而，情况在维度d=1上有着显著的不同，根据Gozlan等人【14】定理1.5，投影不取决于%。我们将通过用u和ν的分位数函数来描述它的分位数函数来明确这个投影。2.2. 尺寸d=1。设Fu（x）=u((-∞, x] ）和Fν（x）=ν((-∞, x] ）是累积分布函数，对于p∈ （0，1），F-1u（p）=inf{x∈ R:Fu（x）≥ p} andF公司-1ν（p）=inf{x∈ R:Fν（x）≥ p} 它们的左连续非递减广义逆也被称为分位数函数。凸阶在分位数函数方面的特征如下（见定理3.A.5【26】）：对于u，ν∈ P（R），u≤cxνi ff ZF-1u（p）dp=ZF-1ν（p）dp和q∈ （0，1），ZqF-1u（p）dp≤ZqF公司-1ν（p）dp。（2.2）注意，由于该特性，如果u≤cxν，那么对于I，k≥ 1，IPIi=1δIRiIi-1如果-1u（u）du≤cxkIPkIj=1δkIRjkIj-1如果-1ν（u）du，如Baker在定理2.4.11【6】中所述。定理2.5。对于u，ν∈ P（R），设ψ表示函数[0，1]3 q 7的凸包（从上到下的最大凸函数）→RqF-1u（p）- F-1ν（p）dp。存在概率度量uP（ν），因此q∈ [0，1]，RqF-1uP（ν）（P）dp=RqF-1u（p）dp- ψ（q）。此外，uP（ν）∈ P（ν），对于每个%>1，使得u，ν∈ P%（R），u%P（ν）=uP（ν）。最后，T（x）=F-1u（Fu（x））- ψ（Fu（x）-) 是非递减的，是最佳传输图：T#u=uP（ν），并且对于所有%≥ 1，W%%（u，uP（ν））=RR | T（x）- x |%u（dx）。对于概率度量，uI=PIi=1piδxi（分别是νJ=PJj=1qjδyj），在实线上与（p，…，pI）∈ （0，1）i和x<x<…<xI（分别为q，…，qJ）∈ （0，1）Jand y<y<8 AUR\'ELIEN ALFONSI、JACOPO CORBETTA和BENJAMIN JOURDAIN。

<yJ），连续分段函数q 7→RqF-1uI（p）-F-1νJ（p）dp在q处改变坡度∈ {Pik=1pk：1≤ 我≤ 我-1}∪{Pjk=1qk：1≤ j≤ J-1} 更改等于toPI-1i=1{q=Pik=1pk}（xi+1- 十一）-PJ公司-1j=1{q=Pjk=1qk}（yj+1- yj）（如果q=Pik=1pk=Pjk=1qkand xi+1，则可等于零- xi=yj+1- yj）。很明显，ψ是分段的，并且在点q处最多改变斜率∈ {Pik=1pk：1≤ 我≤ 我- 1} 变化不超过xi+1- xiso即（uI）P（νJ）=PIi=1piδzi和z≤ z≤ . . . ≤ zI。凸壳ψ可用Andrew的单调链算法和点（zi）i计算∈我很容易堕落。定理2.5的证明依赖于下面的引理，并在证明后推迟。引理2.6。设%>1和u，ν∈ P%（R）。然后（0，1）3第7页→ F-1u%P（ν）（P）- F-1u（p）不增加。证据如果第7页→ F-1η（p）- F-对于某些η，1u（p）不是不增加的∈ P（ν），可以找到eη∈ P（ν），使得W%%（u，eη）<W%%（u，η），其中，根据比例2.17【25】，W%%（u，η）=R | F-1η（p）- F-1u（p）|%dp。具有P 7的左侧连续性→ F-1η（p）- F-1u（p），该函数的无单调性相当于0<Z（0,1）Iη（p，q）dpdq，其中Iη={（p，q）：（p-q） （F）-1η（p）-F-1u（p）-F-1η（q）+F-1u（q））>0}。设α（p，q）=1Iη（p，q）F-1η（p）-F-1u（p）-F-1η（q）+F-1u（q）2（F-1η（p）-F-1η（q）），其中可以轻松检查分母在Iη上是否消失，以及0≤ α（p，q）=α（q，p）<1。

对于（p，q）∈ Iη，α（p，q）F-1η（q）+（1- α（q，p））F-1η（p）- F-1u（p）=F-1η（p）- F-1u（p）+F-1η（q）- F-1u（q），因此通过严格凸性，|F-1η（p）- F-1u（p）|%+| F-1η（q）- F-1u（q）|%>|α（p，q）F-1η（q）+（1- α（q，p））F-1η（p）- F-1u（p）|%。利用Jensen不等式，我们推导出w%%（u，η）=Z（0,1）| F-1η（p）- F-1u（p）|%+| F-1η（q）- F-1u（q）|%dpdq>Z（0,1）|α（p，q）F-1η（q）+（1- α（q，p））F-1η（p）- F-1u（p）|%dpdq≥ZZα（p，q）F-1η（q）+（1- α（q，p））F-1η（p）dq- F-1u（p）%数据处理右侧不小于W%%（u，eη），其中eη表示（0，1）上的Lebesguemeasurement图像，p 7→Rα（p，q）F-1η（q）+（1- α（q，p））F-1η（p）dq。φ：R→ R凸面，使supx∈R |φ（x）| 1+| x |%<∞, 根据Jensen不等式，ZRφ（x）eη（dx）≤Z（0,1）α（p，q）φ（F-1η（q））+（1- α（q，p））φ（F-1η（p））dqdp=Zφ（F-1η（q））dq。由于右侧等于toRRφ（x）η（dx），通过下面的引理A.1，我们得到了eη∈ P（ν）。凸阶概率测度的抽样9定理2.5的证明。设U在（0，1）上均匀分布。自所有q∈ [0，1]，RqF-1u（p）- F-1ν（p）dp≥RqF-1u（p）dp- qRF-1ν（p）dp，其中右侧是q的凸函数，其中ψ（0）=0，ψ（1）=RF-1u（p）-F-1ν（p）dp。通过下面的引理A.2，q 7和→RqF-1u（p）dp和q 7→RqF-1ν（p）dp表示q 7→RqF-1u（p）dp- ψ（q）是凸的。设f表示该函数的左导数，uP（ν）表示f（U）的概率分布。根据下面的引理A.3，f等于f-1uP（ν），以便q∈ [0，1]，RqF-1uP（ν）（P）dp=RqF-1u（p）dp- ψ（q）。让q∈ [0, 1]. 自ψ（q）≤RqF-1u（p）- F-1ν（p）dp，当q=1时相等，一个hasRqF-1uP（ν）（P）dp=RqF-1u（p）dp- ψ（q）≥RqF-q=1时等于1的1ν（p）dp，因此通过（2.2），up（ν）≤cxν。

通过[0，1]3 q 7的凹度→ -ψ（q）=RqF-1uP（ν）（P）- F-1u（p）dp，左连续函数（0，1）3 p 7→ F-1uP（ν）（P）- F-1u（p）不增加。seteP（ν）：={η∈ P（ν）：（0，1）3 P 7→ F-1η（p）- F-1u（p）不增加}不为空，因为up（ν），δRRyν（dy）∈eP（ν）。设D（η）表示F的分布-1η(1 -U）-F-1u(1 - U）对于η∈eP（ν）。对于所有η∈eP（ν），RR | x | D（η）（dx）<∞ andRRxD（η）（dx）=EF-1η(1 - U）- F-1u(1 - U）=RRx（ν- u）（dx）。根据下面的引理A.4，集合{D（η）：η∈eP（ν）}允许凸阶和所有q的一个内界π∈ [0，1]，RqF-1π（p）dp=infη∈eP（ν）RqF-1D（η）（p）dp。对于η∈eP（ν），自（0，1）3 p 7→ F-1η(1 - p）- F-1u(1 - p） isnon递减，引理A.3，第7页→ F-1D（η）（p）和p 7→ F-1η(1 - p）-F-1u(1 - p） 与它们共同的不连续性的最多可数集重合，前者是左连续的，后者是右连续的。因此对于q∈ [0,1]，ZqF-1π（p）dp=infη∈eP（ν）Z1-qF公司-1η（p）- F-1u（p）dp=- supη∈eP（ν）Z1-qF公司-1u（p）- F-1η（p）dp，其中右侧不大于r1-qF公司-1uP（ν）（P）-F-自up（ν）起的1u（p）dp∈eP（ν）。自η起∈eP（ν）i ff-1u- F-1η为非递减，R | F-1η（p）| dp<∞,射频-1η（p）dp=RF-1ν（p）dp和所有q∈ [0，1]，R1-qF公司-1η（p）dp≥R1级-qF公司-1ν（p）dp（见（2.2）），ψ的定义意味着对于所有q∈ [0，1]，supη∈eP（ν）R1-qF公司-1u（p）- F-1η（p）dp≤ ψ(1 -q） =R1-qF公司-1u（p）- F-1uP（ν）（P）dp。亨塞尔夫-1π（p）dp=R1-qF公司-1uP（ν）（P）- F-1u（p）dp=RqF-1D（uP（ν））（P）dp，适用于所有q∈ [0，1]确保π是分布D（uP（ν））ofF-1uP（ν）（1- U）- F-1u(1 - U）。因此，如果%>1为u，ν∈ P%（R），W%%（u，uP（ν））=Eh | F-1uP（ν）（1- U）- F-1u(1 - U）|%i=ZR | x |%π（dx）≤ infη∈eP（ν）E|F-1u(1 - U）- F-1η(1 - U）|%= infη∈eP（ν）W%%（u，η）=infη∈P（ν）W%%（u，η），其中我们使用π的定义和R 3 x 7的凸性→ |x |%表示不等式，引理2.6表示最终等式。

由于根据定理2.1，u%P（ν）是P（ν）上w%%（u，η）的唯一极小值，我们得出结论，uP（ν）=u%P（ν）。从分位数函数的左连续性，我们得到F-1uP（ν）（P）=F-1u（p）- ψ（p-)对于p∈ （0，1），此函数为非递减函数。因此，T是不递减的。为了总结10 AUR\'ELIEN ALFONSI、JACOPO CORBETTA和BENJAMIN Jourdaint的证据，现在有必要检查T（F-1u（p））=F-1u（p）- ψ（p-) 对于a.e.p∈(0, 1). 事实上，结合逆变换采样和命题2.17【25】，这确保了Tu=uP（ν）和w%%（u，uP（ν））=Z | F-1u（p）- T（F-1u（p））|%dp=ZR | x- T（x）|%u（dx）。通过定义分位数函数F-1u，适用于所有x∈ R、 F级-1u（Fu（x））≤ x和右侧Fu的连续性，对于所有p∈ （0，1），Fu（F-1u（p））≥ p、 用Fuwe的单调性导出所有x的单调性∈ R使得Fu（x）∈ （0，1），Fu（F-1u（Fu（x））=Fu（x）。因此，如果p∈ （0，1）对于某些x，p=Fu（x）∈ R、 然后T（F-1u（p））=F-1u（p）- ψ（p-).否则，p∈ [Fu（x-), Fu（x））对于某些x∈ R使得u（{x}）>0。我们观察到F-1u（q）和ψ（q-) 是恒定的（Fu（x-), Fu（x）]，自第7季度起→RqF-1u（u）- F-1ν（u）du在此间隔上是凹的。对于p∈ （Fu（x-), Fu（x）]，我们有F-1u（p）=x，我们得到（F-1u（p））=F-1u（Fu（x））- ψ（Fu（x）-) = F-1u（p）- ψ（p-). 因此，p的等式在可数集{Fu（x）之外-) : x个∈ R s.t.u（{x}）>0}。3、凸序近似下一个命题是构造保持凸序的概率测度近似的关键结果。提案3.1。出租%≥ 1，u，ν，uI，νJ∈ P%（Rd），使u≤cxν。那么，我们有w%（u，（uI）%P（νJ））≤ 2W%（u，uI）+W%（ν，νJ），其中，对于%=1，稍微滥用符号，（uI）P（νJ）表示任何η？∈ P（νJ）使得w（uI，η？）=infη∈P（νJ）W（uI，η）。Letu，ν∈ P%（Rd）应为u≤cxν。

根据命题3.1，如果我们有满足W%（u，uI）的近似值uIandνj→我→+∞0和W%（ν，νJ）→J→+∞0，那么（uI）%P（νJ）也接近u，因为我们有W%（u，（uI）%P（νJ））→一、 J→+∞特别是，如果我们采取i.i.d.样本（Xi）i≥1（分别为Yj）j≥1） 根据u（分别为ν）分布，经验测量值uI=IPIi=1δXi（分别为νJ=JPJj=1δYj）满足W%（u，uI）→我→+∞0（分别为W%（ν，νJ）→J→+∞0）几乎可以肯定。事实上，大数定律给出了ui向u的几乎确定的弱收敛性，以及πi=1 | Xi |%toRRd | x |%u（dx）的几乎确定的收敛性。根据[4]的命题7.1.5，我们得到W%（u，uI）→我→+∞0几乎可以肯定。在对测度u和ν进行更严格的假设下，我们几乎可以确定收敛速度的估计。让我们假设u是这样的：Eα，γ=RRdeγ| x |αu（dx）<∞ 对于某些α>%和γ>0。然后，根据Fournier和Guillin[12]的定理2，常数c，c>0取决于%，d，α，γ，Eα，γ，使得x个∈ （0，1），P（W%（u，uI）>x）=P（W%%（u，uI）>x%）≤ C扩展(-cIxd公司∨(2%)).因此，我们有∞I=2PW%（u，uI）>2日志（I）cId∨(2%)≤ 人物配对关系∞I=2I-2< ∞, 几乎可以肯定的是我≥ 一、 W%（u，uI）≤2日志（I）cId∨(2%). 凸阶11x 7概率测度的SinceSAMPLING→ eγ| x |α是凸的，RRdeγ| x |αν（dx）<∞ ==>RRdeγ| x |αu（dx）<∞, 在这种情况下，W%（u，uI）=O日志（I）Id∨(2%)W%（ν，νJ）=O对数（J）Jd∨(2%)和thusW%（u，（uI）%P（νJ））=I，J→+∞O日志（I∧ J） 我∧ Jd∨(2%)!, a、 s.【12】的定理2也给出了P（W%（u，uI）>x）在u上不同的最弱衰减下的上界。在这些情况下，我们可以重复相同的论点，得到W%（u，uI）向0的较弱收敛率。我们现在简要地考虑多边际的情况。出租%≥ 1, ` ≥ 2、我，我是积极的智者，u`是RDS上的概率度量，因此u≤cx。≤cxu`和Rrd | x |%u`（dx）<∞.

我们考虑1≤ k≤ `, ukIk=IkPIki=1δxkit i.i.d.样品Xk的经验测量，xkikd根据uk分布。让我们设置u`、%I`=u\'I\'，并通过反向归纳k定义（使用%=1命题3.1中的符号滥用）∈ {1, . . . , ` - 1} ，投影uk，%Ik，。。。，W%Wasserstein距离的集合P（uk+1，%Ik+1，…，I`）中ukIkon的I`。那么，根据命题3.1，我们有≤ k≤ ` - 1，W%（uk，uk，%Ik，…，I`）≤ 2W%（uk，ukIk）+W%（uk+1，uk+1，%Ik+1，…，I`）。因此，我们通过归纳推断W%（uk，uk，%Ik，…，I`）≤ 2`-1Xk=千瓦%（uk，ukIk）+瓦%（u`，u\'I`）。我们最终得到以下结果。提案3.2。出租%≥ 1, u, . . . , u`是RDS上的概率度量，因此u≤cx。≤cxu`和Rrd | x |%u`（dx）<∞. 然后，正如我所说，我`→ +∞,P\'k=1W%（uk，uk，%Ik，…，I`）几乎肯定会收敛到0。此外，如果rRDEγ| x |αu`（dx）对于某些α>%和γ>0，我们有a.s.P` k=1W%（uk，uk，%Ik，…，I`）=貂皮=1`Ik→+∞Olog（貂=1，…，`Ik）貂=1`Ikd∨(2%).命题3.1的证明。我们认为%>1。设Q%uI（分别为Q%ν）为马尔可夫核，使得uI（dx）Q%uI（x，dy）（分别为ν（dx）Q%ν（x，dy））是W%（uI，u）（分别为W%（ν，νJ））的最优传输计划。设R（x，dy）是一个鞅核，使得ν=uR。我们观察到Q%uIRQ%ν是一个马尔可夫核，使得uIQ%uIRQ%ν=uRQ%ν=νQ%ν=νJ。

根据定理2.1,12，AUR\'ELIEN ALFONSI、JACOPO CORBETTA和BENJAMIN JOURDAINthen利用R的鞅性质、Jensen不等式和Minkowski不等式，我们得到了w%（uI，（uI）%P（νJ））≤ J1/%%（Q%uIRQ%ν）=ZRd公司ZRd×Rd×Rd（x- w+w- y） Q%uI（x，dw）R（w，dz）Q%ν（z，dy）%uI（dx）1/%=ZRd公司ZRd×Rd×Rd（x- w+z- y） Q%uI（x，dw）R（w，dz）Q%ν（z，dy）%uI（dx）1/%≤ZRd×Rd×Rd×Rd | x- w+z- y |%Q%uI（x，dw）R（w，dz）Q%ν（z，dy）uI（dx）1/%≤ZRd×Rd | x- w |%Q%uI（x，dw）uI（dx）1/%+ZRd×Rd | z- y |%ν（dz）Q%ν（z，dy）1/%=W%（uI，u）+W%（νJ，ν）。根据W%（u，（uI）%P（νJ））的要求≤ W%（u，uI）+W%（uI，（uI）%P（νJ））。4、凸序集u，ν中大于u的概率测度集上ν的Wasserstein投影∈ P%（Rd）。我们刚刚提出了一个度量u%P（ν）的构造，例如u%P（ν）≤cxν。然后，一个自然的问题是：我们是否可以构造一个类似的度量ν%(R)P（u），使得u≤cxν%？P（u）？让我们从两个经验度量uI=IPIi=1δxindνJ=JPJj=1δYj开始。自然构造是取（νJ）%？P（uI）=JPJj=1δeYj，其中（eYj，J=1，…，J）∈ （Rd）JminimizesPJj=1 | eYj- 约束uI下的Yj |%≤cxJPJj=1δeYj（当J=I时，通过取eYj=Xjforj=1，…，J或当J≥ d+1由takingeYj表示，j=1，d+1是通过某种相似变换得到的正则单纯形的垂直方向的图像）。ν%(R)P（u）的类似构造是取ν%(R)P（u）=T#ν，其中T:Rd→ RDI是一个可测量的地图，可将SRD | y最小化- T（y）|%ν（dy），在u约束下≤cxT#ν。更一般地说，wede fineν%(R)P（u）：=arg minη∈\'P（u）W%（ν，η），其中\'P（u）={η∈ P（Rd）：u≤cxη}。现在让我们假设%>1。后一个问题与前一个问题一致，当ν相对于Lebesgue测度是绝对连续的（即。

对于Lebesgue测度为零的任何Borelset A，ν（A）=0），因为我们知道在这种情况下，Wasserstein距离W%的最佳耦合由传输图给出，参见[4]中的定理6.2.4。我们现在检查它是否定义良好。Let（ηn）n≥1.∈ （P%（Rd））Nbe，使ηn∈\'P（u）和W%（ν，ηn）→n→+∞infη∈(R)P（u）W%（ν，η）。设πn∈ π（ν，ηn）表示在ν和η之间的最佳输运计划（对于W%）。我们有R | x |%ηn（x）1/%=W%（ηn，δ）≤ W%（ηn，ν）+W%（ν，δ）：矩的有界性确保存在一个子序列，使得πν（n）和ην（n）弱收敛于π∞和η∞. 这给出了infη∈(R)P（u）W%%（ν，η）≥ 画→+∞R（| x-y |%∧K） πД（n）（dx，dy）=R（| x-y |%∧K） π∞（dx，dy）对于任何K>0。通过单调收敛，我们得出infη∈(R)P（u）W%（ν，η）≥R | x-y |%π∞（dx，dy）。很明显，π∞是νetη之间的耦合∞. 此外，从%阶矩上的界给出的一致可积性出发，我们对凸阶概率测度13进行抽样，得到任何凸函数φ：Rd的一致可积性→ Rd以便supx∈Rd |φ（x）| 1+| x |<∞,Rφ（x）u（dx）≤Rφ（x）ηД（n）（dx）→n→+∞Rφ（x）η∞（dx）。因此，通过下面的引理A.1，η∞∈(R)P（u），表示存在最小值。当ν相对于lebesgue测度绝对连续时，我们可以证明这个最小值是唯一的。让我们考虑η，η∈\'P（u），使得W%（ν，η）=W%（ν，η）=infη∈(R)P（u）W%（ν，η）。一个有（η+η）∈(R)P（u），根据下面的Emma A.5，我们得到W%ν,(η+ η)≤ infη∈\'P（u）W%（ν，η）和η=η，因为它们的内在质量必然相等。在维1中，唯一性仍然成立，对ν没有任何假设。事实上，根据（2.2），概率度量“η”由F定义-1’η=（F-1η+F-1η）为u≤cx？η。再次通过引理A.5，W%（ν，’η）≤ infη∈(R)P（u）W%（ν，η）和η=η，因为不等式必然是一个等式。