Wasserstein对凸序概率测度的抽样

（A.6）因此，我们有{t∈ R、 νu（t）<ν（t）} {t∈ Rq∈ [Fν（t-), Fν（t）]，qt- ψu（q）<qt- ψν（q）}={t∈ Rq∈ [Fν（t-), Fν（t）]，ψu（q）>ψν（q）}。因此[1≤n≤N（Fν（tn），Fν（tn-)) [1≤n≤N【t】∈（tn，tn）[Fν（t-), Fν（t）] {q∈ [0，1]，ψu（q）>ψν（q）}。（A.7）现在，我们观察到（0，1） ∪t型∈R[Fu（t-), Fu（t）]，对于t∈ R使得Fu（t-) < Fu（t），ψu（q）表示q∈ [Fu（t-), Fu（t）]。利用ψν的凸性，我们得到{q∈ [0，1]，ψu（q）>ψν（q）}[t∈R： ψu（Fu（t））>ψν（Fu（t））或ψu（Fu（t-))>ψν（Fu（t-))[Fu（t-), Fu（t）]。28 AUR\'ELIEN ALFONSI、JACOPO CORBETTA和BENJAMIN Jourdain如果ψu（Fu（t））>ψν（Fu（t）），我们得到了νu（t）=Fu（t）t-ψu（Fu（t））<Fu（t）t-ψν（Fu（t））≤ νν（t），通过使用该νν是ψν的勒让德变换。类似地，ψu（Fu（t-)) > ψν（Fu（t-)) ==>νu（t）<ν（t），我们得到{q∈ [0，1]，ψu（q）>ψν（q）}[t∈R： νu（t）<ν（t）[Fu（t-), Fu（t）][1≤n≤N【Fu（tn），Fu（tn-)].如果tn>-∞, ψu（Fu（tn））=tnFu（tn）-^1u（tn）。由于νu（tn）=νν（tn），且ν的勒让德变换ψν不大于ψu，我们推断ψu（Fu（tn））=ψν（Fu（tn））。同样，如果tn<+∞, 然后ψu（Fu（tn-)) = ψν（Fu（tn-)) 所以{q∈ [0，1]，ψu（q）>ψν（q）}[1≤n≤N（Fu（tn），Fu（tn-)). （A.8）现在，（A.5）表示Fu（tn）≤ Fν（tn）。如果Fu（tn）<Fν（tn），则必须有tn>-∞,对于q∈ （Fu（tn），Fν（tn）），我们有F-1ν（q）≤ TN和F-1u（q）>tn，因为Fu是右连续的。因此，我们有RPFu（tn）F-1u（q）dq>RpFu（tn）F-1ν（q）dq，因此ψu（p）>ψν（p）表示p∈ （Fu（tn），Fν（tn）]。同样，我们证明了对于q，ψu（q）>ψν（q）∈ [Fν（tn-), Fu（tn-)),其中（A.7）和（A.8）给出了索赔。参考文献[1]Aur\'elien Alfonsi、Jacopo Corbetta和Benjamin Jourdain。凸阶概率测度的抽样与鞅最优运输问题的逼近。ArXiv eprint 1709.052872017。[2] 奥尔·埃林·阿方西、雅各布·科尔贝塔和本杰明·乔尔丹。

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