Wasserstein对凸序概率测度的抽样

最后，eY-埃克桑迪-如果他们必须独立，否则他们就不会跟着ν走。我们现在演示MOT并考虑独立样本（X，X），（XI，XI）和（Y，Y），（YI，YI）分别按u和ν分布。我们设置euI=IPIi=1δ（Xi-XI，XI-XI）和eνI=IPIi=1δ（Yi-\'易，易-‘YI），其中‘X’I=IPIi=1X’I和‘Y’I=IPIi=1Y’I。我们使用euI和eνIrather，而不是使用经验度量uI和νisinces。我们在实验中注意到，它们更好地近似u和ν（见图1），并为近似MOT问题提供了更好的结果（见[2]）。在此我们要提到的是，在金融应用中，通常可以从经验度量uIandνj计算euIand和eνif，因为u和ν的平均值由标的资产的当前价格给出。为了计算（euI）P（eνI），我们必须解决等式（1.1）中描述的线性约束的二次优化问题，其中%=2。因此，问题的维数等于I。我们在数值实验中使用了COIN-OR解算器，这使我们能够为I求解（1.1）到500。一次（euI）P（eνI）=IPIi=1δ（eXi，eXi）？然后，我们可以解决（euI）P（eνI）和eνI之间的离散MOT问题。在图3中，对于%=2.5，我们绘制了yi- 彝语的xiin功能- xi对于MOT中正概率的点（xi，yi）（（euI）P（eνI），νI）。我们记得，连续MOT的最佳耦合由（X，Y）和X给出~ u和Y=X+Z，Z是一对独立的Rademacher随机变量。自Y起-Y=X-X+Z-赞德Z- Z在中生成值{-2，0，2}，我们希望观察到点是围绕线y=x聚集的-2，y=x和y=x+2，如图3所示。此检查是算法的实现。

此外，我们在100次独立运行中计算了I=100时（（euI）P（eνI），νI）的离散MOT值：平均值等于2.0064，标准偏差等于0.2213，这使得[1.9631，2.0498]为95%置信区间，这与连续MOT值非常接近。在最佳选项上建立自由边界模型。设（G，G）是协方差矩阵为∑的中心高斯向量。我们用u表示（X，X）定律，其中X`=exp（G`- “`”的∑`/2）∈ {1，2}，通过ν（Y，Y）定律，Y`=exp(√2G`- Σ``). 在金融背景下，这种边际法则的选择是常见的，并对应于二维BlackScholes模型：（X，X）是时间t>0时两种资产的价格，（Y，Y）是凸阶概率测度的抽样价格212.0 1.5 1.0 0 0.5 0.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0432101234图3。彝族情节-xi的一因功能-xi对于MOT中正概率为（（euI）P（eνI），νI）的点（xi，yi），I=100。以红色绘制线y=x- 2，y=x和y=x+2。时间2t时的这些资产。我们感兴趣的是一个支付最高（Y-十、 Y型-十、 0），即两项资产的最佳算术性能，如果为正。在Black-Scholes模型中，该期权的价格可以使用蒙特卡罗算法轻松计算。设（X，X），（XI，XI）和（Y，Y），（YI，YI）表示分别按u和ν分布的独立样本。我们设置euI=IPIi=1δ（eXi，eXi）和eνI=IPIi=1δ（eYi，eYi），其中（eXi，eXi）=（Xi+1-XI，XI+1-XI，（eYi，eYi）=（Yi+1-\'YI，YI+1-\'YI），\'X\'I=IPIi=1X\'I和\'Y\'I=IPIi=1Y\'I。

我们再次使用二次优化解算器COIN-OR计算（euI）P（eνI），然后解决（euI）P（eνI）和eνI.22 AUR\'ELIEN ALFONSI之间的离散问题，JACOPO CORBETTA和BENJAMIN JOURDAIN0 1 2 3 4 50.00.51.01.52.02.5资产1101234567资产20.00.51.01.52.02.53.03.54.00.20.00.20.40.60.81.01.2资产1101234567资产20.00.51.01.52.53.03.54.00.20.20.40.60 1 2 3 5 60.51.52.53.03.54.0资产1101234567资产20.51.01.52.02.53.03.54.00.20.00.20.40.60.81.01.2图4。对于最小化问题（顶部）和最大化问题（底部），维度2中的离散MOT（I=100）。凸阶概率测度的抽样23我们现在转到图4所示的示例。我们考虑了以下协方差矩阵∑=0.5 0.10.1 0.1. 有了这种选择，期权的布莱克-斯科尔斯价格大约等于0.345。当I=100时，我们计算了100次独立运行的最小化和最大化程序的值，然后计算平均值。因此，我们得出下限价格为0.2293，上限价格为0.4111。相应的标准偏差分别为0.0848和0.1422，这使得95%的置信区间为半长0.017和0.028。在图4中，我们将最小化和最大化问题的离散MOT绘制在同一样本上。准确地说，我们已经绘制了点（eXi，eXi）？，我∈ 超平面z=0中的{1，…，I}，以及超平面z=1中的点（eYi，eYi）。点之间的边（eXi，eXi）？和（eYj，eYj）表明，最佳耦合为相应的跃迁提供了正权重。这两个最佳耦合之间的差异是显而易见的。我们可以试探性地解释以下图表。

成本函数c（x，y）=max（y-x、 y型-x、 0）对于两项资产中的一项资产的大幅增加将是积极的。因此，为了将成本降到最低，必须将资产1和资产2的大量增加集中起来。相反，为了使成本最大化，最好将一种资产的增加与另一种资产的减少结合起来。表2中报告了计算Wasserstein投影和线性编程问题所需的CPU时间。表的维度d=1行对应于成本函数max（y）x和y定律之间的MOT问题-x、 0）。影响计算时间的主要因素是必须找到最优矩阵（rij）的维数Iin。概率测度基础空间的维数d对二次问题（1.1）的计算时间影响较小，因为等式约束2I的数量不会随d而变化。相反，它对线性规划问题（1.3）有一定影响，因为等式约束（2+d）I的数量随d而增加。尽管如此，由于线性问题的求解比二次问题的求解耗时少得多，因此维数d对总体计算时间的影响相当小。I 100 150 200 300 500二次问题（1.1），d=1 1.5s 4.8s 18s 88s 673s二次问题（1.1），d=2 1.3s 10s 22s 105s 807s线性问题（1.3），d=1 0.3s 0.78s 2s 6.6s 41s线性问题（1.3），d=2 0.43s 2s 4.5s 19.5s 120稳定2。在2.6GHz的CPU Intel Core i7上计算时间，同时计算维度d=1和d=2.5.3的二次和线性问题。进一步说明。鉴于命题3.1和3.2，最好证明ifπ的稳定性∈对于弱收敛拓扑或Wassersteinstantion，关于P（Rd）中的u和ν的∏M（u，ν）ZRd×Rdc（x，y）π（dx，dy）。

在图3的数值示例中，连续MOT是明确的，离散最优成本向连续最优成本的收敛性似乎成立。我们计划在未来的工作中调查这一财产。请注意，对于满足所谓Spence-Mirrlees条件的成本函数（见[17]），Juillet[18]获得的左帘联轴器的稳定性是朝着这个方向迈出的重要一步。为了克服线性规划解算器计算问题（1.3）解的样本量限制，可以考虑对该问题引入熵正则化，类似于Benamou等人[9]提出的离散最优传输。对于uI=PIi=1piδxi≤cxνJ=PJj=1qjδyjandε>0，正则化问题是xi=1JXj=1rεij的最小化c（xi，yj）+ε（ln rεij- 1)在约束rεij下≥ 0，对于j，PIi=1rεij=qjj∈ {1，…，J}，PJj=1rεij=piandPJj=1rεijyj=pixifor i∈ {1，…，I}。由于约束是有效的，这个问题可以通过【9】中提出的迭代Bregman投影来解决。特别是，通过迭代第一个边缘定律约束、第二个边缘定律约束和鞅约束上的连续熵投影得到的解。这两个项目是明确的（例如，见命题1[9]）。可以使用Darroch和Ratcliff提出的广义迭代缩放算法计算马丁格尔约束上的熵投影【10】。Guo和Obl\'oj最近研究了这种结合鞅约束放松的方法[16]。附录A.技术引理A.1。Letu，ν∈ P（Rd）。那么，我们有u≤cxν当且仅当，φ：Rd→ R凸且这样supx∈Rd |φ（x）| 1+| x |<∞,ZRdφ（x）u（dx）≤ZRdφ（x）ν（dx）。证据Letφ：Rd→ R是一个凸函数。

我们定义φ*（y） =supx∈Rdx·y- φ（x）φ和haveφ（x）=φ的legendre-Fenchel变换**（x） =supy∈Rdx·y- φ*（y） 。函数φ*: 研发部→ [-φ(0), +∞] 是凸下半连续函数。因此，对于任何n≥ 1，存在带欧氏范数的yn | yn |≤ n和inf | y|≤nφ*（y） =φ*（yn）。存在n个∈ N*这样φ*（yn）<∞ 对于n≥ n、 否则我们会有φ*= +∞然后φ=-∞. 我们设置φn（x）=sup | y|≤nx·y- φ*（y） 对于n≥ nx·yn- φ*（yn）≤ φn（x）≤ n | x |+φ（0）。因此，φnis具有一定的增长，因此φn（x）u（dx）≤RRdφn（x）ν（dx）。根据单调收敛定理，积分Rrd（φn-φn）（x）u（dx）（分别为RRd（φn-φn）（x）ν（dx））收敛toRRd（φ- φn）（x）u（dx）（分别为RRd（φ- φn）（x）ν（dx））作为n→ ∞. 我们得出RRDφ（x）u（dx）≤RRdφ（x）ν（dx）。引理A.2。设f，g：[0，1]→ R是两个凸函数，h表示凸hullof- g、 然后是f- h是凸的。证据让0≤ p<q≤ 1和α∈ [0, 1]. 如果h（αp+（1-α） q）=（f-g） （αp+（1-α） q），然后，使用g的凸性，那么h从上面以f为界的事实- g对于凸25阶不等式中概率测度的二抽样，我们得到（f- h） （αp+（1- α） q）=g（αp+（1- α） q）≤ αg（p）+（1- α） g（q）=α（f（p）- （f）- g） （p））+（1- α） （f（q）- （f）- g） （q））≤ α（f- h） （p）+（1）- α） （f）- h） （q）。（A.1）否则，h是某个区间[r，s]上的一个函数，0≤ r<αp+（1- α） q<s≤ 1，h（r）=（f-g） （r）和h（s）=（f-g） （s）。如果r∈ （p，αp+（1-α） q），然后用q替换α-rq公司-引脚（A.1），我们得到（f-h） （r）≤q-rq公司-p（f-h） （p）+r-pq-p（f-h） （q）以便（f-h） （r）∨p）≤q-r∨pq-p（f-h） （p）+r∨p-pq-p（f-h） （q）。

以对称方式，（f-h） （s）∧q）≤q-s∧qq-p（f-h） （p）+s∧q-pq-p（f-h） （q）。因此，s∧ q- （αp+（1- α） q）s∧ q- r∨ p（f- h） （r）∨ p） +（αp+（1- α） q）- r∨ 聚苯乙烯∧ q- r∨ p（f- h） （s）∧ q）≤ α（f- h） （p）+（1）- α） （f）- h） （q）。通过区间[r]上f的凸性和h的a ffne性质∨ p、 s∧ q] 含αp+（1- α） q，左侧不小于（f- h） （αp+（1- α） q）。引理A.3。设f：（0，1）→ R是一个非递减函数，η表示U均匀分布在（0，1）上时f（U）的概率分布。然后是f和分位数函数f-如果f是左连续的，则1η与它们的公共不连续的最可数集重合，甚至在（0，1）上的任何地方都重合。证据随机变量f（U）和f-1η（U）均按η分布。此后p∈ （0，1），P（f（U）≤ F-1η（p））=p（F-1η（U）≤ F-1η（p））≥ p使F-1η（p）≥ 谱仪半定量分析∈（0，p）f（q）。按对称性，f（p）≥ 谱仪半定量分析∈（0，p）F-1η（q），上确界等于F-F的左连续性和单调性为1η（p）-1η. 因此f（p）≥ F-1η（p）≥ 谱仪半定量分析∈（0，p）f（q），当f保持连续时，supremum等于f（p）。引理A.4。对于x∈ R、 {η的任何非空子集px∈ P（R）：RRyη（dy）=x}对于凸阶有一个上限π。此外，对于所有q∈ [0，1]，RqF-1π（p）dp=infη∈PxRqF-1η（p）dp。证据Kertz和R¨osler【20】第162页给出了内模的存在性。这些作者用累积分布函数来刻画凸序。通过（2.2）中提到的分位数函数更方便的表征，足以检查所有q∈ [0，1]，eψ（q）：=infη∈PxRqF-1η（p）dp=RqF-某些概率测度π的1π（p）dp∈ P（R）使得rryπ（dy）=x。对于η∈ Px，RF-1η（p）dp=x，对于所有q∈ [0，1]，RqF-1η（p）dp≥ (1 - q） x.因此对于所有q∈ [0，1]，eψ（q）≥ (1 -q） x，eψ（0）=x，eψ（1）=0。

函数eψ在[0，1]上是凹的，作为凹函数的上限，它在（0，1）上是连续的。自η起∈ Px，eψ（q）≤RqF-1η（p）dp，eψ在0和1连续，因此在[0，1]上。用f表示其左手导数，一个hasR | f（p）| dp<∞ 对于所有q∈ [0，1]，eψ（q）=Rqf（p）dp，f不递减。最后，我们用f将π定义为（0，1）上勒贝格测度的图像。引理A.5。设%>1和η，η，η∈ P%（Rd）。然后新%%η,η+ η≤W%%（η，η）+W%%（η，η）, （A.2）26 AUR’ELIEN ALFONSI、JACOPO CORBETTA和BENJAMIN Jourdain此外，当η相对于Lebesgue测度绝对连续或d=1且η没有原子时，当且仅当η=η时，等式成立。最后，当d=1时，语句主要有效，η+η替换为分布“ηofF”-1η+F-1η（U），U在[0，1]上均匀分布。证据设η=η+η。对于i∈ {1，2，3}，存在一个最优概率测度πi∈满足W%%（η，ηi）=RRd×Rd | y的∏（η，ηi）-x |%πi（dx，dy）。自π+π∈ π（η，η），我们有w%%η,η+ η≤ZRd×Rd | y- x |%π+π（dx，dy）=W%%（η，η）+W%%（η，η）. （A.3）我们现在假设η相对于Lebesgue测度是绝对连续的。我们通过[4]中的定理6.2.4知道概率测度πi∈ π（η，ηi）满足w%%（η，ηi）=RRd×Rd | y-x |%πi（dx，dy）是唯一的，并且为某些Borel映射Ti:Rd写入πi（dx，dy）=η（dx）δTi（x）（dy）→ Rd.如果（A.2）是一个等式，那么（A.3）中的不等式也是一个等式，并且通过唯一性，π+π=π。因此η（dx）δT（x）（dy）=η（dx）δT（x）（dy）+δT（x）（dy）,它给出了T（x）=T（x）=T（x），η（dx）-a.e.，并表示η=η。当d=1时，如果η没有原子，根据[25]中的定理2.9，πiis仍然唯一，由η（dx）δF给出-1ηi（Fη（x））（dy），因此相同的结论成立。

当d=1时仍然如此，sinceF-1’η=F-1η+F-1η，命题2.17[25]和x 7的严格凸性→ |x |%，W%（(R)η，η）=Z（F）-1η（p）+F-1η（p））- F-1η（p）%数据处理≤Z | F-1η（p）- F-1η（p）|%dp+Z | F-1η（p）- F-1η（p）|%dp=W%%（η，η）+W%%（η，η）具有同等效力的dp a.e.F-1η（p）=F-1η（p），即η=η。引理A.6。设%>1和u，ν∈ P%（R）。函数（0，1）3 p 7→ F-1ν%(R)P（u）（P）- F-1ν（p）是非递减的。证据检查η就足够了∈ P%（R）∩？P（u），使P 7→ F-1η（p）-F-1ν（p）不是非递减的，那么W%%（ν，ν？p（η））<W%%（ν，η）（实际上是F-1ν′P（η）（P）-F-1ν（p）为非递减且ν'p（η）∈(R)P（η）(R)P（u））。根据命题2.17【25】和ν′P（η）的定义，W%（ν，ν′P（η））=Z | F-1ν′P（η）（P）- F-1ν（p）|%dp=Z | f（p）|%dp，其中f（p）表示[0，1]3 q 7的凹壳ψ（q）的左手导数→φ（q）：=RqF-1η（p）- F-1ν（p）dp。自从q∈ [0，1]，RqF-1η（p）- F-1ν（p）dp≤RqF-1η（p）dp-qRF-1ν（p）dp，其中右侧是q的凹函数，eψ（1）=φ（1）=0，eψ（0）=φ（0）=RF-1η（p）-F-1ν（p）dp。现在ψ和φ在[0，1]和F上重合-1η-F-1ν为非递减或开集{q∈ [0，1]：eψ（q）>φ（q）}为非空，并作为大气可数单位SI写入∈具有0的不相交区间的I（pi，qi）≤ pi<qi≤ 1，eψ（pi）=φ（pi），eψ（qi）=φ（qi）和[pi，qi]上的ψa ffene。对于非空集i中的每个i，对于所有p∈ （pi，qi），f（p）=eψ（qi）-eψ（pi）qi-pi=φ（qi）-φ（pi）qi-pi=RqipiF-1ν（q）-F-1η（q）dqqi-根据Jensen的不平等，我∈ 一、 Zqipi | f（p）|%dp<Zqipi | f-1ν（p）- F-1η（p）|%dp。（A.4）p的凸阶概率测度抽样27∈ （0，1]\\Si∈I（pi，qi），Iψ等于φ在por的左侧邻域上存在间隔（（pin，qin））n的累积∈用（in）n表示p的左侧∈I，qin不同元素的序列<所有n的p∈ N和limn→∞秦=p。

对于第一种情况下p的左侧邻域中的q和{qin:n∈ N} 在第二个方程中，eψ（p）-eψ（q）=φ（p）-φ（q）=RpqF-1ν（r）-F-1η（r）dr.由q 7的左连续性→ F-1ν（q）-F-1η（q）和f的定义，我们得出结论：f（p）=f-1ν（p）- F-1η（p）。因此{p/∈硅∈I（pi，qi）}| f（p）|%dp=R{p/∈硅∈I（pi，qi）}| F-1ν（p）- F-1η（p）|%dp，结合（A.4）和命题2.17【25】导致toR | f（p）|%dp<R | f-1ν（p）-F-当ψ和φ在[0，1]上不重合时，1η（p）|%dp=W%%（ν，η）。备注A.7。引理2.6可以用类似的论点来证明。但显示eη∈ P（ν），W%（u，eη）≤ W%%（u，η）和F-1eη- F-η为1u时不增加∈ P（ν）是指f-1η- F-1u不是非递增的，我们选择了一个更基本的变换，直接利用单调性的缺乏来代替uP（η）。引理A.8。Letu，ν∈ P（R）是两个不同的概率度量，使得u≤cxν和（tn，tn），1≤ n≤ N∈ N*∪ {∞} 是（u，ν）的不可约组分。那么，我们有q∈ [0,1]，ZqF-1u（p）dp>ZqF-1ν（p）dp=N[N=1（Fu（tn），Fu（tn-)).证据对于η∈ P（R），设Дη（t）=Rt-∞t的Fη（x）dx∈ R、 ψη（q）=RqF-q为1η（p）dp∈ [0，1]和ψη（q）=+∞ 对于q 6∈ [0, 1]. 其中一个具有Дu（t）=RR（t-x） +u（dx）≤RR（t-y） +ν（dy）=对于所有t∈ R和（tn，tn），1≤ n≤ N∈ N*∪{∞} 是不相交区间的可数族，使得{t∈ R：νu（t）<ν（t）}=∪Nn=1（tn，tn）。（A.5）由于Дη和ψη是两个倒数非递减函数的反导数，因此众所周知，它们是彼此的Legendre-Fenchel变换，即Дη（t）=supq∈R{qt-ψη（q）}。事实上，对于t∈ R、 如果Fη（t-) > 0然后是F-1η（q）<t表示q∈ （0，Fη（t-)), 如果Fη（t）<1，则F-1η（q）>t表示q∈ （Fη（t），1）和如果Fη（t-) < Fη（t）然后F-1η（q）=t表示q∈（Fη（t-), Fη（t）]。我们推断supq∈R{qt- ψη（q）}=Fη（t）t- ψη（Fη（t））=RFη（t）（t-F-1η（p））dp=R（t- F-1η（p））+dp=Дη（t）和t型∈ R、 {q∈ R、 qt- ψη（q）=Дη（t）}=[Fη（t-), Fη（t）]。