Wasserstein对凸序概率测度的抽样

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英文标题：
《Sampling of probability measures in the convex order by Wasserstein
  projection》
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作者：
Aur\\\'elien Alfonsi, Jacopo Corbetta and Benjamin Jourdain
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this paper, for $\\mu$ and $\\nu$ two probability measures on $\\mathbb{R}^d$ with finite moments of order $\\rho\\ge 1$, we define the respective projections for the $W_\\rho$-Wasserstein distance of $\\mu$ and $\\nu$ on the sets of probability measures dominated by $\\nu$ and of probability measures larger than $\\mu$ in the convex order. The $W_2$-projection of $\\mu$ can be easily computed when $\\mu$ and $\\nu$ have finite support by solving a quadratic optimization problem with linear constraints. In dimension $d=1$, Gozlan et al.~(2018) have shown that the projections do not depend on $\\rho$. We explicit their quantile functions in terms of those of $\\mu$ and $\\nu$. The motivation is the design of sampling techniques preserving the convex order in order to approximate Martingale Optimal Transport problems by using linear programming solvers. We prove convergence of the Wasserstein projection based sampling methods as the sample sizes tend to infinity and illustrate them by numerical experiments.
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中文摘要：
本文中，对于$\\mu$和$\\nu$两个在$\\mathbb{R}^d$上具有$\\rho\\ge 1$阶有限矩的概率测度，我们定义了$\\mu$和$\\nu$的$\\W\\rho$-Wasserstein距离在$\\nu$支配的概率测度集和凸阶大于$\\mu$的概率测度集上的相应投影。当$\\ mu$和$\\ nu$具有有限的支持度时，通过求解具有线性约束的二次优化问题，可以很容易地计算$\\ mu$的$\\ W\\u 2$-投影。在维度$d=1$中，Gozlan et al.（2018）表明预测不依赖于$\\ rho$。我们用$\\ mu$和$\\ nu$的分位数函数来表示它们的分位数函数。其动机是设计保持凸序的采样技术，以便使用线性规划求解器逼近鞅最优运输问题。当样本量趋于无穷大时，我们证明了基于Wasserstein投影的采样方法的收敛性，并通过数值实验加以说明。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
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关键词：Stein 概率测度 TEI ERS WAS

WASSERSTEIN PROJECTIONAUR'ELIEN ALFONSI、JACOPO CORBETTA和BENJAMIN JOURDAINAbstract的凸序概率测度抽样。在本文中，对于u和ν，Rd上的两个概率测度，动量为%≥ 1，我们定义了由ν支配的概率测度集和凸序中大于u的概率测度集上的W%~Wasserstein距离u和ν的各自投影。通过求解具有线性约束的二次优化问题，当u和ν具有有限支持度时，可以轻松计算u的W投影。在维度d=1时，Gozlan等人【14】表明，预测不依赖于%。我们用u和ν的分位数函数来表示它们的分位数函数。运动化是通过使用线性规划求解器来近似鞅最优运输问题而设计的保持凸序的采样技术。当样本量趋于一致时，我们证明了基于瓦瑟斯坦投影的抽样方法的收敛性，并通过数值实验加以说明。关键词：凸序、鞅最优运输、瓦瑟斯坦距离、抽样技术、线性规划AMS主题分类（2010）：91G60、90C08、60G42、60E15.1。对于Rd上概率测度集P（Rd）中的u，ν，我们说对于凸阶，u小于ν，并表示u≤cxνifRRdφ（x）u（dx）≤每个凸函数φ：Rd的RRdφ（y）ν（dy）→ R相对于u+ν非负或可积。据我们所知，很少有研究考虑在逼近两个这样的概率测度时保持凸序的问题。我们可以提到David Baker在其博士论文[6]中提出的基于分位数函数的一维方法（有关更多详细信息，请参见第2.2节的开头）。

Pag\'es和Wilbertz[23]引入的对偶量子化提供了另一种在维1中保持凸序的方法（参见[23]中命题10后的注释）。不幸的是，对于更高维度来说，这不再是事实。例如，概率定律u=δ（0,0）和ν（U，0）上的分布，其中U均匀[-1, 1]. 我们有u≤cxν。我们在两个三角形和两个顶点上计算它们的双量化器u和ν{(-1, 0), (0, -1） ，（0，1）}和{（0，-1), (1, 0), (0, 1)}. Weeasily获得？u=（δ（0，-1)+ δ(0,1)), ν =(δ(0,-1)+ δ(0,1)+ δ(-1,0)+ δ(1,0)). 因此，我们得到Rx'u（dx，dy）=1，Rx'ν（dx，dy）=，这证明了凸阶不被保留。然而，量子化和双重量子化提供了一种可能的方法来近似凸阶中的u和ν。精确地说，u的量化给出了一个概率度量u，并提供了有限的支持，使得u≤cxu，而ν的双重量化给出了概率日期：2019年2月11日。巴黎理工大学，Cermics（ENPC），INRIA，F-77455 Marne la Vall’ee，法国，电子邮件：aurelien。alfonsi@enpc.frjcorbetta@zeliade.com，本杰明。jourdain@enpc.fr.This研究得益于法国国家研究机构“Risques金融家主席基金会”的支持，该基金会在ANR-12-BS01-0019（STAB）项目下开展，并在Zeliade Systems雇佣雅各布·科尔贝塔后完成。2 AUR’elin ALFONSI、JACOPO CORBETTA和BENJAMIN JOURDAINmeasureν，并提供有限的支持，以便ν≤cx？ν。因此，我们有u≤cx？ν。虽然这种结构很普遍，但也有一些缺点。首先，为了定义双重量化，ν和u必须有一个紧凑的支持。这是一个非常严格的假设。其次，u的量子化和ν的双重量子化的计算在维数d中通常是不可信的≥ 2和可能需要重要的计算时间。

这就是为什么人们通常会预先计算标准分布的量子化，高斯情况见[22]。第三，该方法仅适用于两个度量值，不能推广到设计u，ν，η的近似值∈ P（Rd）在u时保持凸序≤cxν≤cxη。为了避免维数灾难，很自然地要考虑蒙特卡罗方法，并考虑经验度量uI=IPIi=1δxindνJ=JPJj=1δYj，其中X，XI（分别为Y，…，YJ）是分布为u（分别为ν）的i.i.d.随机变量。显然，没有理由让ipii=1Xi=JPJj=1Yj（选择φ（x，…，xd）=±xkw和k的凸阶的必要条件∈ {1，…，d}），甚至更多≤cxνJ.维数d=1，根据Kertz和R¨osler【19，20】，具有有限第一矩的概率度量集是一个完整的增加和减少对流序的晶格。本论文来源于我们的预印本【1】（第3节和第4节），其中，在第2节专门讨论一维情况，我们还研究了uIbyuI的近似值∧νJ（分别为νJbyuI∨νJ）定义为ui和νJ的最大值，用于当nipii=1Xi时的递减对流序≤JPJj=1Yjand，用于增加凸阶，否则，使uI∧ νJ≤cxνJ（分别为uI≤cxuI∨ νJ）。不幸的是，这种方法不能推广到维度d≥ 其中，根据命题4.5【21】，即使具有常数期望的概率测度集也不再是凸序的格。在本文中，仍在寻找u的修正比νJin的凸阶更接近，我们引入以下最小化问题，其中%≥ 1（最小EIPII=1xi-PJj=1rijYj%在约束条件下i、 j，rij≥ 0, i、 PJj=1rij=1和j、 PIi=1rij=IJ。（1.1）对于%=2，这是一个具有线性约束的二次优化问题，可以通过数值有效解决（见第5节）。

一般来说，这是紧集上连续函数的极小化，存在一个极小化r？。然后我们确定u%，？一、 J=IIXi=1δX？i、 和X一起？i=JXj=1r？ijYj。按构造，我们有u%，？一、 J≤cxνJ。在下一节中，我们通过考虑P%（Rd）={η的一般元素来代替点度量uIandνJ来推广这个问题∈P（Rd）：RRd | x |%η（dx）<∞} 与%≥ 1用u和ν表示（略微滥用符号）。这使得我们可以确定u在集P（ν）={η上的投影u%P（ν）∈ P（Rd）：η≤指数为%：W%（u，η）=minπ的Wasserstein距离凸序中由ν支配的概率测度的cxν}∈Π(u,η)ZRd×Rd | x- y |%π（dx，dy）1/%，其中∏（u，ν）Rd×Rd上的概率度量π集，具有边际定律u和ν，即对于任何Borel集A，π（A×Rd）=u（A）和π（Rd×A）=ν（A） Rd.我们证明该预测对于%>1是很好的定义，并研究了它的一些性质。请注意，在我们的预印本【1】之后，Gozlan和Juillet【13】以及Backhoff-Varaguas等人【5】最近考虑了%=2的投影。根据Gozlan等人[14]对凸阶概率测度的抽样3理论1.5，在维数d=1时，投影不取决于%。我们用u和ν的分位数函数来表示它的分位数函数，这样当u和ν有有限的支持度时，就可以通过高效的算法来计算它。在第3节中，我们证明，当u≤cxν，thennw%（u，（uI）%P（νJ））≤ 2W%（u，uI）+W%（ν，νJ），并推断（uI）%P（νJ）弱收敛于uas I，J→ +∞. 此外，我们还将构造扩展到几个按凸顺序排列的概率测度的抽样。第4节专门讨论了ν在集合P（u）={η上的投影ν%\'P（u）∈ P（Rd）：u≤指数为%的Wasserstein距离凸序中大于u的概率测度的cxη}。

最后，在第5节中，我们通过数值实验说明了基于Wasserstein投影的抽样方法及其在近似鞅最优运输问题中的应用。本文的一个重要动机确实是从数值上解决[7]中引入的鞅最优运输（MOT）问题，该问题最近在金融界受到了极大关注，以获得期权价格的模型自由边界。Rd（Q（x，dy））x上的一类概率测度∈对于任何Borel集A，Rdis称为Rdif上的马尔可夫核 Rd，Rd3 x 7→ Q（x，A）是可测量的。Wede FINE∏M（u，ν）={π∈ Π(u, ν) : x个∈ Rd，RRd | y |πy | X（X，dy）<∞ andRRdyπY | X（X，dy）=X}，其中πY | xd表示马尔可夫核，使得π（dx，dy）=u（dx）πY | X（X，dy），鞅耦合集。Strassen[27]中的定理8确保，当ν∈ P（Rd），u≤cxν<==> ∏M（u，ν）6=. 对于可测量的支付函数c:Rd×Rd→ R、 MOT问题在于找到最佳耦合π？∈ 在所有耦合π中，使ZRd×Rdc（x，y）π（dx，dy）（1.2）最小化（或最大化）的∏M（u，ν）∈ ∏M（u，ν）。在金融领域，如果考虑到d资产的价格ST，统计日期T<T，这个问题自然会出现。我们假设利率为零，并且假设我们可以从市场上的期权价格中观察到ST（resp.ST）的边际法则u（resp.ν），并且我们想对在日期T支付c（ST，ST）的期权进行定价。任何鞅耦合π∈ πM（u，ν）是一种无套利定价模型：所有这些耦合的Rd×Rdc（x，y）π（dx，dy）的上确界和下确界给出了期权价格的无模型界限。从问题的双重表述出发，Beiglbock、Penkner和HenryLabord\'ere[7]证明了上界（或下界）是超边缘（或次边缘）策略中最便宜（或最昂贵）的初始值。

为了计算期权价格的模型自由边界，可以考虑通过具有有限支持度的概率测度（通常是i.i.d.样本的经验测度）来近似概率测度u和ν，ui=PIi=1piδxindνJ=PJj=1qjδyj，i，J∈ N*, xi，yj∈ Rd，pi，qj>0对于任何i，j和pii=1pi=PJj=1qj=1，并解决近似的MOT问题：最小（或最大化）IXi=1JXj=1rijc（xi，yj）（1.3）超过（rij）1≤我≤一、 1个≤j≤Junder the constraintsrij约束≥ 0，IXi=1pirij=qj，JXj=1rij=1，JXj=1rijyj=xi。这个问题属于线性规划领域：已经开发出强大的算法来数值求解它。运行这些算法的关键问题是此类矩阵的存在性（rij）1≤我≤一、 1个≤j≤J、 这相当于在uI和νJ之间存在一个鞅耦合4 AUR’elin ALFONSI、JACOPO CORBETTA和BENJAMIN Jourdain。根据Strassen定理，这相当于有uI≤cxνJ，这激发了在对概率度量u和ν进行采样时保持凸序的兴趣。在金融应用中，考虑I=J的经验计量是很自然的：一旦随机模型被校准为欧洲期权市场价格，基本上可以在不同的时间对其进行采样，以对奇异期权进行定价，从而在这些时间给出经验计量。2、凸序下由ν支配的概率测度集上u的Wasserstein投影2.1。定义、存在和独特性。对于Rd上的马尔可夫核R（x，dy），wesetmR（x）=x的ZRdyR（x，dy）∈ Rds。t、 ZRd | y | R（x，dy）<∞.众所周知（见第78–80页【11】或第117页【24】如果π∈ π（u，ν），存在一个u（dx）-a.e.唯一马尔可夫核R，使得u（dx）R（x，dy）=π（dx，dy）。该内核显然满足了Lyrx∈Rdu（dx）R（x，dy）=ν（dy），我们稍后会注意到uR=ν。

相反，ifR是满足uR=ν的核，那么u（dx）R（x，dy）定义了∏（u，ν）中的概率度量。我们定义了P（Rd）在Rdand上的概率度量集，为%≥ 1，P%（Rd）={u∈ P（Rd），ZRd | x |%u（dx）<∞},具有有限阶矩%的概率测度集。假设ν∈ P（Rd）和R是马尔可夫核，使得uR=ν。然后ZRd×Rd | y | R（x，dy）u（dx）=ZRd | y |ν（dy）<∞因此mR（x）定义为u（dx）-a.e。。此外，对于每个凸函数φ：Rd→ R这样的supx∈Rd |φ（x）| 1+| x |<∞, 根据Jensen不等式，ZRdφ（y）ν（dy）=ZRd×Rdφ（y）u（dx）R（x，dy）≥ZRdφZRdyR（x，dy）u（dx）=ZRdφ（mR（x））u（dx）。尽管下面的引理A.1限制了凸函数φ的增长，但这确保了mR#u≤cxν。对于%≥ 1和u，ν∈ P%（Rd），我们考虑最小化问题（1.1）的以下推广：（最小化J%（R）：=RRd | x- mR（x）|%u（dx），在R是马尔可夫核的约束下，使得uR=ν。请注意，这个问题是Gozlan等人[15]和Alibert等人[3]所考虑的一般运输成本的一个特例，他们对对偶结果感兴趣，Backho ff Veraguas等人[5]则以循环单调性的精神处理最优运输计划的存在以及必要和有效的最优条件。Gozlan和Juillet【13】凸阶概率测度的抽样5描述了成本J在u和ν之间的最优运输计划。当通过设置r（x，dy）=（PJj=1rijδYj（dy）来恢复Xiaredistinct（1.1）时，对于某些i∈ {1，…，I}δx（dy）如果x/∈ {X，…，XI}。在（1.1）中的最优性条件下，由Jensen的不等式jj=1rijYj=PJj=1rkjyjj，当Xi=Xkfor1≤ k 6=i≤ 当Xi=Xkis通过设置r（x，dy）=（PIi=1{Xi=x}Pi恢复时，用附加约束修改问题（1.1）：Xi=xPJj=1rijδYj（dy），如果x∈ {X，…，XI}δX（dy）如果X/∈ {X。

，XI}。根据下一个定理，广义问题等价于在%Wasserstein距离的凸序下，计算由ν支配的概率测度集上u的投影。定理2.1。出租%≥ 1, u, ν ∈ P%（Rd）。一个具有infR：uR=νJ%（R）=infη∈P（ν）W%%（u，η），其中两个单位均达到。如果%>1，则函数{mR？：uR？=ν和J%（R？）=infR：uR=νJ%（R）}u（dx）a.e.是否相等，u%P（ν）：=mR#u是唯一的η≤cxν最小化w%%（u，η）和u（dx）δmR？（x） （dy）唯一最优运输计划π∈ π（u，u%P（ν）），使得w%%（u，u%P（ν））=RRd×Rd | x- y |%π（dx，dy）。当%>1时，u%P（ν）是u在概率测度集上的投影，该概率测度集由ν在凸序和u%P（ν）中支配≤cxν。证据对于η∈ P（Rd），W%%（u，η）≤ZRd×Rd | x- y |%u（dx）η（dy）≤ 2%-1.ZRd | x |%u（dx）+ZRd | y |%η（dy）.如果η，则右侧为有限∈ 自supη起的P（ν）∈P（ν）RRd | x |%η（dx）=RRd | x |%ν（dx）。通过马尔可夫不等式和普罗霍罗夫定理，最后一个界意味着对于弱收敛拓扑，P（ν）是相对紧的。对于K∈ (0, ∞) 和η≤cxν，用R表示鞅核，使得ηR=ν，我们有zrd | x | 1{| x|≥K} η（dx）=ZRdZRdyR（x，dy）{| x|≥K} η（dx）≤ZRd×Rd | y | 1{| x|≥K} R（x，dy）η（dx）≤ZRd×Rd | y | 1{| y|≥√K} R（x，dy）η（dx）+√KZRd{| x|≥K} η（dx）≤ZRd | y | 1{| y|≥√K} ν（dy）+RRd | x |η（dx）√K≤ZRd | y | 1{| y|≥√K} ν（dy）+RRd | y |ν（dy）√K、 对于{η中的（ηn）na序列∈ P（Rd）：η≤cxν}弱收敛于η∞, 这意味着一致可积性，确保φ：Rd→ R连续且supx∈Rd |φ（x）| 1+| x|<∞, 画→∞RRdφ（x）ηn（dx）=RRdφ（x）η∞（dx）。利用下面的引理A.1和Rd上实值凸函数的连续性，我们推导出η∞∈ P（ν）。

因此，对于弱收敛拓扑，P（ν）是紧的。6奥尔·埃林·阿方西、雅各布·科尔贝塔和本杰明·乔丹，自η7起→ W%%（u，η）对于该拓扑是下半连续的，是否存在η？∈ P（ν），例如W%%（u，η？）=infη∈P（ν）W%%（u，η）。设P是鞅马尔可夫核，使得η？P=ν，Q是马尔可夫核，使得uQ=η？和W%%（u，η？）=RRd×Rd | x-y |%Q（x，dy）u（dy）。一个具有uQP=η？P=ν，通过P的鞅性，mQP（x）=ZRd×RdzP（y，dz）Q（x，dy）=ZRdyQ（x，dy）。利用Jensen不等式，我们推导出w%%（u，η？）=ZRd×Rd | x- y |%Q（x，dy）u（dy）≥ZRd公司x个-ZRdyQ（x，dy）%u（dx）=J%（QP）。（2.1）另一方面，对于任何马尔可夫核R，uR=ν，mR#u≤cxν和J%（R）=RRd | x- mR（x）|%u（dx）≥ W%%（u，mR#u）。HenceinfR：uR=νJ%（R）≥ infη∈P（ν）W%%（u，η）=W%%（u，η？）≥ J%（QP）≥ infR：uR=νJ%（R），因此两个in fi都相等，且J%（QP）=infR：uR=νJ%（R）。此外，（2.1）中的不等式是一个等式。如果%>1，则通过x 7的严格凸性→ |x |%，这意味着u（dx）a.e.R（x，dy）=δmQP（x）（dy），因此η？=uQ=mQP#u。对于%>1，mR的独特性？也是从x 7的严格凸性得到的→ |x |%。也就是说，对于任何最优核R？我们有J%（（R？+QP）/2）=ZRdx个-先生（x） +mQP（x）%u（dx）≤ZRd | x- 先生（x） |%+| x- mQP（x）|%u（dx）=（J%（R？）+J%（QP））=参考：uR=νJ%（R）。自uR+QP=ν，我们必须有J%（（R？+QP）/2）=inf：uR=νJ%（R），然后是mr？（x） =mQP（x），u（dx）-a.e。。备注2.2。当%=1时，让我们给出一个关于最优函数mr和概率测度η的非唯一性的例子？∈ P（ν），使得W（u，η？）=infη∈P（ν）W（u，η）。设u（dx）=1[0,1]（dx）（分别ν（dy）=1[1,2]（dy））为[0,1]（分别。