Wasserstein对凸序概率测度的抽样

尺寸d=1，如果u，ν∈ P（R），leteP（u）：={η∈(R)P（u）∩ P（R）：（0，1）3 P 7→ F-1η（p）- F-1ν（p）为非递减}。Leteψ表示函数q 7的凹壳（大于的最小凹函数）→RqF-1u（p）-F-1ν（p）dp。有一个概率度量ν′P（u），使得rqf-1ν′P（u）（P）dp=eψ（q）+RqF-1ν（p）dp。此外，ν′P（u）∈eP（u）。对于η∈eP（u），设D（η）表示F的分布-1η（U）-F-1ν（U）表示U均匀分布在（0，1）上。根据下面的引理A.4，集合{D（η）：η∈eP（u）}允许凸阶和所有q的一个内界π∈ [0，1]，RqF-1π（p）dp=infη∈eP（u）RqF-1D（η）（p）。对于η∈eP（u），一个有F-1D（η）=F-1η- F-1νbyLemma A.3如下。事实上η∈eP（u）当且仅当ifRqF-1η（p）dp≥RqF-所有q为1u（p）dp∈ （0，1），q=0和[0，1]3 q 7相等→RqF-1η（p）- F-1ν（p）dp是凹的，可以推断q是凹的∈ （0，1），ZqF-1π（p）dp=infη∈eP（u）ZqF-1η（p）- F-1ν（p）dp=eψ（q）=ZqF-1ν′P（u）（P）- F-1ν（p）dp。因此π=D（ν′P（u））。如果u，ν∈ P%（R）对于某些%>1，则w%%（ν，ν′P（u））=Eh | F-1ν′P（u）（U）- F-1ν（U）|%i=ZR | x |%π（dx）≤ infη∈eP（u）E|F-1η（U）- F-1ν（U）|%= infη∈eP（u）W%%（ν，η）。根据下面的引理A.6，infη∈eP（u）W%（ν，η）=infη∈(R)P（u）W%（ν，η）。因此W%（ν，ν′P（u））=infη∈\'P（u）W%（ν，η）和ν%\'P（u）=ν\'P（u）。对于概率度量，uI=PIi=1piδxi（分别是νJ=PJj=1qjδyj），在实线上，与（p，…，pI）∈ （0，1）i和x<x<…<xI（分别为q，…，qJ）∈ （0，1）Jandy<y<…<yJ），eψ等于toRF-1uI（p）- F-1νJ（p）dp减去q 7的凸包ψ→RqF-1uI（p）- F-1νJ（p）dp已经在定理2.5之后讨论过，可以用Andrew的单调链算法计算。然后，可以计算概率度量（νJ）(R)P（uI），该概率度量用K表示kk=1rkδzk≤ I+J，z≤ z≤ . . .

≤ zKand（rk）1≤k≤K消除{0}递增重新排序的连续元素之间的差异∪ {Pik=1pk：1≤ 我≤ I}∪ {Pjk=1qk：1≤ j≤ J} 。Letu，ν∈ P%（Rd），使u≤cxν和uI，νJ∈ P%（Rd）是u和ν的任意近似值。概率测度（νJ）%P（uI）（或14 AUR'ELIEN ALFONSI、JACOPO CORBETTA和BENJAMIN Jourdain唯一性未显示时的任何最小化概率测度）满足%（（νJ）%P（uI），ν）≤ W%（u，uI）+2W%（ν，νJ）（4.1）我们像命题3.1的证明一样进行。设Q%uI（分别为Q%ν）是马尔可夫核，使得uI（dx）Q%uI（x，dy）（分别为ν（dx）Q%ν（x，dy））是W%（uI，u）（分别为W%（ν，νJ））的最优传输计划，R是鞅核，使得uR=ν。我们显然有νJ=uIQ%uIRQ%ν。利用Jensen不等式和R的鞅性质，我们得到了uI≤cx（（x，w，z）7→ x+z- w） #uI（dx）Q%uI（x，dw）R（w，dz），因此infη∈(R)P（uI）W%（νJ，η）≤Z（Rd）| x+Z- w- y |%uI（dx）Q%uI（x，dw）R（w，dz）Q%ν（z，dy）！1/%.我们使用Minkowski不等式和三角形不等式W%（（νJ）%？P（uI），ν）得到（4.1）≤W%（（νJ）%？P（uI），νJ）+W%（ν，νJ）。在多边缘情况下，感应式定义u1，%I=uI，k∈ {2，…，`}，uk，%I，。。。，IkasukIkon'P（uk）的W%投影-1，%I，。。。，Ik-1） ，我们推断k∈ {2，…，`}，W%（uk，uk，%I，…，Ik）≤ W%（u，uI）+2kXk=2W%（uk，ukIk）。尽管我们在下一个命题中总结了所有这些有趣的性质，但测量值（s）ν%-P（u）do（es）似乎不容易用数值计算，即使%=2。事实上，在极小化程序中，凸阶约束并不容易处理。更准确地说，在经验测量的情况下，必须将EPJj=1 | eYj最小化- Yj |在约束条件下，pii=1δXi≤cxJPJj=1δeYj。

即使在标注1中，此约束也不是线性的，因为它等效于maxiXi≤ maxjeYj，miniXi≤ minjeYj，IPIi=1Xi=JPJj=1eYj，andIPIi=1（Xi-eYj）+≤JPJj=1（eYj-eYj）+对于任何1≤ j≤ J、 参见[1]中的推论2.2。这就是为什么我们主要关注uP（ν），它可以清晰地实现具有线性约束的二次问题。定理4.1。对于%>1，如果u，ν∈ P%（Rd），然后infη∈\'P（u）W%%（ν，η）是通过某种概率测度ν%\'P（u）获得的，当ν相对于勒贝格测度绝对连续或d=1时，该测度是唯一的。如果u，ν∈ P（R），那么有一个概率ν′P（u），对于所有q∈ [0，1]，RqF-1ν′P（u）（P）dp=eψ（q）+RqF-1ν（p）dp，其中eψ表示函数q 7的凹壳→RqF-1u（p）- F-1ν（p）dp。此外，对于每个%>1，ν%\'P（u）=ν'P（u），使得u，ν∈ P%（R）。最后，如果%>1和u，ν，uI，νJ∈ P%（Rd），然后是u≤cxν=> W%（（νJ）%？P（uI），ν）≤W%（u，uI）+2W%（ν，νJ）。比较W%（ν%？P（u），ν）和W%（u，u%P（ν））可以得出有趣的性质。推论4.2。对于%>1，u，ν∈ P%（Rd），我们有W%（ν%’P（u），ν）=W%（u，u%P（ν）），并且有一个可测量的传输图T:Rd→ 因此，ν%\'P（u）和ν之间的唯一最佳运输计划是ν%\'P（u）（dz）δT（z）（dy）。此外，对于任何鞅核，以凸阶15对概率测度进行采样，使得uR=ν%(R)P（u），u（dx）R（x，dz）a.e.，T（z）-z=RRdT（z）R（x，dz）-x、 最后，在尺寸d=1时，u，ν∈ P（R），我们还有%≥ 1，W%（ν′P（u），ν）=W%（u，uP（ν））=R |ψ（u-)|%杜邦1/%，其中ψ（u-) 是函数[0，1]3 q 7的凸包ψ的左导数→RqF-1u（p）- F-1ν（p）dp。证据自u起≤cxν%’P（u），我们可以用命题3.1中的（u，u，ν%’P（u），ν）替换（u，uI，ν，νJ），得到W%（u，u%P（ν））≤ W%（ν%？P（u），ν）。

使用该u%P（ν）≤cxν将定理4.1中的（u，uI，ν，νJ）替换为（u%P（ν），u，ν，ν），我们得到了逆不等式。现在，让%>1，R表示一个鞅核，使得uR=ν%\'P（u），Q表示一个Markovkernel，使得ν%\'P（u）（dz）Q（z，dy）是W%（ν%\'P（u），ν）的最优传输计划。重复命题3.1的论点（再次将（u，uI，ν，νJ）替换为（u，u，ν%’P（u，ν）），我们得到w%（u，u%P（ν））≤ZRd公司ZRd×Rd（x- y） R（x，dz）Q（z，dy）%u（dx）=ZRdZRd×Rd（z- y） R（x，dz）Q（z，dy）%u（dx）≤ZRd公司ZRd（z- y） Q（z，dy）%ν%(R)P（u）（dz）≤ZRd×Rd | z- y |%ν%\'P（u）（dz）Q（z，dy）=W%%（ν%\'P（u），ν）=W%%（u，u%P（ν））。最后一个不等式中的等式确保了ν%(R)P（u）（dz）a.e.，Q（z，dy）=δT（z）（dy），其中T（z）=RRdyQ（z，dy）。此外，第二个不等式中的等式意味着u（dx）R（x，dz）a.e.，T（z）- z=RRdT（z）R（x，dz）- x、 如果eQ是另一个马尔可夫核，使得ν%’P（u）（dz）eQ（z，dy）是W%（ν%’P（u），ν）的最优输运计划，那么ν%’P（u）（dz）eQ+Q（z，dy）也是最优输运计划，而ν%’P（u）（dz）a.e.，eQ+Q（z，dy）是狄拉克质量，因此eQ（z，dy）=Q（z，dy）。在维度1中，我们观察到q∈ [0,1]，ZqF-1uP（ν）（P）dp=ZqF-1u（p）dp-ψ（q）和zqf-1ν′P（u）（P）dp=ZqF-1ν（p）dp+ψ（q）。（4.2）因此，我们有F-1uP（ν）（P）-F-1u（p）=-ψ（p-) 和F-1ν′P（u）（P）-F-1ν（p）=ψ（p-) 对于p∈ （0，1），给出了索赔。性质T（z）- z=RRdT（z）R（x，dz）- x、 u（dx）R（x，dz）a.e.在推论4.2中指出，在维度1中，νP（u）和ν之间的最佳迁移映射T应该是分段的，在orem a.4[8]中介绍的（u，νP（u））的不可约分量上斜率为1，前提是我们可以找到一个跨越整个分量的鞅核R。根据以下命题，情况确实如此，该命题更详细地展示了W%（ν′P（u），ν）和W%（u，uP（ν））的共同最佳传输图。提案4.3。设%>1，u，ν∈ P%（R）。Let（tn，tn），1≤ n≤ N、 （分别为。

（tn，tn），1≤ n≤N） 是（u，ν′P（u））（分别为（uP（ν），ν））的不可约组分。那么，我们有N=和Fu（tn）=FuP（ν）（tn），Fu（tn-) = FuP（ν）（tn-) 最多重新编号（tn）1≤n≤N、 16 AUR’elin ALFONSI、JACOPO CORBETTA和BENJAMIN JOURDAINLetψ是函数[0，1]3 q 7的凸包→RqF-1u（p）- F-1ν（p）dp。然后，函数T:R→ 定义人x个/∈ ∪1.≤n≤N（tn，tn），T（x）=F-1ν（Fν′P（u）（x））和1.≤ n≤ Nx个∈ （tn，tn），T（x）=x-ψ（Fu（tn-)) - ψ（Fu（tn））Fu（tn-) - Fu（tn）是W%（ν′P（u），ν）和W%（u，uP（ν））的最佳传输图。证据我们设置qn=Fu（tn）和qn=Fu（tn-). 从下面的（4.2）和引理A.8中，我们得到了[1]，引理A.8用分位数函数描述了不可约分量≤n≤N（qn，qn）=q∈ [0,1]，ZqF-1u（p）dp>ZqF-1ν′P（u）（P）dp=q∈ [0，1]，ψ（q）<ZqF-1u（p）dp-ZqF公司-1ν（p）dp=q∈ [0,1]，ZqF-1uP（ν）（P）dp>ZqF-1ν（p）dp=[1≤n≤N（FuP（ν）（tn），FuP（ν）（tn-)),这是第一个要求。从第二个等式出发，由于ψ是[0，1]3 q 7的凸包→RqF-1u（p）- F-1ν（p）dp，我们得到q/∈ ∪1.≤n≤N（qn，qn），ψ（q）=ZqF-1u（p）dp-ZqF公司-1ν（p）dp（4.3）和ψ（q）=ψ（qn）+ψ（qn）-ψ（qn）qn-qn（q- qn）对于q∈ [qn，qn]。从（4.2）可以看出q∈ （qn，qn），F-1ν′P（u）（q）=F-1ν（q）+ψ（qn）- ψ（qn）qn- qnand F-1uP（ν）（q）=F-1u（q）-ψ（qn）- ψ（qn）qn- qn。（4.4）（0，1）中的任意点q\\∪1.≤n≤N（qn，qn）是递增序列（qk）k的极限≥1点sin（0，1）\\∪1.≤n≤N（qn，qn）。自，根据（4.2）和（4.3），q-QKRQKF-1ν′P（u）（P）dp=q-QKRQKF-1u（p）dpandq-QKRQKF-1uP（ν）（P）dp=q-QKRQKF-1ν（p）dp，分位数函数的左连续性简化了F-1ν′P（u）（q）=F-1u（q）和F-1uP（ν）（q）=F-1ν（q）。我们推断q∈ (0, 1) \\ ∪1.≤n≤N（qn，qn），F-1ν′P（u）（q）=F-1u（q）和F-1uP（ν）（q）=F-1ν（q）。（4.5）根据推论4.2，在ν′P（u）和ν之间存在一个最佳运输映射。根据[25]中的命题2.17，我们得到了dq-a.e.eT（F-1ν′P（u）（q））=F-1ν（q）。

对于x∈ R使得fν′P（u）（x-) < Fν′P（u）（x），自F-1ν′P（u）在（Fν′P（u）（x）上是常数（等于x-), Fν′P（u）（x）]，我们推导出左连续函数F-1ν在此间隔上也是常数。让我们现在开始∈ R∩ ∪1.≤n≤N{tn，tn}。通过对不可约组分的定义，我们得到了fν′P（u）（x-) ≤ Fu（x-) ≤ Fu（x）≤ Fν′P（u）（x）。（4.6）如果Fν′P（u）（x-) < Fν′P（u）（x），（F-1ν′P（u），F-1ν）是常数，等于（x，F-区间（Fν′P（u）（x））上的1ν（Fν′P（u）（x）））-), Fν′P（u）（x）]，通过定义T，T（F-1ν′P（u））和F-1ν在此间隔上相等。凸阶概率测度的抽样17我们现在要证明dq a.e.，T（F-1ν′P（u）（q））=F-1ν（q），根据[25]中的命题2.17，它确保T是ν′P（u）和ν之间的最佳传输图。如果q∈ （Fν′P（u）（tn），Fν′P（u）（tn-)) 然后是F-1ν′P（u）（q）∈ （tn，tn）和T（F-1ν′P（u）（q））=F-1ν′P（u）（q）-ψ（qn）-ψ（qn）qn-qn右侧等于F-1ν（q）乘以（4.4），因为，乘以（4.6），（Fν′P（u）（tn），Fν′P（u）（tn-))  （qn，qn）。根据上述x的推理∈ R∩ ∪1.≤n≤N{tn，tn}，T（F）之间的等式-1ν′P（u））和f-1ν仍然保持（Fν′P（u）（tn-), Fν′P（u）（tn-)) ∪ （Fν′P（u）（tn-), Fν′P（u）（tn）]。如果q/∈ （Fν′P（u）（tn-), Fν′P（u）（tn）]，然后F-1ν′P（u）（q）≤ T或F-1ν′P（u）（q）>tn。我们推导出q的/∈ ∪1.≤n≤N（Fν′P（u）（tn-), Fν′P（u）（tn）]，F-1ν′P（u）（q）/∈ ∪1.≤n≤N（tn，tn）和T（F-1ν′P（u）（q））=F-1ν（Fν′P（u）（F-1ν′P（u）（q）））。右侧等于F-当FνP（u）（F-1ν′P（u）（q）-) =Fν′P（u）（F-1ν′P（u）（q））自那时起Fν′P（u）（F-1ν′P（u）（q））=当q>Fν′P（u）（F）时，q和其他-1ν′P（u）（q）-)因此，间隔（Fν′P（u）（F-1ν′P（u）（q）-), Fν′P（u）（F-1ν′P（u）（q））]其中F-1ν是常数q。在结论T（F）中-1ν′P（u）（q））=F-对于最大可数集{Fν'P（u）（tn）之外的q，1ν（q）-) :1.≤ n≤ N}∪ {Fν'P（u）（x-) : x个∈ R s.t.Fν′P（u）（x-) < Fν′P（u）（x）}，因此dq a.e。。利用（4.5），我们推导出dq a.e。

在（0，1）上\\∪1.≤n≤N（qn，qn），T（F-1u（q））=F-1uP（ν）（q）。国际单项体育联合会∈ （qn，qn）对于某些1≤ n≤ N、 然后是F-1u（q）∈ （tn，tn）和，通过定义T和（4.4），T（F-1u（q））=F-1u（q）-ψ（qn）-ψ（qn）qn-qn=F-1uP（ν）（q）。因此，dq a.e.T（F-1u（q））=F-1uP（ν）（q）和t是u和uP（ν）之间的最佳传输图。数值实验5.1。瓦瑟斯坦距离。我们首先用数值方法说明命题3.2中得到的收敛性，并从定理4.1中推导出来。我们在一个例子中展示了当uI和νI分别是u和ν与u的经验度量时，瓦瑟斯坦距离的瓦瑟斯坦投影（uI）%P（νI）（分别为（νI）%P（uI））向u（分别为ν）的收敛性≤cxν。为此，我们考虑一个维数为1且%=2的例子，以便可以根据定理2.5和4.1显式计算投影。我们取u=N（0，1）和ν=N（0，1.1）。对于I≥ 1，我们考虑独立样本X，XIand Y，yi分别按u和ν分布。然后，我们设置uI=IPIi=1δXi，νI=IPIi=1δYi，’Xi=IPIi=1Xi，’Yi=IPIi=1Yi，euI=IPIi=1δXi-(R)xind eνI=IPIi=1δYi-\'\'易。注意，为了确定euI和eνI，我们利用了u和ν的共同平均值知识。这种情况在金融应用中很常见：贴现资产价格是鞅，其均值由现值给出。我们计算瓦瑟斯坦投影（uI）P（νI）和（euI）P（eνI）（分别为（νI）(R)P（uI）和（eνI）(R)P（euI）），以及每个测量值和u（分别为。

ν） ，如下所述。作为与这些预测的比较，我们考虑了u和ν乘以uI的各自近似值∧νI和uI∨νI，其中uI∧νI和uI∨νi分别定义为ui的上确界和上确界，对于递减凸阶，当nipii=1Xi≤IPIi=1yi，对于增加的凸阶，否则为uI∧νI∈ P（νI）和uI∨νI∈？P（uI）。我们还考虑了euI的近似值∧ eνI和euI∨ eνI.对于具有有限支持的概率测度（见[2]或[1]）以及维1.4 5 6 7 8 9 105.04.54.03.53.02.52.01.51.00.54 5 6 7 9 105.04.54.03.53.02.52.51.00.00.5 5 5 5 5 5 5 5 9 105.04.53.02.52.01.51.00.5图1中的瓦瑟斯坦预测的自然替代方案，可以明确计算这些近似值。Wasserstein距离的对数在log（I）函数中的绘图。图1左侧（分别为右侧）的图表说明了W（u，uI）的收敛性∧ νI），W（u，（uI）P（νI）），W（uI∨νI，ν）和W（（νI）(R)P（uI），ν）（分别为W（u，euI∧eνI），W（u，（euI）P（eνI）），W（euI∨eνI，ν）和W（（eνI）(R)P（euI，ν）），当I→ ∞. 相应的曲线分别为红色、蓝色、绿色和品红。星形（对应十字）点表示命题3.1（对应定理4.1）给出的W（u，（uI）P（νI））（左）和W（u，（euI）P（eνI））（右）（对应W（（νI）(R)P（uI），ν）（左）和W（（eνI）(R)P（euI），ν）（右））的上界。正如所料，蓝色和洋红色的曲线位于这些点的下方。让我们提到，所有这些瓦瑟斯坦距离都是使用分位数函数N精确计算的-标准正态变量的1。例如，如果η=PIi=1piδzi，Z≤ Z≤ . . . ≤ ZI，P=0，Pi=Pi-1+Pi用于1≤ 我≤ 一、 W（u，η）=ZRx（u（dx）+η（dx））- 2IXi=1ZiZPiPi-1N-1（p）dp=1+IXi=1piZi+√√πIXi=1Zie-（N）-1（Pi））/2- e-（N）-1（Pi-1))/2.渐近地，度量（uI）P（νI）（resp.（νI）(R)P（uI））似乎比uI更接近u（resp.ν∧νI（分别为uI∨νI）。

尽管如此，所有这些度量似乎都以接近O（I）的速率收敛于瓦瑟斯坦距离-1/2）如等式y=-x/2。这一比率优于命题3.2中所述的理论比率。在右图中，我们首先观察到均衡平均值可以提高近似值并减少瓦瑟斯坦距离（见到黑线的距离）。然而，收敛速度仍大致在O（I-1/2). 我们还观察到，使用euI∧ eνIor（euI）P（eνI）（分别为euI∨ eνIor（eνI）(R)P（euI））。在图2中，W（uI，uI）的值绘制在左侧（分别为右侧∧νI），W（uI，（uI）P（νI））=W（νI，（νI）(R)P（uI）），W（νI，uI∨νI）（分别为W（euI，euI∧eνI），W（euI，（euI）P（eνI））=W（eνI，（eνI）(R)P（euI）），凸阶概率测度抽样190 2000 4000 6000 8000 100000.000.050.100.150.200.250.300 2000 4000 6000 6000 8000 100000.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.040图2。Wasserstein距离W（uI，uI）的曲线图∧ νI），W（uI，（uI）P（νI）），W（νI，uI∨ νI）（左）和W（euI，euI∧ eνI），W（euI，（euI）P（eνI）），W（eνI，euI∨ eνI）（右）在I.W（eνI，euI）的函数中∨ eνI）的函数。相应的曲线为红色、蓝色和绿色。我们观察到W（uI，uI）的值∧νI）和W（νI，uI∨νI）非常接近。正如所料，蓝色曲线低于其他两条曲线。在右图中，我们观察到，对于I，我们的样本上的所有Wassersteindistances都等于0≈ 3200，但对于较大的I值，再次取正值。这表明I的值，即euI≤cxeνI（如果存在）取决于样品，可能很大。现在，我们通过检查%=2的二次优化问题（1.1）的求解器COIN-OR+的精度来结束本节。事实上，在维1中，我们知道（uI）P（νI）可以按照下面的定理2.5显式计算。

在表1中，我们计算了（uI）P（νI）与通过COIN-OR数值求解（1.1）获得的测量值之间的瓦瑟斯坦距离，对于不同的样本大小I。I 10 50 100 200 300W瓦瑟斯坦距离4.4×10-51.4 × 10-64.5 × 10-64.1 × 10-74.2 × 10-7表1。%=2的数值极小值（1.1）与显式解（uI）P（νI）的比较。正如所料，差异非常小。这在数值上验证了我们的理论结果。更重要的是，这表明解算器能够可靠地用本文中考虑的I值找到最优解。5.2. 具有两个边际定律的2维MOT问题。一个明确的例子。设u和ν分别为[-1,1]和[-2, 2]. 对于x=（x，x）∈ 随机y=（y，y）∈ R、 我们考虑+的最小化https://www.coin-or.org/20奥尔·埃林·阿方西、雅各布·科尔贝塔和本杰明·乔丹成本函数c（x，y）=x- y |%+| x- y |%，其中%>2。对于任意π∈ πM（u，ν），我们有rr×Rky- xkπ（dx，dy）=RRkykν（dy）-RRkxku（dx）=2。Jensen不等式给定R×R | x- y |%+| x- y |%π（dx，dy）≥ZR×R | x- y |π（dx，dy）%+ZR×R | x- y |π（dx，dy）%= Jensen等式中的等式条件给出| x- y |=| x- y |=1，π（dx，dy）几乎可以肯定。现在，让我们考虑X=（X，X）根据u和Z=（Z，Z）分布一对独立于X的Rademacher随机变量。然后，Y=X+Z根据ν和满足度| Y分布-X |=| Y-X |=1。概率分布π？of（X，Y）是唯一的鞅最优耦合，它使r×Rc（X，Y）π（dx，dy）最小化。实际上，如果（eX，eY）是根据非最优耦合分布的，那么-埃克桑迪-Ex遵循Rademacher分布，为了满足鞅性质，这两个随机变量都必须独立于Ex。