随机终止条件下的最优清算问题

首先，一个简单的计算得到thatlimφ→∞Xφ，*t=直线度φ→∞量化宽松-(α-λ） t^ζe-2α（T-t） +1^ζe-2αT+1=limφ→∞量化宽松-(α-λ） te公司-2α（T-t）- 1e级-2αT- 1=limφ→∞Xdet，*t、 遵循关系θφ,*t=-2ν[2ec（t）+η]Xφ，*t、 limφ→∞2ν[2ec（t）+η]=直线度φ→∞hαe-2α（T-t） +1e-2α（T-t）- 1+λi，我们可以进一步验证limφ→∞θφ,*t=直线度φ→∞θdet，*t、 我们注意到，如果条件（18）满足，则Dec（t）dt<0，2ec（0）+η<λν-^ξ< 0.因此，2ec（t）+η<0始终适用于任何时间t∈ [0，T）。我们可以进一步验证（a1）θφ，*t型≥ 0在任何时间t保持∈ [0，T）；（a2）R[0，T）θφ，*tdt公司≤ Q、 也就是说，等式（32）中得到的最优交易策略也是约束问题的最优交易策略。4.3数值结果在本节中，我们提供了一些数值结果来说明外源性破产事件对代理人清算策略的影响。假设待清算的目标订单规模为Q=100个单位，清算时间T=1天，触发事件发生的风险率为λ=1。模型参数值设置如下：γ=0.1，σ=0.2，η=0.001，ν=0.003，φ=0.1。图2提供了两种不同设置下清算策略的比较：一种没有触发事件（模型1），另一种有触发事件（模型2）。在图2所示的上面板和中面板图中，我们可以观察到在时间t=0.46时发生了一个外源性Austrigger事件。当时，所有交易都暂停在模型2中：θt | t∈（0.46,1）=0和Xt | t∈（0.46,1）=Xt=0.46。由于我们的目标是在时间T=1（模型1）或时间τ=min{0.46，1}（模型2）之前平仓大头寸，面临在交易期（模型2）内可能发生外部触发事件的代理希望加快流动速度，以减少其潜在头寸风险敞口，并最终在触发事件发生时处于较小头寸。

与那些没有受到触发事件威胁的人相比，他们的策略更“凸”，如图2所示的上部面板图所示。时间0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1清算速度θ*01002000300400500600清算速度模型2时间0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9现有股份Q02046080100现有股份模型2时间0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.8 0.9 1未实现损益-200-150-100-500模型1模型2图2：两种不同情况下清算策略的比较设置：一个没有触发事件（型号1），另一个有触发事件（型号2）。图2中给出的下面板图描述了DP问题的更新未实现利润和损失（损益）利润随时间t的变化：U（t，q）=c（t）qand F（t，q）=ec（t）q。请注意，在任何时间t∈ [0，T]，根据DP原理，T=0时的值函数可以写为：U（0，Q）=R*t型- γ[V*, 五、*]（[0，t））{z}已实现损益+U（t，Xt）{z}未实现损益*t型- γ[V*, 五、*]（[0，t]）可被视为已实现损益，U（t，Xt）可被视为未实现损益。如图2所示，从一开始，由于外部触发事件产生的潜在头寸风险，第二种设置下的未实现损益明显小于第一种设置下的未实现损益。

这种差距最终将通过调整交易策略来缩小，在时间t=0.15时，在触发事件发生之前，这种情况将完全逆转。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.05 10 15 20 25相对清算率（模型1）时间相对比率0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00 1 2 3 4 5相对清算率（模型2）时间相对比率图3：两种不同设置下的相对清算速度θ/q比较：一种设置为无触发事件（模型1），另一种设置为有触发事件（模型2）。图3显示了两种不同设置下的相对清算速度θt/x。我们清楚地看到，在第一种情况下（模型1），相对清算率以单调的方式取决于到期时间。事实上，当t接近时间范围t时，确实需要代理人进行清算，因为清算成本φXT-时间T很高。然而，如果代理人面临额外风险，即在清算期内可能发生外部触发事件，当相关风险较高时，他/她需要更快地交易以降低该风险。如上图所示，第二种设置下的相对清算率在[0，τ]期间几乎保持不变。5受交易对手风险影响的最佳清算策略（模型3）在本节中，我们假设触发器事件不是外生的。它是由股票发行人的市场价值所引起的。5.1打击时限股票发行人的市场价值Y根据dYt=Ytβdt+ξdWYt, Y=ydWYtdWSt=ρ，其中常数β是公司的平均回报率，常数ξ是波动率，{WSt}和{WYt}是两个相关的布朗运动，常数ρ是相关系数，ρ<1。

因此，我们有Yt=ye（β-ξ） t+ξWYt。我们假设，一旦公司的市场价值下降到预先确定的限制α*> 0（预先假设y>α*), 这家公司将发生重大转变，清算过程将被迫暂停。Letm（y）=ξlnyα*> 0和α=ξξ- β,定义WYt=WYt+αt。根据信息，此切换发生的时间定义为κm（y）=inf{t≥ 0：cWYt=m（y）}。然后通过τm（y）=min{κm（y），T}给出清算期限，这是一个停止时间。由于布朗运动{cWYt}的马尔可夫性质，给定κm（y）>t且yt=y，κm（y）的条件分布由κm（y）{κm（y）>t给出∨ Yt=y}=t+κm（y）。因此，我们得到了τm（y）|{τm（y）>t∨ Yt=y}=t+min{κm（y），t- t} =：τt，m（y）。（33）布朗运动的命题3，cWYt=WYt+αt，α6=0，定义κm=inf{t≥ 0:cWYt=m}，m>0。κmisE[e]的Laplace变换-uκm]=eαm-m级√2u+α，对于所有u>0。回想一下，在时间范围τt，m（y）（在公式（33）中定义）之前的任何时间t，初始值Yt=y，Xt=q，代理的目标是找到h（t，y，q）=maxθ（·）的最优控制∈ΘtEZτt，m（y）-t∏（θr，Xr）dr- φXτt，m（y）-英尺= 最大θ（·）∈ΘtEZ[t，t）I{r<τt，m（y）}∏（θr，Xr）dr- φXτt，m（y）-英尺,（34）式中∏（θt，Xt）=g（θt）θt+f（θt）Xt- γσXt。我们验证了粘度解的比较原理，并描述了关联HJB方程的唯一粘度解的值函数。我们使用的事实是-Wytha与WYt的分布相同。备注1假设公司市值未达到预定水平α*到时间t。到m（y）的定义，我们有m（y）→ ∞ 作为y→ ∞. 根据位置2，石灰→∞E【E】-uκm（y）]=0，对于所有u>0。这意味着，0≤ e-uNP（κm（y）≤ N）≤ E【E】-uκm（y）]，对于任何正整数N。因此，limy→∞P（κm（y）≤ N） =0。

传递到limitN→ ∞, 我们的结论是利米→∞P（κm（y）<∞) = 0和石灰→∞P（κm（y）=∞) = 1、因此，limy→∞P（τt，m（y）=t）=1.5.2动态规划在本节中，我们讨论了无约束值函数H的一些分析性质。第5.3节和第5.4节将提供一些技术证明。定理6让H（t，y，q）表示过程{Yt，t之前任何时间t的等式（34）中的值函数≥ 0}达到预定极限α*和（Yt，Xt）=（y，q）。假设值函数H（t，y，q）是充分光滑的，即H∈ C1,2,2（[0，T）×（α*, +∞) ×(0, +∞)), 然后H（t，y，q）满足HJB方程-(t+βyy+ξyyy）H+γσq- 最大θt∈Θtng（θt）θt+f（θt）q- qH·θto=0，（35）在区域{（t，y，q）：0≤ t<t，y>α*, q>0}，满足边界条件（a）H（T，y，q）=-φq，y>α*, （35.a）（b）H（t，α*, q） =-φq，0≤ t<t，（35.b）（c）石灰→∞H（t，y，q）=U（t，q），（35.c），其中U（t，q）是我们在模型1中考虑的优化问题的值函数。值得注意的是≥ α*, H（t，y，q）≤ U（t，q），对于任何y≥ y≥ α*,H（t，y，q）≥ H（t，y，q）。这背后的基本原理是直观的。与“无违约”模型（模型1）相比，交易对手风险越大，价值函数越小。C1,2,2（[0，T）×α*, ∞) ×(0, ∞)) 是函数f（t，y，q）的空间，在t中连续可微，在y和q中两次连续可微。5.3第5.2节中，H（t，y，q）的单调性和连续性，我们在没有证明的情况下给出了值函数H（t，y，q）的主要分析性质。在这一节中，我们证明了H（t，y，q）的单调性、增长率控制和连续性，如下所示。定理7假设条件（18）满足：2φ>η+2σ√γν.

然后，我们得到（i）（单调性）H（t，y，q）是y中的增函数，是t中的减函数；（ii）（连续性）H（t，y，q）在t中是指数为1/2的局部H－older连续的，并且在[0，t）×（α）中在y和q中都是局部Lipschitz连续的*, ∞) × (0, ∞);（iii）（增长率控制）H（t，y，q）满足库存变量q的二次增长条件：对于任何（t，y，q）∈ [0，T）×（α*, ∞) × (0, ∞),H（t，y，q）≤φ +(2φ - η)4ν- γσ（T- t）q、 为了避免混淆，在下面的部分中，我们表示X（t），共享时间t的数量，以及{Xθt，q（u）}u≥t、 给定X（t）=q和交易策略θ的X（·）轨迹。为了证明定理7，我们首先将原始控制问题转化为一个没有终端遗留函数的问题。自g（x）=-φxis连续可微，andE[τt，m（y）| Ft]<t<∞, 我们可以将Dynkin公式应用于-φX（t）并重写值函数H asH（t，y，q）=-φq+最大θ（·）∈ΘtEZτt，m（y）-tL（θr，Xθt，q（r））dr英尺式中，l（θ，q）=∏（θ，q）+2φqθ。（36）定义一个新的值函数asbH（t，y，q）=最大θ（·）∈ΘtEZτt，m（y）-tL（θr，Xθt，q（r））dr英尺.定理7的证明。（i） 验证y的单调性的一种方法是直接应用定义。设θy，*表示关于停止时间τt，m（y）的最优控制过程。对于任何正数y≥ y> α*, 我们有τt，m（y）≥ τt，m（y）。从这个观察中，我们得到bh（t，y，q）=maxθ（·）∈ΘtEZτt，m（y）-tL（θr，Xθt，q（r））dr英尺≥ EZτt，m（y）-tL（θy，*r、 Xθy，*t、 q）dr英尺+ 最大θ（·）∈Θτt，m（y）E“Zτt，m（y）-τt，m（y）L（θr，Xθτt，m（y），Xθy，*t、 q（τt，m（y））-)（r） ）drFt#|{z}（II）。SinceL（θ，q）=∏（θ，q）+2φqθ=-νθ+ (2φ - η） qθ- γσq.假设2φ>η+2σ√γν，对于任何q∈ (0, +∞), 我们可以选择θ：=2φ-η2νq≥ 0使得L（θ，q）≥ 0，因此，（II）≥ 0

因此，bH（t，y，q）≥bH（t，y，q），因此H（t，y，q）≥ H（t，y，q）。解决此问题的另一种方法是应用第3.2节中的结果。让UT（t，q）表示优化问题（11）的时间范围为t的值函数。在条件（18）下，对于任何T>T>T，我们有不等式（19）：UT（T，q）>UT（T，q）。如果我们设置T=τT，m（y）和T=τT，m（y），那么h（T，y，q）=E[UτT，m（y）（T，q）| Ft]≥ E[Uτt，m（y）（t，q）| Ft]=H（t，y，q）。类似地，我们可以验证t中H（t，y，q）的单调性。如果我们设置\'U（ι，q）=UT（t，q），其中ι=t- t是到期时间，那么根据命题1，对于任何0≤ ι<ι<T，\'U（ι，q）>\'U（ι，q）。对于任何0≤ t<t<t。设ι=τt，m（y）- tandι=τt，m（y）- t、 通过定义τt，m（y），我们得到了ι≥ ι、 henceH（t，y，q）=E[\'U（ι，q）| Ft]≥ E[(R)U（ι，q）| Ft]=H（t，y，q）。（ii）为了证明H的连续性，必须证明对于区域{（t，y，q）中的任意两点（t，y，q）和（t，y，q）{（t，y，q）}：0≤ t<t，α*< y、 0<q}，存在三个（t，y）-独立的多项式增长（关于（q，q））系数K（q，q），K（q，q）和K（q，q），因此| bH（t，y，q）-bH（t，y，q）|≤ |bH（t、y、q）-bH（t，y，q）|+| bH（t，y，q）-bH（t，y，q）|+| bH（t，y，q）-bH（t、y、q）|≤ K | y- y |+K | q- q |+K（| t- t |+| t- t |）。我们将证明分为三部分：一部分是变量y，另一部分是变量q，其余部分是变量t。步骤1（变量y）。

对于任何正数y≥ y> α*, 我们有τt，m（y）≥τt，m（y）和hencebH（t，y，q）=E“Zτt，m（y）-tL（θy，*r、 Xθy，*t、 q）dr+Zτt，m（y）-τt，m（y）L（θy，*r、 Xθy，*τt，m（y），Xθy，*t、 q（τt，m（y））-)（r） ）dr英尺#≤bH（t，y，q）+最大θ（·）∈Θτt，m（y）E“Zτt，m（y）-τt，m（y）L（θr，Xθτt，m（y），Xθy，*t、 q（τt，m（y））-)（r） ）drFt#，（37）无缔约方风险的相关清算问题。式中θy，*是关于停止时间τt，m（y）的最优控制过程。因此，使用第（i）部分，我们得到了| bH（t，y，q）-bH（t，y，q）|=bH（t，y，q）-bH（t、y、q）≤ 最大θ（·）∈Θτt，m（y）E“Zτt，m（y）-τt，m（y）L（θr，Xθτt，m（y），Xθy，*t、 q（τt，m（y））-)（r） ）dr英尺#。（38）A完整的方形屈服强度SL（θ，X）=-νθ -2φ - η2νX+(2φ - η)4ν- γσ|X |，somaxθ（·）∈Θτt，m（y）E“Zτt，m（y）-τt，m（y）L（θr，Xθτt，m（y），Xθy，*t、 q（τt，m（y））-)（r） ）dr英尺#≤(2φ - η)4ν- γσqE“Zτt，m（y）-τt，m（y）dr英尺#=(2φ - η)4ν- γσ量化宽松τt，m（y）- τt，m（y）| Ft因为Xθτt，m（y），Xθy，*t、 q（τt，m（y））-)（r）≤Xθy，*t、 q（τt，m（y））-)≤ q、 通过定义τt，m（y），我们得到了τt，m（y）-τt，m（y）≤ κm（y）-κm（y）。根据位置3和m（y）的定义，存在一个常数c>0，使得e[κm（y）- κm（y）| Ft]≤ c | ln（y）- ln（y）|，因此，| bH（t，y，q）-bH（t，y，q）|≤ c(2φ - η)4ν- γσq | ln（y）- ln（y）|。（39）自| ln（y）起- ln（y）|≤α*|y- y |，对于任何y，y∈ (α*, +∞). 存在一个（t，y）独立的二次增长系数K（q），因此| bH（t，y，q）-bH（t，y，q）|≤ K（q）| y- y |。步骤2（变量q）。让q，q∈ (0, +∞) 满足| q- q |≤ 1、考虑值函数bh（t，y，q）和bh（t，y，q）。通过定义和关系| max f-最大g |≤ 最大| f-g |，我们有| bH（t，y，q）-bH（t、y、q）|≤ 最大θ（·）∈ΘtEZTtIt公司≤r<τt，m（y）·L（θr，Xθt，q（r））- L（θr，Xθt，q（r））博士英尺≤ 最大θ（·）∈ΘtEZTt公司L（θr，Xθt，q（r））- L（θr，Xθt，q（r））博士英尺≤ K（q，q）| q- q |，（40）值得注意的是，条件（18）意味着（2φ-η)4ν- γσ> 0.其中K（q，q）是多项式增长系数。

最后一个不等式来自定义1和xθt，q（r）- Xθt，q（r）=q- q、 对于任何交易策略θ∈ Θt.步骤3（变量t）。让0≤ t<t<t，和（y，q）∈ (α*, ∞) ×(0, +∞). 根据theDP原理，bH（t，y，q）=EZttL（θr，Xθ*t、 q（r））dr+bH（t，Yt，y（t），Xθ*t、 q（t））英尺,式中θ*是最优控制过程。因此，根据第（i）部分，| bH（t，y，q）-bH（t，y，q）|=bH（t，y，q）-bH（t，y，q）=EZttL（θ*r、 Xθ*t、 q（r））dr英尺+ EbH（t，Yt，y（t），Xθ*t、 q（t））-bH（t、y、q）英尺=: 我+我。第二学期我≤ 呃bH（t，Yt，y（t），Xθ*t、 q（t））-bH（t，Yt，y（t），q）Fti+EhbH（t，Yt，y（t），q）-bH（t、y、q）Fti公司≤ E[K（Xθ*t、 q（t），q）| Xθ*t、 q（t）- q | | Ft）+C（q）E[| ln（Yt，y（t））- ln（y）| | Ft]≤ C（q）E[| Xθ*t、 q（t）- q | | Ft）+C（q）E[| ln（Yt，y（t））- ln（y）| | Ft]，（41），其中C（q）和C（q）是两个（t，y）独立的多项式增长系数。倒数第二个不等式来自等式（39）和等式（40）中的结果。最后一个不等式来自| Xθ*t、 q（t）|≤ q、 请注意1。通过完成步骤1中使用的平方技巧，I+C（q）E[| Xθ*t、 q（t）- q | | Ft]=EZttL（θ*r、 Xθ*t、 q（r））+C（q）θ*r博士英尺≤[(2φ - η） +C（q）/q]4ν- γσq | t- t |。这就是2。E[| ln（Yt，y（t））- ln（y）| | Ft]=E[| Zt-t |]，其中ZT-t=（β-ξ） （t- t） +ξWYt-tis是平均值为（β）的正态分布随机变量-ξ） （t- t） andvarianceξ（t- t） 。设fz（x）为Zt的概率密度函数-t、 thenE[| Zt-t |]=Z∞-∞|x | fz（x）dx≤sZ公司∞-∞xfz（x）dx·sZ∞-∞fz（x）dx=qE[Zt-t] =pV ar（Zt-t） +E[Zt-t] =rξ（t- t） +（β-ξ） （t- t） 。因此，通过不等式（41），存在一些多项式增长系数k（q），使得| bH（t，y，q）-bH（t，y，q）|=I+I≤ K（q）（p | t- t |+| t- t |）。结合步骤1、2和3中的结果，我们得出结论，BH在t中是局部H¨oldercontinuous的，指数为1/2，在Yan和q中都是局部Lipschitz连续的。

因为H（t，y，q）=-φq+bH（t，y，q），我们得出结论：H在[0，t）×（α）中具有相同的连续性*, ∞) × (0, +∞).（iii）SinceH（t，y，q）=-φq+最大θ（·）∈ΘtEZτt，m（y）-tL（θr，Xθt，q（r））dr英尺,通过第（ii）部分步骤1中使用的完成方块技巧，我们得到了| H（t，y，q）|≤ φq+(2φ - η)4ν- γσ量化宽松τt，m（y）- t |英尺≤φ +(2φ - η)4ν- γσ（T- t）q、 也就是说，H（t，y，q）满足关于库存变量q的二次增长条件，并且在[0，t）×（α）的任何紧致子集内有界*, ∞) × (0, ∞).5.4粘度溶液在第5.3节中，我们详细讨论了H（t，y，q）的连续性。由于我们不期望值函数H是连续可微的，因此我们无法在经典意义上讨论HJB方程（35）的解。因此，我们想介绍粘度溶液的概念。定义2连续函数H（·，·，·，·），在[0，T）×（α*, ∞) ×(0, +∞) 是HJB方程（35）的粘度子解（相应的超解），如果对于任何C1,2,2（[0，T）×（α*, ∞)×(0, +∞)) 函数ψ和（\'t，\'y，\'q）∈ [0，T）×（α*, ∞)×(0, +∞) 使得H（t，y，q）-ψ（t，y，q）在（\'t，\'y，\'q）处达到其局部最大值（分别为最小值），我们有-t+βyy+ξyyy年ψ（\'t，\'y，\'q）+γσ\'q-最大θt∈Θtng（θt）θt+f（θt）(R)q- qψ（\'t，\'y，\'q）·θ至≤ 0; （分别为。≥ 0).如果连续函数H既是粘度子解又是粘度超解，则它是粘度解。对于值函数H（t，y，q），我们得到以下结果：定理8值函数H是HJB方程（35）的粘性解。证明：我们将在步骤1和2中分别证明H是方程（35）的粘度超解和子解。步骤1：H是HJB方程（35）的粘度超解。在不丧失一般性的情况下，letmin（t，y，q）∈[0，T）×（α*,∞)×(0,+∞)（H）- ψ） （t，y，q）=（H- ψ） （\'t，\'y，\'q）=0。