随机终止条件下的最优清算问题

（42）假设δ非常小，以至于bδ（\'y，\'q）：={（y，q）：p（y- y）+（q- \'q）<δ} (α*, +∞) × (0, +∞).对于任意常数控制'θ∈ Θ′t，定义τ（(R)θ）=inf{t≥\'t：（Y\'t，\'Y（t），X\'θ\'t，\'q（t））/∈ Bδ（\'y，\'q）}。对于任何0<t<t-\'t，确定停止时间τ（\'θ），t） =（(R)t+t）∧ bτ（°θ）∧ τ\'t，m（\'y）。根据DP原理，H（\'t，\'y，\'q）≥ E“Zτ（°θ），t）-\'tg（’θ）’θ+f（’θ）X’θ’t，’q（r）- γσ（X′θ′t，’q（r））dr#+EhH（τ（(R)θ，t） ，Y't，'Y（τ（'θ），t） ，X'θ't，'q（τ（'θ），t） ）i.Eq.（42）表示H（t，y，q）≥ ψ（t，y，q）和H（\'t，y，q）=ψ（\'t，y，q），因此ψ（\'t，y，q）≥ E“Zτ（°θ），t）-\'\'tg（’θ）’θ+f（’θ）X’θ’t，’q（r）- γσ（X′θ′t，’q（r））dr#+Ehψ（τ（(R)θ），t） ，Y't，'Y（τ（'θ），t） ，X'θ't，'q（τ（'θ），t） i.将It^o公式应用于ψ（t，Y't，'Y（t），X'θ't，'q（t）），在't和τ（'θ）之间，t） ，我们得到了τ（°θ），t）-\'tZτ（\'θ），t） \'\'tg（’θ）’θ+f（’θ）X’θ’t，’q（r）- γσ（X'θ't，'q（r））+Lψ（r，Y't，'Y（r），X'θ't，'q（r））- qψ（r，Y't，'Y（r），X'θ't，'q（r））·θdri公司≤ 0，（43），其中L=t+βyy+ξyyy年。根据中值定理，期望值（43）中的随机变量收敛于。s、 toLψ（\'t，\'y，\'q）- γσ\'q+g（\'θ）\'θ+f（\'θ）\'q- qψ（\'t，\'y，\'q）·θast型→ 0+. 然后我们得到lψ（\'t，\'y，\'q）- γσ\'q+g（\'θ）\'θ+f（\'θ）\'q- qψ（\'t，\'y，\'q）·θ≤ 0.我们从'θ的任意性得出证明∈ ΘОt.步骤2:H是HJB方程（35）的粘度子解。在不丧失一般性的情况下，letmax（t，y，q）∈[0，T）×（α*,∞)×(0,+∞)（H）- ψ） （t，y，q）=（H- ψ） （\'t，\'y，\'q）=0。（44）我们将用矛盾来表示结果。相反，假设lψ（\'t，\'y，\'q）- γσ′q+最大θtng（θt）θt+f（θt）’q- qψ（\'t，\'y，\'q）·θ至<0。自ψ起∈ C1,2,2（[0，T）×α*, +∞) ×(0, +∞)), 存在δ>0和ξ>0，使得lψ（t，y，q）- γσq+最大θtng（θt）θt+f（θt）q- qψ（t，y，q）·θ至<-ξ、 （45）对于任何（t，y，q）∈ Bδ（\'t，\'y，\'q）。这里bδ（\'t，\'y，\'q）：={（t，y，q）：p（t-\'t）+（y- y）+（q- \'q）<δ}是半径为δ的三维球。

在不丧失一般性的情况下，我们可以选择δ非常小，以便Bδ（\'t，\'y，\'q） [0，T）×（α*, ∞) × (0, +∞). 对于任意控制过程θ∈ Θ′t，我们定义τ（θ）=inf{t≥\'t：（t，Y\'t，\'Y（t），Xθ\'t，\'q（t））/∈ Bδ（\'t，\'y，\'q）}。对于任何0<t<t-\'t，定义τ（θ，t） =（(R)t+t）∧ eτ（θ）∧ τ\'t，m（\'y）。根据DP原理，存在一个控制过程θ∈ Θtsuch茅草（\'t，\'y，\'q）-ξt型≤ E“Zτ（θ，t）-\'tg（θr）θr+f（θr）Xθ′t，’q（r）- γσ（Xθ\'t，\'q（r））dr#+EhH（τ（θ），t） ，Y't，'Y（τ（θ），t） ，Xθ't，'q（τ（θ），t） ）i.Eq.（44）表示H（t，y，q）≤ ψ（t，y，q）和H（\'t，y，q）=ψ（\'t，y，q），因此ψ（\'t，y，q）-ξt型≤ E“Zτ（θ，t）-\'tg（θr）θr+f（θr）Xθ′t，’q（r）- γσ（Xθ\'t，\'q（r））dr#+Ehψ（τ（θ），t） ，Y't，'Y（τ（θ），t） ，Xθ't，'q（τ（θ），t） ）i.对于任意常数控制'θ∈ Θt，limt型→0τ(θ, t） =\'t。将It^o公式应用于ψ（t，Y\'t，\'Y（t），Xθ\'t，\'q（t）），介于\'t和τ（θ）之间，t） ，我们获得-ξ≤ 呃tZτ（θ，t） \'\'tg（θr）θr+f（θr）Xθ′t，’q（r）- γσ（Xθ′t，q（r））+Lψ（r，Y′t，Y（r），Xθ′t，q（r））- qψ（r，Y't，'Y（r），Xθ't，'q（r））·θrdri公司。（46）出租t型→ 0，式（45）和式（46）表示-ξ≤ - lim公司t型→0E[τ（θ），t）-“\'t]tξ。（47）根据定义，我们有1≥E[τ（θ），t）-\'\'t]t型≥t×P（eτ（θ）∧ τ\'t，m（\'y）>\'t+t）t=P（eτ（θ）∧ τ\'t，m（\'y）>\'t+t）→ 1，ast型→ 0+，这意味着LIMt型→0E[τ（θ），t）-\'\'t]t=1。公式（47）则得出-ξ≤ -ξ、 这是一个矛盾。因此ψ（\'t，\'y，\'q）- γσ′q+最大θt∈Θtng（θt）θt+f（θt）(R)q- qψ（\'t，\'y，\'q）·θ至≥ 由于值函数H既是粘度子解又是粘度超解，我们得出结论，它是HJB方程（35）的粘度解。5.5比较原理与唯一性动态规划（DP）方法是利用HJB方程研究随机控制问题的有力工具。然而，在经典方法中，当先验假设值函数是充分光滑的时，使用该方法。

然而，即使在一些非常简单的情况下，这也不一定是真的。为了避免这种困难，我们采用了第5.4节中的粘度溶液方法。在本节中，我们将前几节中获得的结果与粘度溶液的比较原则相结合。我们将值函数描述为相关动态规划方程（公式35）的唯一粘度解，并可使用该值函数获得进一步的结果。定理9（比较原理）。设Jsub（t，y，q）（分别为Jsup（t，y，q））是等式（35）的上半连续粘度子解（分别为下半连续粘度上解），满足关于q的多项式增长条件。假设存在一个正常数r<1，使得解关于y的增长率可由[ln（y）]r控制。IfJsub≤ JSON{t=t}∪ {y=α*} ∪ {q=0}，然后是Jsub≤ Jsupin[0，T）×（α*, +∞) × (0, +∞).证明：我们通过以下步骤完成证明：步骤1。让%>0。定义SUB=e%tJsubandeJsup=e%tJsup。直接计算表明，EJSUB（分别为eJsup）是-t+βyy+ξyyy年J（t，y，q）+e%tγσq+%J（t，y，q）-最大θt∈Θt%t[g（θt）θt+f（θt）q]- qJ（t，y，q）·θto=0。（48）定义（t，y，q，p，N）=最大θ≥0b（y，q，θ）·p+tr（∑∑（y）N）+f（t，y，q，θ，p，N）哪里b（y，q，θ）=βy-θ∑（y）=ξy 00 0f（t，y，q，θ，p，N）=-e%tγσq+e%t[g（θ）θ+f（θ）q]，是∑的转置，和（p，∑）=（p，p），∑∈ 这里是对称2×2矩阵的集合。公式（48）可改写为-tJ（t，y，q）+%J（t，y，q）- H（t，y，q，D（y，q）J，D（y，q）J）=0。（49）步骤2。

（超解的惩罚和扰动）从jsub和Jsup上的边界和多项式增长条件出发，我们可以选择一个整数r>1，一个正常数r<1和a>1/α*因此SUP（t，y，q）∈[0，T）×（α*,+∞)×(0,+∞)|Jsub（t，y，q）|+| Jsup（t，y，q）| 1+[ln（ay）]r+qr<∞.然后我们考虑函数Υ（t，y，q）=e-%t（1+[ln（ay）]r+1+q2r）。直接计算表明(t+βyy+ξyyy）Υ=-e-%tn%-β（1+r）2[ln（ay）]1-r+ξ1.- r【ln（ay）】r-3+（1+r）[ln（ay）]r-1.+%[ln（ay）]r+1+%q2ro≤ 0，我们分别表示J的二阶偏导数的梯度向量和矩阵，byD（y，q）J=JyJq公司和D（y，q）J=JyyJyqJqyJqq.只要%>最大值0，β（1+r）2[ln（aα*)]1.-r. 这意味着对于所有ω>0，函数Jsupω=Jsup+ωΥ作为Jsup，是等式（35）的超级解。此外，根据Jsub、Jsup和Υ上的生长条件，对于所有ω>0，我们有lim（y，q）∈ (α*, +∞) × (0, +∞)y+p→ +∞sup[0，T]（Jsub- Jsupω）（t，y，q）=-∞.第3步。设D=（α*, +∞) × (0, +∞). 在不丧失一般性的情况下，我们可以假设上半连续函数的上确界-eJsupon[0，T]×(R)D位于[0，T]×（O∪ {y=α*} ∪ （α）的某个有界开集O的{q=0}）*, +∞) × (0, +∞). 这里“D”表示D的闭包。否则，我们可以考虑jsub-eJsupω（我们在步骤2中描述）而不是原始的alejsub-eJsup，然后传递到极限ω→ 在下面的参数末尾加0以获得相同的结果。考虑到这一点≤eJsupon{t=t}∪ {y=α*} ∪ {q=0}，我们需要证明ejsub≤eJsupon[0，T]×[α*, ∞) × [0, +∞). 证明的粗略框架是通过矛盾证明的。我们假设：=sup[0，T]×(R)D（eJsub-eJsup）=最大值[0，T）×O（eJsub-eJsup）>0。

（50）我们现在使用变量加倍技术，考虑 > 0，函数（更多详细信息，请参考Pham【18】举例）ψ（t，t，y，y，q，q）=eJsub（t，y，q）-eJsup（t、y、q）- ψ（t，t，y，y，q，q）式中ψ（t，t，y，y，q，q）=（t- t）+（y）- y） +（q- q）.上半连续函数ψ达到最大值，用M表示, 关于紧集[0，T]×(R)Oat（T, t型, （y）, q), （y）, q)). 注意，M≤ M= Ψ（t, t型, y, y, q, q)=eJsub（t, y, q) -eJsup（t, y, q) - ψ（t, t型, y, y, q, q)≤eJsub（t, y, q) -eJsup（t, y, q),（51）对于任何 > 根据Bolzano-Weierstrass定理，存在（t）的序列, t型, （y）, q), （y）, q))收敛到某个点（\'t，\'t，（\'y，\'q），（\'y，\'q））∈ [0，T]×(R)O.从现在起，我们将在必要时考虑这样一个收敛子序列。此外，由于序列（eJsub（t, y, q)-eJsup（t, y, q))是有界的，我们从公式（51）中可以看出序列（ψ（t, t型, y, y, q, q))也有界，因此，\'t=\'t=\'t，\'y=\'y=\'y，\'q=\'q=\'q。传递到极限 → 公式（51）中的0+值得注意的是，在假设下≤eJsupon{t=t}∪ {y=α*} ∪ {q=0}，Jsub的正最大值-无法在边界{t=t}上获得ejsup∪{y=α*} ∪ {q=0}。（i） M级≤ （eJsub-eJsup）（\'t，\'y，\'q）≤ M、 因此M=（eJsub-eJsup）（\'t，\'y，\'q）带（\'t，\'y，\'q）∈ [0，T）×O由等式。

(50);（ii）As → 0+，M→ M和ψ（t, t型, y, y, q, q) → 因此，通过定义（t, t型, y, y, q, q),（a） （t, y, q) 是（t，y，q）的局部最大值→eJsub（t、y、q）- ψ（t，t, y、 y型, q、 q)在[0，T）×D；和（b）（T）上, y, q) 是（t，y，q）的局部最小值→eJsup（t，y，q）+ψ（t, t、 y型, y、 q, q） 在[0，T）×D上，我们定义了jsubat点（T，y，q）的二阶超射流P+，（1,2）eJsub（T，y，q）∈[0，T）×D，二阶主语P-,（1,2）eJsup的eJsup（t，y，q）如下所示：P+，（1,2）eJsub（t，y，q）=n（P，P，n）∈ R×R×S:lim sup（δt，δy，δq）→ 0（t+δt，y+δy，q+δq）∈ [0，T）×DeJsub（T+δT，y+δy，q+δq）-eJsub（t、y、q）- pδt- p·（δy，δq）-N（δy，δq）·（δy，δq）|δt |+|δy |+|δq|≤ 0o，andP-,（1,2）eJsup（t，y，q）=n（p，p，n）∈ R×R×S:lim sup（δt，δy，δq）→ 0（t+δt，y+δy，q+δq）∈ [0，T）×DeJsup（T+δT，y+δy，q+δq）-eJsup（t、y、q）- pδt- p·（δy，δq）-N（δy，δq）·（δy，δq）|δt |+|δy |+|δq|≥ 0o，其中Sis是对称2×2矩阵的集合。根据定义，我们获得tψ, D（y，q）ψ, D（y，q）ψ（t, t型, y, y, q, q) ∈ P+，（1,2）eJsub（t, y, q)-tψ, -D（y，q）ψ, -D（y，q）ψ（t, t型, y, y, q, q) ∈ P-,（1,2）eJsup（t, y, q).（52）这是因为（类似的分析可以应用于JSUP（t，y，q）），eJsub（t，y，q）≤eJsub（t, y, q) + ψ（t，t, y、 y型, q、 q) - ψ（t, t型, y, y, q, q)=eJsub（t, y, q) + tψ（t, t型, y, y, q, q)（t- t型)+D（y，q）ψ（t, t型, y, y, q, q) · （y）- y, q- q)+D（y，q）ψ（t, t型, y, y, q, q)（y）- y, q- q) · （y）- y, q- q)+o（| t- t型| + |y- y|+ |q- q|).实际上，Eq。

（52）适用于任何测试函数ψ∈ C1,2,2（[0，T）×（α*, +∞) ×(0, +∞)) ofeJsubandeJsup，而converse属性也成立：对于任何（p，p，N）∈ P+，（1,2）eJsub（t，y，q），存在ψ∈ C1,2,2（[0，T）×α*, +∞) ×(0, +∞))满足（p，p，N）=tψ，D（y，q）ψ，D（y，q）ψ（t，y，q）∈ P+，（1,2）eJsub（t，y，q）。关于更多细节，请参考[7]第五章中的引理4.1。下面的命题给出了超射流和子射流粘度解的等效定义。命题4[0，T）×D上的上半连续（分别为下半连续）函数ω是[0，T）×D上等式（49）的粘度子解（分别为超解），当且仅当所有（T，y，q）∈ [0，T）×D和全部（p，p，N）∈P+，（1,2）ω（t，y，q）（分别为P-,（1,2）ω（t，y，q）），-p+%ω（t，y，q）- H（t，y，q，p，N）≤ （分别为。≥) 粘性解理论中二阶方程比较证明的关键工具是由Ishii提出的分析引理。我们在没有任何限制的情况下陈述这个引理，请读者参考[18，P.80]中的引理4.4.6和[12，P.32]中的引理3.6了解更多细节。引理1（Ishii引理）让U（分别为。

V）是[0，T）×Rn，ψ上的上半连续（或下半连续）函数∈ C1,1,2,2（[0，T）×Rn×Rn），和（\'T，\'s，\'x，\'y）∈ [0，T）×Rn×Rna U（T，x）的局部最大值- V（s，y）- ψ（t，s，x，y）。那么，对于所有η>0，存在N，N∈ SN令人满意(tψ，Dxψ，N）（\'t，\'s，\'x，\'y）∈ P+，（1,2）U（\'t，\'x）(-sψ，-Dyψ，N）（\'t，\'s，\'x，\'y）∈ P-,（1,2）V（\'s，\'y），和N0号-N≤ D（x，y）φ（\'t，\'s，\'x，\'y）+ηD（x，y）φ（\'t，\'s，\'x，\'y）.这里，sni是对称n×n矩阵的集合。我们将使用带ψ的Ishii引理（t，t，y，y，q，q）=（t- t）+（y）- y） +（q- q）.然后，直接差异产生tψ（t，t，y，y，q，q）=-tψ（t，t，y，y，q，q）=（t- t）yψ（t，t，y，y，q，q）=-yψ（t，t，y，y，q，q）=（y）- y）qψ（t，t，y，y，q，q）=-qψ（t，t，y，y，q，q）=（q）- q） ，（53）D（（y，q），（y，q））ψ（t，t，y，y，q，q）=我-我-二、,和D（y，q），（y，q）ψ（t，t，y，y，q，q）=我-我-二、.此外，通过选择η= 引理1中存在矩阵和N∈ S确认N0号-N≤我-我-二、. （54）根据Ishii引理和Eq。

(53),（t- t型),（y）- y) ,（q）- q), N∈ P+，（1,2）eJsub（t, y, q),（t- t型),（y）- y) ,（q）- q), N∈ P-,（1,2）eJsup（t, y, q).根据超射流和子射流的粘度子解和超解表征（即命题4），我们得到-（t- t型) + %eJsub（t, y, q) - H（t, y, q,（y）- y),（q）- q), N）≤ 0,-（t- t型) + %eJsup（t, y, q) - H（t, y, q,（y）- y),（q）- q), N）≥ 通过减去上述两个不等式，我们得到%[eJsub（t, y, q) -eJsup（t, y, q)] ≤ Ht型, y, q,（y）- y),（q）- q), N-Ht型, y, q,（y）- y),（q）- q), N.（55）让我们回忆一下h（t，y，q，p，N）=tr（∑∑（y）N）+βyp- e%tγσq+bH（t，q，p），其中g（θ）=-νθ，f（θ）=-ηθ和bh（t，q，p）=最大θ≥0e%t[g（θ）θ+f（θ）q]- pθ=（0，如果p≥ -ηqe%t4νe%tηq+e-%tp, 否则伯克希尔哈撒韦的后果是严重的不平等bH（t、q、p）-bH（t、q、p）≤ C（（1+| p |）| t- t |+（1+| p |）| q- q |），（56）我们使用ψ（t, t型, y, y, q, q) =eJsub（t, y, q) 和-ψ（t, t型, y, y, q, q) =eJsup（t, y, q).对于所有（t、t、q、q、p）∈ [0，T]×（0+∞)×R，其中C是一个常数，取决于η、ν、ρ、T和O。我们请感兴趣的读者参阅附录a以获得不等式（56）的证明。因此，%[eJsub（t, y, q) -eJsup（t, y, q)]≤tr∑∑（y)N- ∑∑（y)N）+β| y- y|- e%tγσq+ e%tγσq+C|t型- t型| · |q- q|+ |t型- t型| + |q- q| +|q- q|.（57）由于ψ→ 0，作为 → 0+，我们有| t- t型| = o(), |y- y| = o(1/2）和| q- q| = o(1/2).因此，作为 → 0+,|t型- t型| · |q- q|+ |t型- t型| + |q- q| +|q- q|→ 我们现在使用公式（54）获得r∑∑（y)N- ∑∑（y)N）≤tr公司∑∑（y) ∑（y)∑（y)∑（y)∑（y) ∑∑（y)N0 N≤tr公司∑∑（y) ∑（y)∑（y)∑（y)∑（y) ∑∑（y)我-我-二、=tr公司∑∑（y) - ∑（y)∑（y) - ∑（y)∑（y) + ∑∑（y=tr公司[∑（y) - ∑（y)][∑（y) - ∑（y)])=||∑（y) - ∑（y)||=ξ| y- y|.（58）将结果组合在等式中。

（57）和（58），我们通过传递到极限得出结论 → 0+该%M≤ 0，这与公式（50）相矛盾。因此，假设EQ。（50）为假，因此，比较原则Jsub≤ json[0，T）×Dholds。在定理8中，我们证明了H（T，y，q）是HJB方程（35）的粘度解。在定理7的证明中，我们验证了（g1）H（T，y，q）满足库存变量q的多项式增长条件；（g2）H（T，y，q）可以由y独立项控制：φ +(2φ - η)4ν- γσ（T- t）q、 结合这些结果和比较原理，我们可以证明值函数是式（35）的唯一粘度解。我们在以下推论中提供此结果：推论1（唯一性）。值函数H是HJB方程（35）的唯一粘度解，满足边界和终端条件（35.a）、（35.b）和（35.c）以及生长条件（g1）和（g2）。证明：假设HJB方程有两个粘度解，式（35），则H（T，y，q）=H（T，y，q）=-φq，H（t，α*, q） =H（t，α*, q） =-φq和H（t，y，0）=H（t，y，0）=0。根据定理9，如果我们的视图有子解和上解，那么h（·，·，·，·）≤ H（·，·，·）保持[0，T）×D；另一方面，如果我们有子解和上解，那么H（·，·，·）≤ H（·，·，·）保持[0，T）×D。因此H（·，·，·，·）≡ H（·，·，·）。根据定理8，值函数H（t，y，q）是等式（35）的粘度解，因此它是唯一的。5.6数值模式在本节中，我们主要讨论有限差分方法在最优清算问题上的应用。5.6.1值函数类似于第3.2节，我们考虑了在变量q中为二次型的H（t，y，q）的ansatz：H=hH（t，y）q。