随机终止条件下的最优清算问题

（59）根据假设（59），我们对等式（35）中相关无约束问题的最优清算策略可以写成以下反馈形式：θφ，*t=-2ν[2hH（t，y）+η]q.（60）根据定理6和定理7的结果，我们得到了h（t，α*, q）≤ H（t，y，q）≤ U（t，q），对于任何y>α*.因此，θφ，*t=-2ν[2hH（t，y）+η]q≥ -2ν[2c（t）+η]q≥ 这里可以应用类似的参数来证明，Z[0，T）θφ，*tdt=Q- Xφ，*T-≤ Q、 也就是说，无约束最优清算策略（60）是原始约束问题的最优策略。然后，未知函数hH（t，y）求解以下pde：（I）t+βyy+ξyyy年hH小时- γσ+4ν[2hH（t，y）+η]=0hH（t，y）=-φ、 y>α*hH（t，α*) = -φ, 0 ≤ t型≤ 特利米→∞hH（t，y）=c（t），其中c（t）在等式（16）中给出。5.6.2 hh定义变量x=逻辑α的数值格式*和τ=T- t、 SetehH=2hH+η。然后，未知函数ehh（函数fH可以使用类似的方法）满足的PDE可以写为（I’）τehH=（β-ξ)xehH+ξxxehH公司- 2γσ+2ν（ehH）ehH（0，x）=-2φ+ηehH（τ，0）=-2φ+ηlimx→∞ehH（t，x）=2c（t）+η。为了逼近偏微分方程的解，我们用步长离散变量τ和xτ和x、 分别为。网格点τi=i处的hh值τ（i=0，1，···，nw，τN=T）和xj=jx用ehh，ij表示。近似有限边界条件limx→∞ehH（t，x）=2c（t）+η，我们选择一个足够大的整数M，然后设置ehH，iM=2ciM+η。在本节中，我们使用显式差异法进行这些数值模拟：τehH=（ehH，i+1j-ehH，ij）/τxehH=（ehH，ij+1-ehH，ij-1)/(2x）xxehH=（ehH，ij+1+ehH，ij-1.- 2ehH，ij）/x、 为了数值求解非线性偏微分方程，我们使用了一个Picard迭代，即通过ehH，ijehH，i+1j逼近一个非线性项，如（ehH，ij）。

我们定义=τξ/x、 v=r/2- τβ -ξ/(2x） ，u=r/2+τβ -ξ/(2x） 。在执行该方案后，我们最终会遇到一个求解线性方程组的问题：BiehH，i+1=AehH，i- 2.τγσe（61），其中e=（1，1，····，1）是a（M+1）维向量，bian和a是由bi给出的大小为（M+1）的平方矩阵=1.-τehH，i2ν。。。1.-τehH，iM2ν和A=1.- r uv 1- r u。。。。。。第1节- r.在给定初始条件sehh，0=（hH，0，···，hH，0M）和B的情况下，上述系统针对每一个时间步进行求解。由于相关问题定义了边界条件，对于解向量hH，iof size（M+1），我们只需解算中间的M-每次迭代时输入1项（即ehH、Iandeh、iMare由边界条件给出）。5.6.3数值试验为了分析该数值方法的有效性，我们将提供数值解与模型1的闭合形式解的比较。时间间隔长度T 1时间步长N 1000表1：数值方案实施中使用的参数。在图4给出的左图中，我们可以观察到，很难观察HJB方程的真解（时间t的递减函数）与我们的方案提供的数值解之间的差异。两种解决方案之间的绝对误差和相应的相对误差图表明，尽管解决方案之间存在一些差异，但这种差异的大小为10-4考虑到实际解的大小为100，这可以忽略不计。这促使我们将数值格式应用于具有违约风险的最优清算问题。5.6.4连续过程的离散化考虑股票发行人的市场价值Yt。标志k级=（k）-)x<对数Ytα*< （k+）x个.设置日志Ytα*= kx、 while日志Ytα*∈ k

假设初始市场价值为y=1000 m，其中“m”表示单位“百万”。我们假设势垒α*= 10 m.表2显示了数值方案实施中使用的参数。表2中未列出的其他模型参数与图1中使用的参数相同。对应于非活跃交易者的策略，如买入并持有策略。时间--t0 0.2 0.4 0.6 0.8 1U（t，q）-1000-900-800-700-600-500-400-300-200-1000值函数数值解真解时间--t0 0.2 0.4 0.6 0.8 1绝对误差×10-400.511.522.533.544.55绝对误差时间--t0 0.2 0.4 0.6 0.8 1相对误差×10-600.511.522.533.54相对误差=绝对误差/真值图4：模型1与Xt数值解和真解的比较≡ Q=100，对于任何t∈ [0，T]。所有参数与图1中使用的参数相同。时间间隔长度T 1时间步长N 1000空间步长M 10000股票发行人市值漂移β-0.5股票发行人市值波动率ξ2表2：数值方案实施中使用的参数。图5显示了一个模拟市场价值路径{log的最优清算策略和相应的风险资产最优股数Ytα*, t型∈ [0，T]}。我们观察到，违约风险下的策略是临时更新的。与第一个模型不同，这一更新过程不仅取决于剩余清算时间，还取决于股票发行人的市场价值。请注意，当t=0.6时，股票发行人的市值急剧下降： 日志Y0.6α*= 日志Y0.6+α*- 日志Y0.6α*= 2.5- 4 = -150万，约4.24亿。为了减少交易对手违约风险带来的潜在头寸风险敞口，代理行将因此加快其清算速度。

这解释了图5中间图中t=0.6附近的局部峰值。Y0.6×（1- e-1.5) = α*e×（1- e-1.5).时间（t）0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 log（Yt/α*）22.533.544.55股票发行人市值时间（t）0 0.2 0.4 0.6 0.8 1清算速度708090100110120130140150160170违约风险下清算策略速度无违约风险下清算策略时间（t）0.2 0.4 0.6 0.8 1现有股数01020304050607080901000违约清算策略下现有股数无违约风险的风险清算策略图5：有/无交易对手违约风险的清算策略比较。6结论在本文中，我们采用Almgren-Chriss的市场影响模型，并放宽了已知预定时间范围的假设，研究了随机终止条件下的最优清算问题。在某些情况下，假设流动期限取决于模型的一些随机因素更为现实。例如，一些金融市场采用了断路机制，这使得投资者的视野受到股价波动的影响。一旦股票价格达到每日限额，股票的所有交易都将暂停。作为基准案例，首先讨论了在已知的预定时间范围内大型交易的最优清算策略。然后我们将基本模型扩展到一个随机终止的时间范围。特别是，分析了两种不同的清算场景，以了解最优清算策略与潜在清算风险之间的关系1。由危险率{l（t），t≥ 0}; 或2、交易对手风险。对于无法获得闭式解的情况，我们通过随机控制方法研究该问题。

通过将我们的结果与粘度解的比较原则相结合，我们将值函数描述为相关HJB方程的唯一粘度解，因此，根据粘度解理论，我们在数值上找到的最佳清算策略可以很好地近似唯一解。致谢本研究工作得到了香港研究资助委员会的资助，资助号为17301214，香港大学信息与计算战略研究主题，以及中国国家自然科学基金会的资助，资助号为11671158。T、 根据项目代码20170215909，K.Wong获得了香港大学基础研究种子基金的部分支持，以及克劳奇奖获得者的启动津贴。附录在本附录中，我们将证明不等式（56），这是我们在定理9的证明中使用的一个技术性和关键性的不等式。不等式证明（56）。我们需要考虑三个案例：案例1。hbh（t，q，p）和bh（t，q，p）都等于零；案例2。NeitherbH（t，q，p）norbH（t，q，p）均不等于零；案例3。h（t，q，p）和bh（t，q，p）中只有一个等于零。很明显，不等式（56）在情况1下成立，因为在这种情况下（56）的左侧等于0。因此，我们将只关注案例2和3的证明。案例2。在不丧失一般性的情况下，我们假设bh（t，q，p）≥bH（t，q，p）>0。

因此，bH（t，q，p）-bH（t，q，p）=4νe%t[ηq+e-%tp]-4νe%t[ηq+e-%tp]=4νhη[qe%t- （q） e%t]+2ηp（q- q） +p·[e-%t型- e-%t] i.（62）注意QE%t- （q） e%t=q[e%t- e%t]+e%t（q- q） （q+q）。根据中值定理，在t和tsuch之间存在^t和^t|e%t- e%t |=滴滴涕%tt=~t | t- t |≤ %e%T | T- t | | e-%t型- e-%t |=ddte公司-%t型t=^t|t型- t |≤ %|t型- t |。（63）由于（t，t，（y，q），（y，q））属于有界集[0，t）×(R)O，因此存在常数^q，因此| q |，| q |≤因此，qe%t- （q） e%t |≤ %e%T^Q | T- t |+2^Qe%t | q- q |。（64）将结果合并到等式中。（62）、（63）和（64），我们得出以下结论：bh（t，q，p）-bH（t、q、p）≤ C（（1+| p |）| t- t |+（1+| p |）| q- q |），其中C是一个常数，取决于η、ν、ρ、T和^q。情况3。在不丧失一般性的情况下，我们假设bh（t，q，p）=0，bh（t，q，p）>0。也就是说，-ηqe%t≤ p<-ηqe%t<0。（65）回想一下bh（t，q，p）=4νe%t[ηq+e-%tp]=4νe%tηq+2ηqp+e-%tp=4νhηq[e%tηq+p]+p[ηq+pe-%t] +p[e-%t型- e-%t] i.根据等式（65）中的第二个不等式，我们得到e%tηq+p<0。根据公式（65）中的初始等式，我们得到ηq+pe-%t型≥ η（q- q） 。由于p<0，我们得到p（ηq+pe-%t）≤ ηp（q- q） 。因此，bH（t，q，p）≤4νhηp（q- q） +p[e-%t型- e-%t] 我≤4νη| p | q- q |+%| p | t- t型|.（66）式（66）中的最后一个不等式是由式（63）中的结果得出的。因此，bH满足了不平等bH（t、q、p）-bH（t、q、p）≤η4ν| p | | q- q |+ρ4ν| p | t- t |，这意味着不等式（56）。参考文献[1]Almgren，R.（2003），《具有非线性影响函数和交易增强风险的最优执行》，应用数学金融，10:1–18。[2] 阿尔姆格伦，R.和N.克里斯。（2001），《投资组合交易的最佳执行》，J.Risk，3:5–39。[3] Black，F.和M.Scholes（1973），《期权和公司负债的估值》，政治经济学杂志，8:637–659。[4] Crandall，M.G.，Ishii，H.，和Lions，P.L。

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