随机终止条件下的最优清算问题

然后给出了哈密顿量H在{Xdet处具有内部最优解的必要条件（也称为哈密顿方程），*t、 ∧det，*t、 θdet，*t} ，由给出dXdet，*tdt公司=HΛ（Xdet，*t、 θdet，*t、 ∧det，*t、 t）-d∧det，*tdt公司=H十、（Xdet，*t、 θdet，*t、 ∧det，*t、 t）0=Hθ（Xdet，*t、 θdet，*t、 ∧det，*t、 t）。（8） 根据式（8）中的临界条件和假设0，可以得出：¨Xdet，*t=γσνXdet，*t、 Xdet，*= Q、 Xdet，*T=0。（9） 根据Lasota和Opial【13】，显式解决方案是唯一的，由下式给出：Xdet，*t=Qsinhqγσν（T- t）新罕布什尔州qγσνT,θdet，*t=Qrγσνcoshqγσν（T- t）新罕布什尔州qγσνT.（10） 确定性控制问题中有一个非常有趣的现象：解决方案（10）与永久价格影响η无关。如果初始市价为s的头寸在时间T前完全清算，即XT=0，则产生的现金的预期价值为ZTeStθtdt= EZTStθtdt- νZTθtdt= Q·s+EZTXtdSt- νZTθtdt= Q·s- EνZTθtdt| {z}（临时影响成本）-ηQ.|{z}（永久影响成本）显然，永久影响成本与执行清算所用的时间或策略无关。3.2动态规划方法显然，如果允许我们动态更新，即用可接受策略的整个类替换Θdetby，那么我们将能够进一步提高自己的性能。在本节中，我们考虑一种随机方法。我们使用DP方法来解决随机控制问题（6）。这种方法产生了汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程。当该HJB方程可通过显式光滑解求解时，验证定理随后验证HJB方程候选解的最优性。

有关验证定理的更多详细信息，我们请感兴趣的读者参阅Pham【18】（第3章）、Oksendal【15】（第11章）和Oksendal and Sulem【16】（第3章）。设U（t，q）是从时间t开始的最优值函数∈ [0，T），初始值Xt=q，即U（T，q）=最大θ（·）∈ΘtEZ[t，t）- νθu- ηXuθu- γσXu杜邦- φXT-英尺. （11） 暂时假设U（t，q）∈ C1,2（[0，T）×（0+∞)).根据DP原理，Um必须满足以下HJB方程：(tU公司-γσq- 最小θt∈Θtnνθt+（ηq+qU）·θto=0U（T-, q） =-φq.（12）我们注意到，等式（12）中的优化问题是一个约束优化问题，具有约束：（a1）θt∈ R+；和（a2）R[0，T）θtdt≤ Q、 通常值得注意的是，值函数U并不明确依赖于股票价格St.C1,2（[0，T）×（0+∞)) 是函数f（t，q）的空间，它在t中是连续可微的，在q中是两次连续可微的。处理此问题的一个简单方法是考虑相应的无约束优化问题：tU公司-γσq- 最小θt∈bΘtnνθt+（ηq+qU）·θto=0U（T-, q） =-φq，（13），然后验证所得结果确实满足所有约束条件。根据HJBequation公式（13），无约束的最优交易策略由θφ给出，*t=-2νqU+ηq.因此，值函数U求解以下普通微分方程（ODE）：(tU公司-γσq+4νqU+ηq= 0U（T-, q） =-φq.（14）定理1至多有一个C1,2（[0，T）×（0，∞)) 方程（14）的解。证明：设fand fbe两个C1,2（[0，T）×（0，∞)) 式（14）的解。

需求=f-f、 然后，新函数满足以下偏微分方程（PDE）：tef+4νq（f+f）+2ηqqef=0ef（T-, q） =0。由于发展方程FORE是线性和一阶的，因此可以通过特征线方法明确地解决上述问题，并发现≡ 0是此问题的唯一解决方案。因此，f≡ f、 为了解方程（14），我们考虑变量q中的二次ansatz:U（t，q）=a（t）+b（t）q+c（t）q。根据定理1，如果上述ansatz是方程（14）的解，那么它必须是唯一解。在此设置下，最优清算策略的形式如下：θφ，*t=-2ν{b（t）+[2c（t）+η]q}。直接替换得出系数A（t）、b（t）和c（t）必须满足以下ODE：˙c（t）=γσ-4ν[2c+η]˙b（t）=-2νb（t）[2c+η]˙a（t）=-4νb（15），终端条件：a（T）=0，b（T）=0和c（T）=-φ. 由于系统（15）是部分解耦的，我们可以通过直接积分找到精确解。因此，它们由c（t）=2ξ“ζe-4γξσ（T-t）- 1ζe-4γξσ（T-t） +1个#-ηb（t）=0a（t）=0（16），其中常数ζ和ξ由ζ=1给出- ξ(2φ - η)1 + ξ(2φ - η） ξ=2σ√γν.值得注意的是˙Xφ，*t=-θφ,*t=2ν[2c（t）+η]Xφ，*t、 （17）Xφ，*= Q、 因此，Xφ，*t=Q·exp2νZt[2c（u）+η]du.对于本节中获得的结果，我们有以下主张。命题1假设模型参数满足条件：2φ>η+2σ√γν. （18） 也就是说，市场流动性风险主导着价格波动带来的永久影响和潜在头寸风险所带来的潜在套利机会。那么，c（t）是t中的严格递减函数，c（t）+η≤ 0表示任何t∈ [0，T）。

此外，我们有（b1）θφ，*t型≥ 0，任何时间t∈ （b2）R[0，T）θφ，*tdt公司≤ Q、 得到的最优交易策略（17）也是约束问题的最优交易策略。证明：请注意，函数c（t）的图取决于系数ζ=（1-x） /（1+x），其中x=（2φ- η)/2σ√γν. 在假设（18）下，x>1，因此-1 < ζ < 0. 因此c（t）t<0，即c（t）是t中的严格递减函数，c（t）+η/2≤ 0始终适用于任何∈ [0，T）。因此，我们得出结论θφ，*t=-Q2ν[2c（t）+η]e2νRt[2c（u）+η]du≥ 0，任何时间t∈ [0，T），和thatZ[0，T）θφ，*tdt=Qh1- e2νRt[2c（u）+η]dui≤ Q、 让UT（t，Q）表示时间范围为t的优化问题（11）的值函数，那么对于任何t>t>t，我们有UT（t，Q）>UT（t，Q），（19），前提是条件（18）成立。这与投资者承担风险的能力与其投资的时间范围有关这一事实是一致的。3.3确定性控制与随机控制之间的关系定理2当清算未偿头寸涉及交易费用时XT-最佳随机控制过程（θφ，*t） t型∈[0，T）满足洗手条件，并收敛（点方向）到最优确定性控制过程（θdet，*t） t型∈[0，T）。同时，最佳轨迹Xφ，*t将（逐点）收敛到确定性系统Xdet中确定的值，*t、 也就是φ→ ∞,我们有1个。Xφ，*T-→ 0;2、limφ→∞θφ,*t=θdet，*t点方向；3、limφ→∞Xφ，*t=Xdet，*t点方向。证明：我们通过以下两个步骤完成证明：步骤1（手清洁条件）我们首先证明，作为φ→ ∞, Xφ，*T-→ 0

我们注意到xφ，*t=Q·expZt2ν[2c（u）+η]du.一个简单的计算yieldseRtu2ν[2c（r）+η]dr=ζe-4γξσ（T-t） +1ζe-4γξσ（T-u） +1e-2γξσ（t-u） 。（20） Asφ→ ∞, ζ → -1和henceXφ，*T-=Q（ζ+1）ζe-2γξσT+e2γξσT→ 承担风险的能力主要根据客观因素来衡量，如时间范围、预期收入和相对于负债的财富水平。第二步（收敛），我们证明为φ→ ∞,o limφ→∞θφ,*t=θdet，*t点方向；和olimφ→∞Xφ，*t=Xdet，*t点方向。首先，我们有limφ→∞Xφ，*t=直线度φ→∞QeRt2ν[2c（u）+η]du=Qe2γξσ（T-t）- e-2γξσ（T-t） e2γξσt- e-2γξσT=Xdet，*t、 任何时候t∈ [0，T），limφ→∞[2c（t）+η]=ξe-4γξσ（T-t） +1e-4γξσ（T-t）- 因此，我们有limφ→∞θφ,*t=直线度φ→∞-2ν[2c（t）+η]Xφ，*t=Q2νξe-2γξσ（T-t） +e2γξσ（t-t） e2γξσt- e-2γξσT=θdet，*t、 在图1中，我们说明了清算未平仓Xφ所涉及的交易费用，*T-, φ| Xφ，*T-|, 影响代理的清算速度。我们选择了以下模型参数值：T=1天，Q=100个单位，γ=0.1，σ=0.2，η=0.001和ν=0.003。时间（t）0 0.2 0.4 0.6 0.8 1清算速度708090100110120130140清算速度φ=0.03φ=0.05φ=0.09θdet，*θdet，*-θφ=1000，*0 0.5 1×10-422.533.54时间（t）0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.8手上的股份0102030405060708090100手上的股份φ=0.03φ=0.05φ=0.09Xdet，*Xdet，*-Xφ=1000，*0 0.5 1×10-4-2.5-2-1.5-1-0.50图1：最优确定性控制与最优随机控制（模型参数：T=1天，Q=100个单位，γ=0.1，σ=0.2，η=0.001，ν=0.003）。图1说明了无手清洁条件下的清算速度总是比手清洁条件下的清算速度慢。

由于清算未平仓Xφ所涉及的交易费用，*T-增加（即，随着φ的增加），代理的清算速度增加，表明最优随机控制更接近最优确定性控制。图1中的嵌入子图分别显示了确定性和随机清算策略与φ=1000的相应轨迹之间的差异。它们都是10级-4.4受外部触发事件影响的最优清算策略（模型2）在本节中，我们将结果扩展到具有外部事件的模型，该事件不依赖于信息结构{Ft}t≥假设2如果发生外部触发事件，清算过程将暂停。我们将由κ表示的触发事件的发生时间建模为随机事件，危险率由l（t）给出。时间t isP（t）=exp时的生存概率-Ztl（u）du. （21）然后通过τ=min{T，κ}，（22）定义清算期，其中常数T∈ (0, ∞) 是预先确定的时间范围。直接计算得出以下命题：命题2对于t<t，τisfτ（t）=l（t）exp的密度函数-Ztl（u）du.τ取T值的概率为P（τ=T）=P（T）。用GT表示事件{τ>t}={触发事件在时间t}之前未发生。在任何时间t<τ，即在时间t之前未发生触发事件，代理的目标是找到最佳控制形式θ（·）∈ΘtEZτ-t∏（θu，Xu）du- φXτ-英尺∨ 燃气轮机（23）式中∏（θt，Xt）=g（θt）θt+f（θt）Xt- γσXt和fti是时间t之前（包括时间t）代理可用的信息结构。

如果触发事件发生在时间t，则所有市场交易将在该时间暂停。代理人最终将得到一个悬而未决的职位Xt。值得注意的是，EHZτ-t∏（θu，Xu）du英尺∨ Gti=EhZ[t，t）I{u<τ}∏（θu，Xu）du英尺∨ Gti=EhZ[t，t）P（τ>u | Gt）π（θu，Xu）duFti，（24）和thatP（τ>u | Gt）=P（τ>u |τ>t）=e-Rutl（r）dr.这里，指示符函数I{·}在其参数为真时取值1，否则取值0。等式（24）中的最后一个等式来自于triggerevent是外生的且不依赖于信息结构Ft的假设。因此，我们有maxθ（·）∈ΘtEZτ-t∏（θu，Xu）du- φXτ-英尺∨ 燃气轮机= 最大θ（·）∈ΘtEhZ[t，t）e-Rutl（r）drπ（θu，Xu）- φ·l（u）Xu杜邦- φe-R[t，t）l（R）drXT-Fti。（25）也就是说，等式（22）中定义的具有随机范围τ的最优清算问题等价于具有有限范围T的最优清算问题，即消耗过程{∏（θT，Xt）-φ·l（t）Xt}t≥0，折扣过程{l（t），t≥ 0}，以及一个终止条件-φXT-.4.1确定性控制首先考虑θ（·）仅在满足洗手条件（3）的子类Θdetof确定性策略范围内的情况，即XT-= 因此，在触发事件发生之前，代理的目标是找到最佳控制formaxθ（·）∈ΘdetEZ[0，T）e-Rtl（u）duπ（θt，Xt）- φ·l（t）Xtdt。确定性控制问题isH（Xt，θt，∧t，t）的代价函数≡ P（t）π（θt，Xt）- φ·l（t）Xt- ∧tθt，其中∧是拉格朗日乘数，P（t）是等式（21）中定义的生存概率。确定性系统动力学的微分方程isdXtdt=-θtand X=Q。我们假设哈密顿量H在状态、伴随状态和控制变量中具有连续的一阶导数，即{Xt，∧t，θt}。然后，必要条件手清洁条件仅对等效问题有意义（25）。

在考虑原始优化问题（23）时，如果终端时间是停止时间，则洗手条件不再有效。对于在{Xdet处具有哈密顿量H的内点最优值，*t、 ∧det，*t、 θdet，*t} 由以下人员提供dXdet，*tdt公司=HΛ（Xdet，*t、 θdet，*t、 ∧det，*t、 t）-d∧det，*tdt公司=H十、（Xdet，*t、 θdet，*t、 ∧det，*t、 t）0=Hθ（Xdet，*t、 θdet，*t、 ∧det，*t、 t）。（26）从式（26）可以看出：¨Xdet，*t=l（t）˙Xdet，*t+γσ+（φ-η） ·l（t）νXdet，*tXdet，*= QXdet，*T=0。（27）关于这个线性二阶边值问题，它的存在唯一性是标准的。感兴趣的读者可以参考，例如黄[11]，了解更多详细信息。考虑l（t）时的情况≡ λ6=0，对应于恒定危险率的情况，显式解如下所示：Xdet，*t=Qeλtish（α（t- t） ）sinh（αt），θdet，*t=-Qeλtλsinh（α（T- t） （）- αcosh（α（T- t） （）sinh（αT），其中α=rλ+γσ+（φ-η)λν.值得注意的是，（i）当λ=0时，模型退化为模型1；（ii）asφ→ ∞, limφ→∞θdet，*t=0和limφ→∞Xdet，*t=0，对于所有t∈ （0，T）]；和limφ→∞θdet，*= ∞.也就是说，随着最终清算费用（每股φ）的接近，交易员将在交易期开始时立即完成交易。4.2动态规划方法让我们考虑允许动态更新的情况，即用可接受策略的整个类替换Θdetby。设F（t，q）表示在触发事件发生之前的任何时间，等式（25）的最优值函数。在适当的正则性假设下，F满足以下HJB方程：l（t）F=tF公司- [γσ+φ·l（t）]q- 最小θt∈Θtnνθt+(qF+ηq）·θ至（28），以终端条件为准：F（T，q）=-φq。

这里，l（t）是给定的危险率。同样，我们考虑放松与HJB方程相关的约束，并解决无约束优化问题。然后证明所得到的最优控制确实满足所有约束。关联的最优交易策略是θφ，*t=-2νqF+ηq,因此，价值函数满足(tF公司- [γσ+φ·l（t）]q+4νqF+ηq- l（t）F=0F（t-, q） =-φq.（29）关于等式（29），我们有以下关于经典解唯一性的定理。定理3至多有一个C1,2（[0，T）×（0，∞)) 方程（29）的解。证明：假设fand fare two C1,2（[0，T）×（0，∞)) 式（29）的解。需求=f- f、 然后，新函数满足以下问题：tef+4νq（f+f）+2ηqqef-l（t）ef=0ef（t-, q） =0。由于发展方程FORE是线性和一阶的，因此可以通过特征线方法明确地解决上述问题，并发现≡ 0是此问题的唯一解决方案。因此，f≡ f、 与第3.2节类似，我们考虑变量q中二次的ansatz:f（t，q）=ea（t）+eb（t）q+ec（t）q。将ansatz代入等式（29），我们知道系数ea（t）、eb（t）和ec（t）必须满足以下部分解耦系统：˙ec（t）=l（t）ec（t）+γσ+φ·l（t）-4ν[2ec（t）+η]˙eb（t）=l（t）eb（t）-2νeb（t）[2ec（t）+η]˙ea（t）=l（t）ea（t）-4νeb（t）（30），终端条件：ea（t-) = 0，eb（T-) = 0和ec（T-) = -φ.很容易验证EB（t）≡ 0和ea（t）≡ 然而，ec（t）满足的方程是一个Riccati方程，可以简化为二阶线性ODE:u- l（t）u-γσ+ (φ -η） l（t）νu=0，（31），其中u通过ec（t）=νuu隐式定义-η. 对于这个二阶线性常微分方程，它的存在性和唯一性是标准的。

尽管我们知道解的存在性和唯一性，但对于一般风险率l（t），仍然很难以闭合形式求解它。上述二阶线性常微分方程可以在两种情况下轻松求解：（i）其系数是常数；或（ii）其系数采用特定形式。如果无法获得闭式解，则可以应用有限差分法数值求解BVP。有关更多详细信息，请参见例如Hwang[11]。定理4（恒定危险率）。当危险率为常数时，即l（t）≡λ、 未知函数ec（t）可以显式求解。由EC（t）=^ξ“^ζe”给出-2α（T-t）- 1^ζe-2α（T-t） +1#+λν- η，α=rλ+γσ+（φ-η)λν,^ζ =1 -^ξ(2φ + λν - η)1 +^ξ(2φ + λν - η） 和^ξ=2αν。直接验证得出当λ=0时，ec（t）=c（t）。模型2下得出的结果与模型1下得出的结果一致。然后，可以通过以下关系式导出无约束问题的最优清算策略：θφ，*t=-2ν[2ec（t）+η]q，（32），因此Xφ，*t=Q·expZt2ν[2ec（u）+η]du.下面的定理为我们提供了最优确定性控制和最优随机控制之间的关系。定理5当清算未平仓X涉及交易费用时-最佳随机控制过程（θφ，*t） t型∈[0，T）在触发事件发生之前，收敛（逐点）到最优确定性控制过程（θdet，*t） t型∈[0，T）。同时，最佳轨迹Xφ，*t将（逐点）收敛到确定性系统Xdet中确定的值，*t： asφ→ ∞, 任何时候t∈ [0，T），1.limφ→∞θφ,*t=直线度φ→∞θdet，*t；2、limφ→∞Xφ，*t=直线度φ→∞Xdet，*t、 证明：这个定理的证明与定理2非常相似。因此，我们不会提供所有细节；相反，我们将仅概述如下证明。