随机终止条件下的最优清算问题

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Optimal Liquidation Problems in a Randomly-Terminated Horizon》
---
作者：
Qing-Qing Yang, Wai-Ki Ching, Jia-Wen Gu, Tak Kwong Wong
---
最新提交年份：
2017
---
英文摘要：
  In this paper, we study optimal liquidation problems in a randomly-terminated horizon. We consider the liquidation of a large single-asset portfolio with the aim of minimizing a combination of volatility risk and transaction costs arising from permanent and temporary market impact. Three different scenarios are analyzed under Almgren-Chriss\'s market impact model to explore the relation between optimal liquidation strategies and potential inventory risk arising from the uncertainty of the liquidation horizon. For cases where no closed-form solutions can be obtained, we verify comparison principles for viscosity solutions and characterize the value function as the unique viscosity solution of the associated Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation.
---
中文摘要：
本文研究了随机终止区间上的最优清算问题。我们考虑对大型单一资产组合进行清算，目的是最大限度地减少波动性风险和因永久和临时市场影响而产生的交易成本。根据Almgren Chriss的市场影响模型，分析了三种不同的情况，以探讨最优清算策略与清算期不确定性引起的潜在库存风险之间的关系。对于无法获得闭式解的情况，我们验证了粘性解的比较原则，并将值函数描述为关联Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的唯一粘性解。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
--

---
PDF下载：
--> Optimal_Liquidation_Problems_in_a_Randomly-Terminated_Horizon.pdf (934.92 KB)

2022-6-1 08:55:02 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Quantitative Conservation liquidation combination mathematics

无限终止水平清-清-阳最优清算问题*Wai Ki Ching+贾文谷Tak Kwong Wong§2017年9月19日摘要本文研究随机终止视界中的最优清算问题。我们考虑对大型单一资产组合进行清算，目的是最大限度地减少波动性风险和因长期和临时市场影响而产生的交易成本。通过分析邓德·阿尔姆格伦·克里斯（DunderAlmgren-Chriss）的市场影响模型，探讨了三种不同的情景下，最优清算策略与清算期不确定性所产生的潜在库存风险之间的关系。对于无法获得闭式解的情况，我们验证了粘性解的比较原则，并将值函数描述为关联Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的唯一粘性解。关键词：动态规划原理；Hamilton-Jacobi-Bellman方程；随机终止；最优清算策略；随机控制；粘度溶液。AMS主题分类：35Q90、49L20、49L25、91G80、65M06.1简介了解交易执行策略是金融市场从业者的一个关键问题，并吸引了学术研究人员越来越多的关注。股票交易员面临的一个重要问题是如何清算大额订单。与小订单不同，立即执行大订单通常是不可能的，或者成本很高*香港大学数学系高级建模与应用计算实验室，香港薄扶林道。电子邮件：kerryyang920910@gmail.com.+香港大学数学系高级建模与应用计算实验室，香港薄扶林路。英国剑桥Wollaston路Hughes Hall。

北京化工大学经济与管理学院，北三环，北京，中国。电子邮件：wching@hku.hk.通讯作者。南方科技大学数学系，深圳，中国。电子邮件：jwgu。hku@gmail.com.§香港大学数学系，香港薄扶林道。电子邮件：takkwong@maths.hku.hkdue流动性不足。然而，缓慢的清算过程往往代价高昂，因为它可能涉及不良的库存风险。阿尔姆格伦（Almgren）和克里斯（Chriss）[2]提供了大型交易最佳执行策略的早期研究之一，其中考虑了波动性风险和清算成本。为了产生易于处理和分析的结果，他们将每股市场影响成本设定为交易率的线性。Schied和Schoneborn[21]在Almgren[1]的流动性模型下考虑了冯·诺依曼·摩根斯坦投资者的有限期最优投资组合清算问题，其中引入了幂律成本函数来确定最优交易策略。然而，大多数关于最优清算策略的文献主要考虑了已知的时间范围或有限的时间范围。未知（或更准确地说，随机终止）时间范围的情况没有完全解决。在某些情况下，假设清算期限取决于模型的一些随机因素更为现实。例如，一些金融市场采用了断路机制，这使得投资者的视野受到股票价格变动的影响。一旦股票价格达到每日限额，股票的所有交易都将暂停。在本文中，我们考虑了代理人在金融市场中可能遇到的三种不同情景下随机终止的时间范围。

Almgren Chriss的市场影响模型用于描述标的资产价格：dSt=f（θt）dt+σdWSt，eSt=g（θt）+St，其中常数σ>0是资产价格St的绝对波动率，wst是一维标准布朗运动，eStis实际交易价格，{θt，t≥ 0}是一个容许的控制过程，f（θt）和g（θt）分别代表市场影响的永久和临时分量。我们考虑一个大型单一资产组合的清算问题，目的是最小化波动性风险和因永久和临时市场影响而产生的交易成本的组合。我们首先考虑具有预先确定的时间范围T的情况，该时间范围T可以用作具有随机终止时间范围的其他情况的基准。通常，清算策略θt应满足手部清洁条件：XT=X-ZTθtdt=0，其中xt是交易者在t时持有的股份数量。我们首先研究确定性控制的一个子类，它不允许跨时间更新，满足洗手条件。显然，当考虑到整个类的可容许控制时，在子类中获得的确定性策略可能不再是最优的。然后，我们暂时放宽洗手条件，并允许立即进行最终清算（如有必要），以便在t=t时拥有的股份数量为xt=0。我们采用动态规划（DP）方法来解决随机控制问题，并证明当清算未偿头寸涉及交易成本时，最优清算策略实际上收敛于确定性策略-接近完整性。然后，我们开始分析随机终止的案例。

分析了两种不同的情景，以阐明清算策略与因时间范围的不确定性而产生的潜在头寸风险之间的关系。首先，我们考虑清算过程被外部触发事件终止的场景。我们将触发事件的发生时间建模为随机事件，其危险率过程由{l（t），t≥ 0}. 一旦发生该事件，所有清算程序将被强制暂停。与无触发事件的情况相比，面对交易期内可能发生外部触发事件的情况的代理人希望加快清算速度，以减少其潜在头寸风险敞口，并在触发事件发生时最终处于较小的头寸。他们的策略具有更大的梯度，与那些没有受到触发事件威胁的人相比，他们的策略更“凸”。其次，我们考虑清算过程面临交易对手风险的情况。与外部触发事件设置不同，交易对手风险建模师可用的信息集在可预测性方面更加明确。为了模拟交易对手风险，我们采用了源自Black和Scholes【3】和Merton【14】的结构企业价值法，并让企业的资产价值遵循几何布朗运动：Dyty=βdt+ξdWYt。将交易对手风险纳入最优清算研究并非没有成本。为了检验其对最优交易策略的影响，我们必须引入并使用粘度解决方案。通过验证粘性解的比较原理，我们将值函数描述为关联的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的唯一粘性解。这个方程可以用数值方法求解。

我们进一步分析了数值方法的有效性，并举例说明计算误差非常小。本文的其余部分结构如下。第二节介绍了代理人清算问题的背景和基本模型。第3节讨论了基准模型下的典型清算问题。在第4-5节中，我们讨论了随机终止时间范围的两种不同场景。这些章节采用粘性解方法来研究非常普遍的随机控制问题。通过将这些结果与比较原理相结合，我们描述了相关动态规划方程的唯一粘度解的值函数，然后可以使用该值函数获得进一步的结果。最后，第6节给出了结论。为了自我约束，我们在附录中提供了技术证明。2问题设置在本节中，我们首先描述代理商的市场环境。然后，我们提出了市场影响模型来讨论最优清算问题。2.1市场环境和市场影响模型代理从t=0开始，必须在t之前清算风险资产的大量头寸。此终端时间可以是确定性的，也可以是随机的，具体取决于代理所面临的场景。为简单起见，我们假设代理人扣留清算收益。换言之，他/她不会将清算所得存入他/赫莫尼市场账户。

在任何时候t∈ [0，T]，我们对代理人的投资组合采用以下符号：（i）Vt=Ct+XtSt，投资组合价值；（ii）Ct，无风险银行账户余额；（iii）Xt，标的资产股份数；（四）St，标的风险资产的价格。初始条件为C=0、S=S和X=Q。假设风险资产可以在交易期内持续清算，即始终有足够的流动性供其执行。设{θt}t∈[0，T]表示液化过程。交易者在任何时候持有的股份∈ [0，T]可按如下方式写入：Xt=Q-Ztθudu。我们考虑一个概率空间(Ohm, F、 P）被赋予过滤{Ft}t≥定义1随机过程θ（·）={θu，0≤ u≤ 如果以下所有条件都成立，则T}称为容许控制过程：（i）（自适应）对于每个T∈ [0，T]，θtis Ft适应；（ii）（非负性）θt∈ R+，其中R+是非负实值集；（iii）（一致性）ZTθtdt≤ Q（iv）（平方可积性）EZT |θt | dt< ∞;（v） （L）∞-可积性）E最大值0≤t型≤T |θT|< ∞.此外，表示Θtas关于初始时间t的容许控制的集合∈ [0，T）和bΘ表示仅满足条件（i）、（iv）和（v）的控制集合。我们假设，由于代理人清算策略的反馈效应，风险资产表现出价格影响。对于任何给定的容许控制θ（·）∈ Θ，假设股票的市场中间价遵循动力学：dSt=f（θt）dt+σdWSt，（1）其中{WSt}是一个标准的布朗运动，过滤{Ft}，常数σ>0是资产价格的绝对波动率，f（·）是其永久组成部分。为了简单起见，本文不考虑交易费用。市场影响。

为简单起见，我们进一步假设f是时间齐次的，即f（·）独立于t。一般来说，实际交易价格est并不总是与市场中间价St相同，因为市场不是完全流动的，参见Almgrenand Chriss【2】。我们假设=St+g（θt），并称g（θ）为临时价格影响。直观地说，函数g（·）定量地描述了在不同的交易速度水平下，市场上可用的限价指令簿是如何被吃掉的。假设0。价格动态遵循一个简单的Almgren-Chriss线性市场影响模型（见Almgren和Chriss[2]）：f（θ）=-η·θ和g（θ）=-ν·θ，其中η和ν为正常数。持有股票的代理人因股票价格变动而获得资本收益或损失。因此，如果代理行的头寸使用账面价值按市价计价，忽略将这些股票转换为现金可能产生的市场影响，则在任何时间t，代理行的投资组合价值Vt=Ct+xtstsatiesV=Q·sdVt=（eSt- St）θtdt+XtdSt。（2） 在任何时候t∈ [0，T）交易结束前，Vt=V+Zt（eSu- Su）θudu+ZtXudSu=V+Zth（eSu- Su）θu+Xuf（θu）idu+ZtσXudWSu。2.2洗手条件让我们回顾一下，我们的任务是在T之前清算一个大型头寸。一般而言，要求满足手部清洁条件：XT=X-ZTθtdt=0。（3） 然而，这种技术条件给随机控制问题带来了一些意想不到的特性。为了解决这个问题，我们暂时放宽了清理条件，并允许立即进行最终清算（如有必要），以便t=t时的股份数量等于零。也就是说，给定交易结束前瞬间的状态变量（St、Ct、Xt）t=t-, 如果XT-6=0，那么我们将立即进行最终液化，以便XT=0。

本次最终交易后的清算收益为CT=CT-+ XT公司-（ST-- Co（XT-)) ,其中Co（XT-) = φXT-, 对于某些φ>0的常数，清算未偿头寸所涉及的成本是否为XT-. 因此，我们有VT=VT-- φXT-.清算未平仓产生的收益/损失，RT=VT- 五、 给定byRT=Z[0，T）h（eSt- St）θt+Xtf（θt）idt+Z[0，t）σXtdWSt- φXT-. （4） 2.3绩效标准在正常情况下，投资者规避风险，要求更高的回报。均值-方差准则是同时考虑收益和风险的常用准则。然而，均值-方差标准可能会导致潜在的时间不一致问题，即计划和实施的政策是不同的。正如Rudloff等人[19]所提到的，开发动态模型而非静态模型的一个主要原因是，可以将动态决策的灵活性结合起来，以改进目标函数。时间不一致的标准通常不利于在研究中引入，因为相关的政策是次优的。为了兼顾回报和风险，我们对平均二次型最优代理执行策略最感兴趣，而不是采用均值-方差标准，因为它们在[2，6，22]中被证明是时间一致的。在本节中，我们将介绍二次变量和相应的目标函数，如下所示。2.3.1二次变量形式上，投资组合价值V在[0，T）上的二次变量定义为[V，V]（[0，T））=Z[0，T）σXtdt。（5）根据式（5）的解释，最小化二次变量对应于最小化投资组合价值过程中的波动性。2.3.2目标函数γ>0是与风险规避相对应的常数。

然后，agent的目标是找到最优控制formaxθ（·）∈ΘE[RT- γ[V，V]（[0，T））]=最大θ（·）∈ΘEZ[0，T）h（eSt- St）θt+Xtf（θt）- γσXtidt- φXT-.（6） 3最优清算的基准模型（模型1）假设1清算期限T是一个确定的、预先确定的正常量。在本节中，我们将在假设为0的情况下，提出最优清算问题的基准模型。我们首先研究满足手清洁条件（3）的确定性控制的一个子类，然后转向考虑整个可容许控制类的动态规划（DP）方法。我们证明了当交易成本涉及清算未平仓XT时-接近最终，从DP方法获得的最优清算策略收敛到确定性策略。不允许跨时间更新的控件。3.1确定性控制首先考虑θ（·）仅在满足洗手条件ztθtdt=Q的子类Θdetof确定性策略范围内的情况。也就是说，XT-= 0，代理的目标是找到最佳策略formaxθ（·）∈ΘdetEZ[0，T）h（eSt- St）θt+Xtf（θt）- γσXtidt=最大θ（·）∈ΘdetEZ[0，T）g（θt）θt+Xtf（θt）- γσXtdt。（7） 确定性控制问题的代价函数（7）isH（Xt，θt，∧t，t）≡ g（θt）θt+f（θt）Xt- γσXt- ∧tθt，其中∧是拉格朗日乘子（也称为伴随态）。确定性系统的微分方程为：dXtdt=-θtwith X=Q。我们假设哈密顿量H在状态、伴随状态和控制变量中具有连续的一阶导数，即{Xt，∧t，θt}。