效用无差异价格与超级复制价格的趋同

如前所述，无需进一步假设，在这种情况下，A（U，G，x）可能为空，而d（U（G，x））=-∞: 代理人永远不会出售或有债权，（9）并不是真正的利益问题。如果x≥ π（G），在命题3.7的假设下，我们可以依赖定理3.3在A（U，G，x）中找到策略，因为任何超级复制策略（存在的）都自动属于A（U，G，x）。在这种情况下，我们有u（G，x）≤ Mx<∞, 参见（8）。注意，如果A（U，G，x）不是空的，那么要找到（9）的最优解，需要研究终端约束Vx，φT- G≥ 0 QT-q.s.与可积条件onEPU+（Vx，φT（·））- G（·））通过动态规划“传播”到以前的时期。这是一个非常重要的问题。这是在【Blanchard和Carassus，2018】中针对G=0进行的，并且可以在一般情况下按照【R'asonyi和Stettner，2006，备注5】进行，另见【Bouchard和Nutz，2015，定理2.3，引理4.10】。在[Carassus et al.，2 019，Theorem4.3，引理C.8]中，已解决了上述效用函数有界的问题。我们现在可以确定（卖方）多先验效用无差异价格或保留价格，这在存在不确定性的情况下概括了霍奇斯和纽伯格提出的概念【Hodges and Neuberger，19 89】。它代表向出售或有权益G的代理人支付的最低金额，因此，除了她的初始资本外，她出售G并通过在市场上进行动态交易进行对冲时的多重优先权效用大于或等于她在不出售该产品的情况下会得到的效用。定义3.9让G∈ WT和x∈ R

（卖方）多重先验效用无差别价格由p（G，x）：=inf{z定义∈ R、 u（G，x+z）≥ u（0，x）}（10），其中p（G，x）=+∞ 如果所有z的u（G，x+z）<u（0，x）∈ R、 前一定义中的备注3.10 x代表代理人的初始福利。它可能是累积的交易收益，因此远高于给定或有权益的价格。但是，没有什么可以阻止x小于superreplicationprice，请参见第4节。备注3.11（10）中的公用事业无差别价格是静态的。然而，我们认为，重要的是要考虑到价格过程的动态演变以及初始日期和到期日之间的先验不确定性。此外，可以证明，在t=0时，atp（G，x）与效用无差别价格的动态版本一致。备注3.12还可以引入（买方）多先验效用无差异价格Pb（G，x）：=sup{z∈ R、 u型(-G、 x个- z）≥ u（0，x）}wh ere pB（G，x）=-∞ 如果u(-G、 x个- z） <所有z的u（0，x）∈ R、 如果G∈ W∞t在命题3.7的假设下(-G、 z）=A（U，-G、 z）对于所有z∈ R和pB（G，x）=-p(-G、 x）。下一个命题表明，在适当的假设下，无论代理的偏好如何，保留价格都低于超级复制价格。从某种意义上说，我们将在下面定义超级复制价格，即对应于特定绝对风险规避代理的价格。提案3.13假设假设2.1、2.3和2.4是正确的。假设它是一个非递减且从上方有界的函数，或者它是一个凹函数，以验证假设3。假设2.6成立。修正一些偶然的索赔∈ W0，boTand somex∈ R、 莱克斯∈ R、 Thenp（G，x）≤ π（G）。假设U（0，x）>-∞.Thenp（G，x）≥ π（G）- xandlimx→0p（G，x）=π（G）。证据修复一些x∈ R、 第一定理3.3给出了一些φG∈ A（G，π（G））。

由于U是非减量的，我们得到U（0，x）=supφ∈A（U，0，x）infP∈QTEPU（Vx，φT（·））≤ supφ∈A（U，0，x）infP∈QTEPUVx+π（G），φ+φGT（·）- G（·）≤ supφ∈A（U，G，x+π（G））infP∈QTEPUVx+π（G），φT（·）- G（·）= u（G，x+π（G）），其中P位置3.7用于第二个不等式：Ifφ∈ A（U，0，x）=A（0，x），然后φ+φG∈ A（G，π（G）+x）=A（U，G，π（G）+x）。So p（G，x）≤ π（G）来自（10）。现在假设u（0，x）>-∞. 如果x+z<π（G），则u（G，x+z）=-∞ < u（0，x），其中p（G，x）≥ π（G）- x和limx→0p（G，x）=π（G）如下。3.3渐近结果从根本上讲，完全规避风险的代理人将使用超级复制价格：无论可能的结果是什么（如果可能的结果由一组概率度量定义），她都不想遭受任何损失（见（5））。我们现在证明，当绝对风险规避率达到一定值时，效用无差异价格变为超复制价格。我们还将在命题3.21中看到，绝对风险规避仍然是一个很好的工具，可以在存在多个先验条件的情况下对确定性的适当概念进行排序。[Pratt，1964]的结果仍然是正确的：增加绝对风险厌恶意味着减少确定性等价物。我们考虑一些未定权益G∈ W0，boTand非随机函数序列（Un）n≥1所有n的位置≥ 1，Un:R→ R∪ {-∞} 是这样的that Un（x）=-∞ 如果x<0并且存在一些xn∈ (0, ∞) 验证Un（xn）>-∞ . 适用于所有n≥ 1，当不安全假设3.5时，我们用（9）中的值函数表示Un（G，x），pn（G，x）表示Un的无差异价格（见（10））和RN表示Un的绝对风险规避（见（6））。定理3.14假设假设假设2.1、2.3、2.4和2.6成立。

L et（Un）n≥满足假设3.5的凹效用函数序列→+∞rn（x）=+∞对于allx>0。Thenlimn公司→+∞pn（G，x）=π（G），对于所有x>0和G∈ W0，机器人。定理3.15假设假设2.1、2.3和2.4成立。出租汽车∈ W0，boTandx>0。以下两个断言是正确的。1、让（Un）n≥1是满足假设3.5的凹函数序列。假设序列（UnU′n（x）-Un（x）U′n（x））n≥1从上方以不规则的Innfig Enough和thatlimn为界→+∞rn（x）=+∞对于所有0<x<x。然后限制→+∞pn（G，x）=π（G）。2、让（Un）n≥是一个非递减函数序列，它从上到下一致有界≥ 1、假设infn≥修女（x）>-∞还有thatlimn→+∞Un（x）=-∞对于所有0<x<x。然后限制→+∞pn（G，x）=π（G）。备注3.16我们对定理3.15进行了评论。对于第一项，请注意，如果某些项大于1，则（Un）n≥n，infn中从上方一致有界的Nare≥修女（x）>-∞ andinfn公司≥NU′n（x）>0，然后序列（UnU′n（x）-Un（x）U′n（x））n≥Nis从上到下为统一n。这不是一个必要条件。设Un（x）=-e-RNX或x≥ 0和Un（x）=-∞否则limn→+∞rn=+∞. 那么对于所有N≥ 1且所有x>0，infn≥NU′n（x）=0。然而，对于所有x>0，Un（x）U′n（x）-Un（x）U′n（x）=-rne公司-rn（x-x） +Rn从上到下在n内均匀有界，n足够大。最后，如果在fn中≥NU′n（x）>0，一个[Carassus和R'asonyi，20 06，引理4]的直接a适应表明limn→+∞Un（x）=-∞ 对于al l 0<x<x。但如果此Last条件成立，则收敛结果甚至不需要函数为凹函数或可微函数，请参见第2项。证据定理3.14和3.15的证明见第5.1节。

备注3.17在相同假设下，定理3.14暗示，如果G∈ W∞t亨利姆→+∞pBn（G，x）=πsub（G）。备注3.18我们对定理3.14给出了一些直觉：对于具有一定绝对风险厌恶的效用函数，我们证明了效用无差异价格等于超复制价格。让G∈ W0，boTand为了简单起见，假设π（G）≥ 0.修复一些x≥ π（G）并引入以下效用函数U∞: R→ R∪ {-∞} 其中u∞（y） ：=-∞1(-∞,x） （y）。美国的绝对风险厌恶∞未定义，但Un（y）：=-e-n（y）-x） 对于y≥ 0和Un（y）：=-∞ y<0验证假设3.5和y≥ 0固定，y 6=x，limn→+∞Un（y）=U∞（y） 。由于效用函数的绝对风险厌恶+∞, 有人可能会说U∞具有明确的绝对风险厌恶。我们现在证明，G的超级复制价格等于其效用无差异价格，用函数U计算∞. 首先，很容易看到u∞（0，x）=0。自所有φ∈ Φ，y∈ R、 U型+∞（Vy，φT（·）- G（·））=0，我们有thatΦ（U∞, G、 y）=Φ（U∞, 0，y）=ΦandA（G，y）=A（U∞, G、 y）。定理3.3暗示A（U∞, G、 y）并非全部为空≥ π（G）。现在fix一些z<π（G）和φ∈ A（U∞, G、 x+z）。存在一些P∈ QT这样的thatP（Vz，φT（·））- G（·）<0）>0或相当于P（Vx+z，φT（·）- G（·）<x）>0，这意味着EPU∞（Vx+z，φT（·）-G（·））=-∞. 因此，对于所有φ∈ A（U∞, G、 x+z），infP∈QTEPU∞（Vx+z，φT（·）-G（·））=- ∞ 和u∞（G，x+z）=-∞ < u∞（0，x）如下。p（G，x）的定义意味着p（G，x）≥ 让z转到π（G），p（G，x）≥ π（G）。命题3.13表明，质量是正确的。备注3.19主要案例具有特殊意义。假设存在someP*∈ QT使所有P∈ QT，P相对于P是绝对连续的*. 那么aset是QT满测度当且仅当它是P*-全尺寸。所以NA（QT）等于toNA（P*) 即

V0，φT≥ 0页*-a、 φ的s∈ Φ表示V0，φT=0 P*-a、 s.此外π（G）=infnφ∈ Φ，Vx，φT≥ G P公司*a、 s.o：=πP*（G） 。定理3.14重新表述如下：对于G∈ W0，boT，如果假设2.1，2。3、2.6和NA（P*)保持为真，如果limn→+∞rn（x）=+∞ 对于所有x>0，则为limn→+∞pn（G，x）=πP*（G） 对于allx>0。在极限情况下，我们将返回到uni Previous设置。定理3.15也同样适用，通过NA（P）改变假设2.4*).3.4绝对风险规避和确定性等效在u ni之前的案例中，我们从【Pratt，1964】中了解到，绝对风险规避允许将确定性等效为：增加的绝对风险规避意味着减少的确定性等效。在本节中，我们将看到此属性如何扩展到multiplepriors情况。回想一下前一种情况，其中QT={P}，偏好由稳健性函数U表示。对于到期收益为G的给定资产，确定性等价物（G，P）是将使代理人在收到现金和资产GEPU（e（G，P））=U（e（G，P））=EPU（G（·））之间不相关的现金量（在预期效用评估的意义上）。风险溢价λ（G，P）：=EPG（·）- e（G，P）是代理人为了在surequantity EPG（·）之间保持中立（在预期效用评估的意义上）而愿意损失的金额- λ（G，P）和随机变量G。以下命题给出了多优先级框架中确定性等价物的定义，并提供了存在和唯一性的条件。它还建立了在适当的假设λ（G，P）下≥ 0

因此，风险溢价是衡量代理人风险厌恶程度的一个指标：风险溢价越高，代理人的风险厌恶程度就越高。建议n 3.20LetUbe a凹效用函数满足g假设3.5和letW+T（U）：=G∈ W0，+T，G（·）<+∞ QT-q.s.，EPU+（G（·））<∞, P∈ QT，支持∈QTEPU-（G（·））<∞（11） 假设G∈ W+T（U）。那么，在[0]中存在uniquee（G，P）and（G），∞)使得EPU（e（G，P））=U（e（G，P））=EPU（G（·）），P∈ QT（12）infP∈QTEPU（e（G））=U（e（G））=infP∈QTEPU（G（·））。（13） 此外，e（G，P）≤ 所有P的EPG（·）∈ QTande（G）=infP∈QTe（G，P）≤ infP公司∈QTEPG（·）。此外，λ（G）定义的多重优先风险溢价：=支持∈QTλ（G，P）满足度0≤ λ（G）≤ 支持∈QTEPG（·）- e（G）。请注意，如果我们仅假设EPU，则（12）为真-（G（·））<∞ 对于所有P∈ QT。证据见第5.2节。最后，我们考虑两个投资者A和B，其各自的效用函数ua和UBsatisfy假设3.5，并且是凹的。回想一下，在QT={P}的uni-prior案例中，投资者A的绝对风险厌恶程度高于投资者B（即rA（x））≥ rB（x）对于所有x>0）当且仅当投资者A在全球范围内比投资者B更厌恶风险，即A的每项未定权益的确定性等价物小于B（即eA（G，P）≤eB（G，P）表示任何G∈ W0，+T）见【Pratt，1964年】。我们在多重先验框架中对这一结果提出以下推广。3.21LetUA，UBbe凹效用函数满足假设3.5。LetW+T（UA，B）：=W+T（UA）∩ W+T（UB）（见（11））。1、如果allx>0，rA（x）≥ rB（x）theneA（G）≤ eB（G）代表所有∈ W+T（UA，B）。2、如果全部∈ W+T（UA，B），eA（G）<eB（G）thenrA（x）≥ rB（x）表示allx>0。证据见第5.2节。命题3.21表明，尽管存在不确定性（因此也存在不确定性厌恶），但绝对风险厌恶允许多重优先级确定性等价物的排列。

这与我们选择的多先验表示以及两个代理具有相同的先验集有关。备注3.22我们简要地将其与【Artzner等人，1999年】中引入的货币风险措施联系起来，另见【Carmona，2009年】。让X WTbe是随机变量的线性空间（包含常数随机变量）。货币风险度量是映射ρ：G∈ X 7→ ρ（G）∈ R∪ {±∞} 这验证了单调性和Cash不变性（见【F¨ollmer and Schied，2002，第4.1节】）。如果ρ（0）=0，则称测量值为归一化。可以使用ρx:G来测量头寸风险∈ X 7→ p(-G、 x）对于某些x≥ 0固定（参见示例【Carmona，2009，定义1.2】）或考虑ρ：G∈ X 7→ π(-G） 。实际上，在假设2.3和2.4下，ρ是WT上的标准化凸货币风险度量。如果满足假设3.5，并且在命题3.7的假设下，ρxis是W0上的货币风险度量，boT。如果还假设u（0，x）>-∞, ρxis{G上的凸货币风险测度∈ W0，boT，u(-G、 z）<∞, z∈ R} 。如果进一步u（0，x- δ） <u（0，x）表示所有δ>0，然后ρxis归一化。证明是经典的（例如参见【Carmona，2009，命题1.1 1】），因此省略了。4示例为了说明之前的结果，我们提供了以下一个单周期非支配示例。允许Ohm = [-1.∞). 我们假设风险资产的th等于S=1，S（ω）=1+ω。这里Φ=R，假设2.3满足。我们将计算效用无差异价格和或有权益的超级复制价格G（ω）=1[1，∞)(ω).修正一些p，p-1.∈ （0，1）使得0<p+p-1< 1. 对于c≥ 1、让Pcbe进行概率测量Ohm 由Pc（·）=pδc（·）+p定义-1δ-1(·) + (1 - p- p-1） δ（·），其中δx（B）：=1<=> x个∈ B代表al l x∈ Ohm 和B∈ B类(Ohm).

我们进一步假设p<p-1： 代理人认为风险资产更可能下跌而不是上涨。先验集合由Q：=Conv{Pc，c给出≥ 1}. 使用【Bertsekas和Shreve，2004，推论7.21.1 p130】，T:c∈ R 7→ Pc（·）∈ P(Ohm) 是同胚，所以{Pc，c≥ 1} =T（[1，∞)) 是P的Borelset(Ohm). 正如【Bartl，2019，第2.3节的证明】中所述，我们发现Q是一个Borel集。Sograph（Q）=Ohm ×Q也是一个Borel集和一个fortiori分析集Ohm ×P(Ohm ). 假设选项2.1已验证。很明显，NA（P）对任何P都适用∈ Q、 所以NA（Q）也成立。此外，集合Q不是占优的。实际上，对于支配测度P，所有c的P（{c}）>0≥ 1这是不可能的。最后，我们采用Un（x）=-e-RNX或x≥ 0 a ndUn（x）=-∞ 否则limn→+∞rn=+∞. 满足定理3.15第1项中所有x>0的假设，见备注3.16。请注意，作为limn→+∞rn=+∞ 我们假设th at rn>lnp-1便士.首先，我们关注可采性条件。对于x≥ 0，我们得到a（0，x）=nh∈ R-xc公司≤ h类≤ x，c≥ 1o={h∈ R、 0个≤ h类≤ x} A（G，x）=h类∈ R、 1个- xc公司≤ h类≤ x，c≥ 1.= {h∈ R、 最大值（0，1- x）≤ h类≤ x} 。很容易看出tπ（G）=。请注意，A（0，x）和A（G，x）都包含在半实数行中：代理人不能出售（9）中的风险资产。这意味着Q中最坏的情况对应于P（回想一下c≥ 1).我们评估x的第一个un（0，x）≥ 0.un（0，x）=sup0≤h类≤x个-e-rnx公司体育课-rnh+1- p- p-1+p-1e级-注册护士(-h）= -e-rnx。实际上，h 7的最小值→ 体育课-rnh+1-p-p-1+p-1这是2 NLN聚丙烯-1.< 0自p<p-1、如果y<=π（G），则A（G，y）6= 和un（G，y）=-∞. 让y≥.un（G，y）=supmax（0,1-y）≤h类≤y-e-rny公司体育课-rn（h-1)+ 1 - p- p-1+p-1e级-注册护士(-h）.备注h 7的最小值→ 体育课-rn（h-1)+ 1 - p- p-1+p-1达到h的高度*编号：=-2rnlnp-1便士.

我们假设p-1> p，rn>lnp-1便士对于所有n，0<h*n<我们得到thatun（G，y）=(-e-rny公司2注册√聚丙烯-1+ (1 - p- p-1)如果y≥+2rnlnp-1便士-e-rny公司perny+p-1注册（1-y） +（1- p- p-1)否则（14） 现在从财富x开始≥ 0，我们要查找最小的z∈ R使得un（G，x+z）=un（0，x）。修复x>0。作为limn→+∞un（0，x）=0存在一些nx，对于n≥ Nx，un（0，x）≥ -p、 如果≤ x+z<+2rnlnp-1便士, 对于n≥ Nx，（14）表示Un（G，x+z）≤ -p<un（0，x）。因此对于n≥ Nx，我们需要假设x+z≥+2rnlnp-1便士. 那么（14）意味着pn（G，x）=+rnln√聚丙烯-1+e-rn（1- p- p-1)≤ π（G）（15）只要x+rnln2p+e-rnqpp-1(1 - p- p-1)≥ 在这种情况下，pn（G，x）对于x<π（G）是很好的定义。例如，如果p-1=2/3，p=1/4，d rn=n，当x=0.1时，只要n≥ 7，然后p（G，0.1）=0，471或x=0.4≥ 然后p（G，0.4）=0417。备注4.1注意，即使在存在不确定性的情况下，收敛速度也仅由风险规避rn驱动（见（15））。un（G，y）=uPn（G，y）（回想一下，Pis是最坏的情况）的最佳策略，对于足够大的n，由-2rnlnp-1便士这与超级复制策略h=不同，但以风险厌恶系数收敛。在一般情况下证明这一结果，即找到最优策略序列的一种累积点，这是一种超边际价格，这是有待进一步研究的。5结果证明我们借用了【Carassus和R\'asonyi，2006】中的一些数据，这些数据适用于多重优先级设置。5.1定理3.14和3.15的证明该证明基于两个成分：一些闭包性质（见引理5.1）和一些边界性质（见引理5.2，该引理已在命题3.7中用于确定一些可积性问题）。