效用无差异价格与超级复制价格的趋同

首先，fix some J>0，setCJ：=εJ+K（x，x）+K（x，x+|π（G）|+b）和BJ，n：={Un（·，x- ε) ≤ -CJ}。我们应用假设6.3（回忆x>ε时的th），并获得一些NJ≥ N（不依赖于φ），因此对于所有N≥ NJ，Pε，φ（BJ，n）≥ infP公司∈QTP（BJ，n）>1-ε.那么，对于所有n≥ NJ，Pε，φ（BJ，n∩ Aφ）>ε（回想一下Pε，φ（Aφ）>ε），我们得到epε，φAφUn·, Vy，φT（·）- G（·）≤ EPε，φAφ∩BJ，nUn（·，x）- ε） +EPε，φAφ\\BJ，nUn（·，x）≤-εCJ+K（x，x）=-J- K（x，x+|π（G）|+b），使用（28）和CJ的定义。将前面的方程与（29）相结合，我们得到了所有n≥ NJinfP公司∈QTEPUn公司·, Vy，φT（·）- G（·）≤ EPε，φUn·, Vy，φT（·）- G（·）≤ -J、 由于nj不依赖于φ，我们得到了所有n≥ NJ，un（y，G）≤ -J、 因为这对所有J来说都是真的≥ 0，limn→+∞un（G，y）=-∞ 证明是完整的。我们现在把（27）和绝对风险厌恶的收敛联系起来。从现在起，我们取一系列满足假设6.1的效用函数，所有ωT∈ OhmT、 联合国ωT·是凹的且在（0，∞). 绝对风险规避的推广（见（6））isrn（ωT，x）：=-U′n（ωT，x）U′n（ωT，x）。引理6.7假设supnkun（·，x）k<+∞还有一些东西≥ 1，严格正随机变量λ和一些确定性函数（ρn）n≥1所有人都是这样≥ N、 U′N（·，x）≥ λ（·），rn（·，x）≥ ρn（x）和limn→+∞ρn（x）=+∞对于allx∈ （0，x.），则（27）成立。证据假设所有ε>0，使得x>ε且a ll C≥ 0，我们有那个Limn→+∞infP公司∈QTP（Zxx-εU′n（·，v）dv<-Cε）！=首先，我们要证明（27）是正确的。在x>ε和M>0处固定一些ε>0，例如th。

对于所有ωT∈ OhmTUn（ωT，x- ε） =Un（ωT，x）-Zxx公司-εU′n（ωT，U）du。利用U′n（ωT，·）是非负的、非递增的，我们得到了U′n（ωT，x- ε） +εU′nωT，x-ε≤ Un（ωT，x- ε） +Zx-εx-εU′n（ωT，v）dv≤ Un（ωT，x）。诺温ωT，x-ε= U′n（ωT，x）-Zxx公司-εU′n（ωT，v）dv≥ -Zxx公司-εU′\'n（ωT，v）dv和all-togetherUn（ωT，x- ε) ≤ |Un（ωT，x）|+εZxx-εU′n（ωT，v）dv。我们假设一些η>0，并表明存在一些Nη>0，因此对于所有ninfP∈QTP（| Un（·，x）|≤ Nη）>1-η.作为supnkUn（·，x）k<+∞, 【Denis等人，2011年，引理13】暗示对于ll k≥ 1支持∈QTP（| Un（·，x）|>k）≤ksupP公司∈QTEP（| Un（·，x）|）≤ksupnkUn（·，x）k。因此存在Nη>0，使得∈所有N的QTP（| Un（·，x）|>Nη）<η。从（30）开始，C=2（Nη+M），存在N=N（η，M，ε），所有N≥ N，infP∈QTP（Un（·，x- ε) ≤ -M）≥ infP公司∈QTP{| Un（·，x）|≤ Nη}∩（Zxx-εU′n（·，v）dv<-2（Nη+M）ε）！≥ infP公司∈QTP（{| Un（·，x）|≤ Nη}）+infP∈QTP（Zxx-εU′n（·，v）dv<-2（Nη+M）ε）！- 1 > 1 - η.因此，（27）对于所有x=x都被证明- ε > 0.我们只有（30）的证明。回到引理的假设，有≥ 1和严格正随机变量λ，使得U′n（·，x）≥ λ（·）表示所有n≥ N、 所以我们得到了ZXX-εU′n（·，v）dv=-Zxx公司-εU′n（·，v）rn（·，v）dv≤ -λ（·）Zxx-εrn（·，v）dv。因此，要证明（30）是正确的，就足以证明Limn→+∞infP公司∈QTPλ（·）Zxx-εrn（·，v）dv>Cε！=1.（31）对于所有x∈ （0，x）limnρn（x）=+∞, 我们明白了→+∞Rxx-ερn（v）dv=+∞ 由Fatou\'sLemma提供。现在（31）作为rn（·，x）成立≥ ρn（x），对于n≥ N和x∈ （0，x）。备注6.8 1。我们指出为什么在我们的证明中我们不能直接使用limn的假设→+∞rn（·，x）=+∞ 而不是假设6.3。

确实是limn→+∞rn（ωT，x）=+∞ 对于llx∈ （0，x），ωT∈ OhmT用Fatou引理表示，对于所有ωT∈ OhmT、 al l k存在ωTsuch th at≥ NωT，λ（ωT）Rxx-εrn（ωT，v）dv>Cε，这意味着OhmT=∪n∩k≥n（λ（·）Zxx-εrk（·，v）dv>Cε），使用【Denis等人，2011年，定理1】，这意味着→+∞支持∈QTPλ（·）Zxx-εrn（·，v）dv>Cε！=但这并不意味着（31）是正确的，因此我们不能像表6.7中的证明那样得出（27）是正确的结论。2、在引理6.7的证明过程中，我们看到如果supnkUn（·，x）k<+∞, （27）符合其他假设。当然（30）意味着（27）成立。2、如果存在一些N≥ 1和严格正随机变量λ，使得u′n（·，x）≥ λ（·）对于所有n≥ N，则（31）也意味着（27）。如果进一步的U′n（ωT，·）对于所有n都是非递减的≥ N和ωT∈ OhmT、 thenlimn公司→+∞infP公司∈QTPλ（·）rn（·，x）>2Cε= 1、（32）表示（27）成立。确实对于最后一个断言，因为对于所有n≥ N和ωT∈ OhmT、 U′n（ωT，·）i不递减，U′n（ωT，x）≥ λ（ωT），我们得到tha tZxx-εU′n（·，v）dv≤εU′n（·，x）=-εU′n（·，x）rn（·，x）≤ -ελ（·）rn（·，x）。因此，（32）意味着（30）和（27）成立。请注意，幂效用函数或指数效用函数（具有随机系数，精确条件见示例6.2）是U′n（ωT，·）对于所有n和ωT都不递减的示例∈ OhmT、 备注6.9我们重新讨论了确定性等价的概念（见命题3.20），但针对u-ni和多重e-priors框架中的随机效用函数。让G∈ WT使0≤ G（·）<+∞ QT-q.s.并假设U是验证定义6.1的效用函数，并且对于所有ωT∈ OhmT、 U型ωT·是凹的且在（0，∞). 此外，假设supP∈QTEPU-（·，y）<+∞ 对于所有y>0，EPU+（·，1）<+∞ 和EP | U（·，G（·））|<+∞ 对于所有P∈ QT。

然后o对于所有P∈ QT，存在唯一常数e（G，P）∈ [0, +∞) 使EPU（·，e（G，P））=EPU（·，G（·））。o如果进一步G∈ W∞,+T、 支持∈QTEPU-（·，G（·））<∞ 和infP∈QTEPU′（·，z）>0对于所有z>0，则也存在唯一的e（G）∈ [0，| | G||∞) 这样的影响∈QTEPU（·，e（G））=infP∈QTEPU（·，G（·）），在这种情况下，我们有e（G）≥ infP公司∈QTe（G，P）。我们称e（G）为G的多重先验确定性等价物。至于命题3.20，（省略）证明依赖于仔细应用中间值定理。参考B。Acciaio和I.Penner。金融学高级数学方法中的动态凸风险度量，第1章。Springer Verlag，柏林，2011年。B、 Acciaio、M.Beiglbock、F.Penkner和W.Schachermayer。资产定价基本定理和超级复制定理的无模型版本。数学金融学硕士，26（2）：233–251，2013年。C、 D.Aliprantis和K.C.边界。有限维分析：搭便车指南。Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften[数学科学的基本原理]。Spring er Verlag，柏林，第3版，2006年。P、 Artzner、F.Delben、J.M.Eber和D.Heath。一致的风险度量。MathematicalFinance，9:203–227，1999年。M、 Avellaneda，A.Levy和A.第。在波动性不确定的市场中对衍生证券进行定价和对冲。应用数学金融，2（2）：73–881996。P.班克，Y.多林斯基和S.G.好的。具有非线性交易成本和波动不确定性的超级复制。《应用概率年鉴》，26（3）：1698–17262016。D、 巴特尔。无界禀赋模型不确定性下的指数效用最大化。《应用概率年鉴》，29（1）：577–61219。M、 Beiglbockock、P.H enry Labore和F.Penkner。期权价格的模型独立界限：大众运输方法。财务Stoch。，17(3):477–501, 2013.B、 Bensaid，J.P。

Lesne、H.Pages和J.Scheinkman。具有交易成本的衍生资产定价。数学金融，2（2）：63–861992。D、 P.Bertsekas和S.Sh reve。随机最优控制：离散时间情况。雅典科学院，2004年。T、 R.Bielecki、I.C ialenco和M.Pitera。离散时间内动态风险度量和动态绩效度量的时间一致性调查：Lm度量视角。概率、不确定性和定量风险，2（3），2016年。R、 Blanchard和L.Carassus。无边界函数的多先验离散时间投资。《应用概率的nals》，88（2）：241–2812018。R、 Blanchard和L.Carassus。无多优先级套利。arxiv，2019年。B、 布查德。随机控制及其在金融中的应用。巴黎大学博士论文，2000年9月。B、 Bouchard和M.Nutz。非支配离散时间模型中的套利和对偶。《应用概率年鉴》，25（2）：823–8592015。M、 Burzoni，M。Frittelli和M.Magis。不确定离散时间市场中的通用套利聚合器。《金融与随机》，20（1-50），2016年。五十、 Carassus和M.R'asonyi。公用设施无差别价格与超级复制价格的趋同。运筹学数学方法，64:145–1542006。五十、 Carassus和M.R'asonyi。效用无差异价格与超级复制价格的趋同：整个实线案例。数学应用学报，96（119-135），2007a。五十、 Carassus和M.R'asonyi。当经营者的偏好发生变化时，最优策略和基于效用的价格就会趋同。运筹学数学，32:102–117，2007年b。五十、 Carassus和M.R'asonyi。保留价格的风险规避渐近。《金融年鉴》，7（3）：375–3872011年。五十、 Carassus和T.Vargiolu。超级复制价格：可以。Esaim：《会议记录与调查》，2018年第64期。五十、 Carassus、J.Obl\'oj和J.Wiesel。

健壮的超级复制问题：dynamicapproach。《暹罗J.金融数学》，10（4）：907–941199年。R、 卡莫纳。无差异定价：理论与应用。普林斯顿大学出版社，2009年。S、 Cerreia Vioglio、F.Maccheroni、M.Marinacci和L.Montrucchio。不确定性厌恶参考。《经济理论杂志》，146（4）：1275–1330，2011年。S、 Cerreia Vioglio、F.Maccheroni和M.Marinacci。看跌期权——平价和市场摩擦。《经济理论杂志》，2015年第157期。P、 Cheridito、M.Kupper和L.Tangpi。离散时间下鲁棒定价和Hedginging的性质公式。巴纳赫J.数学。分析。，11 (1):72–89, 2017.S、 科恩。一般空间中次线性期望的准肯定分析、否定和对偶表示。《概率电子杂志》，17（62），2012年。A、 M.G Cox和J.Obl\'oj。双触式障碍期权的稳健对冲。暹罗J.Finan。数学2： 141–1822011a。A、 M.G Cox和J.Obl\'oj。双重非接触期权的稳健定价和对冲。《金融与随机》，15（3）：573–6052011b。J、 C.Cox、S.A Ross和d M.Rubistein。期权定价：一种简化的方法。《金融经济学杂志》，第7期（229-264），1979年。J、 Cvitani\'c和I.Karatzas。用对冲组合对冲或有债权。安·阿尔索夫应用概率，2（4）：767–8181992。J、 Cvitani\'c、H.Pham和N.Touzi。组合约束下随机波动模型的超级复制。《应用概率杂志》，2（52 3-545），1999年。R、 C.Dala ng，A。Morton和W.Willinger。随机证券市场模型中的等价martin-gale测度和noarbitrage。期刊随机和随机报告。，29:185–201, 1990.M、 H.A.Davis和D.Hobson。交易期权价格的范围。《数学金融》，17（1）：2007年1月14日。F、 Delbaen和W.Schachermayer。套利的数学。Springer Finance，2006年。F、 Delbaen，P.Grandits，T.Rheinl¨ander，D.Samperi，M。

Schweizer和Ch.Stricker。指数对冲和熵惩罚。《数学金融》，12:99–12，2002年3月。五十、 丹尼斯和C·M·阿蒂尼。模型不确定性条件下未定权益定价的理论框架。《应用概率年鉴》，16（2）：827–8522006。五十、 Deni s、M.Hu和s.Peng。与次线性期望相关的函数空间和容量：G-布朗运动路径的应用。潜力分析，34（2）（139-161），2011年。Y、 多林斯基和H.M.索纳。连续时间的最优运输和鲁棒套期保值。概率论及相关领域，160（1）：391–4272014。N、 El Ka roui和M.-C Quenez。不完全市场中连续索赔的动态规划与定价。暹罗J.控制优化。，33(1):29–66, 1991.D、 埃尔斯伯格。风险、我的双重性和野蛮公理。《经济学季刊》，75（4）：643–6691961。五十、 G.Epstein和S.Ji。连续时间内的不确定性、可能性和效用。《数学经济学杂志》，5 0:269–2 82，2014年。五十、 G.Epstein和M。施耐德。递归多优先级。《经济理论杂志》，113（1）：1-31，2003年。H、 F¨ollmer和A.Schied。随机金融：离散时间导论。Walter deGruyter&Co.，柏林，2002年。F、 Giammarino和P.M.Barrieu。具有不确定性厌恶偏好的无差异定价。《数理经济学杂志》，第49（1）期，2013年。一、 吉尔博亚。不确定性决策理论。经济计量学会专著，200 9。一、 Gilboa和D.Schmeidler。具有非唯一先验的最大最小期望效用。《数学经济学杂志》，18（2）：141-1531989年。五十、 P.Ha nsen和T.J.Sergent。鲁棒控制和模型不确定性。《美国经济评论》，91，2001年。J、 M.H arrison和D.M.K代表。多期证券市场中的鞅与套利。《经济理论杂志》，20（3）：381-4081979。J、 M.Harrison和S.R.Pliska。

马丁加·莱斯和连续交易理论中的随机积分。随机过程及其应用，11（3）：215–26 0，1 981。五、 亨德森。利用效用最大化对非合同资产的债权进行估价。《数学金融》，12:351–3732002。D、 霍布森。回望期权的稳健对冲。《金融与随机》，2:329–3471998。R、 Hodges和K.Neuberger。交易成本下未定权益的最优复制。修订版。未来市场。，8:222–239, 1989.D、 K ahneman和A.Tversky。前景理论：风险决策分析。《计量经济学》，47:263–2911979。S.卡尔布拉德、J.奥布洛伊和T.扎里波普卢。模型不确定性下的动态一致性投资：稳健远期标准。《金融与随机》，2017年出版。F、 骑士。风险、不确定性和利益。马萨诸塞州波士顿：哈特、沙夫纳·马克思；霍顿·米夫林公司，1921年。D、 克雷普斯先生。商品数量众多的经济体中的套利和均衡。《数理经济学杂志》，8（1）：15–351981年。F、 里昂。不确定的波动性和衍生品的无风险合成。《应用金融杂志》，2:117–133，1995年。F、 Maccheroni、M.Ma rinacci和A.Rustichini。环境厌恶、鲁棒性和偏好的变化表示。《计量经济学》，74（6）：144 7–14982006。R、 M ehra和E.C.普雷斯科特。股本溢价：一个骗局。《货币经济学杂志》，15（2）：145–16 1，1985年。M、 一夫多妻制。基于效用的对冲基差风险策略的绩效。QuantitativeFinance，4（244-255），2004年。M、 Musi ela和Th。扎里波普劳。无差异定价，向后和向前公用事业以及相关的无差异定价系统：binomialmodel的案例研究。普林斯顿大学出版社，2005年。M、 努茨。离散时间模型不确定性下的效用最大化。MathematicalFinance，26（2）：252–2682016。S、 彭。

倒向随机微分方程、非线性期望及其应用。R.Bhatia，《国际数学大会论文集》，第1卷，第393-432页。《世界科学》，Sin gapore，2011年。J、 普拉特。小规模和大规模的风险规避。《计量经济学》，32:122–135，1964年。M、 Rasonyi和L.Stettner。离散时间金融模型中效用最大化问题最优投资组合的存在性。In：Kabanov，Y。；L ipster，R。；Stoyanov，J.（编辑），《从随机微积分到数学金融》，斯普林格出版社。，第589-6082006页。F、 里德尔。具有多个优先级的最优停止。《计量经济学》，77（3）：857–9082009。F、 里德尔。无概率先验假设的金融。ArXiv，2011年。R、 Rouge和N.El Karoui。通过效用最大化和熵定价。数学金融学硕士，10（2）：259–2762000。五十、 萨维奇。统计学的基础。威利，纽约，1954年。H、 Mete Soner、N.Touzi和J.Zhang。通过聚集的准确定随机分析。《概率电子杂志》，16（67）：1844-18792011。J、 冯·诺依曼和O·摩根斯坦。博弈论与经济行为。普林斯顿大学出版社，1947年。