效用无差异价格与超级复制价格的趋同

我们首先介绍一组最终财富，包括从资本x开始扔掉钱的可能性∈ RCTx：={Vx，φT，φ∈ Φ} - W0，+T。在续集中，我们将写X∈ CTxif存在一些φ∈ Φ和Z∈ W0，+Tsch thatX=Vx，φT- Z QT-q.s.在引理5.1的假设下，集CTxhas是一个经典闭包性质（在QT准肯定意义下，参见【Bouchard and Nutz，2015，定理2.2】）。请注意，注释3.4中的相同注释适用。引理5.1假设假设2.3和2.4成立。修复somez∈ 兰德letB∈ WT这样B/∈ CTz。然后存在一些ε>0，使得infφ∈ΦsupP∈QTP（Vz，φT<B- ε) > ε. （16） 证明。假设（16）不成立。那么，对于所有n≥ 1，存在一些φn∈ P处的Φth（Vn<B-n）≤对于所有P∈ QT，其中Vn：=Vz，φnT。设置KN：=越南-B-n{Vn≥B-n}∈ W0，+T，然后Vn-千牛∈ CTz。此外，对于所有P∈ QT，P（| Vn-千牛-B |>n）=PVn<B-n≤n、 因此limn→+∞支持∈QTP（| Vn- 千牛- B |>n）=0。如果我们证明存在子序列（nk）k≥1如此（Vnk- Knk）k≥1接近B QT-q.s.（即在QT全测量集上），【Bouchard和Nutz，2015，定理2.2】意味着B∈ CTz。这种矛盾将得到证明。因此，η>0并考虑子序列（Vnk- Knk）k≥1此类atsupP∈QTP（Ak）≤K此处Ak：=|Vnk公司- Knk公司- B |>nk.AsPk公司≥1支持∈QTP（Ak）<∞, Borel-Cantelli的容量引理（见【Denis et al.，2011，引理5】）表明∈QTP（lim supkAk）=0。因此OhmT\\lim supkak是一个QT全量测集，其上| Vnk（·）- Knk（·）- B（·）|≤ η对于足够大的k是正确的。在适当的假设下，下一个命题确定，无论策略是什么，从资本x开始的时间T的财富是一致有界的。引理5.2假设2.1、2.3、2.4和2.6成立。那么，对于allx∈ R、 φ∈ A（0，x）和0≤ t型≤ T、 | Vx，φT（·）|≤ |x | Mt（·）Qt-q.s（17），其中m：=1，Mt（ωt）：=Qts=11 +|Ss（ωs）|αs-1（ωs-1).

此外，对于所有0≤ t型≤ Tand0<r<∞.证据我们使用了类似于[Blanchard和Carassus，2018，定理3.6]证明中的论证。让x≤ 0和φ∈ A（0，x）。然后V0，φT≥ 0 QT-q.s，由NA（QT）和[Blanchard和Carassus，2018，Lemma A.33]，V0，φt≥ 0 Qt-q.s和V0，φt=0 Qt-q.s。So（17）基本成立。So fix x>0和φ∈ A（0，x）。适用于所有1≤ t型≤ T和ωT-1.∈ Ohmt型-1NA（回顾命题2.5，定义Ohmt型-1NA），我们用φ表示⊥t（ωt-1） φt（ωt）的正交投影-1） 关于向量空间Dt（ωt）-1） （参见提案2.5）。我们都有ωt-1.∈ Ohmt型-1NAthatφt（ωt-1)St（ωt-1, ·) = φ⊥t（ωt-1)St（ωt-1，·）Qt（ωt-1） -q.s.（18）见【Blanchard和C arassus，2018年，备注3.1 0】。作为Vx，φT≥ 0 QT-q.s.假设2.1、2.3和2.4成立，【Blanchard and d Carassus，2018，引理A.33】与【Nutz，2016，引理3.4】和Ht一起适用-1： ={ωt-1.∈ Ohmt型-1，Vx，φt-1（ωt-1） +φt（ωt-1)St（ωt-1, ·) ≥0 Qt（ωt-1） -q.s.}∈ 卑诗省(Ohmt型-1） 是Qt-1-全尺寸套件。立即修复一些1≤ t型≤ T，ωT-1.∈Ht公司-1.∩ Ohmt型-1NA。我们证明了t |φ⊥t（ωt-1)| ≤|Vx，φt-1（ωt-1） |αt-1（ωt-1). （19） 如果φ⊥t（ωt-1） =0无需证明，可以假设φ⊥t（ωt-1) 6= 0. 首先，使用（1 8）和ωt-1.∈ Ht公司-1.∩ Ohmt型-1NA，我们得到Vx，φt-1（ωt-1) + φ⊥t（ωt-1)St（ωt-1, ·) ≥ 0 Qt（ωt-1） q.s.（20）现在，我们从矛盾的角度出发，假设（19）不成立。LetB：={φ⊥t（ωt-1)St（ωt-1, ·) < - αt-1（ωt-1)|φ⊥t（ωt-1)|}.根据命题2.5，存在一些Pφ∈ Qt（ωt-1） 使得Pφ（B）>αt-1（ωt-1) > 0.但是，对于所有ωt∈ BVx，φt-1（ωt-1) + φ⊥t（ωt-1)St（ωt-1，ωt）<Vx，φt-1（ωt-1)| - αt-1（ωt-1)|φ⊥t（ωt-1） 与（20）相矛盾，因此（19）成立。现在，我们用归纳法证明（17）对al l 0成立≤ t型≤ T对于t=0，这是微不足道的。假设对于某些t≥ 1、存在一些Qt-1-完整测量集Ohmt型-1.∈ 卑诗省(Ohmt型-1） 其中（17）在t阶段为真- 1.

允许OhmtEQ：={（ωt-1，ωt）∈ Ohmt型-1× Ohmt、 φ⊥t（ωt-1)St（ωt-1，ωt）=φt（ωt-1)St（ωt-1，ωt）}。很明显OhmtEQ公司∈ 卑诗省(Ohmt） 。对于某些P=Pt-1. pt公司∈ Qt，（18）和Fubini定理（见[Bertsekas和Shreve，2004，命题7.45 p175]）暗示P(OhmtEQ）=1（回想一下Ohmt型-Qt的1NAis-1完全测量）。挫折Ohmt型-1： =eOhmt型-1.∩ Ht公司-1.∩ Ohmt型-1纳安德Ohmt=OhmtEQ公司∩bOhmt型-1× Ohmt型.很明显，EOhmt型∈ 卑诗省(Ohmt） 并且是Qt全尺寸集。对于所有ωt=（ωt-1，ωt）∈eOhmt | Vx，φt（ωt-1，ωt）|=| Vx，φt-1（ωt-1) + φ⊥t（ωt-1)St（ωt-1，ωt）|≤|Vx，φt-1（ωt-1)|1 +|St（ωt-1，ωt）|αt-1（ωt-1)≤xMt公司-1（ωt-1)1 +|St（ωt-1，ωt）|αt-1（ωt-1)证明了（17）。对于所有0≤ r<∞ 和1≤ s≤ TSs，αs∈ Wrs（见假设2.6），因此所有1≤ t型≤ T我们现在可以证明定理3.14和3.15了。定理3.14和3的证明。15、让G∈ W0，boTand b≥ G处0个≥ -b QT-q.s.和fix部分x>0。我们证明了第一个定理3.14和定理3.15的第一项。正如【Carassus和R'asonyi，2006】中所述，对于某些αn>0，βn，我们可以将Unby^Un：=αnUn+β替换为∈ R、 如果Unis凹，严格在折痕中或两次连续可微，则^Unwill显示相同的特性。因此，在定理3.14的假设下，^unar是凹的，满足假设2.6。此外，Unand^Un的绝对风险规避和效用无差异价格（将用^pn（G，x）表示）是相同的（参见（6）、（9）和（10））。因此，足以证明limn→+∞^pn（G，x）=π（G）。作为U′n（x）∈ (0, ∞) （回想一下，Unis是凹的且严格递增），我们选择αn=U′n（x）和βn=-Un（x）U′n（x），导致所有n的^Un（x）=0和^U′n（x）=1≥ 注意，在定理3.15第1项的假设下，^una是凹的，存在一些N>1和k>0，使得^Un（x）≤ k代表所有n≥ N和X∈ R、 我们用^un（G，x）表示^un的值函数。α和βnimpliesthat 0的选择∈ A（^Un，0，x）和该^Un（0，x）≥ infP公司∈QTEP^Un（x）=0。

（21）我们首先处理π（G）=+∞. 定义所有z∈ R、 n个≥ 1. = A（G，z）=A（^Un，G，z）和^Un（G，x+z）=-∞ （见（9））。所以，（10）和（21）表明^pn（G，x）=+∞适用于所有n≥ 1、权利要求得到证明。现在假设π（G）<∞. 命题3.13适用于^pn（G，x）≤ π（G）<∞ 安德林→+∞^pn（G，x）=如果lim infn^pn（G，x），π（G）将保持不变≥ π（G）。假设情况并非如此。因此存在子序列（nk）k≥1和一些η>0，如t^pnk（G，x）≤ π（G）- η表示所有k≥ 1、由于x>0，我们可以假设η<x。通过定义^pnk（G，x），我们得到了^unk（G，x+π（G）- η) ≥ ^unk（0，x）。如果limk→+∞^unk（G，x+π（G）- η) = -∞ 已证明，lim infk→+∞^unk（0，x）=-∞ 遵循并反驳（21）。所以，还需要证明limk→+∞^unk（G，y）=-∞ y：=x+π（G）- η ∈ （π（G），x+π（G））。首先我们证明x+G/∈ CTy公司。事实上，如果不是这样，则存在一些X∈W0，+接地φ∈ Φ，使得x+G=Vy，φT- X QT-q.s.因此G≤ Vy公司-x、 φTQT-q.s.安迪- x个≥ π（G）如下：矛盾。应用引理5。1，我们得到一些ε>0，使得infφ∈ΦsupP∈QTP（Aφ）>ε，其中Aφ：={Vy，φT<x+G- ε}. 注意，我们总是可以假设x>ε。因此，对于所有φ∈ Φ，存在一些Pε，φ∈ Pε，φ（Aφ）>ε时的qt。命题3.7和定理3.3暗示，对于所有n≥ 1，A（^Un，G，y）=A（G，y）6= 因为y>π（G）。选择一些φ∈ A（G，y）。我们首先假设定理3.14的假设。利用^Un的单调性，回忆G（·）≥ -b QT-q.s.，（7）和引理5.2，我们得到所有n≥ 1 thatEPε，φOhmT\\Aφ^Un（Vy，φT（·））- G（·））≤ EPε，φ^U+n（Vy+b，φT（·））≤^U+n（x）+供应∈QTEPVy+b，φT（·）^U′n（x）≤ （| y |+b）支持∈QTEP（MT（·））≤ （x+|π（G）|+b）| | MT |=：K<∞. （22）在定理3.1 5第1项的假设下，（22）中上述性质的最后一个有界仍然是K=K和n的val id≥ N、 现在，作为^Un（x- ε) ≤^Un（x）=0我们得到EPε，φAφ^UnVy，φT（·）- G（·）≤^Un（x-ε） EPε，φAφ≤ ε^Un（x- ε).

（23）因此（22）和（23）意味着对于所有n≥ NinfP公司∈QTEP^UnVy，φT（·）- G（·）≤ EPε，φ^UnVy，φT（·）- G（·）≤ K+ε^Un（x- ε).因为所有φ都是这样∈ A（G，y）=A（^Un，G，y），^Un（y，G）≤ K+ε^Un（x- ε） 以下为alln≥ N最后，【Carassus和R’asonyi，2006，引理4】（使用^Un的凹度）暗示limn→+∞^Un（x- ε) = -∞ 因此limn→+∞^un（G，y）=-∞ 如所述。现在我们证明定理3.15的第二项。该证明类似于定理3.15的第一个证明，我们只说明了主要的变化。首先，我们不修改函数Un。设k>0为Un（x）≤ K适用于所有n≥ N和x∈ R、 作为0∈ A（Un，0，x）表示所有n≥ 修女（0，x）≥ Un（x）>infn≥修女（x）>-∞,这是（21）的挂件。如果π（G）=+∞ 上述参数同样适用。假设π（G）<+∞: 提案3.13仍然适用，且^pn（G，x）≤ π（G）。固定φ∈ A（G，y）和设y，Aφ和Pε，φ与前面一样：我们直接证明limn→+∞un（G，y）=-∞. 固定一些J>0和CJ：=ε（J+k）。作为limn→+∞Un（x- ε) = -∞, 存在NJ≥ N因此，对于所有N≥ NJ，Un（x- ε) ≤ -CJ。EPε，φUnVy，φT（·）- G（·）≤ EPε，φOhmT\\AφUn（Vy，φT（·））- G（·））+EPε，φAφUnVy，φT（·）- G（·）≤ k+Un（x- ε） Pε，φ（Aφ）≤ k+Un（x- ε)ε ≤ -J、 因此，由于nj不依赖于φ，我们得到了所有n的that≥ NJ，un（y，G）≤ -J5.2命题3.20的证明和命题3.21命题3.20的证明。修复一些P∈ QT和G∈ W+T（U）。作为EPU-（G（·））<+∞, G∈ W0，+和U不增加，EPU（G（·））-U（0）≥ 0（注意，U（0）处的th可能等于-∞). P（G（·）<∞) = 1和U严格增加U（G（·））<limy→+∞U（y）P-a.s.与EPU+（G（·））一起<+∞, 一个在EPU（G（·））- U（y）<0表示y足够大，中间值定理暗示（12）成立。现在EPU（G（·））≥ 所有P的U（0）∈ QT表示infP∈QTEPU（克（·））- U（0）≥ 0（重新调用该支持∈QTEPU-（G（·））<∞).

此外，对于某些P∈ QTas infP∈QTEPU（克（·））-U（y）≤EPU（G（·））- U（y）<0对于足够大的y，中值定理暗示（1 3）。现在对于任何Q∈ QT，（12）表示tha tU（infP∈QTe（G，P））≤ U（e（G，Q））=等式（G（·））。这对于任何Q都是正确的∈ QT，so（13）表示u（infP∈QTe（G，P））≤ infP公司∈QTEPU（G（·））=U（e（G））和infP∈QTe（G，P）≤ e（G）遵循U的严格单调性。现在对于任何Q∈ QT，（12），（13）和Jensen不等式意味着u（e（G））=infP∈QTEPU（克（·））≤ eq（G（·））=U（e（G，Q））≤ U（方程（·））。因此，通过U，e（G）的严格单调性≤ e（G，Q）≤ 等式（·）和，因为这对allQ是正确的∈ QT，我们发现（G）≤ infP公司∈QTe（G，P）≤ infP公司∈QTEPG（·）。命题3.2 1的证明。我们将[F¨ollmer and Schied，2002，Proposition2.47]的证明改编为多先验框架。1、我们首先表明，如果所有x>0，则rA（x）≥ rB（x），然后eA（G，P）≤ eB（G，P）表示所有G∈ W+T（UA，B）和P∈ QT。这意味着eA（G）≤ eB（G）使用命题3.20。固定体G∈ W+T（UA，B）和P∈ QT。设D：=UB（（0，∞))  (-∞, ∞) 和定义F:D→ R byF（y）=UAU-1B（y）. 然后在DF′（·）=U′A（U-1B（·））U′B（U-1B（·））和F′（·）=U′A（U-1B（·））U′B（U-1B（·））rB（U-1B（·））- rA（U-1B（·））. （24）作为U-D上1B（·）>0，对于所有x>0，F在D上增加且凹，且UA（x）=F（UB（x））。现在让δ：=UB（0）∈ [-∞, ∞) 是D的下限。我们区分两种情况。如果δ>-∞ , 我们通过δ中的连续性来扩展F，设置F（δ）=UAU-1B（δ）= UA（0）∈[-∞, ∞). 很明显，F（δ）≤ F（y）代表所有y∈ [δ, +∞), F在δ上是凹的+∞)UA（x）=F（UB（x））也适用于所有x≥ 现在，利用（12）和Jensen\'sinequality，我们得到了thatUA（eA（G，P））=EPUA（G（·））=EPF（UB（G（·）））≤ F（EP（UB（G（·））））=F（UB（eB（G，P）））=UA（eB（G，P））。（25）由于ua严格递增，我们得到eA（G，P）≤ eB（G，P）如所述。现在我们处理δ=-∞. 第一个P（G>0）=1。

实际上，如果P（G=0）>0，EPU-B（G（·））=EPU-B（G（·））1{G>0}（·）+U-B（0）P（G=0）=+∞, 我们已经排除的一个案例。因此P（G>0）=1。此外，eA（G，P）和eB（G，P）为正。Else UA（eA（G，P））=-∞而EPUA（G（·））≥ -EPU-A（G（·））>-∞. 因此，前面的参数适用，我们也得到eA（G，P）≤ eB（G，P）。2、假设所有G的eA（G）<eB（G）∈ W+T（UA，B），并且存在一些x>0，使得ra（x）<rB（x）。通过连续性，存在α>0，使得（x）上的rA（x）<rB（x-α、 x+α）。我们可以在x上选择α这样的th- α > 0. 设I：=（UB（x- α） ，UB（x+α）） D、 那么F在I上是三次凸的（见（24））。FixeG公司∈ W+T（UA，B）和集合G：=x-α+2αeGeG+1∈ W+T（UA，B）。很明显，G（·）∈ （十）-α、 x+α）。如（25）所示，利用Jensen不等式，F在I上（严格）凸的事实，我们可以得到任何P∈ QTUA（eA（G，P））=EPF（UB（G（·）））≥ F（EP（UB（G（·）））=UA（eB（G，P））。（26）这意味着eA（G，P）≥ eB（G，P）表示所有P∈ QT，因此eA（G）≥ eB（G）：矛盾。注意，如果P是这样的，那么可以找到一些非常数的eg，那么（26）中的不等式是严格的，并且可以得到eA（G，P）>eB（G，P）。6随机效用函数的扩展随机效用函数适用于非常普遍的情况，即代理人的偏好不仅取决于其财富，还取决于路径。在开始日期，代理可能不知道她的效用函数将如何依赖于她的财富。此外，她的效用函数的形状随着上下文的变化而变化，并且可以随着信息的更新而更新。例如，如果市场表现出下跌趋势，她可能会变得更加厌恶风险，并在相反的情况下承担更多风险。这种行为经常在金融市场中观察到。

依赖于状态的效用函数的一个例子是【Musiela和Zariphopoulou，2005】中介绍的远期投资绩效过程，参见【Kallblad等人，201 7】，了解对多重先验框架的扩展。定义6.1随机效用函数U：OhmT×（0，∞ ) → R∪{-∞} 每x>0，U（·，x）满足以下条件i）：OhmT→ R是普遍可测的，ii）对于所有ωT∈ OhmT、 U型ωT·: (0, ∞) → R在（0，∞) 而这样的UωT，xω>-∞ 对于某些xω>0。我们在0中通过（右）连续性扩展U，并设置U（·，x）=-∞ 如果x<0。下一个示例显示了随机效用函数，因此ωT·是凹的，严格递增且在（0，∞).示例6.2假设代理分析了相对于（随机）参考点B的收益或损失，而不是如[Kahneman和Tversky，1979]所建议的相对于零的收益或损失。LetU b e a满足假设3.5和b的非随机凹函数∈ W∞,+所有ωT的Tand集∈ OhmT、 x个≥ 0，U（ωT，x）=U（x+| | B||∞-B（ωT））和U（ωT，x）=-∞ 对于x<0。第二个例子建议考虑随机绝对风险规避。其思想是使用具有随机系数的经典效用函数。例如，我们可以考虑U（ωT，x）=xβ（ωT）或U（ωT，x）=-e-x的β（ωT）xf≥ 0（和U（·，x）=-∞ 对于x<0），其中β，β∈ 0<β（·）<1，β（·）>0 QT-q.s。我们可以想象β的各种情况（很容易适应β）：P下的β定律可以均匀分布在所有P∈ QT（带βPmax≥ βPmin>0），或者对于al l P，它可以遵循参数λP>0的泊松定律∈ QT。它也可以是一些市场参数的函数，用于模拟代理根据市场条件更新其效用函数的情况。让（Un）n≥1满足定义的效用函数序列6。1.

以下定义（9）适用于一般随机用途。un（G，x）：=supφ∈A（Un，G，x）infP∈QTEPUn公司·, Vx，φT（·）- G（·）定理3.14对随机效用函数的推广将针对某些固定x>0进行说明，并需要一些进一步的假设。第一种方法取代了绝对风险厌恶与内部一致性的收敛：Un（·，x）到-∞ 关于infP∈所有0<x<x的QTP。引理6.7对此进行了解释，其中我们还给出了替代条件to（27）。它还需要从x中的假设下得到一些一致的有界性。假设6.3我们得到了supn | | U-n（·，x）| |<∞ 对于所有0<x<xandM>0，limn→+∞infP公司∈QTP（Un（·，x）≤ -M） =1。（27）第二个假设允许从上述效用函数中确定无界函数的可积性问题，并指出无界函数具有充分的可测性和正则性。所有ωT的假设6.4∈ OhmT、 U型ωT·是凹的且在（0，∞). 存在一些x≥ x和一些q>1的that tsupn | | U+n（·，x）| |<∞ 和supn | | U′n（·，x）| | q<∞.定理6.5假设假设2.1、2.3和2.4成立。让（Un）n≥1满足定义6.1和letG的随机效用函数序列∈ W0，机器人。假设假设6.3适用于somex>0。假设存在一些>1和b∈ W1，+Tsuch thatUn（·，x）≤ B（·）QT-q.s.对于所有x>0和n≥ 假设2.6和6.4也不成立。Thenlimn公司→+∞pn（G，x）=π（G）。例6.6我们给出了定理6.5的一个具体例子。适用于所有n≥ 1，设Rnbe arandom变量均匀分布在所有P的[bn，bn]中∈ bn>0的QT，limn→+∞bn公司=+∞. 设置为所有ωT∈ OhmTUn（ωT，x）=-e-Rn（ωT）（x-1） 对于x≥ 0和Un（ωT，x）=-∞ forx<0。我们选择x=1。当所有M>0和d 0<x<1时，Un（·，x）≤ -M当且仅当ifRn（·）≥ln M1-x。

作为limn→+∞bn=+∞, 假设6.3经过验证。我们简要概述了定理3.14（和定理3.15）的证明是如何修改的。证明的结构类似于定理3.15第2项的结构，特别是我们没有修改函数Un。在定理6.5的假设下，命题3.7（即命题3.13）仍然有效，将（8）替换为下面的（28）。首先假设假设2.6和6.4是正确的。用g（7）表示Un（ωT，·）（回忆x>0），我们得到所有x>0，ωT∈ OhmT、 对于所有P∈ QTEPU+n（.，Vx，φT（.））≤ 支持∈QTEPU+n（·，x）+支持∈QTEPVx，φT（·）U′n（·，x）≤||U+n（·，x）| |+| x | | | MT（·）U′n（·，x）||≤||U+n（·，x）| |+| x | | | MT（·）| | p | | U′n（·，x）| | q≤supn | | U+n（·，x）| |+| x | | | MT（·）| | psupn | U′n（·，x）| | q=：K（x，x）<∞ , （28）其中引理5.2，MT∈ 已使用WpT（其中p verifiesp+q=1）、假设6.4和【Denis等人，2011年，命题16】。现在，如果假设2.6和6.4不成立，但存在一些B∈ W1，+Tsuch thatUn（·，x）≤ B（·）对于所有x>0和n≥ N，则（28）中的最后一个边界属性仍然有效，forK（x，x）=| | B（·）| |。备注n如何显示0∈ A（Un，0，x）表示所有n≥ N（回想一下，x>0和（28））。现在假设6.3意味着对于所有n≥ 修女（0，x）≥ infP公司∈QTEPUn（·，x）≥ -supn | | U-n（·，x）| |>-∞.让G∈ WBO和b≥ 0，使G≥ -b QT-q.s.Letφ∈ A（G，y）和let y，Aφ和Pε，φbeas在定理3.14和3.15的证明中。我们使用thatEPε，φ来代替（22）（回忆一下（28））OhmT\\AφUn（·，Vy，φT（·）- G（·））≤K（x，x+|π（G）|+b）。（29）获得的论据（23）更为复杂。